Функции изображений


Содержание

ОРИГИНАЛ И ИЗОБРАЖЕНИЕ

Операционное исчисление является одной из глав современного математического анализа. Интегральное преобразование Лапласа и построенное на его базе операционное исчисление – эффективный аппарат решения дифференциальных уравнений (как обыкновенных, так и в частных производных), дифференциально разностных и интегральных уравнений, к которым приводятся задачи электротехники, радиотехники, электроники, теории автоматического регулирования, теплотехники, механики и других областей науки и техники. Заметим, что операционное исчисление строится и на других преобразованиях, например, Фурье, Ханкеля, Меллина и т.д.

Идея применения операционного метода заключается в следующем. Пусть требуется найти функцию из некоторого уравнения, содержащего эту функцию под знаком производных и интегралов. От искомой функции (ее называют оригиналом) переходят к другой функции (ее называют изображением), являющейся результатом преобразования . В соответствии с правилами операционного исчисления операции над оригиналом заменяют соответствующими операциями над изображением, которые являются более простыми; например, дифференцированию соответствует умножение на , интегрированиюделение на р и т.д. Это позволяет перейти от сложного уравнения относительно к более простому уравнению относительно , называемому операторным; например, от дифференциального уравненияк алгебраическому. Решив операторное уравнение, от изображения переходят к оригиналу – искомой функции. Решение задачи операционным методом, таким образом, связано с двумя этапами; нахождением изображения искомого решения и обратным переходом к оригиналу.

Применение операционного метода можно сравнить с логарифмированием, которое позволяет сложные действия над числами заменить более простыми действиями над их логарифмами, после чего от найденного логарифма снова переходят к искомому числу. Здесь роль оригиналов играют числа, а роль изображений – их логарифмы.

1.1. Оригинал и изображение

Пусть – действительная функция действительного аргумента , определенная при любых .

Определение. Будем называть оригиналом функцию , если она удовлетворяет следующим условиям.

1. – кусочно-непрерывная функция при ; это значит, что она или непрерывна, или имеет точки разрыва первого рода, число которых конечно на любом конечном интервале;

2. при ;

3. с возрастанием может возрастать, но не быстрее некоторой показательной функции. Это означает, что существуют такие числа и что для всех выполняется , число называется показателем роста функции . (Для ограниченных функций можно принять ).

Рассмотрим эти условия несколько подробнее. Условия 1 и 3 выполняются для большинства функций, отвечающих физическим процессам, в которых t понимается как время. Условие 2 оправдано тем, что при изучении процесса безразлично, как ведут себя рассматриваемые функции до некоторого начального момента времени, который, разумеется, можно принять за момент .

В связи с условием 2 в дальнейшем изложении, где это потребуется, будем записывать для краткости лишь то выражение , которое она имеет для , подразумевая, что для . Например, запись должна пониматься так: .

Аналогично, если дано выражение , где , то оно имеет место лишь для , тогда как для функция .

Заметим, что если функция не удовлетворяет хотя бы одному из указанных трех условий, то она не является оригиналом. Так, для функции нарушено условие 1 (в точке она терпит разрыв второго рода), для функции не выполняется условие 3 (она растет быстрее показательной функции); поэтому эти функции не могут быть оригиналами.

Заметим также, что необязательно считать оригинал действительной функцией. Функция может быть и комплексно-значной, т.е. иметь вид . При этом действительная и мнимая части и должны быть оригиналами, т.е. удовлетворять условиям 1, 2, 3.

Определение. Изображением функции – оригиналаназывается функция комплексного переменного , определяемая интегралом

. (1.1)

Несобственный интеграл в правой части равенства (1.1), называемый интегралом Лапласа, зависит от параметра .

Таким образом, функции действительного переменного поставлена в соответствие функция комплексного переменного .

Соотношение (1.1) осуществляет преобразование одной функции в другую. Операцию перехода от оригинала к изображению в соответствии с формулой (1.1) называют преобразованием Лапласа, или прямым преобразованием Лапласа.

Тот факт, что есть изображение (говорят также, изображение по Лапласу), символически записывают так:

Отыскание оригинала по изображению называют обращением преобразования Лапласа, или обратным преобразованием Лапласа; его обозначают символом .

Условились обозначать оригиналы малыми буквами а их изображения – соответствующими заглавными буквами или теми же буквами, что и оригиналы, но снабжать их черточками сверху: .

1.2. Примеры вычисления изображений

Приведем примеры вычисления изображения по Лапласу, исходя из его определения.

1.2.1. Функция Хевисайда и ее изображение.

Рис.1.1 Функция, определяемая следующим образом: называется единичной функцией или функцией Хевисайда. График ее изображен на рис. 1.1. Очевидно, эта функция является оригиналом, ибо она удовлетворяет условиям 1, 2, 3.

Найдем изображение функции Хевисайда по формуле (1.1), полагая в ней :

Последнее заключение можно сделать только, в том случае, когда . Покажем, что это выполняется. По формуле Эйлера имеем:

Тогда

так как при .

Следовательно, когда

Таким образом, интеграл Лапласа для единичной функции сходится при и ее изображением является функция . Итак,

. (1.2)

В связи с введением функции Хевисайда заметим следующее. Когда идет речь о некоторой функции – оригинале, например, , и т.п., то всегда подразумевается, что

и т.п.

С помощью функции можно записать:

Роль множителя состоит в том, что он «гасит» (обращает в нуль) функцию при . Однако для сокращения записи множитель иногда опускают.

1.2.2. Изображение показательной функции.

Функция , где любое комплексное число. Согласно нашей договоренности при . Условия 1 и 3 выполняются, причем в силу можно положить , . Следовательно, оригинал. По формуле (1.1) найдем

Это имеет место, если только . Последнее же выполняется, как было показано в предыдущем примере, когда , иначе . Таким образом,

Непрерывное преобразование Лапласа

Непрерывное преобразование Лапласа

Одним из способов решения дифференциальных уравнений (систем уравнений) с постоянными коэффициентами является метод интегральных преобразований, который позволяет функцию вещественной переменной (оригинал функции) заменить функцией комплексной переменной (изображение функции). В результате операции дифференцирования и интегрирования в пространстве функций-оригиналов преобразуются в алгебраическое умножение и деление в пространстве функций-изображений. Одним из представителей метода интегральных преобразований является Преобразование Лапласа.

Непрерывное преобразование Лапласа – интегральное преобразование, связывающее функцию комплексной переменной (изображение функции) с функцией вещественной переменной (оригинал функции). При этом функция вещественной переменной должна удовлетворять следующим условиям:

— функция определена и дифференцируема на всей положительной полуоси вещественной переменной (функция удовлетворяет условиям Дирихле);

— значение функции до начального момента приравнивают к нулю ;

— возрастание функции ограничена экспоненциальной функцией, т.е. для функции вещественной переменной существуют такие положительные числа М и с, что при , где c – абсцисса абсолютной сходимости (некоторое положительное число).

Преобразованием Лапласа (прямое интегральное преобразование) от функции вещественной переменной называется функция следующего вида (функция от комплексной переменной):

Функцию называют оригиналом функции, а функцию называют ее изображением. Комплексная переменная называется оператором Лапласа, где — угловая частота, — некоторое положительное постоянное число.

В качестве первого примера определим изображение для постоянной функции


В качестве второго примера определим изображение для косинусоидальной функции . С учетом формулы Эйлера косинусоидальную функцию можно представить в виде суммы двух экспонент .

На практике для выполнения прямого преобразования Лапласа используются таблицы преобразований, в которых представлены оригиналы и изображения типовых функций. Ниже представлены некоторые из данных функций.

Оригинал и изображение для экспоненциальной функции

Оригинал и изображение для косинусоидальной функции

Оригинал и изображение для синусоидальной функции

Оригинал и изображение для экспоненциально затухающего косинуса

Оригинал и изображение для экспоненциально затухающего синуса

Следует отметить, что функция является функцией Хевисайда, которая принимает значение ноль при отрицательных значениях аргумента и принимает значение равное единице для положительных значений аргумента.

Свойства Преобразования Лапласа

• Теорема линейности

Преобразование Лапласа обладает свойством линейности, т.е. любое линейное соотношение между оригиналами функции справедливо для изображений этих функций.

