5 4 друзья и объединения


Содержание

5.4 Друзья и Объединения

В это разделе описываются еще некоторые особенности, ка-

сающиеся классов. Показано, как предоставить функции не члену

доступ к закрытым членам. Описывается, как разрешать конфлик-

ты имен членов, как можно делать вложенные описания классов,

и как избежать нежелательной вложенности. Обсуждается также,

как объекты класса могут совместно использовать члены данные,

и как использовать указатели на члены. Наконец, приводится

пример, показывающий, как построить дискриминирующее (эконом-

14 ЗАКОНОВ ДРУЖБЫ

1. Не оставляй друга в беде. Быть верным дружбе — это значит делить с другом не только радости, но и горе. У друга могут быть ошибки, трудности, испытания. Если ты видишь, что у друга беда, иди к нему на помощь. Отвернуться от друга в тяжелую для него минуту — это значит нравственно готовить себя к предательству.

2. Тебе не безразлично, какой твой друг. Дружба — это нравственное обогащение человека; обретая надежного друга, ты умножаешь свои силы, становишься морально чище, богаче, красивее. Знай, что, имея верного друга, ты ежечасно, ежеминутно не только видишь сам себя, но и оставляешь свою душу открытой перед тем, кому ты веришь.

3. Дружба — это прежде всего вера в человека, требовательность к нему и долженствование. Гармоническое слияние этих трех начал дает ни с чем не сравнимое счастье духовного общения с близким по духу и идеалам человеком. Чем глубже твоя вера в друга, тем выше должна быть требовательность, тем больше ты обязан, должен.

4. Дружба и эгоизм непримиримы и несовместимы. Дружба учит человека отдавать духовные силы и богатства, заботу. Когда у тебя появляется верный и надежный друг, ты становишься человеком, остро заинтересованным в том, что делается в мире, какие люди окружают тебя, что для них свято и дорого, чем они живут, в чем видят радости, что любят и что ненавидят.

5. Дружба учит преданно любить и стойко, мужественно ненавидеть и быть непримиримым. Дружбу я бы назвал вершиной, с которой перед человеком открываются мельчайшие детали доблести и красоты, пошлости и уродства. Дружба дает человеку зоркость на добро и зло. Дружить — значит быть прилежным, старательным учеником в школе требовательности.

6. Дружба испытывается в беде и опасности. Смертельной бедой и смертельной опасностью является война. Ты должен быть духовно готовым к этому великому испытанию. Дружба — могучий и неисчерпаемый источник доблести, мужества, стойкости. Человек остается непобедимым в самых трудных условиях главным образом потому, что он чувствует плечо соратника. Умей жить так, чтобы уже в отрочестве и ранней юности познавать счастье единомыслия, счастье стойкости и несгибаемости в едином строю со своими друзьями.

7. Умей жить так, чтобы тебя с другом объединяло единство духа, идеалов. Наиболее ярким выражением духовной активности человека является преданность идеям, идеалам, борьбе… Дружба лишь тогда могуча и облагораживающа, когда она является маленьким ростком идеала, из которого вырастает могучая поросль жизненной цели. Верная дружба немыслима без мечты о будущем… Пусть дружба будет для тебя ярким светом, озаряющим цель жизни.

8. Юность без верной, преданной дружбы убога и пуста. Не умея дружить, ты обкрадываешь себя. Годы юности, озаренные яркой, духовно насыщенной дружбой, — это духовная энергия всей твоей жизни. От того, что ты сумел создать в годы юности и взять с собой в зрелые годы, зависит счастье твоего бытия всю жизнь. Самое главное, что создается человеческой дружбой, что должен создать ты вместе со своим единомышленником и соратником, — это приверженность возвышенному, идеальному…

9. Дружба воспитывает приверженность возвышенному, идеальному уже потому, что дружбе больше отдают, чем приобретают, и по-настоящему приобретают лишь потому, что отдают; самым богатым становится самый щедрый. Готовность отдать самое дорогое во имя идеала — положить голову в борьбе за счастье человечества — это огромное нравственное богатство доступно лишь тому, кто видит в жизни нечто большее, чем кусок хлеба и уютное гнездышко. Подлинная дружба предохраняет от эгоизма, учит презирать корыстолюбие.

10. В дружбе ты проходишь подлинную школу бескорыстия. Дружба дает тебе ни с чем не сравнимую радость оттого, что ты отдал. Дружба, по существу, открывает нам истинный смысл жизни.

11. Друг, если только это настоящая дружба, становится частицей тебя самого. Если ты видишь в друге что-то плохое, недостойное вашего единомыслия, вашей приверженности идеальному, скажи ему откровенно об этом. Не заявляй во всеуслышание, перед коллективом, о пороках или ошибках друга в надежде на то, что это исправит его. Это все равно что бичевать самого себя. Ты должен быть самым строгим и самым справедливым, самым мужественным и самым неумолимым судьей своего друга. Взаимная ответственность, озаряющая вашу дружбу, является важнейшим истоком верности, преданности. Вместе с тем взаимная ответственность побуждает к самовоспитанию — совершенствованию себя своими собственными силами. Стыдно самому перед собой — это чувство тонко развито у того, кто знает подлинную дружбу. По-настоящему испытывает стыд перед собой тот, кто видит себя не только своими собственными глазами, но и глазами друга. Если бы человек жил, как в пустыне, в полном одиночестве, он не знал бы вообще, что такое стыд и совесть. Самовоспитание, самосовершенствование — это не саморазвитие цыпленка в яйце под теплым крылышком наседки. Это сложное человеческое сознание и чувствование того, что не я один смотрю сам на себя; зорко смотрит на меня и видит меня мой верный друг. Наиболее способным к самовоспитанию становится тот, кто имеет надежного, верного друга, умеющего не только мужественно помочь, вступиться за тебя, но и мужественно ненавидеть зло, быть непримиримым к злу. Эта настоящая верность и преданность друга имеет особенную, неоценимую ценность в сложных, трудных, порой трагических условиях воинской службы.

12. Без дружбы — преданной, верной, требовательной, долженствующей — немыслим коллектив. Самый крепкий, идейно стойкий коллектив там, где дружба озарена приверженностью к идеальному, ясностью жизненной цели, строгой требовательностью и непримиримостью к злу. Дружба — это глубинные течения реки; у них — свои закономерности, без этих течений немыслимо и то, что на поверхности. Наиболее чутким к общественному мнению коллектива является тот, кто связан с другим человеком узами подлинной дружбы.

13. Быть требовательным в дружбе — это значит иметь мужество разорвать ее, если друг предает то, во имя чего построена дружба: приверженность возвышенному и идеальному, готовность и умение отдавать и находить в этом высшее счастье духовной жизни. Беспринципность опустошает дружбу; если у вас нет единства духа, идеалов, взглядов, убеждений; если вы не умеете единодушно любить и ненавидеть; если вас влекут друг к другу только скука и одиночество, вы потеряли дружбу или вообще не имели ее.

14. Из кирпичиков прочной, идейно богатой дружбы строится то, что я бы назвал нравственной силой коллектива. Чувство долга и ответственности перед коллективом тесно связано с чувством стыда: только тот, кому хочется видеть себя морально достойным высоконравственной, красивой дружбы, обладает большой чуткостью к тому, что говорят и думают о нем люди. Есть условия, определяющие создание коллектива; при отсутствии этих условий коллектив вообще немыслим, что бы мы ни делали. Этими условиями являются: богатство духовных, нравственных, идейных интересов и запросов личности, высокая требовательность человека к человеку; тонкое развитие в каждой личности важнейшей человеческой потребности — потребности в духовном общении с другим человеком, умение отдавать свои духовные силы и переживать в связи с этим счастье. Если этими качествами обладает каждый, индивидуальности связываются прочными нитями духовных, идейных связей, и эти связи, по существу, и являются одной из граней коллектива.
В.А. Сухомлинский

5 4 друзья и объединения

while (count«m) (* int t = randint(n);

if (s.member(t)==0) (* s.insert(t); count++; *) *)

В программе, для которой требуется два параметра, счечик числа параметров, argc, должен равняться трем, потому что имя программы всегда передается как argv[0]. Функция

extern int atoi(char*);

функция atoi() это стандартная библиотечная функция для преобразования представления целого в виде строки в его внуреннюю (двоичную) форму. Случайные числа генерируются с пмощью стандартной функции rand():

extern int rand(); // Не очень случайные, будьте осторожны

int randint(int u) // в диапазоне 1..u (* int r = rand(); if (r « 0) r = -r; return 1 + r%u ; *)

Подробности реализации класса должны представлять для пользователя весьма незначительный интерес, но здесь в любом случае будут функции члены. Конструктор выделяет целый вектор заданного максимального размера множества, а деструктор освбождает его:

intset::intset(int m, int n)//самое большее,m int’ов в 1..n (* if (m«1 !! n„m) error(«недопустимый размер intset“); cursize = 0; maxsize = m; x = new int[maxsize]; *)

intset() (* delete x; *)

Целые числа вставляются, поэтому они хранятся в возратающем порядке:

while (i»0 amp; amp; x[i-1]»x[i]) (* int t = x[i]; // переставить x[i] и [i-1] x[i] = x[i-1]; x[i-1] = t; i–; *) *)

Для нахождения членов используется просто двоичный писк:

int intset::member(int t) // двоичный поиск (* int l = 0; int u = cursize-1;

while (l «= u) (* int m = (l+u)/2; if (t „ x[m]) u = m-1; else if (t “ x[m]) l = m+1; else return 1; // найдено *) return 0; // не найдено *)

И, наконец, нам нужно обеспечить множество операций, чтобы пользователь мог осуществлять цикл по множеству в нектором порядке, поскольку представление intset от пользователя скрыто. Множество внутренней упорядоченности не имеет, поэтму мы не можем просто дать возможность обращаться к вектору (завтра я, наверное, реализую intset по-другому, в виде свзанного списка).

Дается три функции: iterate() для инициализации итерции, ok() для проверки, есть ли следующий элемент, и next() для того, чтобы взять следующий элемент:

Чтобы дать возможность этим трем операциям работать соместно и чтобы запомнить, куда дошел цикл, пользователь дожен дать целый параметр. Поскольку элементы хранятся в отсотированном списке, их реализация тривиальна. Теперь можно определить функцию печати по порядку print_in_order:

void print_in_order(intset* set) (* int var; set-»iterate(var); while (set-»ok(var)) cout «„ set-“next(var) „« «\n“; *)

Другой способ задать итератор приводится в #6.8.

5.4 Друзья и Объединения

В это разделе описываются еще некоторые особенности, ксающиеся классов. Показано, как предоставить функции не члену доступ к закрытым членам. Описывается, как разрешать конфлиты имен членов, как можно делать вложенные описания классов, и как избежать нежелательной вложенности. Обсуждается также, как объекты класса могут совместно использовать члены данные, и как использовать указатели на члены. Наконец, приводится пример, показывающий, как построить дискриминирующее (экононое) объединение.

5.4.1 Друзья

Предположим, вы определили два класса, vector и matrix (вектор и матрица). Каждый скрывает свое представление и прдоставляет полный набор действий для манипуляции объектами его типа. Теперь определим функцию, умножающую матрицу на вектор. Для простоты допустим, что в векторе четыре элемента, которые индексируются 0. 3, и что матрица состоит из четырех векторов, индексированных 0. 3. Допустим также, что доступ к элементам вектора осуществляется через функцию elem(), котрая осуществляет проверку индекса, и что в matrix имеется аналогичная функция. Один подход состоит в определении глбальной функции multiply() (перемножить) примерно следующим образом:

vector multiply(matrix amp; m, vector amp; v); (* vector r; for (int i = 0; i«3; i++) (* // r[i] = m[i] * v; r.elem(i) = 0; for (int j = 0; j«3; j++) r.elem(i) += m.elem(i,j) * v.elem(j); *) return r; *)

Это своего рода «естественный» способ, но он очень неэфективен. При каждом обращении к multiply() elem() будет взываться 4*(1+4*3) раза.

Теперь, если мы сделаем multiply() членом класса vector, мы сможем обойтись без проверки индексов при обращении к элменту вектора, а если мы сделаем multiply() членом класса matrix, то мы сможем обойтись без проверки индексов при обрщении к элементу матрицы. Однако членом двух классов функция быть не может. Нам нужно средство языка, предоставляющее функции право доступа к закрытой части класса. Функция не член, получившая право доступа к закрытой части класса, назвается другом класса (friend). Функция становится другом класса после описания как friend. Например:

class vector (* float v[4]; // . friend vector multiply(matrix amp;, vector amp;); *);

class matrix (* vector v[4]; // . friend vector multiply(matrix amp;, vector amp;); *);

Функция друг не имеет никаких особенностей, помимо права доступа к закрытой части класса. В частности, friend функция не имеет указателя this (если только она не является полноравным членом функцией). Описание friend – настоящее описние. Оно вводит имя функции в самой внешней области видимости программы и сопоставляется с другими описаниями этого имени. Описание друга может располагаться или в закрытой, или в отрытой части описания класса. Где именно, значения не имеет.

Теперь можно написать функцию умножения, которая исползует элементы векторов и матрицы непосредственно:

vector multiply(matrix amp; m, vector amp; v); (* vector r; for (int i = 0; i«3; i++) (* // r[i] = m[i] * v; r.v[i] = 0;

for (int j = 0; j«3; j++) r.v[i] += m.v[i][j] * v.v[j]; *) return r; *)

Есть способы преодолеть эту конкретную проблему эффетивности не используя аппарат friend (можно было бы определить операцию векторного умножения и определить multiply() с ее помощью). Однако существует много задач, кторые проще всего решаются, если есть возможность предоствить доступ к закрытой части класса функции, которая не явлется членом этого класса. В Главе 6 есть много примеров применения friend. Достоинства функций друзей и членов будут обсуждаться позже.

