ArcSin — Функция Delphi


Содержание

Delphi 2006. Справочное пособие: Язык Delphi, классы, функции Win32 и .NET. — Архангельский А.Я.

Архангельский А.Я. Delphi 2006. Справочное пособие: Язык Delphi, классы, функции Win32 и .NET. — М.: Бином- Пресс, 2006. — 1152 c.
ISBN 5-9518-0138-9
Скачать (прямая ссылка): delphispravochnoeposobie2006.djvu Предыдущая 379 380 381 382 383 384 .. 478 >> Следующая
Sqrt(X) квадратный корень выражение Extended System / Borland. Delphi.System / System.Math
Trunc(X) возвращает целую часть действительного выражения выражение Extended System / Borland. Delphi.System

Модуль Math в приложениях VCL Win32 и пространство имен Borland.VcL Math в приложениях .NET должны подключаться вручную предложениями uses.

Многие функции практически идентичны в разных модулях, разных пространствах имен и в классе System.Math. Так что можно с равным успехом использовать любой из этих источников. Например, в приложении VCL Win32 вычисление абсолютного значения переменной А можно оформить так:

uses Math; А := Abs(А);

А в приложении Windows Forms то же самое можно оформить так:

или, не подключая дополнительное пространство имен, так:

О возможных ошибках при вычислении математических функций см. в разд. 2.8.3.

11-3 Тригонометрические и гиперболические функции

Тригонометрические и гиперболические функции объявлены в модулях Math и System в приложениях VCL Win32, в пространствах имен Borland. VcLMath и Borland.Delphi.System в приложениях .NET, и реализуются соответствующими методами класса System.Math, описание которого вы найдете в гл. 9. 11.3 ¦ Тригонометрические и гиперболические функции

Функция Описание Модуль / Пространство имен / Класс
Acos(X) арккосинус System.Math
Asin(X) арксинус System.Math
Atan(X) арктангенс System.Math
Atan2(X) арктангенс отношения двух действительных выражений System.Math
ArcCos(X) арккосинус Math / Borland. Vcl.Math
ArcCosh(X) арккосинус гиперболический Math / Borland. Vcl.Math
ArcCot(X) арккотангенс Math / Borland. Vcl.Math
ArcCotH(X) арккотангенс гиперболический Math / Borland. Vcl.Math
ArcCsc(X) арккосеканс Math / Borland. Vcl.Math
ArcCscH(X) арккосеканс гиперболический Math / Borland. Vcl.Math
ArcSec(X) арксеканс Math / Borland. Vcl.Math
ArcSecH(X) арксеканс гиперболический Math / Borland. Vcl.Math
ArcSin(X) арксинус Math / Borland. Vcl.Math
ArcSinh(X) арксинус гиперболический Math / Borland. Vcl.Math
ArcTarv(X) арктангенс System / Borland. Delphi. System
ArcTan2(Y, X) арктангенс от Y / X Math / Borland. Vcl.Math
ArcTanh(X) арктангенс гиперболический Math / Borland. Vcl.Math
Cos(X) косинус System / Borland. Delphi.System / System.Math
Cosecant(X) косеканс Math / Borland. Vcl.Math 886

Глава 11 ¦ Обзор функций

Функция Описание Модуль / Пространство имен / Класс
Cosh(X) косинус гиперболический Math / Borland. Vcl. Math/ System. Math
Cot(X) котангенс Math / Borland. Vcl. Math
Cotan(X) котангенс Math / Borland. Vcl.Math
CotH(X) котангенс гиперболический Math / Borland. Vcl. Math
Csc(X) косеканс Math / Borland. Vcl. Math
CscH(X) косеканс гиперболический Math / Borland. Vcl.Math
Hypo t(X, Y) вычисление гипотенузы по заданным катетам XhY Math / Borland. Vcl. Math
Sec(X) секанс Math / Borland. Vcl.Math
Secant(X) секанс Math / Borland. Vcl. Math
SecH(X) секанс гиперболический Math / Borland. Vcl.Math
Sin(X) синус System / Borland. Delphi.System / System.Math
SinCos(X, S, С) синус и косинус Math / Borland. Vcl. Math
Sinh(X) синус гиперболический Math / Borland. Vcl. Math/ System.Math
Tan(X) тангенс Math / Borland. Vcl.Math / System.Math
Tanh(X) тангенс гиперболический Math / Borland. Vcl.Math / System.Math

Модуль Math в приложениях VCL Win32 и пространство имен Borland.Vcl. Math в приложениях .NET должны подключаться вручную предложениями uses. 11.4 ¦ Процедуры и функции обработки дат и времени

Во всех функциях тип аргумента и тип возвращаемого значения — Extended.

Во всех тригонометрических функциях аргумент X — угол в радианах. Для перевода в радианы угла, заданного в градусах или циклах, можно использовать функции DegToRad и CycleToRad (см. разд. 11.2 и гл. 12).

Обратные тригонометрические функции возвращают главное значение угла в радианах. В функциях ArcSin и ArcCos аргумент должен лежать в пределах от — 1 до 1. Функции ArcSin и ArcTan возвращают результат в пределах [—Pi/2 .. Pi/2], ArcCos — в пределах [0 .. Pi].

function ArcTan2(Y, X: Extended): Extended;

вычисляет арктангенс ArcTan(Y/X) и возвращает угол с учетом квадранта. Возвращаемые значения угла в радианах лежат в пределах [-Pi.. Pi]. Значения X и Y должны лежать в пределах [-264 .. 264]. Кроме того X не должен равняться нулю.

procedure SinCos(Theta: Extended; var Sin, Cos: Extended);

вычисляет одновременно синус Sin и косинус Cos угла Theta. Эта функция работает вдвое быстрее, чем раздельное вычисление сначала синуса и затем косинуса.

