Delphi 2006. Справочное пособие: Язык Delphi, классы, функции Win32 и .NET. — Архангельский А.Я.
Архангельский А.Я. Delphi 2006. Справочное пособие: Язык Delphi, классы, функции Win32 и .NET. — М.: Бином- Пресс, 2006. — 1152 c.
ISBN 5-9518-0138-9
Скачать (прямая ссылка): delphispravochnoeposobie2006.djvu Предыдущая 379 380 381 382 383 384 .. 478 >> Следующая
Sqrt(X) квадратный корень выражение Extended System / Borland. Delphi.System / System.Math
Trunc(X) возвращает целую часть действительного выражения выражение Extended System / Borland. Delphi.System
Модуль Math в приложениях VCL Win32 и пространство имен Borland.VcL Math в приложениях .NET должны подключаться вручную предложениями uses.
Многие функции практически идентичны в разных модулях, разных пространствах имен и в классе System.Math. Так что можно с равным успехом использовать любой из этих источников. Например, в приложении VCL Win32 вычисление абсолютного значения переменной А можно оформить так:
uses Math; А := Abs(А);
А в приложении Windows Forms то же самое можно оформить так:
или, не подключая дополнительное пространство имен, так:
О возможных ошибках при вычислении математических функций см. в разд. 2.8.3.
11-3 Тригонометрические и гиперболические функции
Тригонометрические и гиперболические функции объявлены в модулях Math и System в приложениях VCL Win32, в пространствах имен Borland. VcLMath и Borland.Delphi.System в приложениях .NET, и реализуются соответствующими методами класса System.Math, описание которого вы найдете в гл. 9. 11.3 ¦ Тригонометрические и гиперболические функции
Функция Описание Модуль / Пространство имен / Класс
Acos(X) арккосинус System.Math
Asin(X) арксинус System.Math
Atan(X) арктангенс System.Math
Atan2(X) арктангенс отношения двух действительных выражений System.Math
ArcCos(X) арккосинус Math / Borland. Vcl.Math
ArcCosh(X) арккосинус гиперболический Math / Borland. Vcl.Math
ArcCot(X) арккотангенс Math / Borland. Vcl.Math
ArcCotH(X) арккотангенс гиперболический Math / Borland. Vcl.Math
ArcCsc(X) арккосеканс Math / Borland. Vcl.Math
ArcCscH(X) арккосеканс гиперболический Math / Borland. Vcl.Math
ArcSec(X) арксеканс Math / Borland. Vcl.Math
ArcSecH(X) арксеканс гиперболический Math / Borland. Vcl.Math
ArcSin(X) арксинус Math / Borland. Vcl.Math
ArcSinh(X) арксинус гиперболический Math / Borland. Vcl.Math
ArcTarv(X) арктангенс System / Borland. Delphi. System
ArcTan2(Y, X) арктангенс от Y / X Math / Borland. Vcl.Math
ArcTanh(X) арктангенс гиперболический Math / Borland. Vcl.Math
Cos(X) косинус System / Borland. Delphi.System / System.Math
Cosecant(X) косеканс Math / Borland. Vcl.Math 886
Глава 11 ¦ Обзор функций
Функция Описание Модуль / Пространство имен / Класс
Cosh(X) косинус гиперболический Math / Borland. Vcl. Math/ System. Math
Cot(X) котангенс Math / Borland. Vcl. Math
Cotan(X) котангенс Math / Borland. Vcl.Math
CotH(X) котангенс гиперболический Math / Borland. Vcl. Math
Csc(X) косеканс Math / Borland. Vcl. Math
CscH(X) косеканс гиперболический Math / Borland. Vcl.Math
Hypo t(X, Y) вычисление гипотенузы по заданным катетам XhY Math / Borland. Vcl. Math
Sec(X) секанс Math / Borland. Vcl.Math
Secant(X) секанс Math / Borland. Vcl. Math
SecH(X) секанс гиперболический Math / Borland. Vcl.Math
Sin(X) синус System / Borland. Delphi.System / System.Math
SinCos(X, S, С) синус и косинус Math / Borland. Vcl. Math
Sinh(X) синус гиперболический Math / Borland. Vcl. Math/ System.Math
Tan(X) тангенс Math / Borland. Vcl.Math / System.Math
Tanh(X) тангенс гиперболический Math / Borland. Vcl.Math / System.Math
Модуль Math в приложениях VCL Win32 и пространство имен Borland.Vcl. Math в приложениях .NET должны подключаться вручную предложениями uses. 11.4 ¦ Процедуры и функции обработки дат и времени
Во всех функциях тип аргумента и тип возвращаемого значения — Extended.
