Что такое код asin арксинус


Содержание

Основные формулы с арксинусом, арккосинусом, арктангенсом и арккотангенсом.

Для успешной работы с арксинусами, арккосинусами, арктангенсами и арккотангенсами чисел нужно знать существующие между ними связи. Эти связи удобно записывать в виде формул.

В этой статье мы разберем основные формулы с arcsin, arccos, arctg и arcctg, для удобства работы и запоминания разобьем эти формулы по группам, дадим их вывод и доказательство, а также покажем примеры использования.

Навигация по странице.

Первые четыре блока формул представляют собой основные свойства арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса числа, в указанной статье сайта www.cleverstudents.ru Вы найдете и доказательство этих формул, и примеры их применения. Здесь мы не будем повторяться, а лишь приведем сами формулы, чтобы они все были в одном месте.

Синус арксинуса, косинус арккосинуса и т.п.

Эти формулы очевидны и напрямую следуют из определений арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса числа. Они показывают, чему равен синус арксинуса, косинус арккосинуса, тангенс арктангенса и котангенс арккотангенса.

Арксинус синуса, арккосинус косинуса и т.п.

Эти формулы также очевидны и следуют из определений арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса. Они определяют, чему равен арксинус синуса, арктангенс тангенса, арккосинус косинуса и арккотангенс котангенса. Заметим, что стоит быть очень внимательными к указанным условиям, так как если угол (число) α выходит за указанные пределы, то эти формулы использовать нельзя, ибо они дадут неверный результат.

Связи между arcsin, arccos, arctg и arcctg противоположных чисел

Формулы этого блока показывают, как арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс отрицательного числа выражаются через arcsin , arccos , arctg и arcctg противоположного ему положительного числа. Эти формулы позволяют избавиться от работы с арксинусами, арккосинусами, арктангенсами и арккотангенсами отрицательных чисел, и перейти к работе с этими аркфункциями от положительных чисел.

Сумма арксинуса и арккосинуса числа, сумма арктангенса и арккотангенса числа

Записанные формулы позволяют выразить арксинус числа через арккосинус этого же числа, арккосинус через арксинус, арктангенс через арккотангенс и арккотангенс через тангенс того же числа.

Синус от арккосинуса, тангенс от арксинуса и иже с ними

На практике очень полезными оказываются формулы, устанавливающие отношения между тригонометрическими функциями и аркфункциями. К примеру, может потребоваться вычислить синус арккосинуса некоторого числа, или тангенс арксинуса. Запишем список формул, позволяющих решать подобные задачи, дальше покажем примеры их применения и приведем доказательства этих формул.

Приведем несколько примеров использования записанных формул. Например, вычислим косинус арктангенса корня из пяти. Соответствующая формула имеет вид , таким образом .

Другой пример: используя формулу синуса арккосинуса вида , мы можем вычислить, к примеру, синус арккосинуса одной второй, имеем . Заметим, что в этом примере вычисления можно провести и непосредственно, они приводят к тому же результату: (при необходимости смотрите статьи вычисление значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса и вычисление значений арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса).

Осталось показать вывод записанных формул.

Формулы, находящиеся в ячейках таблицы на диагонали, есть формулы синуса арксинуса, косинуса арккосинуса и т.д. Они были получены ранее, поэтому не нуждаются в доказательстве, и их мы будем использовать для доказательства остальных формул. Более того, для вывода формул нам еще потребуются основные тригонометрические тождества.

Выведем сначала формулу синуса арккосинуса, синуса арктангенса и синуса арккотангенса. Из основных тригонометрических тождеств и , а также учитывая, что , легко получить следующие формулы , и , выражающие синус через косинус, синус через тангенс и синус через котангенс при указанных условиях. Подставляя arccos a вместо альфа в первую формулу, получаем формулу синуса арккосинуса; подставляя arctg a вместо альфа во вторую формулу, получаем формулу синуса арктангенса; подставляя arcctg a вместо альфа в третью формулу, получаем формулу синуса арктангенса.

Вот краткая запись вышеперечисленных выкладок:

  • так как , то ;
  • так как , то ;
  • так как , то .

По аналогии легко вывести формулы косинуса арксинуса, косинуса арктангенса и косинуса арккотангенса:

  • так как , то ;
  • так как , то ;
  • так как , то .

Теперь покажем вывод формул тангенса арксинуса, тангенса арккосинуса и тангенса арккотангенса:

  • так как , то при ;
  • так как , то при ;
  • так как , то при .

Формулы котангенса арксинуса, котангенса арккосинуса и котангенса арктангенса легко получить из формул тангенса арксинуса, тангенса арккосинуса и тангенса арктангенса, поменяв в них числитель и знаменатель, так как .

arcsin через arccos, arctg и arcctg; arccos через arcsin, arctg и arcctg и т.п.