Свойство линейности упрощает нахождение оригиналов сложных изображений, так как позволяет изображение функции представить в виде суммы простых слагаемых, а затем найти оригиналы каждого представленного слагаемого.

• Теорема о дифференцировании оригинала функции

Дифференцирование оригинала функции соответствует умножению изображения функции на оператор Лапласа.

— при ненулевых начальных условиях:

— при нулевых начальных условиях (частный случай):

Таким образом, операция дифференцирования функции заменяется арифметической операцией в пространстве изображений функции.

• Теорема об интегрировании оригинала функции

Интегрирование оригинала функции соответствует делению изображения функции на оператор Лапласа.

Таким образом, операция интегрирования функции заменяется арифметической операцией в пространстве изображений функции.

Теорема подобия

Изменение аргумента функции (сжатие или расширение сигнала) во временной области приводит к обратному изменению аргумента и ординаты изображения функции.

Увеличение длительности импульса вызывает сжатие его спектральной функции и уменьшение амплитуд гармонических составляющих спектра.

Теорема запаздывания

Запаздывание (сдвиг, смещение) сигнала по аргументу оригинала функции на интервал приводит к изменению фазочастотной функции спектра (фазового угла всех гармоник) на заданную величину без изменения модуля (амплитудной функции) спектра.

Полученное выражение справедливо для любого

• Теорема смещения

Запаздывание (сдвиг, смещение) сигнала по аргументу изображения функции приводит к умножению оригинала функции на экспоненциальный множитель

Теорема смещения с практической точки зрения применяется при определении изображений экспоненциальных функций.

• Теорема о свертке

Свертка является математической операцией, применённая к двум функциям и , порождающая третью функцию. Другими словами, имея реакцию некой линейной системы на импульс, можно с помощью свёртки вычислить реакцию системы на весь сигнал.

Таким образом, свертка оригиналов двух функций может быть представлена в виде произведения изображений этих функций. Теорему сверки используют при рассмотрении передаточных функций, когда определяется реакция системы (выходной сигнал от четырехполюсника) при подаче сигнал на вход четырехполюсника с импульсной переходной характеристикой .

Обратное преобразование Лапласа

Преобразование Лапласа является обратимым, т.е. функция вещественной переменной однозначно определяется из функции комплексной переменной . Для этого используется формула обратного преобразования Лапласа (формула Меллина, интеграл Бромвича), которая имеет следующий вид:

В данной формуле пределы интегрирования означают, что интегрирование идет по бесконечной прямой, которая параллельна мнимой оси и пересекает вещественную ось в точке . С учетом того, что последние выражение может быть переписано в следующем виде:

На практике для выполнения обратного преобразования Лапласа изображение функции раскладывают на сумму простейших дробей методом неопределённых коэффициентов и для каждой дроби (в соответствии со свойством линейности) определяют оригинал функции, в том числе с учетом таблицы типовых функций. Данный способ справедлив для изображения функции, которая является правильной рациональной дробью. Следует отметить, что простейшая дробь может быть представлена в виде произведения линейных и квадратичных сомножителей с действительными коэффициентами в зависимости от типа корней знаменателя:

— в случае наличия нулевого корня в знаменателе, функция раскладывается на дробь типа:

— в случае наличия нулевого n -кратного корня в знаменателе, функция раскладывается на дробь типа:

— в случае наличия действительного корня в знаменателе, функция раскладывается на дробь типа:

— в случае наличия действительного n -кратного корня в знаменателе, функция раскладывается на дробь типа:

— в случае наличия мнимого корня в знаменателе, функция раскладывается на дробь типа:

— в случае наличия комплексно-сопряжённых корней в знаменателе, функция раскладывается на дробь типа:

В общем случае если изображение функции представляет собой правильную рациональную дробь (степень числителя меньше степени знаменателя рациональной дроби), то ее можно разложить на сумму простейших дробей.

Далее для каждой простейшей дроби определяется оригинал функции в соответствии с типовыми таблицами.

∙ В частном случае если знаменатель изображения функции раскладывается только на простые корни уравнения, то изображение функции можно разложить на сумму простейших дробей следующим образом:

Неизвестные коэффициенты могут быть определены методом неопределённых коэффициентов или упрощенным способом по следующей формуле:

— значение функции в точке ;

— значение производной функции в точке .

Оригинал данной функции будет определяться следующим образом:

В качестве примера определим оригинал функции, при условии, что его изображение определяется следующим образом:


Раскладываем знаменатель на множители и перепишем изображение функции с учетом введение в уравнение неизвестных коэффициентов:

Неизвестные коэффициенты в выражении будут определяться по формуле следующим образом:

Таким образом, изображение функции имеет следующий вид:

В результате определяем оригинал функции:

Следует отметить, что в случае если знаменатель имеет нулевой корень, то упрощенная формула для определения неопределённых коэффициентов имеет другой вид:

В качестве примера определим оригинал функции, при условии, что его изображение определяется следующим образом:

Раскладываем знаменатель на множители и перепишем изображение функции с учетом введение в уравнение неизвестных коэффициентов:

Неизвестные коэффициенты в выражении будут определяться по формуле следующим образом:

Таким образом, изображение функции имеет следующий вид:

В результате оригинал функции будет определяться следующим выражением:

Преобразования Лапласа применяются в математике, физике, оптике, электротехнике, технике автоматического управления, обработке сигналов и теории вероятности. Данное преобразование было предложено Пьером-Симоном де Лапласом в XVIII веке в процессе работы над теорией вероятности. В настоящее время преобразование Лапласа используется при решении систем дифференциальных и интегральных уравнений, а также при расчете/анализе передаточных функций линейных динамических систем, таких как электрические схемы, гармонические осцилляторы, оптические приборы и механические системы.

Для того, чтобы добавить Ваш комментарий к статье, пожалуйста, зарегистрируйтесь на сайте.

Примеры. 1. Найти изображения функций:

1. Найти изображения функций:

а) По таблице находим:

Следовательно, по свойству линейности преобразования Лапласа получим

б) Преобразуем произведение косинусов в их сумму

Далее воспользуемся таблицей изображений и свойством линейности:

в) Используем формулу понижения степени:

г) Раскроем скобки . Для того, чтобы найти изображение первого слагаемого воспользуемся теоремой о дифференцировании изображения. Так как , то

д) Для того, чтобы найти изображение первого слагаемого, используем теорему о дифференцировании изображения:

Преобразуем второе слагаемое:

Поэтому его изображение имеет вид

Итак, изображение заданной функции будет

2. Найти оригиналы следующих изображений:

а) Преобразуем так, чтобы можно было воспользоваться таблицей изображений:

Находя по таблице оригинал каждого слагаемого и используя свойство линейности, получим начальную функцию для заданного изображения.

б) Преобразуем дробь, выделив полный квадрат в знаменателе:

Сведем полученное выражение к сумме двух дробей, соответствующих формулам 7 и 8 таблицы изображений.

Следовательно, согласно таблице изображений и свойству линейности преобразования Лапласа, находим оригинал:

в) Разложив знаменатель дроби на множители, перепишем изображение в виде:

Представим полученную дробь в виде суммы простейших дробей и найдем входящие в сумму коэффициенты.

Таким образом . Теперь по таблице изображений находим

г) Представим дробь в виде суммы простейших дробей

Приводя правую часть равенства к общему знаменателю и приравнивая числители обеих дробей, получаем равенство:

Отсюда при сразу находим . Далее, раскрывая скобки в правой части равенства и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях р, найдем остальные коэффициенты.

д) Разложим дробь в сумму простейших дробей

Приведем правую часть равенства к общему знаменателю и приравняем числители обеих дробей

При получаем . Далее, раскрывая скобки в правой части равенства и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях р, найдем остальные коэффициенты

е) Представим заданное изображение в виде произведения двух функций и воспользуемся теоремой об умножении изображений.