11.4 Процедуры и функции обработки дат и времени

Процедуры и функции, работающих с датами и временем, используют множество форматов данных (хотя не очень понятно, почему нельзя их свести к одному, двум, трем стандартам). Поэтому, прежде всего, имеет смысл дать обзор этих форматов. А подробное описание многих типов, обеспечивающих эти форматы, вы найдете в гл. 9.
Предыдущая 379 380 381 382 383 384 .. 478 >> Следующая

ArcSin — Функция Delphi

Профиль
Группа: Модератор
Сообщений: 11360
Регистрация: 13.10.2004
Где: Питер

Репутация: нет
Всего: 483

Если я правильно помню тригонометрию, то

Код
function arccos(x: real): real;
var
y: real;
begin
if (x>0) and (x =-1) then
y:=pi + arctan(sqrt(1-sqr(x))/x)
else
if x=0 then y:=0
else y:=999;
arccos:=y;
end;
Код
function arcsin(x: real): real;
begin
if (x>=-1) and (x

P.S. возвращает 999, если задано недопустимое значение x.

Профиль
Группа: Участник
Сообщений: 101
Регистрация: 6.4.2007

Репутация: нет
Всего: нет

а что делать если необходимо посчитать значение arcsin от больших значений, к примеру от 10.
Ведь на калькуляторе это спокойно можно сделать. а вот в паскале? Очень нужна помощь!

P.S. Посмотрел в Help’e в C++, там арксинус находится по следующей формуле:

Mr_Nuke
Дата 8.5.2007, 09:52 (ссылка) | (нет голосов) Загрузка .
Код
asin(z)= -i * log (i + z + sqrt(1 — z ** 2))

Однако тут возникают уже другие вопросы :
что такое i, там про него не слова)
и что такое **; Готов предположить, что это возмедение в степень, но если в программе просто написать a**2, то компилятор выдаст ошибку, хотя я подключаю все библиотеки, описанные в данном разделе help’a

Это сообщение отредактировал(а) Mr_Nuke — 8.5.2007, 10:07

Профиль
Группа: Участник
Сообщений: 50
Регистрация: 16.10.2006
Где: Сыктывкар, Россия

Репутация: нет
Всего: нет

Добавлено через 4 минуты и 20 секунд
Сорри. ошибся. там же периоде нету. все возможные значения лежат в диапазоне -1..1

XupyprMV
Дата 8.5.2007, 10:01 (ссылка) | (нет голосов) Загрузка .

Профиль
Группа: Участник
Сообщений: 101
Регистрация: 6.4.2007

Репутация: нет
Всего: нет

Mr_Nuke
Дата 8.5.2007, 10:13 (ссылка) | (нет голосов) Загрузка .

Профиль
Группа: Участник
Сообщений: 50
Регистрация: 16.10.2006
Где: Сыктывкар, Россия

Репутация: нет
Всего: нет

XupyprMV
Дата 8.5.2007, 10:21 (ссылка) | (нет голосов) Загрузка .

Профиль
Группа: Модератор
Сообщений: 11360
Регистрация: 13.10.2004
Где: Питер

Репутация: нет
Всего: 483

Snowy
Дата 8.5.2007, 10:34 (ссылка) | (нет голосов) Загрузка .
Цитата(Mr_Nuke @ 8.5.2007, 10:13 )
а как тогда объяснить то, что на колькуляторе arcsin (2) = 3.6268.

Профиль
Группа: Участник
Сообщений: 101
Регистрация: 6.4.2007

Репутация: нет
Всего: нет

только что на калькуляторе проверил

Считаю в градусах. как на калькуляторе, так и в pascal’e


Mr_Nuke
Дата 8.5.2007, 10:37 (ссылка) | (нет голосов) Загрузка .

Профиль
Группа: Участник
Сообщений: 50
Регистрация: 16.10.2006
Где: Сыктывкар, Россия

Репутация: нет
Всего: нет

Ну во-первых, если считать в градусах, тогда нужно делить на 180 и умножать на Pi:

XupyprMV
Дата 8.5.2007, 14:57 (ссылка) | (нет голосов) Загрузка .
Код
sin(x/180*Pi)

т. к. в паскале тригонометрические функции работают в радианах.

Кстати, вот график арксинуса:

Присоединённый файл ( Кол-во скачиваний: 10 )
123.JPG 9,79 Kb

Профиль
Группа: Участник
Сообщений: 101
Регистрация: 6.4.2007

Репутация: нет
Всего: нет

Mr_Nuke
Дата 8.5.2007, 22:06 (ссылка) | (нет голосов) Загрузка .
Цитата(XupyprMV @ 8.5.2007, 14:57)
Кстати, вот график арксинуса:

Профиль
Группа: Модератор
Сообщений: 9820
Регистрация: 18.5.2006
Где: Днепропетровск

Delphi 2006. Справочное пособие: Язык Delphi, классы, функции Win32 и .NET. — Архангельский А.Я.

Архангельский А.Я. Delphi 2006. Справочное пособие: Язык Delphi, классы, функции Win32 и .NET. — М.: Бином- Пресс, 2006. — 1152 c.
ISBN 5-9518-0138-9
Скачать (прямая ссылка): delphispravochnoeposobie2006.djvu Предыдущая 379 380 381 382 383 384 .. 478 >> Следующая
Sqrt(X) квадратный корень выражение Extended System / Borland. Delphi.System / System.Math
Trunc(X) возвращает целую часть действительного выражения выражение Extended System / Borland. Delphi.System

Модуль Math в приложениях VCL Win32 и пространство имен Borland.VcL Math в приложениях .NET должны подключаться вручную предложениями uses.