Во всех тригонометрических функциях аргумент X — угол в радианах. Для перевода в радианы угла, заданного в градусах или циклах, можно использовать функции DegToRad и CycleToRad (см. разд. 11.2 и гл. 12).
Обратные тригонометрические функции возвращают главное значение угла в радианах. В функциях ArcSin и ArcCos аргумент должен лежать в пределах от — 1 до 1. Функции ArcSin и ArcTan возвращают результат в пределах [—Pi/2 .. Pi/2], ArcCos — в пределах [0 .. Pi].
function ArcTan2(Y, X: Extended): Extended;
вычисляет арктангенс ArcTan(Y/X) и возвращает угол с учетом квадранта. Возвращаемые значения угла в радианах лежат в пределах [-Pi.. Pi]. Значения X и Y должны лежать в пределах [-264 .. 264]. Кроме того X не должен равняться нулю.
procedure SinCos(Theta: Extended; var Sin, Cos: Extended);
вычисляет одновременно синус Sin и косинус Cos угла Theta. Эта функция работает вдвое быстрее, чем раздельное вычисление сначала синуса и затем косинуса.
11.4 Процедуры и функции обработки дат и времени
Процедуры и функции, работающих с датами и временем, используют множество форматов данных (хотя не очень понятно, почему нельзя их свести к одному, двум, трем стандартам). Поэтому, прежде всего, имеет смысл дать обзор этих форматов. А подробное описание многих типов, обеспечивающих эти форматы, вы найдете в гл. 9.
Предыдущая 379 380 381 382 383 384 .. 478 >> Следующая
ArcSin — Функция Delphi
Профиль
Группа: Модератор
Сообщений: 11360
Регистрация: 13.10.2004
Где: Питер
Репутация: нет
Всего: 483
Если я правильно помню тригонометрию, то
| Код |
| function arccos(x: real): real; var y: real; begin if (x>0) and (x =-1) then y:=pi + arctan(sqrt(1-sqr(x))/x) else if x=0 then y:=0 else y:=999; arccos:=y; end; |
| Код |
| function arcsin(x: real): real; begin if (x>=-1) and (x |
P.S. возвращает 999, если задано недопустимое значение x.
| Mr_Nuke |
|
|
| Код |
| asin(z)= -i * log (i + z + sqrt(1 — z ** 2)) |
Однако тут возникают уже другие вопросы :
что такое i, там про него не слова)
и что такое **; Готов предположить, что это возмедение в степень, но если в программе просто написать a**2, то компилятор выдаст ошибку, хотя я подключаю все библиотеки, описанные в данном разделе help’a
Это сообщение отредактировал(а) Mr_Nuke — 8.5.2007, 10:07
| XupyprMV |
|
|
| Mr_Nuke |
|
|
| XupyprMV |
|
|
| Snowy |
|
|
| Цитата(Mr_Nuke @ 8.5.2007, 10:13 ) |
| а как тогда объяснить то, что на колькуляторе arcsin (2) = 3.6268. |
| Mr_Nuke |
|
|
| XupyprMV |
|
|
| Код |
| sin(x/180*Pi) |
т. к. в паскале тригонометрические функции работают в радианах.