Функция член одного класса может быть другом другого. Например:

class x (* // . void f(); *);

class y (* // . friend void x::f(); *);

Нет ничего необычного в том, что все функции члены однго класса являются друзьями другого. Для этого есть даже блее краткая запись:

class x (* friend class y; // . *);

Такое описание friend делает все функции члены класса y друзьями x.

5.4.2 Уточнение* Имени Члена

– * Иногда называется также квалификацией. (прим. перев.)

Иногда полезно делать явное различие между именами члнов класса и прочими именами. Для этого используется операция . «разрешения области видимости»:

В x::setm() имя параметра m прячет член m, поэтому единственный способ сослаться на член – это использовать его уточненное имя x::m. Операнд в левой части :: должен быть именем класса.

Имя с префиксом :: (просто) должно быть глобальным имнем. Это особенно полезно для того, чтобы можно было исползовать часто употребимые имена вроде read, put и open как имена функций членов, не теряя при этом возможности обращатся к той версии функции, которая не является членом. Например:

class my_file (* // . public: int open(char*, char*); *);

int my_file::open(char* name, char* spec) (* // . if (::open(name,flag))(*//использовать open() из UNIX(2) // . *) // . *)

5.4.3 Вложенные Классы

Описание класса может быть вложенным. Например:


Если только вложенный класс не является очень простым, в таком описании трудно разобраться. Кроме того, вложение класов – это не более чем соглашение о записи, поскольку вложеный класс не является скрытым в области видимости лексически охватывающего класса:

class set (* struct setmem (* int mem; setmem* next; setmem(int m, setmem* n) *); // . *);

setmem::setmem(int m, setmem* n) (* mem=m, next=n*)

setmem m1(1,0); Такая запись, как set::setmem::setmem(), не является ни необходимой, ни допустимой. Единственный способ скрыть имя класса – это сделать это с помощью метода файлы-как-модули (# 4.4). Большую часть нетривиальных классов лучше описывать раздельно:

5.4.4 Статические Члены

Класс – это тип, а не объект данных, и в каждом объекте класса имеется своя собственная копия данных, членов этого класса. Однако некоторые типы наиболее элегантно реализуются, если все объекты этого типа могут совместно использовать (разделять) некоторые данные. Предпочтительно, чтобы такие разделяемые данные были описаны как часть класса. Например, для управления задачами в операционной системе или в ее модли часто бывает полезен список всех задач:

Хилл М., Страустрап Б.: C++ 1
Предисловие 1
Благодарности 1
Заметки для Читателя 1
Структура Этой Книги 1
Замечания по Реализации 1
Упражнения 1
Замечания по Проекту Языка 2
Исторические Замечания 2
Эффективность и Структура 2
Философские Замечания 3
Размышления о Программировании на С++ 3
Правила Правой Руки* 4
Замечания для Программистов на C 4
Библиографические Ссылки 4
Глава 1 Турне по С++ 4
1.1 Введение 4
1.1.1 Вывод 4
1.1.2 Компиляция 5
1.1.3 Ввод 5
1.2 Комментарии 5
1.3 Типы и Описания 5
1.3.1 Основные Типы 5
1.3.2 Производные Типы 5
1.4 Выражения и Операторы 6
1.4.2 Операторы Выражения 6
1.4.5 Оператор if 6
1.4.6 Операторы switch 6
1.4.7 Оператор while 6
1.4.8 Оператор for 6
1.4.9 Описания 6
1.5 Функции 6
1.6 Структура программы 7
1.7 Классы 7
1.8 Перегрузка операций 7
1.9 Ссылки 7
1.10 Конструкторы 8
1.11 Вектора 8
1.13 Производные классы 8
1.14 Еще об операциях 9
1.15 Друзья (friend) 9
1.17 Полиморфные Вектора 9
1.18 Виртуальные Функции 10
Глава 2 Описания и Константы 10
2.1 Описания 10
2.1.1 Область Видимости 10
2.1.2 Объекты и Адреса (Lvalue) 10
2.1.3 Время Жизни 10
2.2 Имена 11
2.3 Типы 11
2.3.1 Основные Типы 11
2.3.2 Неявное Преобразование Типа 11
2.3.3 Производные Типы 11
2.3.4 Тип void 12
2.3.5 Указатели 12
2.3.6 Вектора 12
2.3.7 Указатели и Вектора 12
2.3.8 Структуры 12
2.3.9 Эквивалентность типов 13
2.3.10 Ссылки 13
2.3.11 Регистры 13
2.4 Константы 14
2.4.1 Целые Константы 14
2.4.2 Константы с Плавающей Точкой 14
2.4.3 Символьные Константы 14
2.4.4 Строки 14
2.4.5 Ноль 14
2.4.6 Const 14
2.4.7 Перечисления 15
2.5 Экономия Пространства 15
2.5.1 Поля 15
2.5.2 Объединения 15
2.6 Упражнения 15
Глава 3 Выражения и Операторы 16
3.1 Настольный калькулятор 16
3.1.1 Программа синтаксического разбора 16
3.1.2 Функция ввода 17
3.1.3 Таблица имен 17
3.1.4 Обработка ошибок 18
3.1.5 Драйвер 18
3.1.6 Параметры командной строки 18
3.2 Краткая сводка операций 18
3.2.1 Круглые скобки 19
3.2.2 Порядок вычисления 19
3.2.3 Увеличение и уменьшение* 19
3.2.4 Побитовые логические операции 19
3.2.5 Преобразование типа 20
3.3 Сводка операторов 20
3.3.1 Проверки 21
3.3.2 Goto 21
3.4 Комментарии и Выравнивание 21
3.5 Упражнения 21
Глава 4 Функции и Файлы 22
4.1 Введение 22
4.2 Компоновка 22
4.3 Заголовочные Файлы 23
4.3.1 Один Заголовочный Файл 23
4.3.2 Множественные Заголовочные Файлы 24
4.3.3 Сокрытие Данных 24
4.4 Файлы как Модули 24
4.5 Как Создать Библиотеку 24
4.6 Функции 25
4.6.1 Описания Функций 25
4.6.2 Определения Функций 25
4.6.3 Передача Параметров 25
4.6.4 Возврат Значения 25
4.6.5 Векторные Параметры 25
4.6.6 Параметры по Умолчанию 26
4.6.7 Перегрузка Имен Функций 26
4.6.8 Незаданное Число Параметров 26
5.3.2 Законченный Класс 26
5.4 Друзья и Объединения 27
5.4.2 Уточнение* Имени Члена 27
5.4.3 Вложенные Классы 27
5.4.4 Статические Члены 27
5.4.5 Указатели на Члены 28
5.4.6 Структуры и Объединения 28
5.1 Знакомство и Краткий Обзор 28
5.2 Классы и Члены 28
5.2.1 Функции Члены 28
5.2.2 Классы 29
5.2.3 Ссылки на Себя 29
5.2.4 Инициализация 29
5.2.5 Очистка 29
5.2.6 Inline 30
5.3 Интерфейсы и Реализации 30
5.3.1 Альтернативные Реализации 30
5.3.2 Законченный Класс 30
5.4 Друзья и Объединения 31
5.4.1 Друзья 31
5.4.2 Уточнение* Имени Члена 31
5.4.3 Вложенные Классы 31
5.4.4 Статические Члены 32
5.4.5 Указатели на Члены 32
5.4.6 Структуры и Объединения 32
5.5 Конструкторы и Деструкторы 32
5.5.1 Предостережение 32
5.5.2 Статическая Память 32
5.5.3 Свободная Память 33
5.5.4 Объекты Класса как Члены 33
5.5.5 Вектора Объектов Класса 33
5.5.6 Небольшие Объекты 33
5.5.7 Предостережение 34
5.5.8 Объекты Переменного Размера 34
5.6 Упражнения 34
Глава 6 Перегрузка Операций 34
6.1 Введение 34
6.2 Функции Операции 35
6.2.1 Бинарные и Унарные Операции 35
6.2.2 Предопределенный Смысл Операций 35
6.2.3 Операции и Определяемые Пользователем Типы 35
6.3 Определяемое Пользователем Преобразование Типа 35
6.3.1 Конструкторы 35
6.3.2 Операции Преобразования 36
6.3.3 Неоднозначности 36
6.4 Константы 36
6.5 Большие Объекты 36
6.6 Присваивание и Инициализация 37
6.7 Индексирование 37
6.8 Вызов Функции 37
6.9 Класс String 37
6.10 Друзья и Члены 38
6.11 Предостережение 38
6.12 Упражнения 38
Глава 7 Производные Классы 39
7.1 Введение 39
7.2 Производные Классы 39
7.2.1 Построение Производного Класса 39
7.2.2 Функции Члены 39
7.2.3 Видимость 40
7.2.4 Указатели 40
7.2.5 Иерархия Типов 40
7.2.6 Конструкторы и Деструкторы 40
7.2.7 Поля Типа 40
7.2.8 Виртуальные Функции 41
7.3 Альтернативные Интерфейсы 41
7.3.1 Интерфейс 41
7.3.2 Реализация 41
7.3.3 Как Этим Пользоваться 41
7.3.4 Обработка Ошибок 42
7.3.5 Обобщенные Классы 42
7.3.6 Ограниченные Интерфейсы 42
7.4 Добавление к Классу 43
7.5 Неоднородные Списки 43
7.6 Законченная Программа 43
7.6.1 Администратор Экрана 43
7.6.2 Библиотека Фигур 43
7.6.3 Прикладная Программа 44
7.7 Свободная Память 44
7.8 Упражнения 44
Глава 8 Потоки 45
8.1 Введение 45
8.2 Вывод 45
8.2.1 Вывод Встроенных Типов 45
8.2.2 Вывод Определяемых Пользователем Типов 45
8.2.3 Некоторые Подробности Разработки 45
8.2.4 Форматированный Вывод 46
8.2.5 Виртуальная Функция Вывода 46
8.3 Файлы и Потоки 47
8.3.1 Инициализация Потоков Вывода 47
8.3.2 Закрытие Потоков Вывода 47
8.3.3 Открытие Файлов 47
8.3.4 Копирование Потоков 47
8.4 Ввод 47
8.4.1 Ввод Встроенных Типов 47
8.4.2 Состояния Потока 47
8.4.3 Ввод Типов, Определяемых Пользователем 48
8.4.4 Инициализация Потоков Ввода 48
8.5 Работа со Строками 48
8.6 Буферизация 48
8.7 Эффективность 48
8.8 Упражнения 48
Справочное Руководство: 1. Введение 49
2. Договоренности о Лексике 49
2.1 Комментарии 49
2.2 Идентификаторы (Имена) 49
2.3 Ключевые Слова 49
2.4 Константы 49
2.4.1 Целые Константы 49
2.4.2 Явно Заданные Длинные Константы 49
2.4.3 Символьные Константы 49
2.4.4 Константы с Плавающей Точкой 49
2.4.5 Перечислимые Константы 49
2.4.6 Описанные Константы 49
2.5 Строки 49
2.6 Харктеристики Аппаратного Обеспечения 49
3. Запись Синтаксиса 49
4. Имена и Типы 49
4.1 Область Видимости 50
4.2 Определения 50
4.3 Компоновка 50
4.4 Классы Памяти 50
4.5 Основные Типы 50
4.4 Производные Типы 50
6.1 Символы и Целые 50
6.2 Float и Double 50
6.3 Плавающие и Целые 51
6.4 Указатели и Целые 51
6.5 Unsigned 51
6.6 Арифметические Преобразования 51
6.7 Преобразования Указателей 51
6.8 Преобразования Ссылок 51
7. Выражения 51
7.1 Основные Выражения 51
7.2 Унарные Операции 52
7.2.1 Увеличение и Уменьшение 52
7.2.2 Sizeof 52
7.2.3 Явное Преобразование Типа 52
7.2.4 Свободная Память 52
7.3 Мультипликативные Операции 52
7.4 Аддитивные Операции 53
7.5 Операции Сдвига 53
7.6 Операции Отношения 53
7.7 Операции Равенства 53
7.8 Операция Побитовое И 53
7.9 Операция Побитовое Исключающее ИЛИ 53
7.10 Операция Побитовое Включающее ИЛИ 53
7.11 Операция Логическое И 53
7.12 Операция Логическое ИЛИ 53
7.13 Условная Операция 53
7.14 Операции Присваивания 53
7.15 Операция Запятая 53
7.16 Перегруженные Операции 54
7.16.1 Унарные Операции 54
7.16.2 Бинарные Операции 54
7.16.3 Особые Операции 54
8. Описания 54
8.1 Спецификаторы Класса Памяти 54
8.2 Спецификаторы Типа 54
8.3 Описатели 54
8.4 Смысл описателей 54
8.4.1 Примеры 55
8.4.2 Массивы, Указатели и Индексирование 55
8.5 Описания Классов 55
8.5.1 Статические Члены 56
8.5.2 Функции Члены 56
8.5.3 Производные Классы 56
8.5.4 Виртуальные Функции 56
8.5.5 Конструкторы 56
8.5.6 Преобразования 56
8.5.7 Деструкторы 56
8.5.8 Свободная Память 57
8.5.9 Видимость Имен Членов 57
8.5.11 Функция Операция 57
8.5.13 Объединения 57
8.5.14 Поля Бит 57
8.5.15 Вложенные Классы 57
8.6 Инициализация 57
8.6.1 Список Инициализаторов 57
8.6.2 Объекты Классов 58
8.6.3 Ссылки 58
8.6.4 Массивы Символов 58
8.7 Имена Типов 58
8.8 Typedef – Определение Типа 58
8.9 Перегруженные Имена Функций 58
8.10 Описания Перечислений 59
8.11 Описание Asm 59
9.1 Оператор Выражение 59
9.2 Составной Оператор, или Блок 59
9.3 Условный Оператор 59
9.4 Оператор While 59
9.5 Оператор Do 59
9.6 Оператор For 59
9.7 Оператор Switch 59
9.8 Оператор Break 59
9.9 Оператор Continue 59
9.10 Оператор Return 59
9.11 Оператор Goto 59
9.12 Помеченные Операторы 60
9.13 Пустой Оператор 60
9.14 Оператор Описание 60
11. Командные Строки Компилятора 60
11.1 Замена Лексем 60
11.2 Включение Файлов 60
11.3 Условная Компиляция 60
11.4 Управление Строкой 61
12. Константные Выражения 61
14.1 Выражения 61
14.2 Описания 61
14.3 Операторы 61
14.4 Внешние определения 61
14.5 Препроцессор 61
15. Отличия от C: 15.1 Расширения 62
15.2 Сводка Несовместимостей 62
15.3 Анахронизмы 62
Илон Маск рекомендует:  XML Paser Functions при работе с шаблонами.