Из формул связи тригонометрических и обратных тригонометрических функций, разобранных в предыдущем пункте, можно получить формулы, выражающие одну из аркфункций через другие аркфункции, например, выражающие арксинус одного числа, через арккосинус, арктангенс и арккотангенс другого числа. Перечислим их.

По этим формулам можно заменить арксинус на арккосинус, арктангенс и арккотангенс соответственно:

Вот формулы, выражающие арккосинус через арксинус, арктангенс и арккотангенс:

Формулы арктангенса через арксинус, арккосинус и арккотангенс имеют следующий вид:

Наконец, вот ряд формул с арккотангенсом:

Доказать все записанные формулы можно, отталкиваясь от определений арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса числа, а также формул из предыдущего пункта.

Для примера, докажем, что . Известно, что при указанных a представляет собой угол (число) от минус пи пополам до пи пополам. Более того, по формуле синуса арктангенса имеем . Следовательно, при −1 является арксинусом числа a по определению, то есть, .

По аналогии можно доказать и остальные формулы, представленные в данном пункте статьи.

В заключение этого пункта покажем пример использования полученных формул. Для примера вычислим с их помощью, чему равен синус арккотангенса минус корня из трех. Обратившись к формуле вида , выражающей арккотангенс через арксинус, при имеем .

В данном примере мы могли вычислить требуемое значение и непосредственно: . Очевидно, что мы получили тот же результат.

Понятно, что для вычисления требуемого значения мы могли поступить и иначе, воспользовавшись формулой, выражающей синус через котангенс вида . Тогда решение выглядело бы так: . А можно было и сразу применить формулу синуса арккотангенса вида : .

Некоторые другие формулы

Основные формулы тригонометрии и формулы синуса арксинуса, косинуса арккосинуса, тангенса арктангенса и котангенса арккотангенса позволяют вывести ряд формул с arcsin , arccos , arctg и arcctg , еще не упомянутых в данной статье. Но заметим, что они уже достаточно специфичны, и приходится их использовать далеко не часто. Более того, такие формулы удобнее каждый раз выводить, нежели запоминать.

Для примера возьмем формулу половинного угла . Если добавить условие, что величина угла альфа принадлежит отрезку от нуля до пи, то будет справедливо равенство . При указанном условии угол альфа можно заменить на арккосинус числа a , что нам даст формулу вида , откуда можно получить следующую формулу, выражающую арккосинус через арксинус: .

Используя другие тригонометрические формулы, можно обнаружить ряд других связей между arcsin , arccos , arctg и arcctg .

В заключение этого пункта хочется сказать, что практическую пользу представляют даже не столько сами эти специфические формулы, связывающие arcsin , arccos , arctg и arcctg , сколько умения выполнять преобразования, используемых при выводе этих формул. Продолжением темы служит раздел теории преобразование выражений с арксинусом, арккосинусом, арктангенсом и арккотангенсом.

Что такое код asin арксинус

Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно «не очень. »
И для тех, кто «очень даже. » )

К понятиям арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс учащийся народ относится с опаской. Не понимает он эти термины и, стало быть, не доверяет этой славной семейке.) А зря. Это очень простые понятия. Которые, между прочим, колоссально облегчают жизнь знающему человеку при решении тригонометрических уравнений!

Илон Маск рекомендует:  Эффект pазвивающегося флага

Сомневаетесь насчёт простоты? Напрасно.) Прямо здесь и сейчас вы в этом убедитесь.

Разумеется, для понимания, неплохо бы знать, что такое синус, косинус, тангенс и котангенс. Да их табличные значения для некоторых углов. Хотя бы в самых общих чертах. Тогда и здесь проблем не будет.

Итак, удивляемся, но запоминаем: арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс — это просто какие-то углы. Ни больше ни меньше. Бывает угол, скажем 30°. А бывает угол arcsin0,4. Или arctg(-1,3). Всякие углы бывают.) Просто записать углы можно разными способами. Можно записать угол через градусы или радианы. А можно — через его синус, косинус, тангенс и котангенс.

Что означает выражение


arcsin 0,4 ?

Это угол, синус которого равен 0,4 ! Да-да. Это смысл арксинуса. Специально повторю: arcsin 0,4 — это угол, синус которого равен 0,4.

И всё.

Чтобы эта простая мысль сохранилась в голове надолго, я даже приведу разбивочку этого ужасного термина — арксинус:

arc sin 0,4
угол, синус которого равен 0,4

Как пишется, так и слышится.) Почти. Приставка arc означает дуга (слово арка знаете?), т.к. древние люди вместо углов использовали дуги, но это сути дела не меняет. Запомните эту элементарную расшифровку математического термина! Тем более, для арккосинуса, арктангенса и арккотангенса расшифровка отличается только названием функции.

