График функции в 3d


Содержание

Построить график функции онлайн

Построение графиков онлайн с помощью нашего сервиса является простой задачей. Возможность построения одновременно сразу нескольких функций, помеченных разными цветами. Укажите пределы переменной и функции — и наш сервис быстро нарисует ваш график.

Построение графиков онлайн

Построение графиков онлайн

Построить функцию

Мы предлагаем вашему вниманию сервис по потроению графиков функций онлайн, все права на который принадлежат компании Desmos. Для ввода функций воспользуйтесь левой колонкой. Вводить можно вручную либо с помощью виртуальной клавиатуры внизу окна. Для увеличения окна с графиком можно скрыть как левую колонку, так и виртуальную клавиатуру.

Преимущества построения графиков онлайн

  • Визуальное отображение вводимых функций
  • Построение очень сложных графиков
  • Построение графиков, заданных неявно (например эллипс x^2/9+y^2/16=1)
  • Возможность сохранять графики и получать на них ссылку, которая становится доступной для всех в интернете
  • Управление масштабом, цветом линий
  • Возможность построения графиков по точкам, использование констант
  • Построение одновременно нескольких графиков функций
  • Построение графиков в полярной системе координат (используйте r и θ(\theta) )

С нами легко в режиме онлайн строить графики различной сложности. Построение производится мгновенно. Сервис востребован для нахождения точек пересечения функций, для изображения графиков для дальнейшего их перемещения в Word документ в качестве иллюстраций при решении задач, для анализа поведенческих особенностей графиков функций. Оптимальным браузером для работы с графиками на данной странице сайта является Google Chrome. При использовании других браузеров корректность работы не гарантируется.

Построение графиков функций онлайн Справка

интервал: [ , ] в Пи
подпись:
интервал: [ , ] авто
подпись:

Сервис онлайн построения графиков

Этот сервис создан в помощь школьникам и студентам в изучении математики (алгебры и геометрии) и физики и предназначен для онлайн построения графиков функций (обычных и параметрических) и графиков по точкам (графиков по значениям), а также графиков функций в полярной системе координат.

Просто введите формулу функции в поле «Графики:» и нажмите кнопку «Построить».

Почитайте в cправкe, как правильно вводить формулы функций.

Загляните в раздел примеров, наверняка, там есть графики функций, похожие на то, что нужно Вам, останется только слегка откорректировать готовые формулы функций.

Построение трехмерных графиков функций в среде MATLAB

Система MATLAB обладает широкими возможностями построения трехмерных графиков. В данном разделе рассмотрим несколько функций, позволяющих создавать трехмерные графики всреде MATLAB.


Для создания трехмерного графика функции от двух переменныхz=f(x, у) необходимо:

1) сгенерироватьдве матрицыX иYс координатами узлов сетки на прямоугольной области определения функции, определяемой значениями переменных xи y;

2) необходимо вычислить значение функции z=f(X, Y) в узлах сетки и записать полученные значения в матрицу значений функции Z.После этого можно приступить к построению графика функции в трехмерной области графическими средствами среды MATLAB.

Для формирования матрицы, определяющей координаты прямоугольной сетки в среде MATLAB существует функция meshgrid со следующим синтаксисом:

[X, Y]=meshgrid (x, y)

где: x, y – векторы, задающие прямоугольную область определения функции z=f(x, у);X,Y–матрицы, содержащие координаты узлов сетки на прямоугольной области.

Функция meshgrid преобразует область векторов х иу в массивы X иY, соответственно,при этом строки матрицыХ являются копиями вектора х, а столбцы матрицыY– копиями вектора у. Матрицы ХиYявляются матрицами одинаковых размеров.

Для построения каркасна поверхности в трехмерном пространстве в среде MATLAB используется функция mesh, имеющая следующий синтаксис:

Mesh(X, Y, Z)

Цвет линий каркаса поверхности соответствует значениям функции z=f(x, у). Система MATLAB рисует только видимую часть каркаса поверхности. С помощью команды hiddenoffможно сделать каркас поверхности прозрачным, сделав видимой скрытую от наблюдателя часть изображения. Команда hiddenonубирает невидимую часть поверхности, возвращая графику прежний вид.