Илон Маск рекомендует:  Атрибут cols в HTML

ж) Используем теорему запаздывания. Так как и , то

Дата добавления: 2014-12-06 ; просмотров: 731 . Нарушение авторских прав

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА Основные определения Свойства Свертка функций Теорема умножения Отыскание оригинала по изображению Использование теоремы обращения операционного исчисления Формула Дюамеля Интегрирование систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами Решение интегральных уравнений

pt. Тот факт, что функция имеет своим изображением F(p), будем записывать Пример 2. Найти изображение единичной функции r)(t). Функция является функцией-оригиналом с показателем роста в0 — 0. В силу формулы (2) изображением функции rj(t) будет функция Если то при интеграл в правой части последнего равенства будет сходящимся, и мы получим так что изображением функции rj(t) будет функция £. Как мы условились, будем писать, что rj(t) = 1, и тогда полученный результат запишется так: Теорема 1. Лгя всякой функции-оригинала f(t) с показателем роста з0 изображение F(p) определено в полуплоскости R ер = s > s0 и является в этой полуплоскости аналитической функцией (рис. 3). Пусть Для доказательства существования изображения F(p) в указанной полуплоскости достаточно установить, что несобственный интеграл (2) абсолютно сходится при a > Используя (3), получаем что и доказывает абсолютную сходимость интеграла (2). Одновременно мы получили оценку преобразования Лапласа F(p) в полуплоскости сходимости Дифференцируя выражение (2) формально под знаком интеграла по р, находим Существование интеграла (5) устанавливается так же, как было установлено существование интеграла (2). Применяя для F'(p) интегрирование по частям, получаем оценку откуда следует абсолютная сходимость интеграла (5). (Внеинтегральное слагаемое ,0.,— при t +оо имеет предел, равный нулю). В любой полуплоскости Rep ^ sj > «о интеграл (5) сходится равномерно относительно р, поскольку он мажорируется сходящимся интегралом не зависящим от р. Следовательно, дифференцированиепо р законно и равенство (5) справедливо. Поскольку производная F'(p) существует, преобразование Лапласа F(p) всюду в полуплоскости Rep = 5 > 5о является аналитической функцией. Из неравенства (4) вытекает Следствие. Если тонка р стремится к бесконечности так, что Re р = s неограниченно возрастает, то Пример 3. Найдем еще изображение функции любое комплексное число. Показатель росга «о функции /(() равен а. 4 Считая Rep = я > а, получим Таким образом, При а = 0 вновь получаем формулу Обратим внимание на то, что изображение функции eat является аналитической функцией ар1умента р не только в полуплоскости Rep > а, но и во всех точках р, кроме точки р = а, где это изображение имеет простой полюс. В дальнейшем мы не раз встретимся с подобной ситуацией, когда изображение F(p) будет аналитической функцией во всей плоскости комплексного переменного р, за исключением изолированных особых точек. Противоречия с теоремой 1 нет. Последняя утверждает лишь, что в полуплоскости Rep > «о функция F(p) не имеет особых точек: все они оказываются лежащими или левее прямой Rep = so, или на самой этой прямой. Замечай не. В операционном исчислении иногда пользуются изображением функции /(f) по Хевисайду, определяемым равенством и отличающимся от мображения по Лапласу множителем р. §2. Свойства преобразования Лапласа В дальнейшем через будем обозначать функции-оригиналы, а через — их изображения по Лапласу, Из определения изображения следует, что если Теорема 2 (единстве* мости ). £biw dee непрерывные функции ) имеют одно и тоже изображение , то они тождественно равны. Teopewa 3 (п«иейиост* преобраэдоияя Лапласа). Если функции-оригиналы, то для любых комплексных постоянных аир Справедливость утверждения вытекает из свойства линейности интеграла, определяющего изображение: , — показатели роста функций соответственно). На основании этогосвойства получаем Аналогично находим, что и, далее, Теорема 4 (подобия). Если f(t) — функция-оригинал и F(p) — ее изображение по Лапласу, то для любого постоянного а > О Полагая at = т, имеем Пользуясь этой теоремой, из формул (5) и (6) получаем Теорема 5 (о дифференцировании оригинала). Пусть является функцией-оригиналом с изображением F(p) и пусть — также функции-оригиналы, а где — показатель роста функции Тогда и вообще Здесь под понимается правое предельное значение Пусть . Найдем изображение Имеем Интегрируя по частям, получаем Внеинтегральное слагаемое в правой части (10) обращается в нуль при к. при Rc р = s > з имеем подстановка t = Одает -/(0). Второе слагаемое справа в (10) равно pF R бесконечно удаленной точки имеет вид Тогда оригиначом для F 0, удовлетворяющее начальным условиям Будем считать, что f(t) есть функция-оригинал. Тогда x(t) — также функция-оригинал. Пусть По теореме о дифференцировании оригинала имеем ,. Перейдем в уравнении (1) от оригиналов к изображениям. Имеем Это уже не дифференциальное, а алгебраическое уравнение относительно изображения Х(р) искомой функции. Его называют операторным уравнением. Решая его, найдем операторное решение задачи (1)-(2) — Оригинал для Х(р) будет искомым решением x(t) задачи (1)-(2). Обший случай линейного дифференциального уравнения n-го порядка (n ^ 1) с постоянными коэффициентами от случая п = 2 принципиально ничем не отличается. Приведем общую схему решения задачи Коши Х(р) = Задача Коши в пространстве оригиналов IV I Решение задачи Коши Т-Г’ Операторное уравнение в пространстве изображений Решение операторного уравнения III II Здесь Л означает применение к 1 преобразование Лапласа, JT1 — применение к III обратного преобразования Лапласа. Пример 1. Решить задачу Коши I. Операторное уравнение откуда По теореме о дифференцировании изображения Поэтому Формула Дюамеля В приложениях операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений часто пользуются следствием из теоремы умножения, известным под названием формулы Дюамеля. Пусть — функции-оригиналы, причем функция f(t) непрерывна на непрерывно дифференцируема на Тогда если ,то потеоремеумножения получаем, что Нетрудно проверить, что функция ip(t) непрерывно дифференцируема на причем Отсюда, в силу правила дифференцирования оригиналов, учитывая, что , получаем формулу Дюамеля (4) Покажем применение этой формулы. Пусть требуется решить линейное дифференциальное уравнение n-го порядка (n ^ 1) с постоянными коэффициентами при нулевых начальных условиях (последнее ограничение несущественно: задачу с ненулевыми начальными условиями можно свести к задаче с нулевыми условиями заменой искомой функции). Если известно решение Х\ (t) дифференциального уравнения с той же левой частью и правой частью, равной единице, при нулевых начальных условиях то формула Дюамеля (4) позволяет сразу получить решение исходной задачи В самом деле, операторные уравнения, отвечающие задачам ), имеют соответственно вид и где F(p) — изображение функции ) легко находим Отсюда по формуле Дюамеля t или, поскольку Пример 2. Решить задачу Коши Рассмотрим вспомогательную задачу Применяя операционный метод, находим По формуле (П) получаем решение x(t) исходной задачи: ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА Основные определения Свойства Свертка функций Теорема умножения Отыскание оригинала по изображению Использование теоремы обращения операционного исчисления Формула Дюамеля Интегрирование систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами Решение интегральных уравнений 4.2. Интегрирование систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами Интегрирование систем осуществляется так же, как и решение одного линейного дифференциального уравнения — путем перехода от системы дифференциальных уравнений к системе операторных уравнений. Решая последнюю как систему линейных алгебраических уравнений относительно изображений искомых функций, получаем операторное решение системы. Оригинал для него будет решением исходной системы дифференциальных уравнений. Пример 3. Найти решение линейной системы удовлетворяющее начальным условиям 4 Пусть Пользуясь свойством линейности преобразования Лапласа и теоремой о дифференцировании оригиналов, сводим исходную задачу Коши к операторной системе Решение исходной задачи Коши 4.3. Решение интегральных уравнений Напомним, что интегральным уравнением называют уравнение, в котором неизвестная функция входит под знак интеграла. Мы рассмотрим лишь уравнение вида (12) называемое линейным интегральным уравнением Вольтерра второго рода с ядром зависящим от разности аргументов (уравнение типа свертки). Здесь — искомая фуннция, — заданные функции. Пусть f(t) и K(t) есть функции-оригиналы, . Применяя к обеим частям (12) преобразование Лапласа и, пользуясь теоремой умножения, получим Решая последнюю относительно, получаем Оригинал для Ф(р) будет решением интегрального уравнения (12). Пример 4. Решить интегральное уравнение 4 Применяя преобразование Лапласа к обеим частям (14), получим Функция является решением уравнения (14) (подстановка уравнение (14) обращает поело дне© в тождество Замечание. Преобразование Лапласа может быть использовано также при решении некоторьж задач для уравнений математической физики. Функция-оригинал Преобразование Лапласа Упражнения Установите, каше из указанных функций являются функциями-оригиналами: Пользуясь свойствами преобразования Лапласа, найдите изображения следующих функций: Найдите изображение следующих функций, заданных графически: Найдите оригиналы по заданному изображению: Решите задачу Коши для следующих дифференциальных уравнений: Решите задачу Коши доя следующих систем дифференциальных уравнений: Решите интегральные уравнения:

Информация расположенная на данном сайте несет информационный характер и используется для учебных целей.
© Брильёнова Наталья Валерьевна

Свертка функций. Отыскание оригинала по изображению.