Лучшие электронные книги в формате fb2
Наш портал – это библиотека интересных электронных книг разнообразных жанров. Здесь вы найдете произведения как российских, так и зарубежных писателей. Все электронные книги, представленные на нашем сайте, можно скачать бесплатно. Наша библиотека содержит только лучшие бесплатные электронные книги, ведь каждую электронную книгу мы тщательно изучаем перед добавлением в базу. Мы выбираем интереснейшие произведения в удобном формате fb2, все они достойны вашего внимания. Чтение электронных книг наверняка принесет вам удовольствие. Всё что, что вам нужно сделать, — найти и скачать книгу, которая понравится вам по заголовку и описанию.
Библиотека fb2-электронных книг – полезнейшее изобретение человечества. Для того чтобы, читать книгу, вам нужно просто загрузить ее с нашего сайта. Вы можете наслаждаться чтением, не совершая лишние траты. Электронная книга, в отличие от бумажной, обладает множеством преимуществ. Вы экономите время и силы, не совершая утомительные походы по магазинам. Вам также не нужно обременять себя ношением тяжеловесной макулатуры. Скачать и читать электронную книгу легко и просто . Мы позаботились о том, чтобы вам всегда было что почитать. Электронная книга fb2 принесет вам море положительных эмоций: она способна поделиться с вами мудростью, поднять настроение или просто скрасить досуг.

Операции над множествами

Пересечение множеств

Рассмотрим два множества: множество друзей Джона и множество друзей Майкла.

Друзья Джона = < Том,
Фред,
Макс,
Джорж >
Друзья Майкла = < Лео,
Том,
Фред,
Эван >

Видим, что Том и Фред одновременно являются друзьями Джона и Майкла.

Говоря на языке множеств, элементы Том и Фред принадлежат как множеству друзей Джона, так и множеству друзей Майкла.

Зададим новое множество с названием «Общие друзья Джона и Майкла» и в качестве элементов добавим в него Тома и Фреда :

Общие друзья Джона и Майкла =

В данном случае множество «Общие друзья Джона и Майкла» является пересечением множеств друзей Джона и Майкла.

Пересечением двух (или нескольких) исходных множеств называется множество, которое состоит из элементов, принадлежащих каждому из исходных множеств.

В нашем случае элементы Том и Фред принадлежат каждому из исходных множеств, а именно: множеству друзей Джона и множеству друзей Майкла.

Обозначим множество друзей Джона через букву A , множество друзей Майкла — через букву B , а множество общих друзей Джона и Майкла обозначим через букву C :

Тогда пересечением множеств A и B будет множество C и записываться следующим образом:

Символ означает пересечение.

Говоря о множестве, обычно подразумевают элементы, принадлежащие этому множеству. Символ пересечения ∩ читается, как союз И. Тогда выражение A ∩ B = C можно прочитать следующим образом:

«Элементы, принадлежащие множеству A И множеству B, есть элементы, принадлежащие множеству C».

«Друзья, одновременно принадлежащие Джону И Майклу, есть общие друзья Джона и Майкла».

Теперь представим, что у Джона и Майкла нет общих друзей. Для удобства, как и прежде обозначим множество друзей Джона через букву A , а множество друзей Майкла через букву B

В этом случае говорят, что исходные множества не имеют общих элементов и пересечением таких множеств является пустое множество. Пустое множество обозначается символом ∅

Пример 2. Рассмотрим два множества: множество A , состоящее из чисел 1, 2, 3, 5, 7 и множество B, состоящее из чисел 1, 2, 3, 4, 6, 12, 18

Зададим новое множество C и добавим в него элементы, которые одновременно принадлежат множеству A и множеству B

Множество С является пересечением множеств A и B , поскольку элементы множества C одновременно принадлежат множеству A и множеству B

Пример 3. Рассмотрим два множества: множество A, состоящее из чисел 1, 5, 7, 9 и множество B , состоящее из чисел 1, 4, 5, 7

Зададим новое множество C и добавим в него элементы, которые одновременно принадлежат множеству A и множеству B

Множество С является пересечением множеств A и B , поскольку элементы множества C одновременно принадлежат множеству A и множеству B.

Пример 4. Найти пересечение следующих множеств:

Пересечением множеств A , B и C будет множество, состоящее из элементов, принадлежащих каждому из множеств A , B и C . Этими элементами являются числа 3 и 9.

Зададим новое множество D и добавим в него элементы 3 и 9. Затем с помощью символа пересечения запишем, что пересечением множеств A, B и C является множество D

Чтобы найти пересечение, вовсе необязательно задавать множества с помощью букв. Если элементов мало, то множество можно задать прямым перечислением элементов.

К примеру, пусть первое множество состоит из элементов 1, 3, 5, а второе из элементов 2, 3, 5 . Пересечением в данном случае является множество, состоящее из элементов 3 и 5 . Чтобы записать пересечение, можно воспользоваться прямым перечислением:

Числовые промежутки, которые мы рассмотрели в предыдущих уроках, тоже являются множествами. Элементами таких множеств являются числа, входящие в числовой промежуток.

Например, отрезок [2; 6] можно понимать, как множество всех чисел от 2 до 6. Для наглядности можно перечислить все целые числа, принадлежащие данному отрезку:

Следует иметь ввиду, что мы перечислили только целые числа. Отрезку [2; 6] также принадлежат и другие числа, не являющиеся целыми, например, десятичные дроби. Десятичные дроби располагаются между целыми числами, но их количество настолько велико, что перечислить их не представляется возможным.

Еще пример. Интервал (2; 6) можно понимать, как множество всех чисел от 2 до 6, кроме чисел 2 и 6. Ранее мы говорили, что интервал это такой числовой промежуток, границы которого не принадлежат ему. Для наглядности можно перечислить все целые числа, принадлежащие интервалу (2; 6) :

Поскольку числовые промежутки являются множествами, то мы можем находить пересечения между различными числовыми промежутками. Рассмотрим несколько примеров.

Пример 5. Даны два числовых промежутка: [2; 6] и [4; 8] . Найти их пересечение.

Оба промежутка обрамлены квадратными скобками, значит их границы принадлежат им.

Для наглядности перечислим все целые числа, принадлежащие промежуткам [2; 6] и [4; 8] :

Видно, что числа 4, 5, 6 принадлежат как первому промежутку [2; 6] , так и второму [4; 8] .

Тогда пересечением числовых промежутков [2; 6] и [4; 8] будет числовой промежуток [4; 6]

Изобразим промежутки [2; 6] и [4; 8] на координатной прямой. На верхней области отметим числовой промежуток [2; 6] , на нижней — промежуток [4; 8]

Видно, что числа, принадлежащие промежутку [4; 6] , принадлежат как промежутку [2; 6] , так и промежутку [4; 8] . Можно также заметить, что штрихи, входящие в промежутки [2; 6] и [4; 8] пересекаются в промежутке [4; 6] . В такой ситуации, когда перед глазами есть координатная прямая, понятие пересечения множеств можно понимать в прямом смысле, что очень удобно.

Пример 6. Найти пересечение числовых промежутков [−2; 3] и [4; 7]

Оба промежутка обрамлены квадратными скобками, значит их границы принадлежат им.

Для наглядности перечислим все целые числа, принадлежащие промежуткам [−2; 3] и [4; 7] :

−2, −1, 0, 1, 2, 3 ∈ [−2; 3]

Видно, что числовые промежутки [−2; 3] и [4; 7] не имеют общих чисел. Поэтому их пересечением будет пустое множество:

Если изобразить числовые промежутки [−2; 3] и [4; 7] на координатной прямой, то можно увидеть, что они нигде не пересекаются:

Пример 7. Дано множество из одного элемента < 2 >. Найти его пересечение с промежутком (−3; 4)

Множество, состоящее из одного элемента < 2 >, на координатной прямой изображается в виде закрашенного кружка, а числовой промежуток (−3; 4) это интервал, границы которого не принадлежат ему. Значит границы −3 и 4 будут изображаться в виде пустых кружков:

Пересечением множества < 2 >и числового промежутка (−3; 4) будет множество, состоящее из одного элемента < 2 >, поскольку элемент 2 принадлежит как множеству < 2 >, так и числовому промежутку (−3; 4)

На самом деле мы уже занимались пересечением числовых промежутков, когда решали системы линейных неравенств. Вспомните, как мы решали их. Сначала находили множество решений первого неравенства, затем множество решений второго. Затем находили множество решений, которые удовлетворяют обоим неравенствам.

По сути, множество решений, удовлетворяющих обоим неравенствам, является пересечением множеств решений первого и второго неравенства. Роль этих множеств берут на себя числовые промежутки.

Например, чтобы решить систему неравенств , мы должны сначала найти множества решений каждого неравенства, затем найти пересечение этих множеств.

В данном примере решением первого неравенства x ≥ 3 является множество всех чисел, которые больше 3 (включая само число 3). Иначе говоря, решением неравенства является числовой промежуток [3; +∞)

Решением второго неравенства x ≤ 6 является множество всех чисел, которые меньше 6 (включая само число 6). Иначе говоря, решением неравенства является числовой промежуток (−∞; 6]

А общим решением системы будет пересечение множеств решений первого и второго неравенства, то есть пересечение числовых промежутков [3; +∞) и (−∞; 6]

Если мы изобразим множество решений системы на координатной прямой, то увидим, что эти решения принадлежат промежутку [3; 6] , который в свою очередь является пересечением промежутков [3; +∞) и (−∞; 6]

Поэтому в качестве ответа мы указывали, что значения переменной x принадлежат числовому промежутку [3; 6], то есть пересечению множеств решений первого и второго неравенства

Пример 2. Решить неравенство

Все неравенства, входящие в систему уже решены. Нужно только указать те решения, которые являются общими для всех неравенств.

Решением первого неравенства является числовой промежуток (−∞; −1) .

Решением второго неравенства является числовой промежуток (−∞; −5) .

Решением третьего неравенства является числовой промежуток (−∞; 4) .

Решением системы будет пересечение числовых промежутков (−∞; −1), (−∞; −5) и (−∞; 4) . В данном случае этим пересечением является промежуток (−∞; −5) .

На рисунке представлены числовые промежутки и неравенства, которыми эти числовые промежутки заданы. Видно, что числа, принадлежащие промежутку (−∞; −5) , одновременно принадлежат всем исходным промежуткам.


Запишем ответ к системе с помощью числового промежутка:

Пример 3. Решить неравенство

Решением первого неравенства y > 7 является числовой промежуток (7; +∞) .

Решением второго неравенства y является числовой промежуток (−∞; 4) .

Решением системы будет пересечение числовых промежутков (7; +∞) и (−∞; 4) .

В данном случае пересечением числовых промежутков (7; +∞) и (−∞; 4) является пустое множество, поскольку эти числовые промежутки не имеют общих элементов:

Если изобразить числовые промежутки (7; +∞) и (−∞; 4) на координатной прямой, то можно увидеть, что они нигде не пересекаются:

Объединение множеств

Объединением двух (или нескольких) исходных множеств называют множество, которое состоит из элементов, принадлежащих хотя бы одному из исходных множеств.

На практике объединение множеств состоит из всех элементов, принадлежащих исходным множествам. Поэтому и говорят, что элементы такого множества принадлежат хотя бы одному из исходных множеств.

Рассмотрим множество A с элементами 1, 2, 3 и множество B с элементами 4, 5, 6.

Зададим новое множество C и добавим в него все элементы множества A и все элементы множества B

В данном случае объединением множеств A и B является множество C и обозначается следующим образом:

Символ ∪ означает объединение и заменяет собой союз ИЛИ. Тогда выражение AB = C можно прочитать так:

Элементы, принадлежащие множеству A ИЛИ множеству B, есть элементы, принадлежащие множеству C.

В определении объединения сказано, что элементы такого множества принадлежат хотя бы одному из исходных множеств. Данную фразу можно понимать в прямом смысле.

Вернёмся к созданному нами множеству C , куда входят все элементы множеств A и B . Возьмём для примера из этого множества элемент 5. Что можно про него сказать?

Если 5 является элементом множества C , а множество С является объединением множеств A и B , то можно с уверенностью заявить, что элемент 5 принадлежит хотя бы одному из множеств A и B . Так оно и есть:

Возьмем ещё один элемент из множества С , например, элемент 2. Что можно про него сказать?

Если 2 является элементом множества C , а множество С является объединением множеств A и B , то можно с уверенностью заявить, что элемент 2 принадлежит хотя бы одному из множеств A и B . Так оно и есть:

Если мы захотим объединить два или более множества и вдруг обнаружим, что один или несколько элементов принадлежат каждому из этих множеств, то в объединение повторяющиеся элементы будут входить только один раз.