Используя функцию surfв среде MATLAB можно построить каркасную поверхность графика функции, заливая каждую клетку поверхности цветом, зависящим от значения функцииz=f(x, у) в точках, соответствующих узлам координатной сетки. Функция имеет следующий синтаксис:

Surf(X, Y, Z)

По умолчанию в среде MATLAB при формировании каркасной поверхности с помощью функции surfцвет в пределах каждой клетки поверхности остается постоянным. Команда shadinginterpпозволяет получить поверхность, плавно залитую цветовой палитрой. Команда shadingflatпозволяет убрать каркасные линии с поверхности. При помощи команды shadingflatможно получить исходный вид каркасной поверхности.

Изменение цветового оформления каркасных поверхностей в среде MATLAB можно осуществить с помощью функции colormap:

Colormap(attribute)

где: attribute–параметр, определяющий цветовое оформление поверхности. Более подробно о различных значениях данного параметра можно узнать в справочной системе MATLAB (doccolormap).

В том случае, если координаты точек линии в трехмерном пространстве заданы с помощью массивов, а не функциональной зависимости, то в среде MATLAB удобнее использовать функциюplot3для построенияданной поверхности. Функция plot3имеет следующий синтаксис:

Plot3 (x, у, z)

где: x, y, z – векторы одинакового размера.

В данном случае функция plot3обеспечивает построение линии в трехмерном пространстве, проходящей через точки с координатами x(i), y(i), z(i).

Входные аргументы функцииplot3может быть представлены в видематриц:

Plot3(X, Y, Z)

где:X, Y, Z–матрицы одинакового размера,

В данном случае функция plot3обеспечивает построение линии в трехмерном пространстве, проходящей через точки с координатами X(i, :), Y(i, :), Z(i, :) для каждого столбца матриц X, Y, Z.

Функция plot3может иметь входной параметр, определяющий стиль трехмерного графика, значения параметра стилей аналогичны значениям соответствующего параметра функции plot.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: На стипендию можно купить что-нибудь, но не больше. 8987 — | 7235 — или читать все.


188.64.174.135 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)

очень нужно

График функции в 3D

Здесь представлено простое Windows приложение, которое создает и отображает 3D изображение (поверхность) функции, используя рендеринг OpenGL. Графические данные могут быть произвольными (указываются пользователем). С форматом данных можно разобраться, если заглянуть в функцию COGView::DefaultGraphic. При помощи данного приложения удобно просматривать результаты вычислений некоторых полей (например: поверхности равной температуры, давление скорости или магнитная плотность потока в трехмерном пространстве). Изображение можно свободно вращать мышкой, опции позволяют настроить желаемые параметры изображения OpenGL.

Итак, запускаем MFC AppWizard, выбираем шаблон SDI и называем его OG. В файл StdAfx.h необходимо поместить следующие директивы, чтобы в проекте были доступны библиотеки OpenGL и STL.

Создаём структуру данных

Нам понадобится хранилище для вершин поверхности.Разместите следующий код в файле OGView.h. Упростим изначальный код класса View, удаляя некоторые функции и добавляя новые.

Добавляем обработчики

Используя ClassWizard добавляем в COGView обработчики для сообщений: WM_CREATE, WM_DESTROY, WM_ERASEBKGND, WM_LBUTTONDOWN, WM_LBUTTONUP, WM_MOUSEMOVE, WM_RBUTTONDOWN, WM_RBUTTONUP, WM_SIZE и WM_TIMER. Добавляем в конструктор класса View инициализацию контролируемых параметров.