Таблица изображений некоторых элементарных оригиналов.

Приведем примеры использования определения и результатов утверждений для нахождения изображений.

Найти изображение функции , используя преобразование Лапласа.

Подчеркнем, что является оригиналом. Так как для всех , то изображение этой функции будет определено и аналитично в полуплоскости . Далее находим:


Используя таблицу изображений и свойство линейности преобразования Лапласа найти изображения оригинала:

По таблице изображений найдем: .

Найти изображение функции , воспользовавшись свойством дифференцирования изображений.

Воспользовавшись таблицей изображений, запишем:

Тогда по теореме о дифференцировании получим:

Последовательно вычисляя производные, находим:

Найти изображение функции .

Можно, вычислив интеграл, найти изображение по таблице изображений. Однако в данном случае проще воспользоваться теоремой об интегрировании оригинала. Действительно, имеем: . Тогда по теореме об интегрировании оригинала имеем право, записать:

Свертка функций. Отыскание оригинала по изображению.

Сверткой функций будем называть функцию .

Отметим, что операция свертывания обладает свойством коммутативности: , то есть .

Утверждение 10 (об умножении изображений, или теорема о свертке). Пусть ; . Тогда .

Таким образом, изображением свертки двух оригиналов является произведение их изображений.

Найти свертку функций и :

Приведем два способа решения этой задачи.

Первый способ. Воспользуемся таблицей изображений: и .

Воспользовавшись теоремой о свертке, запишем: .

Итак, изображение свертки найдено. Найдем саму свертку. Для этого, как и в предыдущей задаче, с помощью метода неопределенных коэффициентов представим дробь в виде суммы простейших дробей: . Тогда по таблице изображений запишем: .

Второй способ. Вычислим свертку функций, воспользовавшись определением: .

Интегрируем по частям: . Следовательно, .

Теперь по таблице изображений находим изображение свертки: .

Итак, нами получен тот же результат.

Пользуясь теоремой о свертке, найти оригинал изображения: .

Представим изображение в виде произведения . По теореме о свертке имеем: . Найдем теперь свертку функций и :

Заметим, что в данном случае оригинал можно было найти и по таблице изображений.

При нахождении оригиналов по заданным изображениям можно использовать несколько приемов.

Первый состоит в том, что изображение представляется в виде суммы элементарных дробей, каждая из которых является изображением простых оригиналов. Далее, используя таблицу оригиналов и свойство линейности преобразования Лапласа, находят оригинал, соответствующий исходной дроби.

Второй способ состоит в том, чтобы представить дробь в виде произведения дробей, каждая из которых является изображением некоторой функции, и применить теорему о свертке.

Третий способ основан на следующем утверждении:

Утверждение 11 (о разложении). Пусть функция представляет собой правильную рациональную дробь, имеющую полюсы в точках , где . Тогда оригиналом для неё служит функция , где сумма берется по всем полюсам.

Отметим, что данное утверждение допускает некоторое упрощение в случае, когда

а) все корни многочлена, стоящего в знаменателе изображения имеют кратность единица: ,

б) корни многочлена, стоящего в знаменателе изображения кратные:

Приведем примеры использования вышеперечисленных идей при решении задач.

Найти оригинал изображения: .

При работе с первым слагаемым по таблице изображений находим: . Поэтому, по свойству линейности преобразования Лапласа, находим соответствующий оригинал: .

Илон Маск рекомендует:  Никогда не останавливайтесь наращивать ссылочную массу!

Аналогично преобразуем второе слагаемое в выражении: .

Для нахождения оригинала, соответствующего третьему слагаемому выделим полный квадрат в знаменателе: . С учетом этого запишем: . Окончательно для этого слагаемого получим: .

Для нахождения оригинала, соответствующего последнему слагаемому , воспользуемся утверждением запаздывания оригинала. Так как оригинал для функции : , то, применив теперь теорему запаздывания оригинала, имеем

Итак, оригинал, соответствующий нашему изображению имеет вид:

Найти оригинал изображения: .

Представим дробь в виде суммы простейших дробей .

Воспользуемся стандартной техникой нахождения неопределенных коэффициентов . Приведем правую часть равенства к общему знаменателю. Тогда дроби равны, знаменатели равны, а значит, и числители равны: .

Слева и справа у нас многочлены. По теореме о равенстве двух многочленов два многочлена равны тогда и только тогда, когда равны коэффициенты при одинаковых степенях неизвестного. Тогда запишем соответствующую систему и вычислим коэффициенты разложения:

Таким образом, исходную дробь представим в виде .

Проиллюстрируем теперь использование теоремы о разложении для нахождения оригиналов, соответствующих изображениям.

Пользуясь теоремой о разложении, найти оригинал изображения: .

Функция имеет полюсы второго порядка: , и полюс первого порядка . Тогда по тереме о разложении оригиналом для служит функция . Вычислим соответствующие вычеты .

Следовательно, имеем право, записать

Найти оригинал изображения: .


Заметим, что все корни знаменателя действительные и простые.

Итак, корни многочлена знаменателя: .

Найдем соответствующие коэффициенты: , , , .

Приведем также пример ситуации с кратными корнями.

Найти оригинал изображения: .

Разложение изображения на простые дроби имеет вид: .

Найдем коэффициенты этого разложения

Методы операционного исчисления удобно использовать при решении некоторых дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений, а также систем таких уравнений. При этом предполагают, что в правой части такого уравнения стоит оригинал некоторой функции. Приведем примеры использования утверждений, касающихся свойств оригиналов и изображений.

Найти частное решение дифференциального уравнения

Пусть функция , удовлетворяющая данному уравнению имеет изображение: . Тогда воспользовавшись утверждением о дифференцируемости оригинала запишем:

Правая часть уравнения преобразуется следующим образом:

Приходим к операторному уравнению: .

Выразим из полученного уравнения изображение частного решения дифференциального уравнения:

Найдем разложение получившейся дроби на сумму дробей, представляющих собой оригиналы элементарных функций.

Следовательно, решение исходной задачи Коши.

Найти общее решение дифференциального уравнения .

Выберем произвольные начальные условия задачи Коши. Пусть . И пусть . Тогда

и , кроме того . И соответствующее операторное уравнение имеет вид: .

И значит решением исходного уравнения будет функция

Решить интегральное уравнение .

Выпишем уравнение для изображений, воспользовавшись утверждением 8 об интегрировании оригинала. (Полагая, что ).

. Выразим функцию изображения . Найдем оригинал, соответствующий данному изображению .

Решить интегральное уравнение .

Отметим, что левая часть уравнения представляет собой свертку функций и . Переходя к соответствующим изображениям запишем

. Выражая из последнего уравнения убедимся . И, значит, этому изображению соответствует оригинал .

Решить систему уравнений

Пусть и .Выпишем соответствующую операторную систему линейных уравнений

Выразим из получившейся операторной системы и :

Отметим, что для нахождения соответствующих оригиналов удобно воспользоваться теоремой разложения, учтя при этом, что корни знаменателя имеют первую кратность.

Таким образом , и .

Найти изображение функции Хевисайда: (см. рис.)

Ранее было получено, что изображением для оригинала является функция ,тогда, воспользовавшись теоремой запаздывания, получим: .

Найти изображение функции, заданной следующим графиком:

Аналитически запись этой функции будет выглядеть следующим образом:

Поэтому ее изображение можно найти, используя формулу преобразования Лапласа, учитывая области определения кусочно-заданного оригинала:

Найти изображение ступенчатой функции, изображенной на рисунке.