Например, рассмотрим множество A с элементами 1, 2, 3, 4 и множество B с элементами 2, 4, 5, 6.

Видим, что элементы 2 и 4 одновременно принадлежат и множеству A , и множеству B . Если мы захотим объединить множества A и B , то новое множество C будет содержать элементы 2 и 4 только один раз. Выглядеть это будет так:

Чтобы при объединении не допустить ошибок, обычно поступают так: сначала в новое множество добавляют все элементы первого множества, затем добавляют элементы второго множества, которые не принадлежат первому множеству. Попробуем сделать такое объединение с множествами A и B .

Итак, у нас имеются следующие исходные множества:

Зададим новое множество С и добавим в него все элементы множества A

Теперь добавим элементы из множества B , которые не принадлежат множеству A . Множеству A не принадлежат элементы 5 и 6 . Их и добавим во множество C

Пример 2. Друзьями Джона являются Том, Фред, Макс и Джордж. А друзьями Майкла являются Лео, Том, Фред и Эван. Найти объединение множеств друзей Джона и Майкла.

Для начала зададим два множества: множество друзей Джона и множество друзей Майкла.

Друзья Джона = < Том,
Фред,
Макс,
Джорж >
Друзья Майкла = < Лео,
Том,
Фред,
Эван >

Зададим новое множество с названием «Все друзья Джона и Майкла» и добавим в него всех друзей Джона и Майкла.

Заметим, что Том и Фред одновременно являются друзьями Джона и Майкла, поэтому мы добавим их в новое множество только один раз, поскольку сразу двух Томов и двух Фредов не бывает.

Все друзья Джона и Майкла =

В данном случае множество всех друзей Джона и Майкла является объединением множеств друзей Джона и Майкла.

Друзья Джона ∪ Друзья Майкла = Все друзья Джона и Майкла

Пример 3. Даны два числовых промежутка: [−7; 0] и [−3; 5] . Найти их объединение.

Оба промежутка обрамлены квадратными скобками, значит их границы принадлежат им.

Для наглядности перечислим все целые числа, принадлежащие этим промежуткам:

−7, −6, −5, −4, −3,−2, −1 , 0 ∈ [−7; 0]

−3,−2, −1 , 0, 1, 2, 3, 4, 5 ∈ [−3; 5]

Объединением числовых промежутков [−7; 0] и [−3; 5] будет числовой промежуток [−7; 5] , который содержит все числа промежутка [−7; 0] и [−3; 5] без повторов некоторых из чисел

−7, −6, −5, −4, −3,−2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 ∈ [−7; 5]

Обратите внимание, что числа −3,−2, −1 принадлежали и первому промежутку и второму. Но поскольку в объединение допускается включать такие элементы только один раз, мы включили их единоразово.

Значит объединением числовых промежутков [−7; 0] и [−3; 5] будет числовой промежуток [−7; 5]

Изобразим на координатной прямой промежутки [−7; 0] и [−3; 5] . На верхней области отметим числовой промежуток [−7; 0] , на нижней — промежуток [−3; 5]

Ранее мы выяснили, что промежуток [−7; 5] является объединением промежутков [−7; 0] и [−3; 5] . Здесь полезно вспомнить про определение объединения множеств, которое было приведено в самом начале. Объединение трактуется, как множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из исходных множеств.

Действительно, если взять любое число из промежутка [−7; 5] , то окажется, что оно принадлежит хотя бы одному из промежутков: либо промежутку [−7; 0] либо промежутку [−3; 5] .

Возьмём из промежутка [−7; 5] любое число, например число 2 . Поскольку промежуток [−7; 5] является объединением промежутков [−7; 0] и [−3; 5] , то число 2 будет принадлежать хотя бы одному из этих промежутков. В данном случае число 2 принадлежит промежутку [−3; 5]

Возьмём ещё какое-нибудь число. Например, число −4 . Это число будет принадлежать хотя бы одному из промежутков: [−7; 0] или [−3; 5] . В данном случае оно принадлежит промежутку [−7; 0]

Возьмём ещё какое-нибудь число. Например, число −2 . Оно принадлежит как промежутку [−7; 0] , так и промежутку [−3; 5] . Но на координатной прямой оно указывается только один раз, поскольку в одной точке сразу два числа −2 не бывает.

Не каждое объединение числовых промежутков является числовым промежутком. Например, попробуем найти объединение числовых промежутков [−2 ; −1] и [4 ; 7].

Идея остаётся та же самая — объединением числовых промежутков [−2 ;−1] и [4 ; 7] будет множество, состоящее из элементов, принадлежащих хотя бы одному из промежутков: [−2; −1] или [4; 7] . Но это множество не будет являться числовым промежутком. Для наглядности перечислим все целые числа, принадлежащие этому объединению:

Получили множество < −2, −1, 4, 5, 6, 7 >. Это множество не является числовым промежутком по причине того, что числа, располагающиеся между −1 и 4 , не вошли в полученное множество

Числовой промежуток должен содержать все числа от левой границы до правой. Если одно из чисел отсутствует, то числовой промежуток теряет смысл. Допустим, имеется линейка длиной 15 см

Эта линейка является числовым промежутком [0; 15], поскольку содержит все числа в промежутке от 0 до 15 включительно. Теперь представим, что на линейке после числа 9 сразу следует число 12.

Эта линейка не является линейкой в 15 см, и её нежелательно использовать для измерения. Также, её нельзя назвать числовым промежутком [0; 15] , поскольку она не содержит все числа, которые должна была содержать.

Решение неравенств, содержащих знак ≠

Некоторые неравенства содержат знак (не равно). Например, 2x ≠ 8 . Чтобы решить такое неравенство, нужно найти множество значений переменной x , при которых левая часть не равна правой части.

Решим неравенство 2x ≠ 8 . Разделим обе части данного неравенства на 2, тогда получим:

Получили равносильное неравенство x ≠ 4 . Решением этого неравенства является множество всех чисел, не равных 4. То есть если мы подставим в неравенство x ≠ 4 любое число, которое не равно 4, то получим верное неравенство.

Подставим, например, число 5

5 ≠ 4 — верное неравенство, поскольку 5 не равно 4

7 ≠ 4 — верное неравенство, поскольку 7 не равно 4

И поскольку неравенство x ≠ 4 равносильно исходному неравенству 2x ≠ 8 , то решения неравенства x ≠ 4 будут подходить и к неравенству 2x ≠ 8 . Подставим те же тестовые значения 5 и 7 в неравенство 2x ≠ 8 .

Изобразим множество решений неравенства x ≠ 4 на координатной прямой. Для этого выколем точку 4 на координатной прямой, а всю оставшуюся область с обеих сторон выделим штрихами:

Теперь запишем ответ в виде числового промежутка. Для этого воспользуемся объединением множеств. Любое число, являющееся решением неравенства 2x ≠ 8 будет принадлежать либо промежутку (−∞; 4) либо промежутку (4; +∞). Так и записываем, что значения переменной x принадлежат (−∞; 4) или (4; +∞) . Напомним, что для слова «или» используется символ ∪

В этом выражении говорится, что значения, принимаемые переменной x , принадлежат промежутку (−∞; 4) или промежутку (4; +∞).

Неравенства, содержащие знак , также можно решать, как обычные уравнения. Для этого знак заменяют на знак = . Тогда получится обычное уравнение. В конце решения найденное значение переменной x нужно исключить из множества решений.

Решим предыдущее неравенство 2x ≠ 8 , как обычное уравнение. Заменим знак ≠ на знак равенства = , получим уравнение 2x = 8 . Разделим обе части данного уравнения на 2 , получим x = 4 .

Видим, что при x , равном 4, уравнение обращается в верное числовое равенство. При других значениях равенства соблюдаться не будет. Эти другие значения нас и интересуют. А для этого достаточно исключить найденную четвёрку из множества решений.

Пример 2. Решить неравенство 3x − 5 ≠ 1 − 2x

Перенесем −2x из правой части в левую часть, изменив знак, а −5 из левой части перенесём в правую часть, опять же изменив знак:

Приведем подобные слагаемые в обеих частях:

Разделим обе части получившегося неравенства на 5


Решением неравенства x ≠ 1,2 является множество всех чисел, не равных 1,2 .

Изобразим множество решений неравенства x ≠ 1,2 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:

В этом выражении говорится, что значения, принимаемые переменной x принадлежат промежутку (−∞; 1,2) или промежутку (1,2; +∞)

Решение совокупностей неравенств

Рассмотрим ещё один вид неравенств, который называется совокупностью неравенств. Такой тип неравенств, возможно, вы будете решать редко, но для общего развития полезно изучить и их.

Совокупность неравенств очень похожа на систему неравенств. Различие в том, что в системе неравенств нужно найти множество решений, удовлетворяющих каждому неравенству, образующему эту систему.

А в случае с совокупностью неравенств, нужно найти множество решений, удовлетворяющих хотя бы одному неравенству, образующему эту совокупность.

Совокупность неравенств обозначается квадратной скобкой. Например, следующая запись из двух неравенств является совокупностью:

Решим данную совокупность. Сначала нужно решить каждое неравенство по отдельности.

Решением первого неравенства x ≥ 3 является числовой промежуток [3; +∞) . Решением второго неравенства x ≤ 6 является числовой промежуток (−∞; 6] .

Множество значений x , при которых верно хотя бы одно из неравенств, будут принадлежать промежутку [3; +∞) или промежутку (−∞; 6] . Так и записываем:

В этом выражении говорится, что переменная x , входящая в
совокупность принимает все значения, принадлежащие промежутку [3; +∞) или промежутку (−∞; 6] . А это то, что нам нужно. Ведь решить совокупность означает найти множество решений, удовлетворяющих хотя бы одному неравенству, образующему эту совокупность. А любое число из промежутка [3; +∞) или промежутка (−∞; 6] будет удовлетворять хотя бы одному неравенству.

Например, число 9 из промежутка [3; +∞) удовлетворяет первому неравенству x ≥ 3. А число −7 из промежутка (−∞; 6] удовлетворяет второму неравенству x ≤ 6.

Посмотрите внимательно на выражение x ∈ [3; +∞) ∪ (−∞; 6], а именно на его правую часть. Ведь выражение [3; +∞) ∪ (−∞; 6] представляет собой объединение числовых промежутков [3; +∞) и (−∞; 6] . Точнее, объединение множеств решений первого и второго неравенства.

Стало быть, решением совокупности неравенств является объединение множеств решений первого и второго неравенства.

Иначе говоря, решением совокупности будет объединение числовых промежутков [3; +∞) и (−∞; 6]

Объединением числовых промежутков [3; +∞) и (−∞; 6] является промежуток (−∞; +∞) . Точнее, объединением числовых промежутков [3; +∞) и (−∞; 6] является вся координатная прямая. А вся координатная прямая это все числа, которые только могут быть

Ответ можно оставить таким, каким мы его записали ранее:

либо заменить на более короткий:

Возьмём любое число из полученного объединения, и проверим удовлетворяет ли оно хотя бы одному неравенству.

Возьмем для примера число 8. Оно удовлетворяет первому неравенству x ≥ 3.

Возьмем еще какое-нибудь число, например, число 1. Оно удовлетворяет второму неравенству x ≤ 6

Возьмем еще какое-нибудь число, например, число 5 . Оно удовлетворяет и первому неравенству x ≥ 3 и второму x ≤ 6

Пример 2. Решить совокупность неравенств

Чтобы решить эту совокупность, нужно найти множество решений, которые удовлетворяют хотя бы одному неравенству, образующему эту совокупность.

Для начала найдём множество решений первого неравенства x . Этим множеством является числовой промежуток (−∞; −0,25) .

Множеством решений второго неравенства x ≥ −7 является числовой промежуток [−7; +∞).

Решением совокупности неравенств будет объединение множеств решений первого и второго неравенства.

Иначе говоря, решением совокупности будет объединение числовых промежутков (−∞; −0,25) и [−7; +∞)

Объединением числовых промежутков (−∞; −0,25) и [−7; +∞) является является вся координатная прямая. А вся координатная прямая это все числа, которые только могут быть

Ответ можно оставить таким, каким мы его записали ранее:

либо заменить на более короткий:

Пример 3. Решить совокупность неравенств

Решим каждое неравенство по отдельности:

Множеством решений первого неравенства x является числовой промежуток (−∞; −3) .

Множеством решений второго неравенства x ≤ 0 является числовой промежуток (−∞; 0] .

Решением совокупности неравенств будет объединение множеств решений первого и второго неравенства.

Иначе говоря, решением совокупности будет объединение числовых промежутков (−∞; −3) и (−∞; 0]

Объединением числовых промежутков (−∞; −3) и (−∞; 0] является числовой промежуток (−∞; 0]

Ответ можно оставить таким, каким мы его записали ранее:

5 игр, которые научат детей дружить, а не конкурировать

Большинство игр для детей основываются на элементах состязания. Для ребенка победа становится очень важной, проигрывать он не умеет, и поражение воспринимается им как настоящая трагедия. Поэтому неудивительно, что такие игры часто приводят к ссорам между детьми. К тому же, частые поражения в игре формируют у ребенка низкую самооценку. Но есть игры, которые могут подружить детей, научить работать в команде и стремиться к успеху вместе.

Объединяющие игры покажут ребенку, что есть в жизни что-то, чего он не сможет сделать в одиночку, а вот вместе с друзьями ему это будет по силам. Это вовсе не означает, что он не самостоятелен, но когда он один, силы его ограничены. Играя в объединяющие игры, дети учатся строить дружеские отношения, считаться с мнением друг друга, использовать преимущества каждого для достижения успеха в общем деле.