Многие функции практически идентичны в разных модулях, разных пространствах имен и в классе System.Math. Так что можно с равным успехом использовать любой из этих источников. Например, в приложении VCL Win32 вычисление абсолютного значения переменной А можно оформить так:

uses Math; А := Abs(А);

А в приложении Windows Forms то же самое можно оформить так:

или, не подключая дополнительное пространство имен, так:

О возможных ошибках при вычислении математических функций см. в разд. 2.8.3.

11-3 Тригонометрические и гиперболические функции

Тригонометрические и гиперболические функции объявлены в модулях Math и System в приложениях VCL Win32, в пространствах имен Borland. VcLMath и Borland.Delphi.System в приложениях .NET, и реализуются соответствующими методами класса System.Math, описание которого вы найдете в гл. 9. 11.3 ¦ Тригонометрические и гиперболические функции

Функция Описание Модуль / Пространство имен / Класс
Acos(X) арккосинус System.Math
Asin(X) арксинус System.Math
Atan(X) арктангенс System.Math
Atan2(X) арктангенс отношения двух действительных выражений System.Math
ArcCos(X) арккосинус Math / Borland. Vcl.Math
ArcCosh(X) арккосинус гиперболический Math / Borland. Vcl.Math
ArcCot(X) арккотангенс Math / Borland. Vcl.Math
ArcCotH(X) арккотангенс гиперболический Math / Borland. Vcl.Math
ArcCsc(X) арккосеканс Math / Borland. Vcl.Math
ArcCscH(X) арккосеканс гиперболический Math / Borland. Vcl.Math
ArcSec(X) арксеканс Math / Borland. Vcl.Math
ArcSecH(X) арксеканс гиперболический Math / Borland. Vcl.Math
ArcSin(X) арксинус Math / Borland. Vcl.Math
ArcSinh(X) арксинус гиперболический Math / Borland. Vcl.Math
ArcTarv(X) арктангенс System / Borland. Delphi. System
ArcTan2(Y, X) арктангенс от Y / X Math / Borland. Vcl.Math
ArcTanh(X) арктангенс гиперболический Math / Borland. Vcl.Math
Cos(X) косинус System / Borland. Delphi.System / System.Math
Cosecant(X) косеканс Math / Borland. Vcl.Math 886

Глава 11 ¦ Обзор функций

Функция Описание Модуль / Пространство имен / Класс
Cosh(X) косинус гиперболический Math / Borland. Vcl. Math/ System. Math
Cot(X) котангенс Math / Borland. Vcl. Math
Cotan(X) котангенс Math / Borland. Vcl.Math
CotH(X) котангенс гиперболический Math / Borland. Vcl. Math
Csc(X) косеканс Math / Borland. Vcl. Math
CscH(X) косеканс гиперболический Math / Borland. Vcl.Math
Hypo t(X, Y) вычисление гипотенузы по заданным катетам XhY Math / Borland. Vcl. Math
Sec(X) секанс Math / Borland. Vcl.Math
Secant(X) секанс Math / Borland. Vcl. Math
SecH(X) секанс гиперболический Math / Borland. Vcl.Math
Sin(X) синус System / Borland. Delphi.System / System.Math
SinCos(X, S, С) синус и косинус Math / Borland. Vcl. Math
Sinh(X) синус гиперболический Math / Borland. Vcl. Math/ System.Math
Tan(X) тангенс Math / Borland. Vcl.Math / System.Math
Tanh(X) тангенс гиперболический Math / Borland. Vcl.Math / System.Math

Модуль Math в приложениях VCL Win32 и пространство имен Borland.Vcl. Math в приложениях .NET должны подключаться вручную предложениями uses. 11.4 ¦ Процедуры и функции обработки дат и времени

Во всех функциях тип аргумента и тип возвращаемого значения — Extended.

Во всех тригонометрических функциях аргумент X — угол в радианах. Для перевода в радианы угла, заданного в градусах или циклах, можно использовать функции DegToRad и CycleToRad (см. разд. 11.2 и гл. 12).

Обратные тригонометрические функции возвращают главное значение угла в радианах. В функциях ArcSin и ArcCos аргумент должен лежать в пределах от — 1 до 1. Функции ArcSin и ArcTan возвращают результат в пределах [—Pi/2 .. Pi/2], ArcCos — в пределах [0 .. Pi].

function ArcTan2(Y, X: Extended): Extended;

вычисляет арктангенс ArcTan(Y/X) и возвращает угол с учетом квадранта. Возвращаемые значения угла в радианах лежат в пределах [-Pi.. Pi]. Значения X и Y должны лежать в пределах [-264 .. 264]. Кроме того X не должен равняться нулю.

procedure SinCos(Theta: Extended; var Sin, Cos: Extended);

вычисляет одновременно синус Sin и косинус Cos угла Theta. Эта функция работает вдвое быстрее, чем раздельное вычисление сначала синуса и затем косинуса.

11.4 Процедуры и функции обработки дат и времени

Процедуры и функции, работающих с датами и временем, используют множество форматов данных (хотя не очень понятно, почему нельзя их свести к одному, двум, трем стандартам). Поэтому, прежде всего, имеет смысл дать обзор этих форматов. А подробное описание многих типов, обеспечивающих эти форматы, вы найдете в гл. 9.
Предыдущая 379 380 381 382 383 384 .. 478 >> Следующая

Функции Delphi

Стандартные функции Delphi:

Для проведения всевозможных математических вычислений и многочисленных преобразований язык программирования Delphi содержит библиотеки стандартных процедур и функций. Давайте подробнее рассмотрим стандартные функции Delphi.