Что такое arccos 0,8 ?
Это угол, косинус которого равен 0,8.

Что такое arctg(-1,3) ?
Это угол, тангенс которого равен -1,3.

Что такое arcctg 12 ?
Это угол, котангенс которого равен 12.

Такая элементарная расшифровка позволяет, кстати, избежать эпических ляпов.) Например, выражение arccos1,8 выглядит вполне солидно. Начинаем расшифровку: arccos1,8 — это угол, косинус которого равен 1,8. Скока-скока!? 1,8!? Косинус не бывает больше единицы.

Верно. Выражение arccos1,8 не имеет смысла. И запись такого выражения в какой-нибудь ответ изрядно повеселит проверяющего.)

Элементарно, как видите.) У каждого угла имеется свой персональный синус и косинус. И почти у каждого — свой тангенс и котангенс. Стало быть, зная тригонометрическую функцию, можно записать и сам угол. Для этого и предназначены арксинусы, арккосинусы, арктангенсы и арккотангенсы. Далее я всю эту семейку буду называть уменьшительно — арки. Чтобы печатать меньше.)

Внимание! Элементарная словесная и осознанная расшифровка арков позволяет спокойно и уверенно решать самые различные задания. А в непривычных заданиях только она и спасает.

А можно переходить от арков к обычным градусам или радианам? — слышу осторожный вопрос.)

Почему — нет!? Легко. И туда можно, и обратно. Более того, это иногда нужно обязательно делать. Арки — штука простая, но без них как-то спокойнее, правда?)

Например: что такое arcsin 0,5?

Вспоминаем расшифровку: arcsin 0,5 — это угол, синус которого равен 0,5. Теперь включаем голову (или гугл)) и вспоминаем, у какого угла синус равен 0,5? Синус равен 0,5 у угла в 30 градусов. Вот и все дела: arcsin 0,5 — это угол 30°. Можно смело записать:

Или, более солидно, через радианы:

Всё, можно забыть про арксинус и работать дальше с привычными градусами или радианами.

Если вы осознали, что такое арксинус, арккосинус. Что такое арктангенс, арккотангенс. То легко разберётесь, например, с таким монстром.)

Несведущий человек отшатнётся в ужасе, да. ) А сведущий вспомнит расшифровку: арксинус — это угол, синус которого. Ну и так далее. Если сведущий человек знает ещё и таблицу синусов. Таблицу косинусов. Таблицу тангенсов и котангенсов, то проблем вообще нет!

Достаточно сообразить, что:

Расшифрую, т.е. переведу формулу в слова: угол, тангенс которого равен 1 (arctg1) — это угол 45°. Или, что едино, Пи/4. Аналогично:

и всё. Заменяем все арки на значения в радианах, всё посокращается, останется посчитать, сколько будет 1+1. Это будет 2.) Что и является правильным ответом.

Вот таким образом можно (и нужно) переходить от арксинусов, арккосинусов, арктангенсов и арккотангенсов к обычным градусам и радианам. Это здорово упрощает страшные примеры!

Частенько, в подобных примерах, внутри арков стоят отрицательные значения. Типа, arctg(-1,3), или, к примеру, arccos(-0,8). Это не проблема. Вот вам простые формулы перехода от отрицательных значений к положительным:

Нужно вам, скажем, определить значение выражения:

Это можно и по тригонометрическому кругу решить, но вам не хочется его рисовать. Ну и ладно. Переходим от отрицательного значения внутри арккосинуса к положительному по второй формуле:

Внутри арккосинуса справа уже положительное значение. То, что

вы просто обязаны знать. Остаётся подставить радианы вместо арккосинуса и посчитать ответ:

Ограничения на арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс.

Те, кто освоил темы «Тригонометрический круг», и «Отсчёт углов на тригонометрическом круге» — люди грамотные. И, возможно, уже приготовили мне убойный вопрос.) По определению, скажем, arcsin 0,5 — это угол, синус которого равен 0,5. Т.е 30°. Но.

Грамотный человек знает, что синус равен 0,5 не только у угла 30°! Так как:

И так до бесконечности. Неоднозначно получается! Получается, что arcsin0,5 это и 30°, и 150°, и 390°, и 510°, и .

Да. Именно так. Арксинус 0,5 — это действительно бесконечный набор углов. Но обозначается такой арксинус вот как: Arcsin0,5. С заглавной буквы. В школе такие арксинусы не изучают. В школе изучают арки с маленькой буквы: arcsin, arccos, arctg, arcctg. Такие арки называются главными значениями арксинуса, арккосинуса и т.д. и имеют жёсткие ограничения по величине. Для однозначности.