Аналитически запись этой функции будет выглядеть следующим образом:

. Это легко проверяется графическим сложением функций , , и т.д., изображенных на одном и том же чертеже. По теореме запаздывания получаем: . Второй сомножитель из правой части равенства представляет собой геометрическую прогрессию, со знаменателем . Так как, , то геометрическая прогрессия сходится, и получаем: .

Примеры решений задач по операционному исчислению (преобразованию Лапласа)

Операционное (символическое) исчисление – это один из методов математического анализа, позволяющий в некоторых случаях свести исследование и решение дифференциальных, псевдодифференциальных, интегральных уравнений, к более простым алгебраическим задачам.

Изучая преобразование Лапласа, мы вводим оригинал функции $f(t)$ и ее изображение $F(p)$, находимое по формуле:

$$F(p) = \int_0^\infty f(t) e^<-pt>dt$$

Для быстроты и удобства решения задач составлена таблица изображений и оригиналов, которая, наряду с теоремами (линейности, подобия, смещения, запаздывания), свойствами и правилами дифференцирования и интегрирования изображения/оригинала, постоянно используется в решении примеров.

В этом разделе вы найдете готовые задания разного типа: восстановление оригинала или изображения функции, нахождение свертки функций, решение ДУ, систем ДУ или интегральных уравнений с помощью преобразования Лапласа и т.д.

Как найти изображение функции

Задача 1. Найти изображение данного оригинала, или оригинала, удовлетворяющего данному уравнению

Задача 2. Пользуясь определением, найти изображение функции $f(t)=3^t$.

Задача 3. Найти изображение функции: $\int_0^t \cos \tau \cdot e^<-3\tau>d\tau. $

Задача 4. Найти изображение оригинала $f(x)$ двумя способами:
1) Вычислив интеграл $F(p) = \int_0^\infty f(x) e^<-px>dx$;
2) Воспользовавшись таблице изображений и свойствами преобразования Лапласа.
Оригинал задается формулой (курсочно-линейная функция, см. файл).

Как найти оригинал функции

Задача 5. Найти оригинал изображения $F(p)$, где


Задача 6. Найти оригинал изображения

Задача 7. Найти оригинал для функции с помощью вычетов

Как решить ДУ (систему ДУ) операционным методом

Задача 8. Найти частное решение дифференциального уравнения с заданными начальными условиями операторным методом

Задача 9. Найти решение задачи Коши методами операционного исчисления

Задача 10. Методом операционного исчисления найти частное решение системы дифференциальных уравнений, удовлетворяющее заданным начальным условиям.

Задача 11. Методом операционного исчисления найти решение задачи Коши для ДУ 3-го порядка

Задача 12. Решите задачу Коши для системы дифференциальных уравнений с помощью преобразования Лапласа.

Задача 13. C помощью формулы Дюамеля найти решение уравнения

Задача 14. Решить систему ДУ с помощью преобразования Лапласа

Как решить интегральное уравнение

Задача 15. Методом операционного исчисления найти решение интегрального уравнения

$$ y(t)=\cos t +\int_0^t (t-\tau)^2 y(\tau)d \tau. $$

Задача 16. Решить интегральное уравнение

$$ \int_0^t ch (\tau) x(t-\tau)d \tau = t. $$

Как найти свертку функций

Задача 17. Найти свертку функций $f(t)=1$ и $\phi(t)=\sin 5t$.

Помощь с решением заданий

Если вам нужна помощь с решением задач и контрольных по этой и другим темам математического анализа, обращайтесь в МатБюро. Стоимость подробной консультации от 100 рублей , оформление производится в Word, срок от 1 дня.

Фурье-вычисления для сравнения изображений

Традиционная техника “начального уровня”, сравнения текущего изображения с эталоном основывается на рассмотрении изображений как двумерных функций яркости (дискретных двумерных матриц интенсивности). При этом измеряется либо расстояние между изображениями, либо мера их близости.

Как правило, для вычисления расстояний между изображениями используется формула, являющаяся суммой модулей или квадратов разностей интенсивности:

Если помимо простого сравнения двух изображений требуется решить задачу обнаружения позиции фрагмента одного изображения в другом, то классический метод “начального уровня”, заключающийся в переборе всех координат и вычисления расстояния по указанной формуле, как правило, терпит неудачу практического использования из-за требуемого большого количества вычислений.

Одним из методов, позволяющих значительно сократить количество вычислений, является применение Фурье преобразований и дискретных Фурье преобразований для расчёта меры совпадения двух изображений при различных смещениях их между собой. Вычисления при этом происходят одновременно для различных комбинаций сдвигов изображений относительно друг друга.

Наличие большого числа библиотек, реализующих Фурье преобразований (во всевозможных вариантах быстрых версий), делает реализацию алгоритмов сравнения изображений не очень сложной задачей для программирования.

Постановка задачи

  • Пусть даны два изображения X и Y – изображение и образец, размеров (N1,N2) и (M1,M2) соответственно и Ni > Mi
  • Требуется найти координаты образца Y в полном изображении X и вычислить оценочную величину — меру близости.

Например, найти:

образец

в изображении

Корреляция как мера между изображениями

m(X,Y) = SUM ( X[i,j] * Y[i,j] ) / ( SQRT ( SUM X[i,j] ^2 ) * SQRT ( SUM Y[i,j] ^2 ) )

Данная величина получена из операции скалярного произведения векторов (рассматривая изображения как векторы в многомерном пространстве). И даже более — эта же формула представляет собой и стандартную статистическую формулу критерия для гипотезы о совпадении двух вероятностных распределений.

Примечание:
При вычислении корреляции между фрагментами изображений, если одно изображение меньше другого, будем делить только на значение норм у пересекающийся частей.

Свёртка двух функций

Пусть G’(t) = G(-t) и F’(t) = F(-t), тогда, очевидна справедливость равенств:

  • FхF’(0) = SUM F(i)^2 – скалярное произведение вектора F на самого себя
  • GхG’(0) = SUM G(j)^2– скалярное произведение вектора G на самого себя
  • FхG’(0) = SUM F(i)*G(i) – скалярное произведение двух векторов F и G

Так же очевидно, что FхG’(t) равна корреляции получаемой в результате сдвига одного вектора, относительно другого на шаг t (это легко проверить явной подстановкой значений в формулу корреляции).

Преобразование Фурье

Преобразование Фурье (ℱ) — операция, сопоставляющая одной функции вещественной переменной другую функцию, также вещественной переменной. Эта новая функция описывает коэффициенты («амплитуды») при разложении исходной функции на элементарные составляющие — гармонические колебания с разными частотами.

Преобразование Фурье функции f вещественной переменной является интегральным и задаётся следующей формулой:

Разные источники могут давать определения, отличающиеся от приведённого выше выбором коэффициента перед интегралом, а также знака «−» в показателе экспоненты. Но все свойства будут те же, хотя вид некоторых формул может измениться.

Кроме того, существуют разнообразные обобщения данного понятия.

Многомерное преобразование Фурье

Преобразование Фурье функций, заданных на пространстве ℝ^n, определяется формулой:

Обратное преобразование в этом случае задается формулой:

Как и прежде, в разных источниках определения многомерного преобразования Фурье могут отличаться выбором константы перед интегралом.

Дискретное преобразование Фурье

Дискретное преобразование Фурье (в англоязычной литературе DFT, Discrete Fourier Transform) — это одно из преобразований Фурье, широко применяемых в алгоритмах цифровой обработки сигналов (его модификации применяются в сжатии звука в MP3, сжатии изображений в JPEG и др.), а также в других областях, связанных с анализом частот в дискретном (к примеру, оцифрованном аналоговом) сигнале. Дискретное преобразование Фурье требует в качестве входа дискретную функцию. Такие функции часто создаются путём дискретизации (выборки значений из непрерывных функций). Дискретные преобразования Фурье помогают решать дифференциальные уравнения в частных производных и выполнять такие операции, как свёртки. Дискретные преобразования Фурье также активно используются в статистике, при анализе временных рядов. Существуют многомерные дискретные преобразования Фурье.