Между значением и именем функции существует зависимость. Поэтому всякая функция может быть представлена как операнд некоторого выражения (к примеру, в инструкции присваивания). Для возведения числа в n-ую степень достаточно записать

откуда ln — функция, вычисляющая натуральный логарифм числа exp(x), exp — функция, вычисляющая экспоненту в степени x, x — число, n-ую степень которого надо найти, а n — степень числа x. Каждая функция обладает следующими характеристиками: тип значений, тип параметров.

Должно существовать соответствие между типом переменной (ей присваивается определенное значение функции) и типом функции. И в то же время необходимо соответствие между типом фактического параметра данной функции (фактический параметр — это параметр, который указывается при обращении к функции) и типом формального параметра. В противном случае компилятором выводится сообщение об ошибке.

Математические функции Delphi:

Библиотеки языка Delphi включаются в себя и множество математических функций:

Величину угла при использовании тригонометрических функций необходимо выражать в радианах. Чтобы преобразовать угол из градусов в радианы, используйте следующую формулу:

где a выражает угол в градусах; 3.1415926 означает число pi. На месте константы 3.1415926 с дробной частью для достижения большей точности чаще всего пользуются стандартной именованной константой pi. Тогда выражения для угла в пересчете в радианы будет выглядеть следующим образом:

Функции преобразования Delphi:

Наиболее частое использование функций преобразования связано с инструкциями, которые обеспечивают ввод/вывод какой-либо информации. Например, для вывода значения переменной c типом real в поле вывода диалогового окна (компонент Label), нужно провести преобразование числа в строку символов, которая собственно изображает данное число. Это можно достичь, применяя функцию FloatToStr, которая заменяет значение выражения (оно указано как параметр функции) его строковым представлением.

Пример.

В приведенном примере значение переменной m будете выведено в поле Label. В таблице ниже Вам будут представлены основные функции преобразования Delphi:

Применение функций Delphi:

В любом выражении функция используется как операнд. В качестве ее параметра можно выбрать переменную, константу, выражение определенного типа данных.

Примеры.

Структура функции Delphi


Как организована инструкция функции в языке Delphi? В любом языке программирования на первом этапе описания функции указывается ее заголовок. Далее за заголовком программист описывает раздел объявления констант const (если таковы имеются), затем занимается описанием раздела объявления типов type, далее следует раздел объявления переменных var и, наконец, раздел инструкций.

В приведенном примере в заголовке функции вначале указывается зарезервированное слово function, а следом идет имя функции. Далее в скобках программист перечисляет список параметров, и вслед за ним, используя символ «:», указывает тип значения функции. В конце каждого заголовка стоит символ «;». После заголовка следуют раздел констант, раздел типов, раздел переменных. Внутри раздела инструкций кроме констант и переменных, описанных соответственно в разделах const и var, может находится переменная result.

Когда инструкции функции завершат свое выполнение, значению переменной result присваивается значение функции. Таким образом, среди всех инструкций функций необходимое присутствие инструкции, которая бы присваивала переменной result окончательное значение функции. Обычно подобная инструкция есть последняя исполняемая инструкция функции. Представим пример функции FuntToKg, преобразующей фунты в килограммы.

Обратные тригонометрические функции, их свойства и графики.

Обратные тригонометрические функции (арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс) являются основным элементарным функциями. Часто из-за приставки «арк» обратные тригонометрические функции называют аркфункциями. Сейчас мы рассмотрим их графики и перечислим свойства.

Функция арксинус y = arcsin(x).

Изобразим график функции арксинус:

Свойства функции арксинус y = arcsin(x).

· Областью определения функции арксинус является интервал от минус единицы до единицы включительно: .

· Область значений функции y = arcsin(x): .

· Функция арксинус — нечетная, так как .

· Функция y = arcsin(x) возрастает на всей области определения, то есть, при .

· Функция вогнутая при , выпуклая при .

· Точка перегиба (0; 0), она же ноль функции.

Функция арккосинус y = arccos(x).

График функции арккосинус имеет вид:

Свойства функции арккосинус y = arccos(x).

· Область определения функции арккосинус: .

· Область значений функции y = arccos(x): .

· Функция не является ни четной ни нечетной, то есть, она общего вида.

· Функция арккосинус убывает на всей области определения, то есть, при .

· Функция вогнутая при , выпуклая при .

Функция арктангенс y = arctg(x).

График функции арктангенс имеет вид:

Свойства функции арктангенс y = arctg(x).

· Область определения функции y = arctg(x): .

· Область значений функции арктангенс: .

· Функция арктангенс — нечетная, так как .

· Функция возрастает на всей области определения, то есть, при .

· Функция арктангенс вогнутая при , выпуклая при .

· Точка перегиба (0; 0), она же ноль функции.

· Горизонтальными асимптотами являются прямые при и при . На чертеже они показаны зеленым цветом.

Функция арккотангенс y = arcctg(x).

Изобразим график функции арккотангенс:

Свойства функции арккотангенс y = arcctg(x).

· Областью определения функции арккотангенс является все множество действительных чисел: .

· Область значений функции y = arcctg(x): .

· Функция арккотангенс не является ни четной ни нечетной, то есть, она общего вида.

· Функция убывает на всей области определения, то есть, при .

· Функция вогнутая при , выпуклая при .

· Горизонтальными асимптотами являются прямые при (на чертеже показана зеленым цветом) и y = 0 при .