Кстати, вот график арксинуса:
Присоединённый файл ( Кол-во скачиваний: 10 )
123.JPG 9,79 Kb
| Mr_Nuke |
|
|
| Цитата(XupyprMV @ 8.5.2007, 14:57) |
| Кстати, вот график арксинуса: |
| skyboy |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| y = arcsin x | y = arccos x | |
| Область определения и непрерывность | – 1 ≤ x ≤ 1 | – 1 ≤ x ≤ 1 |
| Область значений | ||
| Возрастание, убывание | монотонно возрастает | монотонно убывает |
| Максимумы | ||
| Минимумы | ||
| Нули, y = 0 | x = 0 | x = 1 |
| Точки пересечения с осью ординат, x = 0 | y = 0 | y = π/ 2 |
Таблица арксинусов и арккосинусов
В данной таблице представлены значения арксинусов и арккосинусов, в градусах и радианах, при некоторых значениях аргумента.
| x | arcsin x | arccos x | ||
| град. | рад. | град. | рад. | |
| – 1 | – 90° | – | 180° | π |
| – | – 60° | – | 150° | |
| – | – 45° | – | 135° | |
| – | – 30° | – | 120° | |
| 0° | 90° | |||
| 30° | 60° | |||
| 45° | 45° | |||
| 60° | 30° | |||
| 1 | 90° | 0° |
Формулы
Формулы суммы и разности
при или
при 0,\,y>0 \;» style=»width:114px;height:18px;vertical-align:-10px;background-position: -638px -553px;»> и 1″ style=»width:102px;height:22px;vertical-align:-10px;background-position: -211px -513px;»>
при и 1″ style=»width:102px;height:22px;vertical-align:-10px;background-position: -211px -513px;»>
при или
при 0,\,y и 1″ style=»width:102px;height:22px;vertical-align:-10px;background-position: -211px -513px;»>
при 0 \;» style=»width:108px;height:18px;vertical-align:-10px;background-position: -0px -571px;»> и 1″ style=»width:102px;height:22px;vertical-align:-10px;background-position: -211px -513px;»>
Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа: основные свойства
Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс — обратные тригонометрические функции. Они обладают рядом свойств, которые мы рассмотрим в этой статье. Помимо словесных и математических формулировок основных свойств арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса, будут приведены доказательства этих свойств.
Синус арксинуса, косинус арккосинуса, тангенс арктангенса и котангенс арккотангенса
Это свойство используется чаще всего, поэтому логичнее всего начать рассмотрение всех основных свойств именно с него. Рассмотрим, чему равны синус арксинуса, косинус арккосинуса, тангенс арктангенса и котангенс арккотангенса числа.
Синус арксинуса, косинус арккосинуса, тангенс арктангенса и котангенс арккотангенса числа
- sin a r c sin a = a , a ∈ 1 ; — 1 ;
- cos a r c cos a = a , a ∈ 1 ; — 1 ;
- t g ( a r c t g a ) = a , a ∈ — ∞ ; + ∞ ;
- c t g ( a r c c t g a ) = a , a ∈ — ∞ ; + ∞ .
Данное свойство следует напрямую из определения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса.
Рассмотрим доказательство на примере арксинуса. Согласно определению, арксинус числа — это такой угол или число, синус которого равен числу a . При этом число a лежит в пределах от — 1 до + 1 включительно. В виде формулы определение запишется так:
sin ( a r c sin a ) = a
Доказательство для арккосинуса, арктангенса и арккотангенса строится аналогично, на базе определений этих функций. Вот несколько примеров использования данного свойства.
Пример 1. Свойства обратных тригонометрических функций
sin ( a r c sin ( 0 , 3 ) = 0 , 3 cos a r c cos — 3 2 = — 3 2 t g ( a r c t g ( 8 ) ) = 8 c t g ( a r c c t g ( 15 8 9 ) ) = 15 8 9
Важно отметить, что для обратных функций синуса и косинуса имеет место ограничение для значений числа a . Так, при a , лежащем вне пределов отрезка — 1 , 1 , арксинус и арккосинус не определены и записи a r c sin a и a r c cos a попросту не имеют смысла. Это связано с тем, что область значений синуса и косинуса — от минус единицы до плюс единицы. Например, нельзя записать cos ( a r c cos ( 9 ) ) , так как 9 больше 1 и данное выражение не имеет смысла. Делать подобные записи — ошибочно!
Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс противоположных чисел
Существует связь между арксинусами, арккосинусами, арктангенсами и арккотангенсами противоположных чисел. Запишем соотношения, выражающие ее.
arcsin, arccos, arctg и arcctg противоположных чисел
- a r c sin — a = — a r c sin a , a ∈ — 1 , 1 ;
- a r c cos — a = π — a r c cos a , a ∈ — 1 , 1 ;
- a r c t g — a = — a r c t g a , a ∈ — ∞ , + ∞ ;
- a r c c t g — a = π — a r c c t g a , a ∈ — ∞ , + ∞ .