Подготовка к открытию контекста OpenGL

Возможно Вы знаете, что для того, чтобы подготовить окно для рисования в нём при помощи OpenGL Вам необходимо:

  • выбрать и установить формат пикселя,
  • получить и сохранить контекст устройства окна,
  • создать и сохранить контекст OpenGL,
  • добавить к окну стили WS_CLIPSIBLINGS | WS_CLIPCHILDREN,
  • убрать очистку фона перед каждой перерисовкой (обработать WM_ERASEBKGND и возвращать только TRUE),
  • специфически обработать сообщения WM_SIZE, WM_PAINT и
  • освободить контексты, когда отображение будет закрыто.

Основные события для использования OpenGL помещаются в обработчик WM_CREATE.

Перерисовка

Каждый раз, когда Вы (или Windows) решаете перерировать отображение, необходимо обработать сообщение WM_PAINT. Принимая во внимание особенности архитектуры Документ-Вид, Вы помещаете код перерисовки на в OnPaint, а в функцию OnDraw.

Освещение

Здесь представлен простой способ вычисления цвета каждого пикселя.

Установка цвета фона очень проста.

Создание и хранение изображения

Основные операции по созданию изображения хранятся в функции DrawScene, которая создаёт и хранит изображение, состоящее из координат вершин. Мы предполагаем, что все координаты уже размещены в STL-контейнере m_cPoints. Изображение сконструировано как серия изогнутых четырёхугольников (GL_QUADS) или как серия изогнутых четвёрок (GL_QUAD_STRIP). Ниже мы добавим команды по переключению между двумя этими режимами. Точки поверхности располагаются в координатной сетке (X, Z). Размер этой сетки хранится в переменных m_xSize и m_zSize. Несмотря на 2-мерность сетки, мы используем линейный массив (одномерный) m_cPoints или (точнее) контейнер типа вектор для хранения значений координат. Это съэкономит усилия при файловых операциях.

Выбор 4 соседних точек одного примитива (например GL_QUADS) будет сделан при помощи 4 индексов (n, i, j, k). Индекс n проходит последовательно через все вершины по порядку слева направо по оси X (Z=0) а затем процедура повторяется (постепенно увеличивая значение Z). Другие индексы вычисляются относительно индекса n. Обратите внимание, что только два индекса работают в режиме связанных четвёрок, который включается или выключается флагом m_bQuad flag.

Илон Маск рекомендует:  Процедуры работы с динамической памятью

Макрос TEXT эквивалентен следующей строке

Фактически чтение производится в DoRead, где мы запрашиваем размер файла, распределяем необходимое количество памяти, а так же считываем весь файл в буфер. После этого мы устанавливаем контейнер точек m_cPoints при помощи функции SetGraphPoints.

Как построить график функции

Для задания области (например, 1≤x≤7 ) используйте пределы или >= .

Трехмерные графики функции

Чтобы создать трехмерный график достаточно, чтобы в выражении была переменная y (например, y^2-x/3 ).

  • График функции онлайн
  • График по точкам
  • Построение графика в Excel


Чтобы создать трехмерный график достаточно, чтобы в выражении была переменная y (например, y^2-x/3 ).

Чтобы построить трехмерный график в Excel , необходимо указать функцию f(x,y) , пределы по x и y и шаг сетки h .

Принципы и способы построения графика функции

Прикладное применение графика функции

Построить пирамиду ABCD по координатам можно здесь.

6 лучших сервисов для построения графиков функций онлайн

К сожалению, не все студенты и школьники знают и любят алгебру, но готовить домашние задания, решать контрольные и сдавать экзамены приходится каждому. Особенно трудно многим даются задачи на построение графиков функций: если где-то что-то не понял, не доучил, упустил — ошибки неизбежны. Но кому же хочется получать плохие оценки?

Не желаете пополнить когорту хвостистов и двоечников? Для этого у вас есть 2 пути: засесть за учебники и восполнить пробелы знаний либо воспользоваться виртуальным помощником — сервисом автоматического построения графиков функций по заданным условиям. С решением или без. Сегодня мы познакомим вас с несколькими из них.