С этими ограничениями надо разобраться основательно. Тем более, что это дело простое.) Запоминаем:

arсsin (любой) — это угол, который располагается в интервале:

arсcos (любой) — это угол, который располагается в интервале:

arсtg (любой) — это угол, который располагается в интервале:

arсctg (любой) — это угол, который располагается в интервале:

Запомнить эти диапазоны очень легко по картинкам. Тригонометрический круг вам в помощь!) Для арксинуса:

Зелёным нарисованы углы, которые пробегают значения от — Пи/2 до + Пи/2. Это и есть разрешённая зона для арксинусов. И никаких дополнительных оборотов! Строго от -90° до +90°! Никакой arcsin не может быть равным, например 120°, 180° или 330°. А вот 50°, -65°, 90° или 25° — пожалуйста!

Теперь, я думаю, понятно, что arcsin 0,5 = 30°. И только 30°! Так как углы 150°, 390°, 510° и т.д., которые тоже дают синус, равный 0,5, арксинусами быть не могут. Они выпадают из разрешённого диапазона.

А теперь наведите курсор мышки на рисунок, или коснитесь картинки на планшете. Вы увидите диапазон арктангенсов. Найдите 2 отличия.) Да! Конечные точки на оси ОУ стали белыми! Это означает, что они не включаются в диапазон арктангенсов. Арктангенс не может быть равным ±90°. По той простой причине, что тангенс 90° (и -90°) не существует.

Уже проще, правда?) Ну и, аналогичная картинка для арккосинуса и арккотангенса (при наведённом курсоре):

Надеюсь, зрительная память вас спасёт, если что. )

А зачем все эти арки? — слышу ещё один осторожный вопрос.)

Вопрос резонный. В математике просто так, чисто для красоты, ничего не бывает. Только по острой необходимости!) А вы попробуйте ответить на такой вопрос:

У какого угла синус равен 0,4?

Для ответа в градусах или радианах вам придётся открывать таблицы Брадиса, или включать солидный калькулятор. Искать там значение синуса, равное (примерно!) 0,4 и смотреть, какой же угол имеет этот синус. После тяжких трудов вы определите, что это угол примерно 23 градуса и 36 минут. Про радианы я вообще молчу. )

А через арксинус мгновенно даётся абсолютно точный ответ: угол, у которого синус равен 0,4 — это arcsin 0,4 ! Просто по смыслу арксинуса: arcsin 0,4 — это и есть угол, синус которого равен 0,4. Разумеется, это не единственный угол, синус которого равен 0,4, но через арки и все остальные записываются в три секунды. Этим мы в тригонометрических уравнениях займёмся.

Если вы осознали этот забавный факт, то легко ответите на все подобные вопросы:

У какого угла синус равен -0,7 ?
У угла arcsin (-0,7).


У какого угла косинус равен 0,03 ?
У угла arccos 0,03.

У какого угла тангенс равен 3 ?
У угла arctg 3.

У какого угла котангенс равен 0,123 ?
У угла arcctg 0,123.

Вам кажутся странными эти вопросы? Привыкайте.) Это главные вопросы любого тригонометрического уравнения. Для решения таких уравнений арки подходят — лучше некуда.

Здесь важно понимать, что arcsin (-0,7), arctg 3 и т.п. — это просто какие-то числа, величины углов. И отличаются от привычных градусов или радианов только компактной формой записи. Например, можно записать (точно!) величину угла в виде:

А можно записать (приблизительно) тот же самый угол через градусы. Это будет:

23,57817847820203110402. °

Осознали простой и важный смысл арков? Тогда порешаем самостоятельно. Примерчики от устных до хитрых.)

Илон Маск рекомендует:  Strrchr   strset работа со строками

Расчет арксинуса

Арксинус — это обратная тригонометрическая функция, которая является исходным углом значения синуса и возвращает угол по значению его синуса.

значение x должно быть от -1 до +1

Смотрите также калькулятор перевода градусов в радианы.

Быстро выполнить эту математическую операцию можно с помощью нашей онлайн программы. Для этого необходимо в соответствующее поле ввести исходное значение и нажать кнопку.

На этой странице представлен самый простой онлайн калькулятор вычисления арксинуса. С помощью этого калькулятора вы в один клик сможете найти arcsin(x).

Арксинус, арккосинус — свойства, графики, формулы

Арксинус, arcsin

Определение и обозначения

Арксинус иногда обозначают так:
.

График функции арксинус

График арксинуса получается из графика синуса, если поменять местами оси абсцисс и ординат. Чтобы устранить многозначность, область значений ограничивают интервалом , на котором функция монотонна. Такое определение называют главным значением арксинуса.

Арккосинус, arccos

Определение и обозначения

Арккосинус иногда обозначают так:
.

График функции арккосинус

График арккосинуса получается из графика косинуса, если поменять местами оси абсцисс и ординат. Чтобы устранить многозначность, область значений ограничивают интервалом , на котором функция монотонна. Такое определение называют главным значением арккосинуса.