Докажем записанное. Начнем, как всегда, с доказательства для арксинусов. При — 1 ≤ a ≤ 1 имеет место равенство a r c sin — a = — a r c sin a . Согласно дефиниции, a r c sin ( — a ) — это угол (число) в пределах от — π 2 до π 2 , синус которого равен — a . Для доказательства справедливости первого равенства необходимо доказать, что — a r c sin a лежит в тех же пределах от — π 2 до π 2 , что и a r c sin ( — a ) . Также необходимо обосновать, что sin ( — a r c sin a ) = — a .
Для арксинуса, по определению, справедливо двойное неравенство — π 2 ≤ a r c sin a ≤ π 2 . Умножим каждую часть неравенства на — 1 и получим эквивалентное неравенство π 2 ≥ — a r c sin a ≥ — π 2 . Переписав его, получим — π 2 ≤ — a r c sin a ≤ π 2 .
Переходим ко второй части доказательства. Теперь осталось показать, что sin ( — a r c sin a ) = — a . Для этого воспользуемся свойством синусов противоположных углов и запишем: sin — a r c sin a = — sin a r c sin a . С учетом свойства арксинуса, рассмотренного в предыдущем пункте, закончим доказательство.
sin — a r c sin a = — sin a r c sin a = — a
Доказательство свойства арксинусов противоположных чисел завершено.
Теперь рассмотрим доказательство свойства арккосинусов противоположных чисел.
Для того, чтобы доказать, что a r c cos — a = π — a r c cos a при a ∈ — 1 , 1 необходимо во-первых показать, что число undefined.
Для арккосинуса, по определению, справедливо двойное неравенство 0 ≤ a r c cos a ≤ π . Умножив каждую часть неравенства на — 1 и поменяв знаки, получим эквивалентное неравенство 0 ≥ — a r c cos a ≥ — π . Перепишем его в другом виде. По свойствам неравенств, можно добавить к каждой части слагаемое, не меняя знаков. Добавим в каждую часть неравенства слагаемое π . Получим π ≥ π — a r c cos a ≥ 0 , или 0 ≤ π — a r c cos a ≤ π .
Теперь покажем, что cos π — arccos a = — a . Для этого воспользуемся формулами приведения, согласно которым можно записать cos π — arccos a = — cos ( a r c cos a ) . Обратившись к свойству арккосинуса, разобранному ранее (см. 1 пункт), заканчиваем доказательство.
cos π — arccos a = — cos ( a r c cos a ) = — a .
Доказательства для арктангенса и арккотангенса проводится по аналогичному принципу.
Основная польза данного свойства — возможность избавиться от операций с отрицательными числами при работе с арксинусами, арккосинусами, арктангенсами и арккотангенсами. Например, справедливы записи:
a r c sin — 1 2 = — a r c sin 1 2 a r c cos — 5 5 7 = π — arccos 5 5 7 arctg — 1 = — arctg 1 arcctg ( — 3 ) = π — arcctg 3
Сумма арксинуса и арккосинуса, арктангенса и арккотангенса
Данное свойство устанавливает связь соответственно между арксинусом и арккосинусам, арктангенсом и арккотангенсом. Запишем формулы для арксинуса и арккосинуса.
Сумма arcsin и arccos
a r c sin a + a r c cos a = π 2 , a ∈ — 1 , 1
Соответственно, для арктангенса и арккотангенса
Сумма arctg и arcctg
a r c t g a + a r c c t g a = π 2 , a ∈ — ∞ , + ∞
Приведем доказательство для арксинуса и арккосинуса. Формулу для суммы arcsin и arccos можно переписать в виде a r c sin a = π 2 — a r c cos a . Теперь обратимся к определению, согласно которому арксинус — это число (угол), лежащее в пределах от — π 2 до π 2 , синус которого равен a .