Kontrolnaya-Rabota.ru

Сервис kontrolnaya-rabota.ru — настоящая находка для нерадивых учащихся. Построение графиков онлайн на этом сайте — целый большой раздел, где рассматривается:

  • Построение двухмерного графика функции в декартовых и полярных координатах.
  • Построение графика, заданного параметрически.
  • Построение 3D графиков (поверхностей), заданных уравнением.
  • Построение гистограмм и графиков и по точкам.
  • Построение графиков неявно заданных функций.

Пользователю достаточно ввести в онлайн-программу данные из условия задачи и кликнуть кнопку «Построить график».

Запутаться сложно, так как каждая страница этого раздела сопровождается пояснениями и примерами. Там же даны подсказки, какие символы и сокращения следует использовать при вводе выражений.

При построении 2D-графика в декартовых координатах приводится подробный результат исследования функции, чего не встретишь практически нигде.

Достоинства сервиса kontrolnaya-rabota.ru — возможность пользоваться им без ограничений, выдача результатов с ходом решения, быстрые и точные ответы, наличие других онлайн-калькуляторов для вычисления уравнений, интегралов, неравенств и прочего. А недостаток — в том, что не все чертежи можно масштабировать. Это создает определенные неудобства при копировании.

Umath.ru

Веб-сервис Umath.ru — не только набор онлайн-калькуляторов, но и неплохой справочник по математике. Позволяет строить 3 разновидности графиков функций:

  • Заданных уравнением.
  • Заданных параметрически.
  • В полярной системе координат.

В отличие от предыдущего, этот веб-сайт дает возможность размещать несколько графиков на одной плоскости (они будут нарисованы разным цветом). Также он позволяет изменять масштаб и смещать положение центра координатного пространства (кнопки управления находятся слева от графика, но можно пользоваться и мышью).

Готовый результат можно скачать на компьютер в виде картинки.

Достоинства Umath.ru — простота применения (на станице есть пояснения, списки функций и констант), масштабирование, возможность оставлять комментарии, пользоваться справочником и другими математическими калькуляторами. Недостаток — ограниченный функционал (к сожалению, нет возможности строить трехмерные графики) и иногда проскакивающие ошибки. Но, надеемся, это временно, так как сервис активно развивается.

Graph.Reshish.ru

Graph.Reshish.ru — еще один простой и стабильно работающий онлайн-помощник, который неплохо чертит графики основных (floor, celi, log, round и т. д.), тригонометрических и гиперболических функций.

Координатная плоскость Graph.Reshish.ru также поддерживает масштабирование и смещение центра. Кроме того, при наведении на плоскость курсора рядом с ним отображаются координаты.


Для удобства ввода выражений все функции, операции и константы в списке слева выполнены в виде кнопок. Мелочь, но очень облегчает задачу тем, кто пользуется программой на мобильном устройстве.

Готовый результат можно загрузить на компьютер в виде картинки формата png. И пусть вас не смущает темный фон — после скачивания он заменится на прозрачный.

Ход решения при построении графиков здесь также не приводится. Это минус, но в остальном этот сервис весьма удобен.

Desmos

Портал Desmos.com, в отличие от многих других, может хранить ваши графики в своей базе и позволяет делиться с другими юзерами ссылками на них. Однако для этого придется зарегистрироваться на ресурсе.

Поддерживает построение следующих видов графиков:

  • постоянных функций (например, y=x+2);
  • зависимости x от y (x=√(2-y));
  • неравенств (x≤2-y);
  • кусочно-заданных функций (y=

Grafikus.ru — еще один достойный внимания русскоязычный калькулятор для построения графиков. Причем он строит их не только в двухмерном, но и в трехмерном пространстве.

Вот неполный перечень заданий, с которыми этот сервис успешно справляется:

  • Черчение 2D-графиков простых функций: прямых, парабол, гипербол, тригонометрических, логарифмических и т. д.
  • Черчение 2D-графиков параметрических функций: окружностей, спиралей, фигур Лиссажу и прочих.
  • Черчение 2D-графиков в полярных координатах.
  • Построение 3D-поверхностей простых функций.
  • Построение 3D-поверхностей параметрических функций.