Формулы дискретных преобразований

Дискретное преобразование Фурье является линейным преобразованием, которое переводит вектор временных отсчётов в вектор спектральных отсчётов той же длины. Таким образом преобразование может быть реализовано как умножение симметричной квадратной матрицы на вектор:


Фурье-преобразования для вычисления свёртки

Одним из замечательных свойств преобразований Фурье является возможность быстрого вычисления корреляции двух функций определённых, либо на действительном аргументе (при использовании классической формулы), либо на конечном кольце (при использовании дискретных преобразований).

И хотя подобные свойства присущи многим линейным преобразованиям, для практического применения, для вычисления операции свёртки, согласно данному нами определению, используется формула

Где

  • FFT – операция прямого преобразования Фурье
  • BFT – операция обратного преобразования Фурье

Проверить правильность равенства довольно легко – явно подставив в формулы Фурье-преобразований и сократив получившиеся формулы

Фурье-преобразования для вычисления корреляции

Пусть (t) равна корреляции получаемой в результате сдвига одного вектора, относительно другого на шаг t
Тогда, как уже показано ранее, выполняется

Фурье-преобразования для решения задачи

Упрощение формул для решения поставленной задачи

получаем, что

  • = BFT ( FFT(X) * CONJUGATE ( FFT(Y) ) )
  • = BFT ( SQUAREMAGNITUDE( FFT(X) ) * CONJUGATE ( FFT(E) ) )

Где

  • (i,j) – скалярное произведение двух изображений, получаемых при сдвиге (i,j) относительно друг друга изображений X и Y
  • E – изображение размера равному минимальным размерам X и Y, и заполненное единичными значениями (то есть “кадр” в котором сравниваются X и Y)
  • (i,j) – норма (сумма яркостей пикселей) общей части изображения X при сдвиге (i,j)
  • FFT – операция прямого двухмерного дискретного преобразования Фурье
  • BFT – операция обратного двухмерного дискретного преобразования Фурье
  • CONJUGATE – операция вычисления матрицы из сопряжённых элементов
  • SQUAREMAGNITUDE– операция вычисления матрицы квадратов амплитуд элементов

Алгоритм поиска фрагмента в полном изображении

  • Пусть даны два изображения X и Y – изображение и образец, размеров (N1,N2) и (M1,M2) соответственно и Ni > Mi
  • Требуется найти координаты образца Y в полном изображении X и вычислить оценочную величину — меру близости.

  1. Расширить изображение Y до размера (N1,N2), дополнив его нулями
  2. Сформировать изображение E из единиц размера (M1,M2) и расширить до размера (N1,N2), дополнив его нулями
  3. Вычислить = BFT ( FFT(X) * CONJUGATE ( FFT(Y) ) )
  4. Вычислить = BFT ( SQUAREMAGNITUDE( FFT(X) ) * CONJUGATE ( FFT(E) ) )
  5. Вычислить M[i,j] = (f + [i,j])/(f + [i,j])
  6. В матрице M найти элемент с максимальным значением – координаты этого элемента и являются искомой позицией образца в полном изображении, а значение равно оценке меры сравнения.

Примечание:
При использовании дискретного преобразования Фурье, матрица M содержит также элементы от циклического сдвига изображений между собой. Поэтому, если не требуется анализировать циклический сдвиг кадров, то поиск максимального элемента в матрице M нужно ограничить областью (0,0)-(N1-M1, N2-M2).

Примеры реализации

Реализованные алгоритмы являются частью библиотеки с открытым исходным кодом FFTTools. Интернет-адрес: github.com/dprotopopov/FFTTools

Используемое программное обеспечение

  • Microsoft Visual Studio 2013 C# — среда и язык программирования
  • EmguCV/OpenCV – C++ библиотека структур и алгоритмов для обработки изображений
  • FFTWSharp/FFTW – C++ библиотека реализующая алгоритмы быстрого дискретного преобразования Фурье

Функции изображений

Функцией-оригиналом называется комплекснозначная функция f ( t ) действительного аргумента t, удовлетворяющая условиям:

1. f (t) интегрируема на любом конечном интервале оси t;

2. f ( t )=0 для всех отрицательных t;

3. f ( t ) возрастает не быстрее показательной функции, т. е. существуют такие постоянные М и s 0 , что |f(t)| s 0 t для всех t.

Изображением функции f ( t ) (по Лапласу) называется функция F ( p ) комплексного переменного p= s +i t , определяемая равенством

Тот факт, что F ( p ) есть изображение f ( t ), будем символически записывать так:

Для любой функции-оригинала f ( t ) изображение определено в полуплоскости Re p > s 0 и является в этой полуплоскости аналитической функцией.

Из определения изображения следуют его простейшие свойства:

1. Линейность . Для любых комплексных постоянных a и b

(здесь и далее считать f(t)=F(p), g(t)=G(p) ).

2. Теорема подобия . Для любого постоянного a >0

3 . Дифференцирование оригинала . Если функции f ( t ) , f ў ( t ) , f І ( t ),…, f ( n ) ( t ) являются функциями-оригиналами и f(t)=F(p) , то

где под f ( k ) (0), ( k = 1, 2,…, n-1) понимается .

4. Дифференцирование изображения. Дифференцирование изображения сводится к умножению на (-t) оригинала

5. Интегрирование оригинала . Интегрирование оригинала сводится к делению изображения на р, т. е. если f(t)=F(p), то

6. Интегрирование изображения . Если интеграл сходится, то он служит изображением функции

7. Теорема смещения. Если f(t)=F(p), то для любого комплексного р 0

8. Теорема запаздывания . Если f(t)=F(p), то для любого t >0

Важной для приложений является следующая:

Если две функции j (t) и j (t) имеют одно и то же L-изображение F(p), то эти функции тождественно равны.

Роль теоремы в том, что, если при решении практической задачи мы каким-либо образом определили изображение искомой функции, а потом по изображению нашли начальную функцию, то на основании теоремы единственности мы заключаем, что найденная функция есть решение поставленной задачи и других решений не существует.

Применяя определения 1, 2, и указанные выше свойства, получаем таблицу изображений основных элементарных функций ( см. приложение ).

Используя определение преобразования Лапласа, нетрудно вывести формулу для изображения кусочно-линейной функции. Примерный вид графика кусочно-линейной функции приведен на рис. 1.

t k – точки разрыва функции f ( t ) или f ў ( t );

a k = a k – b k – скачки функции в узлах “стыка”;

b k =tg g k – tg d k – скачки производной f ў ( t ) в узлах “стыка”.

Изображение кусочно-линейной функции имеет вид

Можно получить изображение кусочно-линейной функции непосредственной подстановкой ее уравнения в формулу из определения.

В некоторых случаях бывает удобно применить теорему запаздывания.


Функции изображений

19.2. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА, ЕГО ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА. ИЗОБРАЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ

Преобразование Лапласа, связывающее функцию времени f ( t ) — оригинал и ее операторное изображение F ( s ) —

является весьма развитым инструментом математического анализа и ему посвящена обширная литература. Многие его свойства идентичны свойствам преобразования Фурье, рассмотренным в п. 11.3. Остановимся на тех из них, которые будут использоваться при расчете переходных процессов операторным методом.

Илон Маск рекомендует:  Как добавить вокруг текста рамку определенного цвета

Линейность преобразования Лапласа. Так как формула прямого преобразования линейна относительно подынтегрального сомножителя f ( t ), то преобразование линейно — изображение суммы оригиналов равно сумме изображений слагаемых .

Изображение простейших функций времени. Так как преобразование является односторонним, то все рассматриваемые функции определены своими выражениями лишь при t > 0, а при t f ( t ) = e – a t необходимо учитывать, что речь идет о функции, изображенной на рис. 19.2, а .

Непосредственное применение интеграла прямого преобразования дает

(На верхнем пределе экспонента исчезает, так как Re( s ) = s > 0). Это — единственная из множества формул преобразования Лапласа функций, которую полезно запомнить.

Полученный результат приводит к изображению единичной функции f ( t ) = 1( t ) (рис. 19.2, б ). Найдем его, принимая в формулах для экспоненты a = 0. Таким образом, 1( t ) имеет изображение 1/ s . По основной формуле преобразования изображение d –функции . Действительно, подынтегральная функция отлична от нуля лишь при t = 0, когда экспонента равна единице, а по определению. Отсюда следует, в частности, что нижний предел в интеграле Лапласа следует принимать равным (– 0), что существенно лишь для функций, неограниченных в начальный момент времени — содержащих слагаемое d ( t ). Обозначим соответствие оригинала и изображения в символической форме f ( t ) ® F ( s ).