Четность

Функция арксинус является нечетной:
arcsin(– x ) = arcsin(–sin arcsin x ) = arcsin(sin(–arcsin x )) = – arcsin x

Функция арккосинус не является четной или нечетной:
arccos(– x ) = arccos(–cos arccos x ) = arccos(cos(π–arccos x )) = π – arccos x ≠ ± arccos x

Свойства — экстремумы, возрастание, убывание

Функции арксинус и арккосинус непрерывны на своей области определения (см. доказательство непрерывности). Основные свойства арксинуса и арккосинуса представлены в таблице.

y = arcsin x y = arccos x
Область определения и непрерывность – 1 ≤ x ≤ 1 – 1 ≤ x ≤ 1
Область значений
Возрастание, убывание монотонно возрастает монотонно убывает
Максимумы
Минимумы
Нули, y = 0 x = 0 x = 1
Точки пересечения с осью ординат, x = 0 y = 0 y = π/ 2

Таблица арксинусов и арккосинусов

В данной таблице представлены значения арксинусов и арккосинусов, в градусах и радианах, при некоторых значениях аргумента.

x arcsin x arccos x
град. рад. град. рад.
– 1 – 90° 180° π
– 60° 150°
– 45° 135°
– 30° 120°
90°
30° 60°
45° 45°
60° 30°
1 90°

Формулы

Формулы суммы и разности

при или

при 0,\,y>0 \;» style=»width:114px;height:18px;vertical-align:-10px;background-position: -638px -553px;»> и 1″ style=»width:102px;height:22px;vertical-align:-10px;background-position: -211px -513px;»>

при и 1″ style=»width:102px;height:22px;vertical-align:-10px;background-position: -211px -513px;»>

при или

при 0,\,y и 1″ style=»width:102px;height:22px;vertical-align:-10px;background-position: -211px -513px;»>

при 0 \;» style=»width:108px;height:18px;vertical-align:-10px;background-position: -0px -571px;»> и 1″ style=»width:102px;height:22px;vertical-align:-10px;background-position: -211px -513px;»>

Тригонометрия. Обратные тригонометрические функции. Арксинус.

Обратные тригонометрические функции (круговые функции, аркфункции) — математические функции, которые являются обратными к тригонометрическим функциям.

Арксинус (обозначается как arcsin x; arcsin x — это угол, sin его равняется x).

Арксинус (y = arcsin x) – обратная тригонометрическая функция к sin (x = sin y), которая имеет область определения и множество значений . Другими словами возвращает угол по значению его sin.

Функция y=sin x непрерывна и ограничена на всей своей числовой прямой. Функция y=arcsin x — строго возрастает.

Описание функций языка Си

All | _ | A | B | C | D | E | F | G | H | I | J | K | L | M | N | O | P | Q | R | S | T | U | V | W | X | Y | Z

asin, asinf, asinl – расчет арксинуса

double asin (double x);
float asinf (float x);
long double asinl (long double x);

x – число от -1 до 1, арксинус которого требуется рассчитать.

При успешном завершении функции возвращают значения арксинуса аргумента.

Если значение аргумента лежит вне диапазона от -1 до 1, то функции возвращают значение NaN, а переменной errno присваивается значение [EDOM]

Функции рассчитывают значение арксинуса аргумента X. Значение полученного угла представляется в радианах.

Аргумент и возвращаемое значение функции asin являются числами с плавающей точкой двойной точности (тип double, точность не менее десяти значащих десятичных цифр, разрядность — 64).

Аргумент и возвращаемое значение функции asinf являются числами с плавающей точкой (тип float, точность не менее шести значащих десятичных цифр, разрядность — 32).

Аргумент и возвращаемое значение функции asinl являются числами с плавающей точкой повышенной точности (тип long double, точность не менее десяти значащих десятичных цифр, разрядность — 80).


В примере рассчитывается арксинус от 0.43 с помощью функций asin, asinf и asinl, и результат выводится на консоль. Обратите внимание на точность полученных результатов. У арксинуса, рассчитанного с помощью функции asinf, будет самая маленькая точность, а у рассчитанного с помощью функции asinl – самая большая.

Аргумент: 0.43
asinf : 0.44449278712272644043
asin : 0.44449277693581901172
asinl : 0.44449277693581903137

Основные формулы с арксинусом, арккосинусом, арктангенсом и арккотангенсом.

Для успешной работы с арксинусами, арккосинусами, арктангенсами и арккотангенсами чисел нужно знать существующие между ними связи. Эти связи удобно записывать в виде формул.

В этой статье мы разберем основные формулы с arcsin, arccos, arctg и arcctg, для удобства работы и запоминания разобьем эти формулы по группам, дадим их вывод и доказательство, а также покажем примеры использования.

Навигация по странице.