Запишем неравенство, вытекающее из определения арккосинуса: 0 ≤ a r c cos a ≤ π . Умножим все его части на — 1 , а затем прибавим к каждой части π 2 . Получим:
0 ≤ a r c cos a ≤ π 0 ≥ — arccos a ≥ — π π 2 ≥ π 2 — arccos a ≥ — π 2 — π 2 ≤ π 2 — arccos a ≤ π 2
Завершая доказательство, покажем, что sin π 2 — a r c cos a = a . Для этого используем формулу приведения и свойство косинуса от арккосинуса.
sin π 2 — a r c cos a = cos a r c cos a = a
Таким образом, доказано, что сумма арксинуса и арккосинуса равна π 2 . По такому же принципу проводится доказательство для суммы арктангенса и арккотангенса.
Пользуясь разобранными свойствами, можно выряжать арксинус через арккосинус, арккосинус через арксинус, арктангенс через арккотангенс и наоборот.
Пример 2. Сумма арксинуса и арккосинуса
Известно, что a r c sin 6 — 2 2 = π 12 . Найдем арккосинус этого числа.
a r c sin 6 — 2 2 + a r c cos 6 — 2 2 = π 2 a r c cos 6 — 2 2 = π 2 — a r c sin 6 — 2 2 a r c cos 6 — 2 2 = π 2 — π 12 = 5 π 12
Арксинус синуса, арккосинус косинуса, арктангенс тангенса и арккотангенс котангенса
Запишем соотношения, иллюстрирующие свойства арксинуса синуса, арккосинуса косинуса, арктангенса тангенса и арккотангенса котангенса.
Свойства арксинуса синуса, арккосинуса косинуса, арктангенса тангенса и арккотангенса котангенса
- a r c sin ( sin α ) = α , — π 2 ≤ α ≤ π 2 ;
- a r c cos ( cos α ) = α , 0 ≤ α ≤ π ;
- a r c t g ( t g α ) = α , — π 2 ≤ α ≤ π 2 ;
- a r c c t g ( c t g α ) = α , 0 ≤ α ≤ π .
Данные равенства и неравенства являются прямым следствием определений арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса. Покажем это, доказав, что a r c sin ( sin α ) = α при — π 2 ≤ α ≤ π 2 .
Обозначим sin α через a . a — число, лежащее в интервале от — 1 до + 1 . Тогда равенство a r c sin ( sin α ) = α можно переписать в виде a r c sin a = α . Данное равенство, при заданных условиях, аналогично определению синуса. Таким образом, мы доказали, что a r c sin ( sin α ) = α при — π 2 ≤ α ≤ π 2 .
Выражение a r c sin ( sin α ) имеет смысл не только при α , лежащем в пределах от — π 2 до π 2 . Однако, равенство a r c sin ( sin α ) = α выполняется только при соблюдении условия — π 2 ≤ α ≤ π 2 .
Аналогично, соблюдение условий обязательно для арккосинуса косинуса, арктангенса тангенса и арккотангенса котангенса.
К примеру, запись a r c sin ( sin 8 π 3 ) = 8 π 3 будет ошибочной, так как число 8 π 3 не удовлетворяет условиям неравенства.
Описанные в этой статье свойства позволяют получить ряд полезных формул, определяющих связи между основными и обратными тригонометрическими функциями. Соотношениям, связывающим sin, cos, tg, ctg, arcsin, arccos, arctg и arcctg будет посвящена отдельная статья.
Обратные тригонометрические функции
Вычисление обратных тригонометрических функций (арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс, арксеканс, арккосеканс)
Обратные тригонометрические функции, аркфункции, круговые функции — решают следующую задачу: найти дугу (число) по заданному значению её тригонометрической функции.
К обратным тригонометрическим функциям относят шесть функций:
arcsin — арксинус, возвращает угол по значению его синуса
arccos — арккосинус, возвращает угол по значению его косинуса
arctg — арктангенс, возвращает угол по значению его тангенса
arcсtg — арккотангенс, возвращает угол по значению его котангенса
arcsec — арксеканс, возвращает угол по значению его секанса
arccosec — арккосеканс, возвращает угол по значению его косеканса
Следующий онлайн калькулятор рассчитывает значения обратных тригонометрических функций.
Как подключить модуль с математическими функциями?