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Учись учиться, не учась! 10379 — | 7886 — или читать все.

188.64.174.135 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)

очень нужно

Арксинус, арккосинус — свойства, графики, формулы

Арксинус, arcsin

Определение и обозначения

Арксинус иногда обозначают так:
.

График функции арксинус

График арксинуса получается из графика синуса, если поменять местами оси абсцисс и ординат. Чтобы устранить многозначность, область значений ограничивают интервалом , на котором функция монотонна. Такое определение называют главным значением арксинуса.

Арккосинус, arccos

Определение и обозначения

Арккосинус иногда обозначают так:
.

График функции арккосинус


График арккосинуса получается из графика косинуса, если поменять местами оси абсцисс и ординат. Чтобы устранить многозначность, область значений ограничивают интервалом , на котором функция монотонна. Такое определение называют главным значением арккосинуса.

Четность

Функция арксинус является нечетной:
arcsin(– x ) = arcsin(–sin arcsin x ) = arcsin(sin(–arcsin x )) = – arcsin x

Функция арккосинус не является четной или нечетной:
arccos(– x ) = arccos(–cos arccos x ) = arccos(cos(π–arccos x )) = π – arccos x ≠ ± arccos x

Свойства — экстремумы, возрастание, убывание

Функции арксинус и арккосинус непрерывны на своей области определения (см. доказательство непрерывности). Основные свойства арксинуса и арккосинуса представлены в таблице.

skyboy
Дата 8.5.2007, 22:18 (ссылка) | (нет голосов) Загрузка .
y = arcsin x y = arccos x
Область определения и непрерывность – 1 ≤ x ≤ 1 – 1 ≤ x ≤ 1
Область значений
Возрастание, убывание монотонно возрастает монотонно убывает
Максимумы
Минимумы
Нули, y = 0 x = 0 x = 1
Точки пересечения с осью ординат, x = 0 y = 0 y = π/ 2

Таблица арксинусов и арккосинусов

В данной таблице представлены значения арксинусов и арккосинусов, в градусах и радианах, при некоторых значениях аргумента.

x arcsin x arccos x
град. рад. град. рад.
– 1 – 90° 180° π
– 60° 150°
– 45° 135°
– 30° 120°
90°
30° 60°
45° 45°
60° 30°
1 90°

Формулы

Формулы суммы и разности

при или

при 0,\,y>0 \;» style=»width:114px;height:18px;vertical-align:-10px;background-position: -638px -553px;»> и 1″ style=»width:102px;height:22px;vertical-align:-10px;background-position: -211px -513px;»>

при и 1″ style=»width:102px;height:22px;vertical-align:-10px;background-position: -211px -513px;»>

при или

при 0,\,y и 1″ style=»width:102px;height:22px;vertical-align:-10px;background-position: -211px -513px;»>

при 0 \;» style=»width:108px;height:18px;vertical-align:-10px;background-position: -0px -571px;»> и 1″ style=»width:102px;height:22px;vertical-align:-10px;background-position: -211px -513px;»>

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа: основные свойства

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс — обратные тригонометрические функции. Они обладают рядом свойств, которые мы рассмотрим в этой статье. Помимо словесных и математических формулировок основных свойств арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса, будут приведены доказательства этих свойств.

Синус арксинуса, косинус арккосинуса, тангенс арктангенса и котангенс арккотангенса

Это свойство используется чаще всего, поэтому логичнее всего начать рассмотрение всех основных свойств именно с него. Рассмотрим, чему равны синус арксинуса, косинус арккосинуса, тангенс арктангенса и котангенс арккотангенса числа.

Синус арксинуса, косинус арккосинуса, тангенс арктангенса и котангенс арккотангенса числа

  • sin a r c sin a = a , a ∈ 1 ; — 1 ;
  • cos a r c cos a = a , a ∈ 1 ; — 1 ;
  • t g ( a r c t g a ) = a , a ∈ — ∞ ; + ∞ ;
  • c t g ( a r c c t g a ) = a , a ∈ — ∞ ; + ∞ .

Данное свойство следует напрямую из определения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса.

Рассмотрим доказательство на примере арксинуса. Согласно определению, арксинус числа — это такой угол или число, синус которого равен числу a . При этом число a лежит в пределах от — 1 до + 1 включительно. В виде формулы определение запишется так:

sin ( a r c sin a ) = a

Доказательство для арккосинуса, арктангенса и арккотангенса строится аналогично, на базе определений этих функций. Вот несколько примеров использования данного свойства.

Пример 1. Свойства обратных тригонометрических функций

sin ( a r c sin ( 0 , 3 ) = 0 , 3 cos a r c cos — 3 2 = — 3 2 t g ( a r c t g ( 8 ) ) = 8 c t g ( a r c c t g ( 15 8 9 ) ) = 15 8 9

Важно отметить, что для обратных функций синуса и косинуса имеет место ограничение для значений числа a . Так, при a , лежащем вне пределов отрезка — 1 , 1 , арксинус и арккосинус не определены и записи a r c sin a и a r c cos a попросту не имеют смысла. Это связано с тем, что область значений синуса и косинуса — от минус единицы до плюс единицы. Например, нельзя записать cos ( a r c cos ( 9 ) ) , так как 9 больше 1 и данное выражение не имеет смысла. Делать подобные записи — ошибочно!

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс противоположных чисел

Существует связь между арксинусами, арккосинусами, арктангенсами и арккотангенсами противоположных чисел. Запишем соотношения, выражающие ее.

arcsin, arccos, arctg и arcctg противоположных чисел

  • a r c sin — a = — a r c sin a , a ∈ — 1 , 1 ;
  • a r c cos — a = π — a r c cos a , a ∈ — 1 , 1 ;
  • a r c t g — a = — a r c t g a , a ∈ — ∞ , + ∞ ;
  • a r c c t g — a = π — a r c c t g a , a ∈ — ∞ , + ∞ .