Первые четыре блока формул представляют собой основные свойства арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса числа, в указанной статье сайта www.cleverstudents.ru Вы найдете и доказательство этих формул, и примеры их применения. Здесь мы не будем повторяться, а лишь приведем сами формулы, чтобы они все были в одном месте.

Синус арксинуса, косинус арккосинуса и т.п.

Эти формулы очевидны и напрямую следуют из определений арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса числа. Они показывают, чему равен синус арксинуса, косинус арккосинуса, тангенс арктангенса и котангенс арккотангенса.

Арксинус синуса, арккосинус косинуса и т.п.

Эти формулы также очевидны и следуют из определений арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса. Они определяют, чему равен арксинус синуса, арктангенс тангенса, арккосинус косинуса и арккотангенс котангенса. Заметим, что стоит быть очень внимательными к указанным условиям, так как если угол (число) α выходит за указанные пределы, то эти формулы использовать нельзя, ибо они дадут неверный результат.

Связи между arcsin, arccos, arctg и arcctg противоположных чисел

Формулы этого блока показывают, как арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс отрицательного числа выражаются через arcsin , arccos , arctg и arcctg противоположного ему положительного числа. Эти формулы позволяют избавиться от работы с арксинусами, арккосинусами, арктангенсами и арккотангенсами отрицательных чисел, и перейти к работе с этими аркфункциями от положительных чисел.

Сумма арксинуса и арккосинуса числа, сумма арктангенса и арккотангенса числа

Записанные формулы позволяют выразить арксинус числа через арккосинус этого же числа, арккосинус через арксинус, арктангенс через арккотангенс и арккотангенс через тангенс того же числа.

Синус от арккосинуса, тангенс от арксинуса и иже с ними

На практике очень полезными оказываются формулы, устанавливающие отношения между тригонометрическими функциями и аркфункциями. К примеру, может потребоваться вычислить синус арккосинуса некоторого числа, или тангенс арксинуса. Запишем список формул, позволяющих решать подобные задачи, дальше покажем примеры их применения и приведем доказательства этих формул.

Приведем несколько примеров использования записанных формул. Например, вычислим косинус арктангенса корня из пяти. Соответствующая формула имеет вид , таким образом .

Другой пример: используя формулу синуса арккосинуса вида , мы можем вычислить, к примеру, синус арккосинуса одной второй, имеем . Заметим, что в этом примере вычисления можно провести и непосредственно, они приводят к тому же результату: (при необходимости смотрите статьи вычисление значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса и вычисление значений арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса).

Осталось показать вывод записанных формул.

Формулы, находящиеся в ячейках таблицы на диагонали, есть формулы синуса арксинуса, косинуса арккосинуса и т.д. Они были получены ранее, поэтому не нуждаются в доказательстве, и их мы будем использовать для доказательства остальных формул. Более того, для вывода формул нам еще потребуются основные тригонометрические тождества.

Выведем сначала формулу синуса арккосинуса, синуса арктангенса и синуса арккотангенса. Из основных тригонометрических тождеств и , а также учитывая, что , легко получить следующие формулы , и , выражающие синус через косинус, синус через тангенс и синус через котангенс при указанных условиях. Подставляя arccos a вместо альфа в первую формулу, получаем формулу синуса арккосинуса; подставляя arctg a вместо альфа во вторую формулу, получаем формулу синуса арктангенса; подставляя arcctg a вместо альфа в третью формулу, получаем формулу синуса арктангенса.

Вот краткая запись вышеперечисленных выкладок:

  • так как , то ;
  • так как , то ;
  • так как , то .

По аналогии легко вывести формулы косинуса арксинуса, косинуса арктангенса и косинуса арккотангенса:

  • так как , то ;
  • так как , то ;
  • так как , то .

Теперь покажем вывод формул тангенса арксинуса, тангенса арккосинуса и тангенса арккотангенса:

  • так как , то при ;
  • так как , то при ;
  • так как , то при .

Формулы котангенса арксинуса, котангенса арккосинуса и котангенса арктангенса легко получить из формул тангенса арксинуса, тангенса арккосинуса и тангенса арктангенса, поменяв в них числитель и знаменатель, так как .

arcsin через arccos, arctg и arcctg; arccos через arcsin, arctg и arcctg и т.п.

Из формул связи тригонометрических и обратных тригонометрических функций, разобранных в предыдущем пункте, можно получить формулы, выражающие одну из аркфункций через другие аркфункции, например, выражающие арксинус одного числа, через арккосинус, арктангенс и арккотангенс другого числа. Перечислим их.

По этим формулам можно заменить арксинус на арккосинус, арктангенс и арккотангенс соответственно:

Илон Маск рекомендует:  Это сложно

Вот формулы, выражающие арккосинус через арксинус, арктангенс и арккотангенс:

Формулы арктангенса через арксинус, арккосинус и арккотангенс имеют следующий вид:

Наконец, вот ряд формул с арккотангенсом:

Доказать все записанные формулы можно, отталкиваясь от определений арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса числа, а также формул из предыдущего пункта.