Уважаемые специалисты! Подскажите, пожалуйста. Мне необходимо в delphi (создание приложений Win32 ) использовать функцию arcsin , но для этого нужен модуль math , которого у меня нет. Видел на одном из форумов, что можно использовать библиотеку от Windows с математическими формулами, но предложенный там способ почему-то не работает. Подскажите, как это можно сделать или существует иное решение проблемы. Заранее благодарен всем ответам. С уважением, Марат.
Нахождение значений арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса.
Эта статья про нахождение значений арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса данного числа. Сначала мы внесем ясность, что называется значением арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса. Дальше получим основные значения этих аркфункций, после чего разберемся, как находятся значения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса по таблицам синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов Брадиса. Наконец, поговорим про нахождение арксинуса числа, когда известен арккосинус, арктангенс или арккотангенс этого числа, и т.п.
Навигация по странице.
Значения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса
Сначала стоит разобраться, что вообще такое «значение арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса».
Для этого обратимся к определениям арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса числа. Если под арксинусом, арккосинусом, арктангенсом и арккотангенсом числа a понимать угол, то значением арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса числа a логично считать величину этого угла. Если под арксинусом, арккосинусом, арктангенсом и арккотангенсом числа a понимать число, то оно и является значением соответствующей аркфункции.
Чтобы окончательно все стало понятно, приведем пример.
Например, по определению арккосинуса угол (число) π/3 является арккосинусом одной второй, так как этот угол (число) лежит в рамках от нуля до пи, и косинус этого угла (числа) равен 1/2 . Таким образом, значение арккосинуса одной второй есть угол пи на три радианов (число пи на три). При этом говорят: «Арккосинус одной второй равен пи на три». На письме подобные выражения записывают в виде равенства, рассматриваемому примеру соответствует запись arccos(1/2)=π/3 . Заметим, что величина угла может быть указана и в градусах. Так как угол π/3 рад равен углу 60 градусов (смотрите перевод градусов в радианы и обратно), то для нашего примера значением арккосинуса 1/2 можно указать угол 60 градусов, то есть, .
Основные значения arcsin, arccos, arctg и arcctg
Нам известны точные значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса так называемых основных углов 0 , ±30 , ±45 , ±60 , ±90 , ±120 , ±135 , ±150 , ±180, … градусов, которые мы собрали в таблице синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов основных углов. Из этой таблицы можно получить некоторые значения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса, которые будем называть основными значениями арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса.
Из таблицы синусов основных углов мы можем извлечь следующие результаты:
Учитывая эти значения, а также определение арксинуса числа, мы можем указать следующие значения арксинуса числа −1 , минус корень из трех на два, минус корень из двух на два, −1/2 , 0 , 1/2 , корень из двух на два, корень из трех на два и 1 , которые равны −π/2 , −π/3 , −π/4 , −π/6 , 0 , π/6 , π/4 , π/3 и π/2 радианов ( −90 , −60 , −45 , −30 , 0 , 30 , 45 , 60 и 90 градусов) или числам −π/2 , −π/3 , −π/4 , −π/6 , 0 , π/6 , π/4 , π/3 и π/2 соответственно. Это есть основные значения арксинуса.
Для удобства запишем основные значения арксинуса в таблицу. Основные значения арксинуса (как и приведенные ниже значения арккосинуса, арктангенса и арккотангенса) желательно выучить наизусть, так как с ними придется часто встречаться при решении примеров и задач.
Чтобы получить основные значения арккосинуса, обратимся к таблице косинусов основных углов. Из нее находим, что
Отсюда получаем такие значения арккосинуса:
Вот соответствующая таблица арккосинусов.
Аналогично находятся основные значения арктангенса и арккотангенса. Также занесем их в таблицы арктангенсов и арккотангенсов.
Нахождение значений arcsin, arccos, arctg и arcctg по таблицам синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов Брадиса
Понятно, что мы можем указать точное значение арксинуса, арккосинуса, арктангенса или арккотангенса числа a , когда знаем величину угла (или число), синус, косинус, тангенс или котангенс которого равен a . Это по большей части касается основных значений арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса, о которых мы говорили в предыдущем пункте данной статьи. В общем же случае отыскать точное значение аркфункций не представляется возможным. Однако мы всегда можем найти приближенное значение арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса данного числа, например, воспользовавшись таблицами синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов Брадиса.