Докажем записанное. Начнем, как всегда, с доказательства для арксинусов. При — 1 ≤ a ≤ 1 имеет место равенство a r c sin — a = — a r c sin a . Согласно дефиниции, a r c sin ( — a ) — это угол (число) в пределах от — π 2 до π 2 , синус которого равен — a . Для доказательства справедливости первого равенства необходимо доказать, что — a r c sin a лежит в тех же пределах от — π 2 до π 2 , что и a r c sin ( — a ) . Также необходимо обосновать, что sin ( — a r c sin a ) = — a .

Для арксинуса, по определению, справедливо двойное неравенство — π 2 ≤ a r c sin a ≤ π 2 . Умножим каждую часть неравенства на — 1 и получим эквивалентное неравенство π 2 ≥ — a r c sin a ≥ — π 2 . Переписав его, получим — π 2 ≤ — a r c sin a ≤ π 2 .

Переходим ко второй части доказательства. Теперь осталось показать, что sin ( — a r c sin a ) = — a . Для этого воспользуемся свойством синусов противоположных углов и запишем: sin — a r c sin a = — sin a r c sin a . С учетом свойства арксинуса, рассмотренного в предыдущем пункте, закончим доказательство.

sin — a r c sin a = — sin a r c sin a = — a

Доказательство свойства арксинусов противоположных чисел завершено.

Теперь рассмотрим доказательство свойства арккосинусов противоположных чисел.

Для того, чтобы доказать, что a r c cos — a = π — a r c cos a при a ∈ — 1 , 1 необходимо во-первых показать, что число undefined.

Для арккосинуса, по определению, справедливо двойное неравенство 0 ≤ a r c cos a ≤ π . Умножив каждую часть неравенства на — 1 и поменяв знаки, получим эквивалентное неравенство 0 ≥ — a r c cos a ≥ — π . Перепишем его в другом виде. По свойствам неравенств, можно добавить к каждой части слагаемое, не меняя знаков. Добавим в каждую часть неравенства слагаемое π . Получим π ≥ π — a r c cos a ≥ 0 , или 0 ≤ π — a r c cos a ≤ π .

Теперь покажем, что cos π — arccos a = — a . Для этого воспользуемся формулами приведения, согласно которым можно записать cos π — arccos a = — cos ( a r c cos a ) . Обратившись к свойству арккосинуса, разобранному ранее (см. 1 пункт), заканчиваем доказательство.

cos π — arccos a = — cos ( a r c cos a ) = — a .

Доказательства для арктангенса и арккотангенса проводится по аналогичному принципу.

Основная польза данного свойства — возможность избавиться от операций с отрицательными числами при работе с арксинусами, арккосинусами, арктангенсами и арккотангенсами. Например, справедливы записи:

a r c sin — 1 2 = — a r c sin 1 2 a r c cos — 5 5 7 = π — arccos 5 5 7 arctg — 1 = — arctg 1 arcctg ( — 3 ) = π — arcctg 3

Сумма арксинуса и арккосинуса, арктангенса и арккотангенса


Данное свойство устанавливает связь соответственно между арксинусом и арккосинусам, арктангенсом и арккотангенсом. Запишем формулы для арксинуса и арккосинуса.

Сумма arcsin и arccos

a r c sin a + a r c cos a = π 2 , a ∈ — 1 , 1

Соответственно, для арктангенса и арккотангенса

Сумма arctg и arcctg

a r c t g a + a r c c t g a = π 2 , a ∈ — ∞ , + ∞

Приведем доказательство для арксинуса и арккосинуса. Формулу для суммы arcsin и arccos можно переписать в виде a r c sin a = π 2 — a r c cos a . Теперь обратимся к определению, согласно которому арксинус — это число (угол), лежащее в пределах от — π 2 до π 2 , синус которого равен a .

Запишем неравенство, вытекающее из определения арккосинуса: 0 ≤ a r c cos a ≤ π . Умножим все его части на — 1 , а затем прибавим к каждой части π 2 . Получим:

0 ≤ a r c cos a ≤ π 0 ≥ — arccos a ≥ — π π 2 ≥ π 2 — arccos a ≥ — π 2 — π 2 ≤ π 2 — arccos a ≤ π 2

Завершая доказательство, покажем, что sin π 2 — a r c cos a = a . Для этого используем формулу приведения и свойство косинуса от арккосинуса.

sin π 2 — a r c cos a = cos a r c cos a = a

Таким образом, доказано, что сумма арксинуса и арккосинуса равна π 2 . По такому же принципу проводится доказательство для суммы арктангенса и арккотангенса.

Пользуясь разобранными свойствами, можно выряжать арксинус через арккосинус, арккосинус через арксинус, арктангенс через арккотангенс и наоборот.

Пример 2. Сумма арксинуса и арккосинуса

Известно, что a r c sin 6 — 2 2 = π 12 . Найдем арккосинус этого числа.

a r c sin 6 — 2 2 + a r c cos 6 — 2 2 = π 2 a r c cos 6 — 2 2 = π 2 — a r c sin 6 — 2 2 a r c cos 6 — 2 2 = π 2 — π 12 = 5 π 12

Арксинус синуса, арккосинус косинуса, арктангенс тангенса и арккотангенс котангенса

Запишем соотношения, иллюстрирующие свойства арксинуса синуса, арккосинуса косинуса, арктангенса тангенса и арккотангенса котангенса.