Для примера, докажем, что . Известно, что при указанных a представляет собой угол (число) от минус пи пополам до пи пополам. Более того, по формуле синуса арктангенса имеем . Следовательно, при −1 является арксинусом числа a по определению, то есть, .

По аналогии можно доказать и остальные формулы, представленные в данном пункте статьи.

В заключение этого пункта покажем пример использования полученных формул. Для примера вычислим с их помощью, чему равен синус арккотангенса минус корня из трех. Обратившись к формуле вида , выражающей арккотангенс через арксинус, при имеем .

В данном примере мы могли вычислить требуемое значение и непосредственно: . Очевидно, что мы получили тот же результат.

Понятно, что для вычисления требуемого значения мы могли поступить и иначе, воспользовавшись формулой, выражающей синус через котангенс вида . Тогда решение выглядело бы так: . А можно было и сразу применить формулу синуса арккотангенса вида : .

Некоторые другие формулы

Основные формулы тригонометрии и формулы синуса арксинуса, косинуса арккосинуса, тангенса арктангенса и котангенса арккотангенса позволяют вывести ряд формул с arcsin , arccos , arctg и arcctg , еще не упомянутых в данной статье. Но заметим, что они уже достаточно специфичны, и приходится их использовать далеко не часто. Более того, такие формулы удобнее каждый раз выводить, нежели запоминать.

Для примера возьмем формулу половинного угла . Если добавить условие, что величина угла альфа принадлежит отрезку от нуля до пи, то будет справедливо равенство . При указанном условии угол альфа можно заменить на арккосинус числа a , что нам даст формулу вида , откуда можно получить следующую формулу, выражающую арккосинус через арксинус: .

Используя другие тригонометрические формулы, можно обнаружить ряд других связей между arcsin , arccos , arctg и arcctg .

В заключение этого пункта хочется сказать, что практическую пользу представляют даже не столько сами эти специфические формулы, связывающие arcsin , arccos , arctg и arcctg , сколько умения выполнять преобразования, используемых при выводе этих формул. Продолжением темы служит раздел теории преобразование выражений с арксинусом, арккосинусом, арктангенсом и арккотангенсом.

Math. Asin(Double) Метод

Определение

Возвращает угол, синус которого равен указанному числу. Returns the angle whose sine is the specified number.

Параметры


Число, представляющее синус, где значение параметра d должно быть больше или равно -1, но меньше или равно 1. A number representing a sine, where d must be greater than or equal to -1, but less than or equal to 1.

Возвраты

Угол θ, измеренный в радианах, такой, что -π/2 ≤θ≤π/2 An angle, θ, measured in radians, such that -π/2 ≤θ≤π/2 — или — -or- Значение NaN, если d d > 1 или значение параметра d равно NaN. NaN if d d > 1 or d equals NaN.

Примеры

В следующем примере используется Asin для помощи в вычислении внутренних углов заданной трапеции. The following example uses Asin to assist in the computation of the inner angles of a given trapezoid.

Комментарии

Положительное возвращаемое значение представляет собой угол против часовой стрелки от оси x; Отрицательное возвращаемое значение представляет собой угол по часовой стрелке. A positive return value represents a counterclockwise angle from the x-axis; a negative return value represents a clockwise angle.

Лекция 16. Арксинус, арккосинус, арктангенс числа.

Если Y – множество значений функции f (x) и для любого элемента существует единственный элемент такой, что f (x) = y, то говорят, что функция осуществляетвзаимнооднозначное соответствие между множествами X и Y. Другими словами, соответствие называется взаимнооднозначным, если каждому элементу соответствует единственный элемент и наоборот, каждому элементу соответствует единственный элемент Функция, осуществляющая взаимнооднозначное соответствие, называется обратимой; ещё говорят, что у функции f существует обратная функция. Такая функция обозначается и каждому элементу ставит в соответствие такой элемент что f (x) = y; этот факт записывают так: Однако нам непривычна запись функции как зависимости x от y. Поэтому сделаем формальную замену переменных что соответствует отражению относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов. Тогда получим, что − обратная функция, график которой получается из графика исходной функции y = f (x) отражением относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов. Область определения обратной функции совпадает с областью значений самой функции: Область значений обратной функции совпадает с множеством определения самой функции:

Рассмотрим функцию f (x) = sin x для Тогда При этом область определения выбрана так, что соответствие является взаимнооднозначным. Следовательно, существует обратная функция с областью определения и областью значений Эта обратная функция называется арксинусом. Её обозначение: y = arcsin x. График функции y = arcsin x изображён на рисунке.