Первое время для объединяющих игр детям понадобится взрослый-ведущий, который объяснит не только правила, но и важность той или иной игры. Со временем вы заметите, что ссоры прекратились, дети стали терпимее друг к другу и стали чаще играть вместе.

БУРЯ

Цель: снижение негативных эмоций между участниками.

Эта игра помогает детям слотиться, почувствовать то, что чувствуют другие участники; вызывает ощущение, как после бури, которая прошла, и никто не пострадал.

Итак, все собрались, можно начинать. Потрите ладони, извлекая звук, похожий на начинающийся дождь. Участники вслед за вами должны повторять это движение.

Затем щелкаете пальцами, демонстрируя, что дождь усиливается. Участники повторяют за вами.

Дождь льет все сильне и сильнее – похлопываете ладонями по коленям. К нему присоединяется гром, который создается потопыванием ног.

И, наконец, наступает пик бури – все вместе сильно топают ногами.

После этого буря начинает стихать, и нужно каждое действие проделать в обратном порядке: топот ног, похлопыванием ладонями по коленям, щелканьем пальцев и, в завершение, потирание рук.

Сообщите, что буря прошла, и вы можете продолжить играть.

ЦЕНТР КРУГА

Цель: объединение, повышение уровня энергии.

Встаньте все в круг. Пусть каждый поднимет правую руку и протянет указательный палец вверх. Затем, закрыв глаза, опускайте руки, стараются соединиться указательными пальцами в центре круга. Открыв глаза, проверьте, где ваши пальцы. Игра продолжается до тех пор, пока всем пальцам не удастся соединиться в одной точке.

ЗНАКОМСТВО

Цель: знакомство участников между собой, расслабление, объединение, преодоление отчуждения между участниками

Пусть дети поделятся на пары. Каждый участник рассказывает о себе, отвечая на наводящие вопросы своего напарника. Оба должны найти что-то общее между собой, после чего делятся со всеми тем общим, что обнаружили в своей паре. Например: «Мы познакомились и обнаружили, что оба (обе) любим смотреть мультфильмы».

РАДУГА

Цель: объединение, со-настройка друг с другом, повышение уровня энергии

Каждый участник загадывает какой-либо цвет радуги. По вашей команде все выкрикивают название задуманного цвета. Вы даете команду снова и снова, пока все дети не приходят к какому-то одному цвету. Задача участников — прислушиваться к тому, что выкрикивают другие, и стремиться прийти к единому ответу.

ПЕРЕДАЙ РИТМ

Цель: объединение, концентрация внимания; подходит для начала или завершения игр.

Сядьте в тесный круг на полу или на стульях, возьмите друг друга за руки. Начните игру, пожав руку своего соседа справа. Когда он почувствует пожатие, то должен передать его своему сосуду справа. Так рукопожатие проходит слева направо по кругу, пока не вернется к вам. В первый раз ведите игру медленно и спокойно, с каждым раундом ускоряя темп. Можете предложить участникам играть с закрытыми глазами. В заключение участники сильно сжимают руки обоим своим соседям, после чего открываю глаза.

Чтобы побудить детей к еще большей концентрации, можете усложнять со временем игру «многократными импульсами»: отправив рукопожатие, вслед за ним пошлите второе; одновременно отправляйте по рукопожатию в оба направления.

ПОДАРОК

Цель: закрепить объединение, положительное завершение игр, рефлексия

Предложите детям подумать над тем, что каждый из них может подарить команде, чтобы отношения между участниками стали более сплоченными, а взаимодействие – еще эффективнее. Покажите пример, выступив первым: «Я дарю вам уважение и терпение». Затем пусть каждый из участников сделает свой «подарок» команде.

Нахождение пересечения и объединения числовых множеств, что такое пересечение множеств

Решение некоторых математических задач предполагает нахождение пересечения и объединения числовых множеств. В статье ниже рассмотрим эти действия подробно, в том числе, на конкретных примерах. Полученный навык будет применим для решения неравенств с одной переменной и систем неравенств.

Простейшие случаи

Когда мы говорим о простейших случаях в рассматриваемой теме, то имеем в виду нахождение пересечения и объединения числовых множеств, представляющих из себя набор отдельных чисел. В подобных случаях будет достаточно использования определения пересечения и объединения множеств.

Объединение двух множеств – это множество, в котором каждый элемент является элементом одного из исходных множеств.


Пересечение множеств – это множество, которое состоит из всех общих элементов исходных множеств.

Из указанных определений логически следуют следующие правила:

— чтобы составить объединение двух числовых множеств, имеющих конечное количество элементов, необходимо записать все элементы одного множества и дописать к ним недостающие элементы из второго множества;

— чтобы составить пересечение двух числовых множеств, необходимо элементы первого множества один за другим проверить на принадлежность второму множеству. Те из них, которые окажутся принадлежащими обоим множествам и будут составлять пересечение.

Полученное согласно первому правилу множество будет включать в себя все элементы, принадлежащие хотя бы одному из исходных множеств, т.е. станет объединением этих множеств по определению.

Множество, полученное согласно второму правилу, будет включать в себя все общие элементы исходных множеств, т.е. станет пересечением исходных множеств.

Рассмотрим применение полученных правил на практических примерах.

Исходные данные: числовые множества А = < 3 , 5 , 7 , 12 >и В = < 2 , 5 , 8 , 11 , 12 , 13 >. Необходимо найти объединение и пересечение исходных множеств.

Решение

  1. Определим объединение исходных множеств. Запишем все элементы, к примеру, множества А : 3 , 5 , 7 , 12 . Добавим к ним недостающие элементы множества В : 2 , 8 , 11 и 13 . В конечном итоге имеем числовое множество: < 3 , 5 , 7 , 12 , 2 , 8 , 11 , 13 >. Упорядочим элементы полученного множества и получим искомое объединение: А ∪ B = < 2 , 3 , 5 , 7 , 8 , 11 , 12 , 13 >.
  2. Определим пересечение исходных множеств. Согласно правилу, переберем один за другим все элементы первого множества A и проверим, входят ли они во множество B . Рассмотрим первый элемент — число 3 : он не принадлежит множеству B , а значит не будет являться элементом искомого пересечения. Проверим второй элемент множества A , т.е. число 5 : оно принадлежит множеству B , а значит станет первым элементом искомого пересечения. Третий элемент множества A – число 7 . Оно не является элементом множества B , а, следовательно, не является элементом пересечения. Рассмотрим последний элемент множества A : число 1 . Оно также принадлежит и множеству B , и соответственно станет одним из элементов пересечения. Таким образом, пересечение исходных множеств – множество, состоящее из двух элементов: 5 и 12 , т.е. А ∩ В = < 5 , 12 >.

Ответ: объединение исходных множеств – А ∪ B = < 2 , 3 , 5 , 7 , 8 , 11 , 12 , 13 >; пересечение исходных множеств — А ∩ В = < 5 , 12 >.

Все вышесказанное относится к работе с двумя множествами. Что же касается нахождения пересечения и объединения трех и более множеств, то решение этой задачи возможно свести к последовательному нахождению пересечения и объединения двух множеств. Например, чтобы определить пересечение трех множеств A , В и С , возможно сначала определить пересечение A и B , а затем найти пересечение полученного результата с множеством C . На примере это выглядит так: пусть будут заданы числовые множества: А = < 3 , 9 , 4 , 3 , 5 , 21 >, В = < 2 , 7 , 9 , 21 >и С = < 7 , 9 , 1 , 3 >. Пересечение первых двух множеств составит: А ∩ В = < 9 , 21 >, а пересечение полученного множества с множеством А ∩ В = < 9 , 21 >. В итоге: А ∩ В ∩ С = < 9 >.

Однако на практике, чтобы найти объединение и пересечение трех и более простейших числовых множеств, которые состоят из конечного количества отдельных чисел, удобнее применять правила, аналогичные указанным выше.

Т.е., чтобы найти объединение трех и более множеств указанного типа, необходимо к элементам первого множества добавить недостающие элементы второго множества, затем – третьего и т.д. Для пояснения возьмем числовые множества: А = < 1 , 2 >, В = < 2 , 3 >, С = < 1 , 3 , 4 , 5 >. К элементам первого множества A добавится число 3 из множества B , а затем – недостающие числа 4 и 5 множества C . Таким образом, объединение исходных множеств: А ∪ В ∪ С = < 1 , 2 , 3 , 4 , 5 >.

Что же касается решения задачи на нахождение пересечения трех и более числовых множеств, которые состоят из конечного количества отдельных чисел, необходимо одно за другим перебрать числа первого множества и поэтапно проверять, принадлежит ли рассматриваемое число каждому из оставшихся множеств. Для пояснения рассмотрим числовые множества:

Найдем пересечение исходных множеств. Очевидно, что множество B имеет меньше всего элементов, поэтому именно их мы будем проверять, определяя, входят ли они в остальные множества. Число 1 множества B является элементом и прочих множеств, а значит является первым элементом искомого пересечения. Второе число множества B – число 0 – не является элементом множества A , а, следовательно, не станет элементом пересечения. Продолжаем проверку: число 2 множества B является элементом прочих множеств и становится еще одной частью пересечения. Наконец, последний элемент множества B – число 12 – не является элементом множества D и не является элементом пересечения. Таким образом, получаем: A ∩ B ∩ C ∩ D = < 1 , 2 >.

Координатная прямая и числовые промежутки как объединение их частей

Отметим на координатной прямой произвольную точку, например, с координатой — 5 , 4 . Указанная точка разобьет координатную прямую на два числовых промежутка – два открытых луча (-∞, -5,4) и (-5,4, +∞) и собственно точку. Нетрудно увидеть, что в соответствии с определением объединения множеств любое действительное число будет принадлежать объединению ( — ∞ , — 5 , 4 ) ∪ < - 5 , 4 >∪ ( — 5 , 4 , + ∞ ) . Т.е. множество всех действительных чисел R = ( — ∞ ; + ∞ ) возможно представить в виде полученного выше объединения. И наоборот, полученное объединение будет являться множеством всех действительных чисел.

Отметим, что заданную точку возможно присоединить к любому из открытых лучей, тогда он станет простым числовым лучом ( — ∞ , — 5 , 4 ] или [ — 5 , 4 , + ∞ ) . При этом множество R будет описываться следующими объединениями: ( — ∞ , — 5 , 4 ] ∪ ( — 5 , 4 , + ∞ ) или ( — ∞ , — 5 , 4 ) ∪ [ — 5 , 4 , + ∞ ) . .

Подобные рассуждения действительны не только относительно точки координатной прямой, но и относительно точки на любом числовом промежутке. Т.е., если мы возьмем любую внутреннюю точку любого произвольного промежутка, его возможно будет представить, как объединение его частей, полученных после деления заданной точкой, и самой точки. К примеру, задан полуинтервал ( 7 , 32 ] и точка 13 , принадлежащая этому числовому промежутку. Тогда заданный полуинтервал можно представить в виде объединения ( 7 , 13 ) ∪ < 13 >∪ ( 13 , 32 ] и обратно. Мы можем включить число 13 в любой из промежутков и тогда заданное множество ( 7 , 32 ] можно представить, как ( 7 , 13 ] ∪ ( 13 , 32 ] или ( 7 , 13 ] ∪ ( 13 , 32 ] . Также мы можем взять в качестве исходных данных не внутреннюю точку заданного полуинтервала, а его конец (точку с координатой 32 ), тогда заданный полуинтервал можно представить, как объединение интервала ( 7 , 32 ) и множества из одного элемента < 32 >. Таким образом: ( 7 , 32 ] = ( 7 , 32 ) ∪ < 32 >.

Еще один вариант: когда берется не одна, а несколько точек на координатной прямой или числовом промежутке. Эти точки разобьют координатную прямую или числовой промежуток на несколько числовых промежутков, а объединение этих промежутков будут составлять исходные множества. К примеру, на координатной прямой заданы точки с координатами — 6 , 0 , 8 , которые разобьют ее на промежутки: ( — ∞ , — 6 ) , ( — 6 , 0 ) , ( 0 , 8 ) , ( 8 , + ∞ ) . При этом множество всех действительных чисел, олицетворением чего и является координатная прямая, возможно представить в виде объединения полученных промежутков и указанных чисел:

( — ∞ , — 6 ) ∪ < - 6 >∪ ( — 6 , 0 ) ∪ < 0 >∪ ( 0 , 8 ) ∪ < 8 >∪ ( 8 , + ∞ ) .

Как определить пересечение и объединение при помощи изображений числовых множеств

С темой нахождения пересечения и объединения множеств возможно наглядно разобраться, если использовать изображения заданных множеств на координатной прямой (если только речь – не о простейших случаях, рассмотренных в самом начале статьи).

Мы рассмотрим общий подход, который позволяет определить результат пересечения и объединения двух числовых множеств. Опишем подход в виде алгоритма. Рассматривать его шаги будем постепенно, каждый раз приводя очередной этап решения конкретного примера.

Исходные данные: заданы числовые множества А = ( 7 , + ∞ ) и В = [ — 3 , + ∞ ) . Необходимо найти пересечение и объединение данных множеств.

Решение

  1. Изобразим заданные числовые множества на координатных прямых. Их необходимо расположить друг над другом. Для удобства принято считать, что точки начала отсчета заданных множеств совпадают, и остается сохранным расположение точек друг относительно друга: любая точка с большей координатой лежит правее точки с меньшей координатой. При этом, если нам интересно объединение множеств, то координатные прямые объединяют слева квадратной скобкой совокупности; если интересует пересечение, то – фигурной скобкой системы.