Свойства арксинуса синуса, арккосинуса косинуса, арктангенса тангенса и арккотангенса котангенса

  • a r c sin ( sin α ) = α , — π 2 ≤ α ≤ π 2 ;
  • a r c cos ( cos α ) = α , 0 ≤ α ≤ π ;
  • a r c t g ( t g α ) = α , — π 2 ≤ α ≤ π 2 ;
  • a r c c t g ( c t g α ) = α , 0 ≤ α ≤ π .

Данные равенства и неравенства являются прямым следствием определений арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса. Покажем это, доказав, что a r c sin ( sin α ) = α при — π 2 ≤ α ≤ π 2 .

Обозначим sin α через a . a — число, лежащее в интервале от — 1 до + 1 . Тогда равенство a r c sin ( sin α ) = α можно переписать в виде a r c sin a = α . Данное равенство, при заданных условиях, аналогично определению синуса. Таким образом, мы доказали, что a r c sin ( sin α ) = α при — π 2 ≤ α ≤ π 2 .

Выражение a r c sin ( sin α ) имеет смысл не только при α , лежащем в пределах от — π 2 до π 2 . Однако, равенство a r c sin ( sin α ) = α выполняется только при соблюдении условия — π 2 ≤ α ≤ π 2 .

Аналогично, соблюдение условий обязательно для арккосинуса косинуса, арктангенса тангенса и арккотангенса котангенса.

К примеру, запись a r c sin ( sin 8 π 3 ) = 8 π 3 будет ошибочной, так как число 8 π 3 не удовлетворяет условиям неравенства.

Описанные в этой статье свойства позволяют получить ряд полезных формул, определяющих связи между основными и обратными тригонометрическими функциями. Соотношениям, связывающим sin, cos, tg, ctg, arcsin, arccos, arctg и arcctg будет посвящена отдельная статья.

Обратные тригонометрические функции

Вычисление обратных тригонометрических функций (арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс, арксеканс, арккосеканс)

Обратные тригонометрические функции, аркфункции, круговые функции — решают следующую задачу: найти дугу (число) по заданному значению её тригонометрической функции.

К обратным тригонометрическим функциям относят шесть функций:
arcsin — арксинус, возвращает угол по значению его синуса
arccos — арккосинус, возвращает угол по значению его косинуса
arctg — арктангенс, возвращает угол по значению его тангенса
arcсtg — арккотангенс, возвращает угол по значению его котангенса
arcsec — арксеканс, возвращает угол по значению его секанса
arccosec — арккосеканс, возвращает угол по значению его косеканса

Следующий онлайн калькулятор рассчитывает значения обратных тригонометрических функций.

Как подключить модуль с математическими функциями?

Уважаемые специалисты! Подскажите, пожалуйста. Мне необходимо в delphi (создание приложений Win32 ) использовать функцию arcsin , но для этого нужен модуль math , которого у меня нет. Видел на одном из форумов, что можно использовать библиотеку от Windows с математическими формулами, но предложенный там способ почему-то не работает. Подскажите, как это можно сделать или существует иное решение проблемы. Заранее благодарен всем ответам. С уважением, Марат.

Нахождение значений арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса.

Эта статья про нахождение значений арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса данного числа. Сначала мы внесем ясность, что называется значением арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса. Дальше получим основные значения этих аркфункций, после чего разберемся, как находятся значения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса по таблицам синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов Брадиса. Наконец, поговорим про нахождение арксинуса числа, когда известен арккосинус, арктангенс или арккотангенс этого числа, и т.п.

Навигация по странице.

Значения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса

Сначала стоит разобраться, что вообще такое «значение арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса».

Для этого обратимся к определениям арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса числа. Если под арксинусом, арккосинусом, арктангенсом и арккотангенсом числа a понимать угол, то значением арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса числа a логично считать величину этого угла. Если под арксинусом, арккосинусом, арктангенсом и арккотангенсом числа a понимать число, то оно и является значением соответствующей аркфункции.

Чтобы окончательно все стало понятно, приведем пример.

Например, по определению арккосинуса угол (число) π/3 является арккосинусом одной второй, так как этот угол (число) лежит в рамках от нуля до пи, и косинус этого угла (числа) равен 1/2 . Таким образом, значение арккосинуса одной второй есть угол пи на три радианов (число пи на три). При этом говорят: «Арккосинус одной второй равен пи на три». На письме подобные выражения записывают в виде равенства, рассматриваемому примеру соответствует запись arccos(1/2)=π/3 . Заметим, что величина угла может быть указана и в градусах. Так как угол π/3 рад равен углу 60 градусов (смотрите перевод градусов в радианы и обратно), то для нашего примера значением арккосинуса 1/2 можно указать угол 60 градусов, то есть, .

Основные значения arcsin, arccos, arctg и arcctg

Нам известны точные значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса так называемых основных углов 0 , ±30 , ±45 , ±60 , ±90 , ±120 , ±135 , ±150 , ±180, … градусов, которые мы собрали в таблице синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов основных углов. Из этой таблицы можно получить некоторые значения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса, которые будем называть основными значениями арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса.

Из таблицы синусов основных углов мы можем извлечь следующие результаты:

Учитывая эти значения, а также определение арксинуса числа, мы можем указать следующие значения арксинуса числа −1 , минус корень из трех на два, минус корень из двух на два, −1/2 , 0 , 1/2 , корень из двух на два, корень из трех на два и 1 , которые равны −π/2 , −π/3 , −π/4 , −π/6 , 0 , π/6 , π/4 , π/3 и π/2 радианов ( −90 , −60 , −45 , −30 , 0 , 30 , 45 , 60 и 90 градусов) или числам −π/2 , −π/3 , −π/4 , −π/6 , 0 , π/6 , π/4 , π/3 и π/2 соответственно. Это есть основные значения арксинуса.