Наиболее часто встречающиеся изображения других функций приведены в Приложении 4. Значительное число изображений других функций можно найти в Л.16. Расширить перечень указанных функций можно с помощью теоремы смещения, согласно которой изображение функции f ( t ), умноженной на экспоненту e – a t , равно F ( s + a ):

e – a t f ( t ) ® F ( s + a ).

Изображение производной функции. Изображение F ‘( s ) производной функции f ‘( t ) = df / dt выражается через изображение дифференцируемой функции с помощью основного интеграла . Применяя интегрирование по частям, перепишем его в виде

Поскольку последний интеграл представляет собой изображение исходной функции, то после преобразования и подстановки пределов интегрирования приведем полученное соотношение к виду

Предельные соотношения. Используя в формуле (19.4) значение f (+ 0), перейдем в ней к пределу при s ® ¥ . Учитывая, что производная df / dt при t > 0 ограничена и, следовательно, , получим

Рассуждая аналогично, получим также и соотношение

дающее возможность определить предельное значение оригинала при t ® ¥ по его изображению, однако, лишь в том случае, если этот оригинал имеет предел при t ® ¥ (например, его нельзя применять к синусоиде).

Теорема запаздывания определяет связь изображения F 1 ( s ) функции f 1 ( t ) с изображением той же функции, задержанной на время t ; f 2 ( t ) = f 1 ( t – t ) (рис. 19.3, а , б ).

Для F 2 ( s ) имеем

т. е. изображение запаздывающей функции равно изображению исходной функции, умноженной на e –s t .

В справочной литературе [Л.16] можно найти описание других свойств преобразования Лапласа.

Отметим, что применяя это преобразование к функциям времени, имеющим размерность, необходимо помнить, что размерности оригинала f ( t ) и его изображения F ( s ) не совпадают, — в формуле прямого преобразования интеграл вычисляется по времени, поэтому размерность изображения есть размерность оригинала, умноженная на время. Комплексная переменная s = s + j w , которую иногда называют комплексной частотой, хотя такое название и лишено физического смысла, имеет размерность частоты (1/с).

Функции изображений

ЧАСТЬ 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

Самарский государственный аэрокосмический университет

Исходный URL: http://www.pereplet.ru/obrazovanie/stsoros/49.html

Недаром говорят: «Лучше один раз увидеть, чем сто раз услышать». Исследования подтверждают, что информационная пропускная способность органов зрения значительно выше, чем у других каналов передачи информации, доступных человеку. В теории информации доказано, что, подбрасывая монету и наблюдая результат, мы всякий раз получаем одну двоичную единицу (бит) информации. Каждая буква в тексте несет примерно четыре бита информации. Изображение участка поверхности Земли, полученное из космоса, содержит примерно 10 миллионов бит информации! Переработать такое количество информации под силу только самому современному компьютеру. Чтобы научить машину обрабатывать изображения, требуется иметь мощный комплекс технических средств, математический аппарат, алгоритмы и большое количество программ.

Часть первая публикации посвящена построению математических моделей оптических изображений и их дискретным представлениям. Во второй части публикации рассматриваются методы и алгоритмы, а также несколько примеров решения прикладных задач.

1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ОПТИЧЕСКИХ ИЗОБРАЖЕНИЙ

1.1. Функция яркости

Необходимость построения математической модели возникает сразу же при использовании компьютера для обработки изображений. Оценивая «на глаз» расстояние между двумя предметами, мы не задумываемся о том, как это делается. Поручив это компьютеру, мы обязаны научить его выполнять подобные действия, то есть заложить в него соответствующие данные и алгоритмы. Хорошо известно, что компьютер имеет дело с массивами чисел в качестве данных. Таким образом, первой задачей компьютерной обработки изображений является перевод изображений в числовую форму. Это требует конкретизации самого понятия «изображение».

Рассмотрим объект, освещенный источником света (рис. 1).
На некотором расстоянии от объекта распределение энергии источника светового излучения, отраженного объектом, по пространственным координатам x, y и по длинам волн l описывается функцией с(x, y, l). Эта функция является неотрицательной; ее максимальное значение в изображающих системах ограничено предельной величиной светочувствительности регистрирующих сред,

0 &lt с(x, y, l) &lt A,

где A — максимальная яркость изображения.

Геометрические размеры изображения ограничены характеристиками формирующей системы и параметрами фоторегистрирующей среды. Будем полагать, что все изображения отличны от нуля в прямоугольной области:

— Lx &lt x &lt Lx , — Ly &lt y &lt Ly .

Человеческое зрение и видеодатчики обладают спектральной чувствительностью, описываемой функцией u(l). Например, как известно, человеческий глаз обладает чувствительностью к свету в диапазоне волн от lmin = 0,35 мкм до lmax = 0,78 мкм. При этом функция спектральной чувствительности достигает своего максимума приблизительно в середине этого диапазона и спадает к его краям.

Каждый видеодатчик обладает индивидуальной характеристикой спектральной чувствительности, обусловленной физикой прибора. Имеются видеодатчики ультрафиолетового и инфракрасного диапазонов, которые широко используются, например, при проведении спектрозональных съемок Земли из космоса.

Как в случае наблюдения объекта человеком, так и в случае использования видеодатчика наблюдаемое изображение является результатом усреднения функции с(x, y, l) по диапазону длин волн с весовой функцией u(l) и описывается выражением

Функцию f(x, y) в дальнейшем будем называть изображением. Таким образом, изображение — это ограниченная функция двух пространственных переменных, заданная на ограниченной прямоугольной области.

1.2. Двумерные линейные системы

Из курса физики хорошо известно понятие оптической системы, осуществляющей преобразование изображений по определенным правилам, определяемым совокупностью используемых в ней оптических элементов и их взаимосвязью.

С математической точки зрения под системой будем понимать правило L, ставящее в соответствие входной функции f выходную функцию g. Различают одномерные 1D и двумерные 2D системы. Одномерные системы преобразуют функции одной переменной:

Соответственно двумерные системы преобразуют функции двух переменных:

Оптические системы по сути своей являются двумерными, но в некоторых случаях могут рассматриваться как одномерные.

Особое место среди всевозможных систем занимают линейные системы. Система называется линейной, если для нее справедлив принцип суперпозиции (наложения), который заключается в том, что отклик системы на взвешенную сумму двух входных воздействий равен взвешенной сумме откликов на каждое из воздействий, то есть

L[a1 f1(x, y) + a2 f2(x, y)] = a1L[f(x, y)] + a2L[f2(x, y)].

Принцип суперпозиций можно выразить в более общем виде, рассматривая произвольное число M входных воздействий:

В изучении оптических систем фундаментальную роль играет понятие точечного источника света. Точечный источник света описывается дельта-функцией Дирака

Таким образом, точечный источник обладает бесконечно большой плотностью яркости в бесконечно малой пространственной области — в точке. Безусловно, это математическая абстракция, однако исключительно полезная в физике и допускающая ясную физическую трактовку: дельта-функция может быть определена как предел обычной функции, например

Согласно выражению (9) дельта-функция может рассматриваться как бесконечно узкая колоколообразная функция (рис. 2).


Можно также ввести дельта-функцию, расположенную не в начале координат, а в произвольной точке с координатами (u, u), по формуле

Дельта-функция обладает следующими важными свойствами:

1) Свойство нормировки:

Физически это означает, что, хотя плотность яркости точечного источника бесконечна, энергия его ограничена и равна единице.

2) Фильтрующее свойство

где f(x, y) — произвольная функция двух переменных. Интегралы в (11) и (12) берутся по бесконечно большой пространственной области D. Доказательства свойств 1) и 2) выполняются с помощью подстановки в (11) и (12) выражения (9) и раскрытия предела.