В нашем примере для записи пересечения и объединения числовых множеств имеем: и

Изобразим еще одну координатную прямую, расположив ее под уже имеющимися. Она понадобится для отображения искомого пересечения или объединения. На этой координатной прямой отмечают все граничные точки исходных числовых множеств: сначала черточками, а позже, после выяснения характера точек с этими координатами, черточки будет заменены выколотыми или невыколотыми точками. В нашем примере это точки с координатами — 3 и 7 .

Точки, которые изображены на нижней координатной прямой в предыдущем шаге алгоритма, дают возможность рассматривать координатную прямую как набор числовых промежутков и точек (об этом мы говорили выше). В нашем примере координатную прямую представим в виде набора пяти числовых множеств: ( — ∞ , — 3 ) , < - 3 >, ( — 3 , 7 ) , < 7 >, ( 7 , + ∞ ) .

Теперь необходимо поочередно проверить принадлежность каждого из записанных множеств искомому пересечению или объединению. Получаемые выводы поэтапно отмечаются на нижней координатной прямой: когда промежуток является частью пересечения или объединения, над ним рисуется штриховка. Когда точка входит в пересечение или объединение, то штрих заменяется на сплошную точку; если точка не является частью пересечения или объединения – ее делают выколотой. В этих действиях нужно придерживаться таких правил:

-. промежуток становится частью пересечения, если он одновременно является частью множества A и множества B (или иными словами – если есть штриховка над этим промежутком на обеих координатных прямых, отображающих множества А и B );

— точка становится частью пересечения, если она является одновременно частью каждого из множеств А и В (иными словами – если точка является невыколотой или внутренней точкой какого-либо интервала обоих числовых множеств A и B );

— промежуток становится частью объединения, если он является частью хотя бы одного из множеств A или B (иными словами – если присутствует штриховка над этим промежутком хотя бы на одной из координатных прямых, отображающих множества A и B .

— точка становится частью объединения, если она является частью хотя бы одного из множеств A и B (иными словами – точка является невыколотой или внутренней точкой какого-либо интервала хотя бы одного из множеств A и B ).

Кратко резюмируя: пересечением числовых множеств A и B служит пересечение всех числовых промежутков множеств A и B , над которыми одновременно присутствует штриховка, и всех отдельных точек, принадлежащих и множеству А, и множеству В. Объединением числовых множеств A и B служит объединение всех числовых промежутков, над которыми присутствует штриховка хотя бы у одного из множеств A или B , а также всех невыколотых отдельных точек.

  1. Вернемся к примеру, определим пересечение заданных множеств. Для этого поочередно проверим множества: ( — ∞ , — 3 ) , < - 3 >, ( — 3 , 7 ) , < 7 >, ( 7 , + ∞ ) . Начнем с множества ( — ∞ , — 3 ) , наглядно выделив его на чертеже:

Этот промежуток не будет включен в пересечение, потому что не является частью ни множества A , ни множества B (нет штриховки). И так наш чертеж сохраняет свой изначальный вид:

Рассмотрим следующее множество < - 3 >. Число — 3 является частью множества B (невыколотой точкой), но не входит в состав множества A , а потому не станет частью искомого пересечения. Соответственно на нижней координатной прямой точку с координатой — 3 делаем выколотой:

Оцениваем следующее множество ( — 3 , 7 ) .

Оно является частью множества B (над интервалом присутствует штриховка), но не входит в множество A (над интервалом штриховка отсутствует): не будет входить в искомое пересечение, а значит на нижней координатной прямой не появляется никаких новых отметок:

Следующее множество на проверку — < 7 >. Оно является составом множества B (точка с координатой 7 является внутренней точкой промежутка [ — 3 , + ∞ ) ), но не является частью множества A (выколотая точка), таким образом, рассматриваемый промежуток не станет частью искомого пересечения.. Отметим точку с координатой 7 как выколотую:

И, наконец, проверяем оставшийся промежуток ( 7 , + ∞ ) .

Промежуток входит в оба множества A и B (над промежутком присутствует штриховка), следовательно, становится частью пересечения. Штрихуем место над рассмотренным промежутком:

В конечном счете на нижней координатной прямой образовалось изображение искомого пересечения заданных множеств. Очевидно, что оно является множеством всех действительных чисел больше числа 7 , т.е.: А ∩ В = ( 7 , + ∞ ) .

  1. Следующим шагом определим объединение заданных множеств A и B . Последовательно проверим множества ( — ∞ , — 3 ) , < - 3 >, ( — 3 , 7 ) , < 7 >, ( 7 , + ∞ ) , устанавливая факт включения или невключения их в искомое объединение.

Первое множество ( — ∞ , — 3 ) не является частью ни одного из исходных множеств A и B (над промежутками нет штриховок), следовательно, множество ( — ∞ , — 3 ) не войдет в искомое объединение:

Множество < - 3 >входит в множество B , а значит будет входить в искомое объединение множеств A и B :

Множество ( — 3 , 7 ) является составной частью множества B (над интервалом присутствует штриховка) и становится элементом объединения множеств A и B :

Множество 7 входит в числовое множество B , поэтому войдет и в искомое объединение:

Множество ( 7 , + ∞ ) , являясь элементом обоих множеств А и В одновременно, становится еще одной частью искомого объединения:

По итоговому изображению объединения исходных множеств А и В получаем: А ∩ В = [ — 3 , + ∞ ) .

Имея некий практический опыт применения правил нахождения пересечений и объединений множеств, описанные проверки легко проводятся устно, что позволяет быстро записывать конечный результат. Продемонстрируем на практическом примере, как выглядит его решение без детальных пояснений.

Исходные данные: множества А = ( — ∞ , — 15 ) ∪ < - 5 >∪ [ 0 , 7 ) ∪ < 12 >и В = ( — 20 , — 10 ) ∪ < - 5 >∪ ( 2 , 3 ) ∪ < 17 >. Необходимо определить пересечение и объединение заданных множеств.

Решение

Отметим заданные числовые множества на координатных прямых, чтобы иметь возможность получить иллюстрацию искомых пересечения и объединения:

Ответ: А ∩ В = ( — 20 , — 15 ) ∪ < - 5 >∪ ( 2 , 3 ) ; А ∪ В = ( — ∞ , — 10 ) ∪ < - 5 >∪ [ 0 , 7 ] ∪ < 12 , 17 >.

Также понятно, что при достаточном понимании процесса указанный алгоритм возможно подвергнуть оптимизации. К примеру, в процессе нахождения пересечения можно не тратить время на проверку всех промежутков и множеств, представляющих собой отдельные числа, ограничившись рассмотрением только тех промежутков и чисел, которые составляют множество А или В. Прочие промежутки в любом случае не войдут в пересечение, т.к. не являются частью исходных множеств. Составим иллюстрацию сказанного на практическом примере.

Исходные данные: множества А = < - 2 >∪ [ 1 , 5 ] и B = [ — 4 , 3 ] .

Необходимо определить пересечение исходных множеств.

Решение

Геометрически изобразим числовые множества А и В :

Граничные точки исходных множеств разобьют числовую прямую на несколько множеств:

( — ∞ , — 4 ) , < - 4 >, ( — 4 , — 2 ) , < - 2 >, ( — 2 , — 1 ) , < 1 >, ( 1 , 3 ) , < 3 >, ( 3 , 5 ) , < 5 >, ( 5 , + ∞ ) .

Легко заметить, что числовое множество A можно записать, объединив некоторые из перечисленных множеств, а именно: < - 2 >, ( 1 , 3 ) , < 3 >и ( 3 , 5 ) . Достаточно будет проверить эти множества на их включенность также в множество В для того, чтобы найти искомое пересечение. Те, что войдут в множество В и станут элементами пересечения. Проведем проверку.

Совершенно понятно, что < - 2 >является частью множества B , ведь точка с координатой — 2 – внутренняя точка отрезка [ — 4 , 3 ) . Интервал ( 1 , 3 ) и множество < 3 >также входят в множество В (над интервалом присутствует штриховка, а точка с координатой 3 является для множества В граничной и невыколотой). Множество ( 3 , 5 ) не будет элементом пересечения, т.к. не входит в множество В (над ним не присутствует штриховка). Отметим все вышесказанное на чертеже:

В итоге искомым пересечением двух заданных множеств будет объединение множеств, которое мы запишем так: < - 2 >∪ ( 1 , 3 ] .

Ответ: А ∩ В = < - 2 >∪ ( 1 , 3 ] .

В заключении статьи обговорим еще, как решить задачу о нахождении пересечения и объединения нескольких множеств (более 2 ). Сведем ее, как рекомендовалось ранее, к необходимости определения пересечения и объединения первых двух множеств, затем полученного результата с третьим множеством и так далее. А можно использовать описанный выше алгоритм с единственным только отличием, что проверку вхождения промежутков и множеств, представляющих собой отдельные числа, необходимо проводить не по двум, а всем заданным множествам. Рассмотрим на примере.


Исходные данные: множества А = ( — ∞ , 12 ] , В = ( — 3 , 25 ] , D = ( — ∞ , 25 ) ꓴ < 40 >. Необходимо определить пересечение и объединение заданных множеств.

Решение

Отображаем заданные числовые множества на координатных прямых и ставим с левой от них стороны фигурную скобку, обозначая пересечение, а также квадратную, обозначая объединение. Ниже отобразим координатные прямые с отмеченными штрихами граничными точками числовых множеств:

Таким образом, координатная прямая представлена следующими множествами: ( — ∞ , — 3 ) , < - 3 >, ( — 3 , 12 ) , < 12 >, ( 12 , 25 ) , < 25 >, ( 25 , 40 ) , < 40 >, ( 40 , + ∞ ) .

Начинаем искать пересечения, поочередно проверяя записанные множества на принадлежность каждому из исходных. Во все три заданных множества входит интервал ( — 3 , 12 ) и множество < - 12 >: они и станут элементами искомого пересечения. Таким образом, получим: A ∩ B ∩ D = ( — 3 , 12 ] .

Объединение заданных множеств составят множества: ( — ∞ , — 3 ) — элемент множества А ; < - 3 >– элемент множества А ; ( — 3 , 12 ) – элемент множества А ; < 12 >– элемент множества А ; ( 12 , 25 ) – элемент множества В ; < 25 >– элемент множества В и < 40 >– элемент множества D . Таким образом, получим: A ∪ B ∪ D = ( — ∞ , 25 ] ∪ < 40 >.

Ответ: A ∩ B ∩ D = ( — 3 , 12 ] ; A ∪ B ∪ D = ( — ∞ , 25 ] ∪ < 40 >.

Отметим также, что искомое пересечение числовых множеств часто является пустым множеством. Происходит это в тех случаях, когда в заданные множества не включены элементы, одновременно принадлежащие им всем.

Исходные данные: А = [ — 7 , 7 ] ; В = < - 15 >∪ [ — 12 , 0 ) ∪ < 5 >; D = [ — 15 , — 10 ] ∪ [ 10 , + ∞ ) ; Е = ( 0 , 27 ) . Определить пересечение заданных множеств.

Решение

Отобразим исходные множества на координатных прямых и штрихами граничные точки этих множеств на дополнительной прямой.

Отмеченные точки разобьют числовую прямую на множества: ( — ∞ , — 15 ) , < - 15 >, ( — 15 , — 12 ) , < - 12 >, ( — 12 , — 10 ) , < - 10 >, ( — 10 , — 7 ) , < - 7 >, ( — 7 , 0 ) , < 0 >, ( 0 , 5 ) , < 5 >, ( 5 , 7 ) , < 7 >, ( 7 , 10 ) , < 10 >, ( 10 , 27 ) , < 27 >, ( 27 , + ∞ ) .

Ни одно из них не является одновременно элементом всех исходных множеств, следовательно, пересечение заданных множеств есть пустое множество.

Ответ: A ∩ B ∩ D ∩ Е = Ø .

Множества удобно изображать в виде кругов, которые называют кругами Эйлера.

На рисунке множество пересечения множеств X и Y закрашено в оранжевый цвет.

Тема 4. ПСИХОЛОГИЯ МАЛЫХ ГРУПП И МЕЖГРУППОВОГО

ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ

4.1. К какому типу относится группа из 15 человек, если известно, что люди контактируют друг с другом; оценивают друг друга; обмениваются информацией? Ответ: малая социальная группа.

4.2. К какому типу относится группа из 12 человек, если известно, что эти люди хорошо знают друг друга; часто бывают вместе; у них есть внутригрупповые нормы; у них есть руководитель, назначенный в эту группу; у них есть план совместных действий?

Ответ: формальная малая соц. группа.

4.3. К какому типу относится группа, если известно, что члены этой группы знают друг друга; говорят о своей группе «Мы»; работают вместе; имеют активные межличностные отношения?

Ответ: неформальная группа.

4.4. Определите, к какому типу группы относится совокупность людей, ожидающих на остановке в течение часа пригородного автобуса?

Ответ: временная группа.

4.5. Выберите правильный вариант ответа. Вторичные группы – это:

А – формально единые общности, но включающие несколько первичных групп;

Б – формально единые общности, и не включающие несколько первичных групп;

В – формально разобщённая общность, но включающая в себя несколько первичных групп;

Г – формально разобщённая общность.

4.6. Выберите, с вашей точки зрения, методологически наиболее полное определение социальной группы. Обоснуйте свой выбор.

А – Социальная группа – это такое множество индивидов, которые характеризуется разделённостью элементов этого множества психологических отношений в определённом аспекте.

Б – Социальная группа – это небольшое по размеру объединение людей, связанных непосредственным взаимодействием.

В – Социальная группа – два или более лица, которые взаимодействуют друг с другом, знают друг друга, и имеют общую цель.

Г – Социальная группа – совокупность реальных людей, объединённых единой целью, интересом или деятельностью в целом.

Д – Социальная группа – психологически единая социальная ячейка, члены которой целенаправленно связаны друг с другом и зависят друг от друга.