Для удобства запишем основные значения арксинуса в таблицу. Основные значения арксинуса (как и приведенные ниже значения арккосинуса, арктангенса и арккотангенса) желательно выучить наизусть, так как с ними придется часто встречаться при решении примеров и задач.

Чтобы получить основные значения арккосинуса, обратимся к таблице косинусов основных углов. Из нее находим, что

Отсюда получаем такие значения арккосинуса:

Вот соответствующая таблица арккосинусов.

Аналогично находятся основные значения арктангенса и арккотангенса. Также занесем их в таблицы арктангенсов и арккотангенсов.

Нахождение значений arcsin, arccos, arctg и arcctg по таблицам синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов Брадиса

Понятно, что мы можем указать точное значение арксинуса, арккосинуса, арктангенса или арккотангенса числа a , когда знаем величину угла (или число), синус, косинус, тангенс или котангенс которого равен a . Это по большей части касается основных значений арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса, о которых мы говорили в предыдущем пункте данной статьи. В общем же случае отыскать точное значение аркфункций не представляется возможным. Однако мы всегда можем найти приближенное значение арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса данного числа, например, воспользовавшись таблицами синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов Брадиса.

Таблицы синусов и косинусов, а также тангенсов и котангенсов Брадиса позволяют найти значение арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса положительного числа в градусах с точностью до одной минуты. Здесь стоит оговориться, что нахождение значений арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса отрицательных чисел можно свести к нахождению значений соответствующих аркфункций положительных чисел, обратившись к формулам arcsin, arccos, arctg и arcctg противоположных чисел вида arcsin(−a)=−arcsin a , arccos(−a)=π−arccos a , arctg(−a)=−arctg a и arcctg(−a)=π−arcctg a .

Разберемся с нахождением значений арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса по таблицам Брадиса. Будем это делать на примерах.

Пусть нам требуется найти значение арксинуса 0,2857 . Находим это значение в таблице синусов (случаи, когда это значение отсутствует в таблице, разберем ниже). Ему соответствует синус 16 градусов 36 минут. Следовательно, искомым значением арксинуса числа 0,2857 является угол 16 градусов 36 минут.

Часто приходится учитывать и поправки из трех справа столбцов таблицы. К примеру, если нам нужно найти арксинус 0,2863 . По таблице синусов это значение получается как 0,2857 плюс поправка 0,0006 , то есть, значению 0,2863 соответствует синус 16 градусов 38 минут ( 16 градусов 36 минут плюс 2 минуты поправки).

Если же число, арксинус которого нас интересует, отсутствует в таблице и даже не может быть получено с учетом поправок, то в таблице нужно отыскать два наиболее близких к нему значения синусов, между которыми данное число заключено. Например, мы ищем значение арксинуса числа 0,2861573 . Этого числа нет в таблице, с помощью поправок это число тоже не получить. Тогда находим два наиболее близких значения 0,2860 и 0,2863 , между которыми исходное число заключено, этим числам соответствуют синусы 16 градусов 37 минут и 16 градусов 38 минут. Искомое значение арксинуса 0,2861573 заключено между ними, то есть, любое из этих значений угла можно принять в качестве приближенного значения арксинуса с точностью до 1 минуты.

Абсолютно аналогично находятся и значения арккосинуса, и значения арктангенса и значения арккотангенса (при этом, конечно, используются таблицы косинусов, тангенсов и котангенсов соответственно).

Нахождение значения arcsin через arccos, arctg, arcctg и т.п.

Задача нахождения значения арксинуса числа через известный арккосинус этого числа, арккосинуса через известный арксинус, арктангенса через арккотангенс и арккотангенса через известный арктангенс решается очень просто – достаточно использовать формулы arcsin a+arccos a=π/2 и arctg a+arcctg a=π/2 (смотрите формулы суммы арксинуса и арккосинуса, суммы арктангенса и арккотангенса).

Например, пусть нам известно, что arcsin a=−π/12 , а нужно найти значение arccos a . Вычисляем нужное нам значение арккосинуса: arccos a=π/2−arcsin a=π/2−(−π/12)=7π/12 .

Куда интереснее обстоит дело, когда по известному значению арксинуса или арккосинуса числа a требуется найти значение арктангенса или арккотангенса этого числа a или наоборот. Формул, задающих такие связи, мы, к сожалению, не знаем. Как же быть? Разберемся с этим на примере.

Пусть нам известно, что арккосинус числа a равен π/10 , и нужно вычислить значение арктангенса этого числа a . Решить поставленную задачу можно так: по известному значению арккосинуса найти число a , после чего найти арктангенс этого числа. Для этого нам сначала потребуется таблица косинусов, а затем – таблица тангенсов.

Угол π/10 радиан – это угол 18 градусов, по таблице косинусов находим, что косинус 18 градусов приближенно равен 0,9511 , тогда число a в нашем примере есть 0,9511 .

Осталось обратиться к таблице тангенсов, и с ее помощью найти нужное нам значение арктангенса 0,9511 , оно приближенно равно 43 градусам 34 минутам.

Эту тему логически продолжает материал статьи вычисление значений выражений, содержащих arcsin, arccos, arctg и arcctg.

Илон Маск рекомендует:  Скрипт прогноза погоды для сайта на jQuery + Yahoo API
Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Кодинг, CSS и SQL