Рисунок 2.4.3.1. Арксинус
Модель 2.11. Функция y = arcsin x

Аналогично, на промежутке D (f –1 ) = E (f) = [–1; 1] можно определить функцию, обратную cos x, c областью значений E (f –1 ) = D (f) = [0; π] Эта обратная функция называетсяарккосинусом. Её обозначение: y = arccos x. График функции y = arccos x изображён на рисунке.

Рисунок 2.4.3.2. Арккосинус
Модель 2.12. Функция y = arccos x

Рассмотрим функцию f (x) = tg x для Тогда При этом область определения выбрана так, что соответствие является взаимнооднозначным. Следовательно, существует обратная функция с областью определения и областью значений Эта обратная функция называется арктангенсом. Её обозначение y = arctg x. График функции y = arctg x изображён на рисунке.

Рисунок 2.4.3.3. Арктангенс
Модель 2.13. Функция y = arctg x

Для построения арккотангенса выберем промежуток x (0; π). Тогда Построим обратную функцию с областью определения и областью значений Эта обратная функция называется арккотангенсом. Её обозначение y = arcctg x. График функции y = arcctg x изображён на рисунке.

Рисунок 2.4.3.4. Арккотангенс
Модель 2.14. Функция y = arcctg x

Итак, запись b = arcsin a обозначает, что и sin b = a. Аналогичные соотношения справедливы и для остальных обратных тригонометрических функций.

Пример 1

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Да какие ж вы математики, если запаролиться нормально не можете. 8428 — | 7332 — или читать все.

188.64.174.135 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)

очень нужно

Примеры формул тригонометрических функций ASIN и ASINH в Excel

Функция ASIN в Excel предназначена для нахождения угла в радианах, соответствующего указанному значению синуса, и возвращает соответствующее числовое значение. Функция ASINH в Excel предназначена для нахождения значения, соответствующего ареа-синусу некоторого числа, и возвращает полученное числовое значение.

Определение тригонометрических функций ASIN и ASINH в Excel

Синус угла характеризует отношение противолежащего (к острому углу прямоугольного треугольника) катета к гипотенузе этого треугольника и является безразмерной величиной, на основе которой можно определить размер данного угла в радианах или градусах. Функция ASIN возвращает радианы. Для перевода полученного значения в градусы можно умножить полученное значение на 180/ПИ или использовать функцию ГРАДУСЫ.

Для нахождения ареа-синуса некоторого числа x по функции ASINH используется формула:

Пример 1. В таблице указаны синусы некоторых углов, образованных радиусами и центральной точкой окружности. Определить эти углы в градусах, а также соответствующие им длины дуг, если радиус окружности равен 10 м.

Вид таблицы данных:

Для нахождения значений углов в градусах используем следующую формулу:

Для перевода радиан в градусы используем функцию ГРАДУСЫ, округляем полученные числа до целых с помощью функции ОКРУГЛ:

Длина окружности определяется как произведение размера угла в радианах и радиуса окружности. Для определения используем следующую формулу:

В результате вычисления формул мы получили соответственные значения тригонометрических функций в Excel.

Пример графика функций обратному гиперболическому синусу в Excel

Пример 2. Необходимо построить график функции обратного гиперболического синуса для ряда известных значений x, указанных в таблице Excel.

Вид таблицы данных:

Вычислим значения ареа-синусов для указанных значений x с помощью формулы и округлим полученные значения до 2 знаков после запятой:

Построим график на основе имеющихся значений:

По графику видна главная особенность гиперболических функций – они параметрически задают гиперболу.

Свойства тригонометрических функций ASIN и ASINH в Excel

Функция ASIN имеет следующую синтаксическую запись:

  • число – единственный аргумент (обязательный), принимающий числовое значение из диапазона [-1;1], для которого будет определен угол в радианах.
  1. Если аргумент функции указан в виде ссылки на пустую ячейку, пустое значение будет преобразовано к числовому 0 и функция вернет арксинус 0, то есть число 0. Аналогичный результат будет возвращен при указании логического ЛОЖЬ в качестве аргумента ASIN. Логическое ИСТИНА будет преобразовано к числу 1.
  2. Если в качестве аргумента число переданы данные, которые не могут быть преобразованы к числовым значениям, рассматриваемая функция вернет код ошибки #ЗНАЧ!
  3. Если аргумент указан числом, не входящим в диапазон допустимых значений ([-1;1]), функция ASIN вернет код ошибки #ЧИСЛО!

Функция ASINH имеет следующий синтаксис:

  • число – обязательный для заполнения, принимает значение, для которого нужно определить значение ареа-синуса.

Аргумент функции может быть указан любым вещественным числом. При вводе данных, не преобразуемых к числовым значениям, функция ASINH будет возвращать код ошибки #ЗНАЧ!

Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Кодинг, CSS и SQL