Ж – Социальная группа – двое или более лиц, которые взаимодействуют друг с другом, влияют друг на друга дольше нескольких мгновений и воспринимают себя как «мы».

4.7. Вставьте пропущенное слово: Неформальные группы – объединения

людей, возникающие на основе внутренних присущих индивидам потребностей в общении, принадлежности, понимании, симпатии и любви.

4.8. При решении задач член группы, который детально разрабатывает идеи и предлагает пути преодоления трудностей называется:

А – Инициатор; Б – Координатор;

В – Контролёр; Г – Разработчик;

4.9. В группе оказания поддержки член группы, который поддерживает

начинания других, выказывает понимание чужих идей и мнений, называется:

А – Гармонизатор; Б – Ведомый; В – Примиритель; Г – Вдохновитель.

4.10. В каком из ниже перечисленных примеров не представлена группа?

А – Два студента делают совместную исследовательскую работу.

Б – Триста болельщиков наблюдают за факультетским волейбольным матчем.

В – Пять женщин убирают мусор во дворе во время субботника.

Г – Представитель благотворительного фонда обзванивает потенциальных пожертвователей.

4.11. Какую из групп можно отнести к формальной группе?

А – Семья из пяти человек.

Б – Пятеро друзей, сидящих за столиком в кафе.

В – Двенадцать членов комитета какой-то политической партии.

Г – Двадцать три пассажира рейсового автобуса.

4.12. Почему новые члены группы обычно ведут себя тихо и незаметно?

А – Формальные групповые нормы не позволяют им говорить.

Б – Новички пытаются понять и усвоить формальные и неформальные нормы группы.

В – Новички обычно воспринимают членов группы как соперников.

Г – По сравнению со старыми членами группы новички больше стремятся к сотрудничеству.

4.13. Известно, что в группе, которая характеризуется как малая, реальная, контактная, неформальная, сплоченная есть два человека, которые обладают следующими качествами:

Первый – умный, веселый, выдумщик, терпеливый, аккуратный, конформист, хотя в душе может быть не согласен с окружающими.

Второй – умный, остроумный, фантазер, невыдержанный, небрежный.

Кто из них, по вашему мнению, скорее всего, будет лидером в этой группе?

4.14. Какой из перечисленных психических процессов усиливает социальная фасилитация?

А – усиливает доминирующую реакцию;

Б – ослабляет доминирующую реакцию;

В – не влияет на доминирующую реакцию;

Г – нейтрализует доминирующую реакцию.

4.15. Деперсонализация индивида в группе иногда определяется через метафорическое выражение «Вместе мы сделает то, что никогда не сделаем по одному». Каков основной психологический механизм подобного явления?

А – анонимность; Б – размывание ответственности;

В – утрата самоконтроля; Г – присутствие других.

4.16. Что можно сказать о честности как социально-психологическом явлении по результатам следующего эксперимента?

В канун Хэллоуина экспериментаторы приветливо приглашали детей в 27 домов. Скрытые наблюдатели установили, что дети в группе были в два с лишним раза более склонны схватить ещё одну шоколадку, чем те, кто заходил поодиночке. Выберите правильный вариант.


А – Честность есть результат воспитания.

Б – Честность есть результат внешнего контроля.

В – Честность есть результат внутреннего самоконтроля.

Г – Честность есть результат социального окружения.

4.17. Подумайте, чем можно объяснить поведение зрителей общественного телевидения в США, которые не спешат откликнуться на кампании сбора средств для их телестудии. Выберите правильный вариант.

А – Стереотип восприятия общественного как ничейного.

Б – Лень как черта характера.

В – Позиция «Пусть платят другие люди».

Г – Социальная леность.

4.18. Напишите, какие симптомы огруппления мышления вы можете выделить при изучении легенды о Робин Гуде?

Ответ Иллюзия неуязвимости, вера в моральную непогрешимость, самоцензура.

4.19. Какое из следующих понятий иллюстрирует пословица: «В чужой монастырь со своим уставом не ходят»?

А – Уступчивость. Б – Конформизм.

В – Повиновение. Г – Паника.

4.20. Кто из следующих персонажей при групповом давлении скорее проявит конформизм или уступчивость?

А – Олег, у которого низкая самооценка.

Б – Денис, у которого высокая самооценка.

В – Артем, который знает, что его друзья всегда поддержат его.

Г – Михаил, который знает, что голосование будет тайным.

4.21. У какой из следующих групп произошло огруппление мышления?

А – Женщины, собравшие все свои деньги для того, чтобы купить пачку лотерейных билетов.

Б – Мужчины, демонстрирующие единодушие, принимая решение.

В – Женщины, которые постоянно спорят друг с другом.

Г – Группа погромщиков

4.22. В книге «Социальное влияние и социальное изменение» американский социолог Московичи пришел к выводу, что сущность влияния меньшинства следует искать в их собственной манере поведения. Выделите основную черту их манеры поведения?

А – Гибкость. Б – Постоянство. В – Ситуативность. Г – Активность.

4.23. Способны ли Вы вообразить себе такое поведение, такие мысли и такие чувства, которые бы не оказались на поверку хотя бы отчасти обусловленными процессами социального влияния?

А – Нет, такое невозможно.

Б – Да, такое возможно при определенных обстоятельствах.

В – Да, это повседневная практика.

Г – Ответ должен стать предметом научной дискуссии.

4.24. Какой внутригрупповой процесс протекает как ведущий на бал-маскараде?

А – Социальная фасилитация. Б – Огруппленное мышление.

В – Деперсонализация. Г – Групповое давление.

4.25. Соотнесите понятия «Власть», «Влияние», «Доминирование» с приведенными в качестве примера ситуациями. Выделите ведущее понятие для каждой ситуации?

1. Организация взаимодействия отдельных особей (индивидов).

2. Структура, задающая необходимый уровень социального обмена за счет выработки и поддержания общесистемных ценностей, контроля физических границ групп, содействия формированию ритуалов протекания межгрупповых контактов.

3. Оно определяет природу и источники обмена социально-психологическими отношениями между социальными группами: будет ли обмен организован как обмен между разными социальными системами или будет протекать по внутрисистемным законам.

Ответ: 1-власть, 2-влияние, 3-доминирование.

4.26. В группах с централизованными коммуникативными структурами коммуникации осуществляются через одного индивида, занимающего центральную позицию, так как это спо­собствует:

А – повышению управляемости группы;

Б – более быстрому решению инновационных за­дач;

В – повышает уровень персональной ответственности;

Г – помогает укреплению внутригрупповых норм.

4.27. Выделите психологический механизм развития малой группы.

А – Разрешение внутригрупповых противоречий между возможностями группы и реально выполняемой деятельностью.

Б – Смена моделей поведения членами группы.

В – Наличие в группе пассива.

Г – Позитивные межличностные отношения между членами группы.

4.28. Подумайте, о какой стадии развития группы в сфере деловой активности идет речь? Группа специалистов получила заказ на проектирование населенного пункта. Провела изыскательские работы и приступила к открытому обсуждению и дискуссии о путях преодоления возникших трудностей. Выберите правильный вариант.

А – Ориентировка в задаче и поиск оптимального способа ее решения;

Б – Эмоциональные реакции на требования задачи, противодействие членов группы требованиям, предъявляемым к ним в связи с решением задачи и противоречащим их собственным намерениям;

В – Открытый обмен информацией с целью достижения более глубокого понимания намерений друг друга и поиска альтернатив;

Г – Принятие решения и активные совместные действия по его реализации.

4.29. Опираясь на собственный опыт групповой деятельности, определите, какую фазу внутригрупповой динамики К. Роджерс характеризовал следующими характеристиками: замешательство, смущение, фасадное общение, отказ от личностного самовыражения?

А – Стадия знакомства. Б – Стадия дифференциации.

В – Стадия «кружения на месте». Г – Стадия вторичного синтеза.

4.30. Вставьте пропущенное понятие. Базисная установка зависимости представляет собой механизм групповой динамики, когда группа даёт разрешение на девиантное поведение своему лидеру или отдельным её членам во имя достижения поставленных целей.

4.31. Закончите предложение. Вставьте необходимое понятие.

Динамика группового процесса предполагает поэтапность прохождения группой ряда важных жизненных стадий на пути движения к высшей из них – зрелости.

4.32. Вставьте пропущенный этап развития группы в сфере межличностной активности (по Б. Такмену).

1.«Проверка и зависимость», ориентировка членов группы в характере действий друг друга и поиск взаимоприемлемого поведения;

2. «оценивание вклада лидера»;

3. «Развитие групповой сплоченности», преодоление разногласий и конфликтов;

4.«Функционально-ролевая согласованность», связанная с образованием ролевой структуры группы, соответствующей содержанию групповой задачи.

4.33. Какой механизм взаимовлияния реализуется при попытках воздействия низкостатусных групп на группы, обладающие властью? Расставьте по степени значимости.

А- Эмпатия___1.Б — Подражание___3.В — Заражение___7.Г — Влияние___6.

Д — Внушение__8.Ж — Убеждение___2З — Идентификация___5И — Доминирование___4.

4.34. Вставьте пропущенное слово. Групповые границы вместе с ослаблением общей угрозы, тем больше склоняются межгрупповые взаимодействия к новому качественному состоянию – к объединению групп.

4.35. Проанализируйте следующие характеристики организации социального обмена меду группами. Какая характеристика отвечает принципу распределительной справедливости?

А – Доля вклада во взаимодействии. Б – Согласованность действий.

В – Принцип равных долей. Г – Точность понимания и исполнения.

4.36. Вставьте пропущенное слово. Социальная категоризация – это когнитивный процесс упо­рядочивания индивидом своего социального окружения путем распределения социальных объектов (в том числе окружающих людей и себя самого по группам (категориям) имеющим сходство по значимым для индивида критериям

4.37. Выберите правильный вариант.


А – Социальная идентификация– это процесс отнесения индивидом себя к статуснозначимым социальным категориям, субъективное переживание им своей групповой социальной принадлежности.

Б – Социальная идентификация– это процесс отнесения индивидом себя к тем или иным социальным категориям, субъективное переживание им своей групповой социальной принадлежности.

В – Социальная идентификация– это процесс отнесения индивидом себя к тем или иным социальным категориям, зеркальное переживание им своей групповой социальной принадлежности.

Г – Социальная идентификация– это процесс отнесения индивидом себя к тем или иным социальным категориям, отсутствия субъективного переживание им своей групповой социальной принадлежности.

4.38. Вставьте пропущенное слово. Социальное сравнение– это процесс соотнесения качественных при­знаков различных социальных групп, результатом которого является установление различий между ними, то есть межгрупповая дифференциация.

4.39. Когда одна группа становится явно сильнее другой?

А – они объединяются;

Б – одна группа поглощает другую;

В – продолжают совместную деятельность;

Г – слабая группа ищет союзников.

4.40. Внутригрупповой фаворитизм – это …

А – тен­денции оказывать поддержку своей группе в противовес интересам другой;

Б – тен­денции оказывать предпочтение своей группе в соответствии с интересами другой;

В – тен­денции оказывать симпатии членам своей группе в противовес отношениям с членами другой группы;

Г – тен­денции оказывать предпочтение своей группе в противовес интересам другой.

4.41. Укажите, какое базовое намерение в групповом сознании в социальном конфликте выражено в следующих причинах:

А – Возникновения враждебности отдельных членов группы к источникам угрозы;

Б – Увеличения внутригрупповой солидарности;

В – Более полного осознания индивидом своей групповой идентичности;

Г – Повышения меры наказания за нарушения индивидами групповых норм;

Д – Снижения количества отклонений индивидов от групповых норм;

Е – Непроницаемости групповых границ.

Ответ:_______________________________________________________________.

4.42. Вставьте пропущенное слово. Любой конфликт в группе ведет к ее распаду, поскольку предполагает перераспределение статусов и ролей.

4.43. Какие ролевые конфликты между членами группы описаны в следующих сюжетах?

А – В многодетной семье старшие дети укладывают спать младших, гуляют с ними, вводят их в круг социальных норм. Оба родителя много времени проводят на работе и полностью доверят социализацию младших детей старшим детям.

Б – Молодой лейтенант перепоручает контроль над соблюдением порядка в казарме старослужащим.

В – Педагог поручает отлично успевающим ученикам опрос в классе и наделяет их правом выставления отметок.

Ответ: Я – роль: Б, В. Межролевой конфликт: А.

4.44. Определите, какая процедура вмешательства в управлении конфликтам относится к структурному подходу?

А – Изменение установок. Б – Ролевой анализ.

В – Поиск методов обогащения труда. Г – Изменение условий мотивации.

4.45. В каких стратегиях поведения людей в межличностных конфликтах содержится доминирование?

А – Компромисс и Уступчивость. Б – Избегание и Уступчивость.

В – Интегрирование и Компромисс. Г – Соперничество и Сотрудничество.

4.46. Вставьте недостающий параметр. Измерению подлежат следующие параметры конфликта:

1) величина или интенсивность конфликта на индивидуальном, групповом и меж­групповом уровнях;

2) последствия;

3) источники интенсивности и основания выбора стилей;

4)индивидуальная, групповая и организационная эффективность.

4.47. Какие последствия конфликтов в группе стихийного характера описаны в следующих примерах?

1. Отношения между старым мастером и молодым инженером. Подгруппы молодых и людей более старшего возраста. Каждый создает свою сферу влияния. И в результате достигается почти полное равновесие.

2. Один из участников производственного конфликта увольняется с работы.

3. Ситуация производственного конфликта сопровождается агрессивной разрядкой напряжения. Ее следствием может являться «поиск виноватых».

4. Производственное подразделение прекращает свое существование.