Рассмотрим 2D-линейную систему, на вход которой подан сигнал в виде дельта-функции. Реакция системы на дельта-функцию будет различной для различных систем, называется импульсным откликом и служит характеристикой 2D-системы. Систему называют пространственно-инвариантной, если ее импульсный отклик зависит от разности координат входной (x, y) и выходной (x, h) плоскостей. Для оптической системы, показанной на рис. 3, это означает, что при перемещении точечного источника во входной (предметной) области изображение этого предмета в плоскости наблюдения будет также изменять положение, но сохранять форму.

Для пространственно-инвариантных систем импульсный отклик описывается функцией

h(x — u, y — u) Ї h(x, h),

где x = x — u, h = y — Яu,

Используя функцию импульсного отклика, можно записать уравнение, связывающее изображения на входе и выходе 2D-линейной оптической системы. Для этого представим входной сигнал f(x, y) в виде (12) и подадим его на вход 2D-системы с характеристикой h(x, h). Выходной сигнал запишем в виде

Поскольку операция L линейна и операция интегрирования в фигурных скобках (15) также линейна, их можно поменять местами и записать

Учитывая, что по определению

окончательно получим выражение, устанавливающее связь между изображениями во входной и выходной плоскостях линейной системы:

Уравнение (16) называется интегралом свертки. Из этого уравнения следует, что, зная импульсный отклик оптической системы h(x, h), можно рассчитать выходное изображение по входному.

Процесс свертки иллюстрирует рис. 4.

На рис. 4а и 4б изображены функция f(x, y) на входе и импульсный отклик. На рис. 4а показан импульсный отклик при обращении координат, а на рис. 4г — со сдвигом на величину х, у. На рис. 4д заштрихована область, в которой произведение f(x, h) h(x — x, y — h), входящее в подынтегральное выражение (16), не равно нулю. Интегрирование по этой области дает величину g(х, у) для заданных значений координат х, у. Таким образом, функция g(х, у) на выходе может быть найдена сканированием входной функции скользящим «окном» — обращенным импульсным откликом, и интегрированием по области, в которой эти функции перекрываются.

1.3. Средства ввода изображений

Техническая задача, которую необходимо решить в компьютерной обработке изображений, — это ввод оптических изображений в память компьютера и вывод (визуализация) изображений. К счастью, в современных компьютерах задача визуализации решена. Для этих целей используются высокоразрешающие цветные дисплеи и другая техника отображения информации.

Ввод изображений в память компьютера осуществляется с помощью видеодатчиков. Видеодатчик переводит оптическое распределение яркости изображения в электрические сигналы и далее в цифровые коды. Поскольку изображение является функцией двух пространственных переменных, а электрический сигнал является функцией одной переменной — времени, то для преобразования используется развертка. Например, при использовании телевизионной камеры изображение считывается по строкам: строка за строкой. При этом в пределах каждой строки зависимость яркости от пространственной координаты x преобразуется в пропорциональную зависимость амплитуды электрического сигнала от времени t. Переход от конца предыдущей строки к началу следующей осуществляется практически мгновенно. Широкое применение в качестве видеодатчиков находят также матрицы фотодиодов и матрицы приборов с зарядовой связью. При использовании матричных видеодатчиков изображение как бы наблюдается сквозь экран с множеством прозрачных ячеек. Число таких ячеек для современных видеодатчиков весьма велико и составляет величину 1024 i 1024 и более (см. рис. 5).

Исходное изображение, как уже отмечалось, представляет собой функцию двух непрерывных аргументов. В то же время цифровая память компьютера способна хранить только массивы данных. Поэтому ввод изображения в компьютер неизбежно связан с дискретизацией изображений по пространственным координатам и по яркости.

2. ДИСКРЕТНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ИЗОБРАЖЕНИЙ

2.1. Дискретизация изображений

Рассмотрим непрерывное изображение f (x, y) — функцию двух пространственных переменных x и y на ограниченной прямоугольной области (рис. 6).

Введем понятие шага дискретизации T1 по пространственной переменной х и Т2 по переменной у. Например, можно представить, что в точках, удаленных друг от друга на расстояние Т1 по оси х, расположены точечные видеодатчики. Если такие видеодатчики установить по всей прямоугольной области, то изображение окажется заданным на двумерной решетке:

Для сокращения записи обозначим

f (n1T1 , n2T2) Ї f (n1 , n2).

Функция f(n1 , n2) является функцией двух дискретных переменных и называется двумерной последовательностью. То есть дискретизация изображения по пространственным переменным переводит его в таблицу выборочных значений. Размерность таблицы (число строк и столбцов) определяется геометрическими размерами исходной прямоугольной области и выбором шага дискретизации по формуле

где [ » ] обозначает целую часть числа.

Если область определения непрерывного изображения — квадрат Lx = Ly = L и шаг дискретизации выбран одинаковым по осям х и у (Т1 = Т2 = Т ), то

и размерность таблицы составляет М 2.

Элемент таблицы, полученной путем дискретизации изображения, называют пиксел. Рассмотрим пиксел f (n1 , n2). Это число принимает непрерывные значения.

Память компьютера способна хранить только дискретные числа. Поэтому для записи в памяти непрерывная величина f должна быть подвергнута аналогово-цифровому преобразованию с шагом D (см. рис. 7).

Операцию дискретизации непрерывной величины по уровням часто называют квантованием. Число уровней квантования равно

В практических задачах обработки изображений величина K варьируется в широких пределах от К = 2 («бинарные» (черно-белые) изображения) до K = 210 и более (практически непрерывные значения яркости). Наиболее часто выбираются К = 28, при этом пиксел изображения кодируется одним байтом информации. Из всего вышеуказанного делаем вывод, что пикселы, хранящиеся в памяти компьютера, представляют собой результат дискретизации исходного непрерывного изображения по аргументам и по уровням. Ясно, что шаги дискретизации Т1 ,Т2 и D должны выбираться достаточно малыми, для того чтобы погрешность дискретизации была незначительна и цифровое представление сохраняло основную информацию об изображении.

При этом следует помнить, что чем меньше шаг дискретизации и квантования, тем больший объем данных об изображении должен быть записан в память компьютера. Рассмотрим в качестве иллюстрации этого утверждения изображение на слайде размером 50 i 50 мм, которое вводится в память с помощью цифрового измерителя оптической плотности (микроденситометра). Если при вводе линейное разрешение микроденситометра (шаг дискретизации по пространственным переменным) составляет 100 мкм, то в память записывается двумерный массив пикселов размерности М 2 = 500 i 500 = 25 i 104. Если же шаг уменьшить до 25 мкм, то размеры массива возрастут в 16 раз и составят М 2 = 2000 i 2000 = = 4 i 106. Используя квантование по 256 уровням, то есть кодируя найденный пиксел байтом, получаем, что в первом случае для записи необходим объем 0,25 мегабайт памяти, а во втором случае — 4 мегабайта.

С физической точки зрения выбор шага дискретизации диктуется шириной пространственного спектра изображения. Чем больше ширина спектра W , тем меньше шаг дискретизации Т. Практически при дискретизации стремятся удовлетворить соотношению

Рассмотрим несколько практически важных 2D-последовательностей, имеющих аналитическое выражение.

1) Цифровой единичный импульс

Нетрудно заметить, что эта последовательность подобна дельта-функции (8). Произвольная последовательность F(n1 , n2) может быть представлена в виде

(сравним с формулой (12)).

2) Цифровой единичный скачок

— функция, которая принимает единичные значения в правом верхнем квадранте координатной плоскости и нулевое значение в других квадрантах.

3) Экспоненциальная последовательность

4) Комплексная экспонента

exp(n1 , n2) = exp[i(w1n1 + w2n2)],

где w1 , w2 имеют смысл пространственных частот.

С математической точки зрения, 2D-система — это правило, которое ставит в соответствие 2D-входной последовательности f (n1 , n2) 2D-выходную последовательность g(n1 , n2).

Напомним, что мы рассматриваем линейные пространственно-инвариантные системы. Подавая на вход системы функцию u0(n1 , n2), на выходе получаем функцию h(n1 , n2), которая называется импульсной реакцией системы.

Импульсная реакция позволяет записать связь между входной и выходной двумерными последовательностями системы в виде

Формула 2D-свертки имеет большую вычислительную сложность. Для иллюстрации рассмотрим

1. Прэтт У. Цифровая обработка изображений. В двух книгах. М.: Мир, 1982.

Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Кодинг, CSS и SQL