Таблицы синусов и косинусов, а также тангенсов и котангенсов Брадиса позволяют найти значение арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса положительного числа в градусах с точностью до одной минуты. Здесь стоит оговориться, что нахождение значений арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса отрицательных чисел можно свести к нахождению значений соответствующих аркфункций положительных чисел, обратившись к формулам arcsin, arccos, arctg и arcctg противоположных чисел вида arcsin(−a)=−arcsin a , arccos(−a)=π−arccos a , arctg(−a)=−arctg a и arcctg(−a)=π−arcctg a .
Разберемся с нахождением значений арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса по таблицам Брадиса. Будем это делать на примерах.
Пусть нам требуется найти значение арксинуса 0,2857 . Находим это значение в таблице синусов (случаи, когда это значение отсутствует в таблице, разберем ниже). Ему соответствует синус 16 градусов 36 минут. Следовательно, искомым значением арксинуса числа 0,2857 является угол 16 градусов 36 минут.
Часто приходится учитывать и поправки из трех справа столбцов таблицы. К примеру, если нам нужно найти арксинус 0,2863 . По таблице синусов это значение получается как 0,2857 плюс поправка 0,0006 , то есть, значению 0,2863 соответствует синус 16 градусов 38 минут ( 16 градусов 36 минут плюс 2 минуты поправки).
Если же число, арксинус которого нас интересует, отсутствует в таблице и даже не может быть получено с учетом поправок, то в таблице нужно отыскать два наиболее близких к нему значения синусов, между которыми данное число заключено. Например, мы ищем значение арксинуса числа 0,2861573 . Этого числа нет в таблице, с помощью поправок это число тоже не получить. Тогда находим два наиболее близких значения 0,2860 и 0,2863 , между которыми исходное число заключено, этим числам соответствуют синусы 16 градусов 37 минут и 16 градусов 38 минут. Искомое значение арксинуса 0,2861573 заключено между ними, то есть, любое из этих значений угла можно принять в качестве приближенного значения арксинуса с точностью до 1 минуты.
Абсолютно аналогично находятся и значения арккосинуса, и значения арктангенса и значения арккотангенса (при этом, конечно, используются таблицы косинусов, тангенсов и котангенсов соответственно).
Нахождение значения arcsin через arccos, arctg, arcctg и т.п.
Задача нахождения значения арксинуса числа через известный арккосинус этого числа, арккосинуса через известный арксинус, арктангенса через арккотангенс и арккотангенса через известный арктангенс решается очень просто – достаточно использовать формулы arcsin a+arccos a=π/2 и arctg a+arcctg a=π/2 (смотрите формулы суммы арксинуса и арккосинуса, суммы арктангенса и арккотангенса).
Например, пусть нам известно, что arcsin a=−π/12 , а нужно найти значение arccos a . Вычисляем нужное нам значение арккосинуса: arccos a=π/2−arcsin a=π/2−(−π/12)=7π/12 .
Куда интереснее обстоит дело, когда по известному значению арксинуса или арккосинуса числа a требуется найти значение арктангенса или арккотангенса этого числа a или наоборот. Формул, задающих такие связи, мы, к сожалению, не знаем. Как же быть? Разберемся с этим на примере.
Пусть нам известно, что арккосинус числа a равен π/10 , и нужно вычислить значение арктангенса этого числа a . Решить поставленную задачу можно так: по известному значению арккосинуса найти число a , после чего найти арктангенс этого числа. Для этого нам сначала потребуется таблица косинусов, а затем – таблица тангенсов.
Угол π/10 радиан – это угол 18 градусов, по таблице косинусов находим, что косинус 18 градусов приближенно равен 0,9511 , тогда число a в нашем примере есть 0,9511 .
Осталось обратиться к таблице тангенсов, и с ее помощью найти нужное нам значение арктангенса 0,9511 , оно приближенно равно 43 градусам 34 минутам.
Эту тему логически продолжает материал статьи вычисление значений выражений, содержащих arcsin, arccos, arctg и arcctg.