5. Производственный коллектив меняет групповые цели, занимается поиском новых методов, средств функционирования.

4.48. Какую тактику поведения в конфликте выберет человек, для которого характерны:

1) готовность удовлетворять интересы обеих сторон в совместной деятельности;

2) способность обращать внимание на позитивные проявления оппонента;

3) ориентация не только на достижение цели, но и на получение удовлетворения от процесса общения, совместной деятельности, эмоциональной вовлеченности.

4) способность понимать и отражать чувства и внутренний мир другого человека.

Ответ:сотрудничество.

4.49. Понятие «психологическая напряженность» обозначает …

А – реакцию на затруднение; Б – особое психическое состояние;

В — волевое качество. Г – ролевой конфликт.

4.50. Избегание неприятной ситуации – это …

А – положительное подкрепление поведения;

Б – отрицательное подкрепление поведения;

Diplom Consult.ru

По определению структура — это класс, все члены которого общие,

это просто краткая форма описания

Поименованное объединение определяется как структура, все члены

которой имеют один и тот же адрес ($$R.9.5). Если известно, что

в каждый момент времени используется значение только одного члена

структуры, то объявив ее объединением, можно сэкономить память.

Например, можно использовать объединение для хранения лексем

char v[8]; // идентификатор (не более 8 символов)

long i; // значения целых

double d; // значения чисел с плавающей точкой

Проблема с объединениями в том, что транслятор в общем случае

не знает, какой член используется в данный момент, и поэтому

контроль типа невозможен. Например:

void strange(int i)

sqrt(x.d); // ошибка, если i != 0


Кроме того, определенное таким образом объединение нельзя

инициализировать таким кажущимся вполне естественным способом:

tok_val val1 = 12; // ошибка: int присваивается tok_val

tok_val val2 = «12»; // ошибка: char* присваивается tok_val

Для правильной инициализации надо использовать конструкторы:

char v[8]; // идентификатор (не более 8 символов)

long i; // значения целых

double d; // значения чисел с плавающей точкой

tok_val(const char*); // нужно выбирать между p и v

Эти описания позволяют разрешить с помощью типа членов неоднозначность

при перегрузке имени функции (см. $$4.6.6 и $$7.3). Например:

tok_val a = 10; // a.i = 10

tok_val b = 10.0; // b.d = 10.0

Если это невозможно (например, для типов char* и char[8] или int

и char и т.д.), то определить, какой член инициализируется, можно,

изучив инициализатор при выполнении программы, или введя

ДоBRO пожаловать!

Сайт посвящён вселенной «My Little Pony» и всему что с этим связано.

My Little Pony — это не просто мультсериал, это уникальное и очень масштабное явление! Пони пропагандируют истинные моральные ценности: верность, веселье, щедрость, честность, доброту и дружелюбие — мы называем это элементами гармонии. Мы верим, что именно в них заключается успех по жизни. Мы видели их в действии не только в мультсериале, но и в реальной жизни. Мы вдохновляемся этим. Мы — Брони (Brony).

Урок «Пересечение и объединение множеств»

Разделы: Математика

Цели урока:

  • образовательные: формирование умений выделять множества, подмножества; формирование навыков находить на изображениях область пересечения и объединения множеств и называть элементы из этой области, решать задачи;
  • развивающие: развитие познавательного интереса учащихся; развитие интеллектуальной сферы личности, развитие умений сравнивать и обобщать.
  • воспитательные: воспитывать аккуратность и внимательность при решении.

Ход урока.

1. Организационный момент.

2. Учитель сообщает тему урока, совместно с учащимися формулирует цели и задачи.

3. Учитель совместно с учащимися вспоминает материал, изученный по теме «Множества» в 7 классе, вводит новые понятия и определения, формулы для решения задач.

«Множество есть многое, мыслимое нами как единое» (основатель теории множеств – Георг Кантор). КАНТОР (Cantor) Георг (1845—1918) — немецкий математик, логик, теолог, создатель теории трансфинитных (бесконечных) множеств, оказавшей определяющее влияние на развитие математических наук на рубеже 19— 20 вв.

Множество — одно из основных понятий современной математики, используемое почти во всех её разделах.

К сожалению, основному понятию теории – понятию множества – нельзя дать строгого определения. Разумеется, можно сказать, что множество – это «совокупность», «собрание», «ансамбль», «коллекция», «семейство», «система», «класс» и т. д. однако всё это было бы не математическим определением, а скорее злоупотреблением словарным богатством русского языка.

Для того чтобы определить какое – либо понятие, нужно, прежде всего, указать, частным случаем какого более общего понятия, оно является, для понятия множества сделать это невозможно, потому что более общего понятия, чем множество, в математике нет.

Часто приходится говорить о нескольких вещах, объединенных некоторым признаком. Так, можно говорить о множестве всех стульев в комнате, о множестве всех клеток человеческого тела, о множестве всех картофелин в данном мешке, о множестве всех рыб в океане, о множестве всех квадратов на плоскости, о множестве всех точек на данной окружности т. д.

Предметы, составляющие данное множество, называются его элементами.

Например, множество дней недели состоит из элементов: понедельник, вторник, среда, четверг, пятница, суббота, воскресенье.

Множество месяцев – из элементов: январь, февраль, март, апрель, май, июнь, июль, август, сентябрь, октябрь, ноябрь, декабрь.

Множество арифметических действий — из элементов: сложение, вычитание, умножение, деление.

Например, если А означает множество всех натуральных чисел, то 6 принадлежит к А, а 3 не принадлежит к А.

Если А — множество всех месяцев в году, то май принадлежит к А, а среда не принадлежит к А.

Если множество содержит конечное число элементов, то его называют конечным, а если в нем бесконечно много элементов, то бесконечным. Так множество деревьев в лесу конечно, а множество точек на окружности бесконечно.

Парадокс в логике — это противоречие, имеющее статус логически корректного вывода и, вместе с тем, представляющее собой рассуждение, приводящее к взаимно исключающим заключениям.

Как уже упоминалось, понятие множества лежит в основе математики. Используя простейшие множества и различные математические конструкции, можно построить практически любой математический объект. Идею построения всей математики на основе теории множеств активно пропагандировал Г.Кантор. Однако, при всей своей простоте, понятие множества таит в себе опасность появления противоречий или, как ещё говорят, парадоксов. Появление парадоксов связано с тем, что далеко не всякие конструкции и не всякие множества можно рассматривать.

Самый простой из парадоксов — это «парадокс брадобрея«.

Одному солдату было приказано брить тех и только тех солдат его взвода, которые сами себя не бреют. Неисполнение приказа в армии, как известно, тягчайшее преступление. Однако возник вопрос, брить ли этому солдату самого себя. Если он побреется, то его следует отнести к множеству солдат, которые сами себя бреют, а таких брить он не имеет права. Если же он себя брить не будет, то попадёт во множество солдат, которые сами себя не бреют, а таких солдат согласно приказу он обязан брить. Парадокс.

Над множествами, как и над многими другими математическими объектами, можно совершать различные операции, которые иногда называют теоретико-множественными операциями или сет-операциями. В результате операций из исходных множеств получаются новые. Множества обозначаются заглавными латинскими буквами, а их элементы – строчными. Запись a R означает, что элемент а принадлежит множеству R , то есть а является элементом множества R . В противном случае, когда а не принадлежит множеству R , пишут a R .

Два множества А и В называются равными ( А = В ), если они состоят из одних и тех же элементов, то есть каждый элемент множества А является элементом множества В и наоборот, каждый элемент множества В является элементом множества А .

Сравнение множеств.

Множество A содержится во множестве B (множество B включает множество A), если каждый элемент A есть элемент В:

Говорят, что множество А содержится в множестве В или множество Аявляется подмножеством множества В ( в этом случае пишут А В ), если каждый элемент множества А одновременно является элементом множества В . Эта зависимость между множествами называется включением. Для любого множества А имеют место включения: Ø А и А А

В этом случае A называется подмножеством B, Bнадмножеством A. Если , то A называется собственным подмножеством В. Заметим, что ,

Два множества называются равными, если они являются подмножествами друг друга

Операции над множествами

Пересечение.

Объединение.

Свойства.

1.Операция объединения множеств коммутативна

2.Операция объединения множеств транзитивна

3. Пустое множество X является нейтральным элементом операции объединения множеств

2. А=<2,4,6,8,10>, В = <3,6,9,12>. Найдём объединение и пересечение этих множеств:

3. Множество детей является подмножеством всего населения

4. Пересечением множества целых чисел с множеством положительных чисел является множество натуральных чисел.

5. Объединением множества рациональных чисел с множеством иррациональных чисел является множество положительных чисел.

6.Нуль является дополнением множества натуральных чисел относительно множества неотрицательных целых чисел.

Диаграммы Венна (Venn diagrams) — общее название целого ряда методов визуализации и способов графической иллюстрации, широко используемых в различных областях науки и математики: теория множеств, собственно «диаграмма Венна» показывает все возможные отношения между множествами или событиями из некоторого семейства; разновидностями диаграмм Венна служат: диаграммы Эйлера,

Диаграмма Венна четырёх множеств.

Собственно «диаграмма Венна» показывает все возможные отношения между множествами или событиями из некоторого семейства. Обычная диаграмма Венна имеет три множества. Сам Венн пытался найти изящный способ с симметричными фигурами, представляющий на диаграмме большее число множеств, но он смог это сделать только для четырех множеств (см. рисунок справа), используя эллипсы.

Диаграммы Эйлера

Диаграммы Эйлера аналогичны диаграммам Венна. Диаграммы Эйлера можно использовать, для того, чтобы оценивать правдоподобность теоретико-множественных тождеств.

Задача 1. В классе 30 человек, каждый из которых поёт или танцует. Известно, что поют 17 человек, а танцевать умеют 19 человек. Сколько человек поёт и танцует одновременно?

Решение: Сначала заметим, что из 30 человек не умеют петь 30 — 17 = 13 человек.

Все они умеют танцевать, т.к. по условию каждый ученик класса поёт или танцует. Всего умеют танцевать 19 человек, из них 13 не умеют петь, значит, танцевать и петь одновременно умеют 19-13 = 6 человек.

Задачи на пересечение и объединение множеств.

  1. Даны множества А = <3,5, 0, 11, 12, 19>, В = <2,4, 8, 12, 18,0>.
    Найдите множества AU В,
  2. Составьте не менее семи слов, буквы которых образуют подмножества множества
    А —<к,а,р,у,с,е,л,ь>.
  3. Пусть A — это множество натуральных чисел, делящихся на 2, а В — множество натуральных чисел, делящихся на 4. Какой вывод можно сделать относительно данных множеств?
  4. На фирме работают 67 человек. Из них 47 знают английский язык, 35 — немецкий язык, а 23 — оба языка. Сколько человек фирмы не знают ни английского, ни немецкого языков?
  5. Из 40 учащихся нашего класса 32 любят молоко, 21 — ли­монад, а 15 — и молоко, и лимонад. Сколько ребят в нашем классе не любят ни молоко, ни лимонад?
  6. 12 моих одноклассников любят читать детективы, 18 -фантастику, трое с удовольствием читают и то, и другое, а один вообще ничего не читает. Сколько учеников в нашем классе?
  7. Из тех 18 моих одноклассников, которые любят смотреть триллеры, только 12 не прочь посмотреть и мультфильмы. Сколько моих одноклассников смотрят одни «мультики», если всего в на­шем классе 25 учеников, каждый из которых любит смотреть или триллеры, или мультфильмы, или и то и другое?
  8. Из 29 мальчишек нашего двора только двое не занимают­ся спортом, а остальные посещают футбольную или теннисную секции, а то и обе. Футболом занимается 17 мальчишек, а тенни­сом — 19. Сколько футболистов играет в теннис? Сколько тенниси­стов играет в футбол?
  9. 65 % бабушкиных кроликов любят морковку, 10 % любят и морковку, и капусту. Сколько процентов кроликов не прочь по­лакомиться капустой?
  10. В одном классе 25 учеников. Из них 7 любят груши, 11 -черешню. Двое любят груши и черешню; 6 — груши и яблоки; 5 -яблоки и черешню. Но есть в классе два ученика, которые любят все и четверо таких, что не любят фруктов вообще. Сколько учени­ков этого класса любят яблоки?
  11. В конкурсе красоты участвовали 22 девушки. Из них 10 было красивых, 12 -умных и 9 -добрых. Только 2 девушки были и красивыми, и умными; 6 девушек были умными и одновременно добрыми. Определите, сколько было красивых и в то же время до­брых девушек, если я скажу вам, что среди участниц не оказалось ни одной умной, доброй и вместе с тем красивой девушки?
  12. В нашем классе 35 учеников. За первую четверть пятерки по русскому языку имели 14 учеников; по математике — 12; по ис­тории — 23. По русскому и математике — 4; по математике и исто­рии — 9; по русскому языку и истории — 5. Сколько учеников имеют пятерки по всем трем предметам, если в классе нет ни одного ученика, не имеющего пятерки хотя бы по одному из этих предметов?
  13. Из 100 человек 85 знают английский язык, 80 — испан­ский, 75 — немецкий. Все владеют, по крайней мере, одним ино­странным языком. Среди них нет таких, которые знают два ино­странных языка, но есть владеющие тремя языками. Сколько человек из этих 100 знают три языка?
  14. Из сотрудников фирмы 16 побывали во Франции, 10 -в Италии, 6 — в Англии; в Англии и Италии — 5; в Англии и Фран­ции — 6; во всех трех странах — 5 сотрудников. Сколько человек посетили и Италию, и Францию, если всего в фирме работают 19 человек, и каждый из них побывал хотя бы в одной из названных стран?
Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Кодинг, CSS и SQL