Готовый результат открывается в отдельном окне. Пользователю доступны опции скачивания, печати и копирования ссылки на него. Для последнего придется авторизоваться на сервисе через кнопки соцсетей.

Координатная плоскость Grafikus.ru поддерживает изменение границ осей, подписей к ним, шага сетки, а также — ширины и высоты самой плоскости и размера шрифта.

Самая сильная сторона Grafikus.ru — возможность построения 3D-графиков. В остальном он работает не хуже и не лучше, чем ресурсы-аналоги.

Onlinecharts.ru

Онлайн-помощник Onlinecharts.ru строит не графики, а диаграммы практически всех существующих видов. В том числе:

  • Линейные.
  • Столбчатые.
  • Круговые.
  • С областями.
  • Радиальные.
  • XY-графики.
  • Пузырьковые.
  • Точечные.
  • Полярные бульки.
  • Пирамиды.
  • Спидометры.
  • Столбчато-линейные.

Пользоваться ресурсом очень просто. Внешний вид диаграммы (цвет фона, сетки, линий, указателей, форма углов, шрифты, прозрачность, спецэффекты и т. д.) полностью определяется пользователем. Данные для построения можно ввести как вручную, так и импортировать из таблицы CSV-файла, хранимого на компьютере. Готовый результат доступен для скачивания на ПК в виде картинки, PDF-, CSV- или SVG-файлов, а также для сохранения онлайн на фотохостинге ImageShack.Us или в личном кабинете Onlinecharts.ru. Первый вариант могут использовать все, второй — только зарегистрированные.

Онлайн-сервисы исследования функций

Очень часто для сдачи работы одного лишь чертежа недостаточно. Преподаватель имеет полное право потребовать от вас детального описания исследования функции. Мы рассмотрели только один ресурс, который дает такую возможность, — Kontrolnaya-Rabota.ru, но существуют и другие. Ниже мы перечислим лучшие из них:

Результаты, выдаваемые этими калькуляторами, иногда различаются и содержат ошибки, поэтому слишком полагаться на них не стоит. Собственные знания, как ни крути, гораздо надежнее.

Рисуем в 3d на c++ поверхность, заданную формулой

Всем привет, меня зовут TaHk и по ночам я программирую на c++.

Недавно я столкнулся с задачей (не столько про c++, сколько математической), решение которой показалось мне красивым, и я хочу им поделиться.

Я не занимаюсь профессионально ни математикой, ни программированием (ABAP не считается), поэтому написанное ниже может показаться специалистам довольно банальным и очевидным, но я не исключаю, что кому-то из начинающих разработчиков приведенные в посте решения могут пригодиться.

Итак. Задача — нарисовать в 3d поверхность, которая задана не набором полигонов, а формулой.

Алгоритм был выбран следующий:


0. Исходные данные.

*Координаты нулевой точки поверхности (точка в глобальной системе координат, являющаяся центром координат для формулы, которой задана поверхность);

*Вектор нормали поверхности в нулевой точке (показывает, как наклонена поверхность относительно глобальных координат);

*Размеры поверхности по x, y и z (чтобы она просчитывалась не по бесконечность во все стороны, а в рамках определенного объема);

*Вектор направления взгляда;

*Вектор, показывающий, где у «глаза» верх;

1. Формируем лучи из каждого пикселя экрана и проверяем на пересечение с поверхностью.

2. Если луч не пересекается с поверхностью — окрашиваем пиксель в черный.

3. Если пересекается — определяем освещенность точки. Для этого определяем нормаль к поверхности плоскости, и чем меньше угол между нормалью и лучом из камеры — тем ярче точка.

Давайте разбираться с каждой задачей в отдельности.

1. Лучи из каждого пикселя экрана.

Ну, тут все просто. Чтобы задать луч — нужна точка и вектор. Точка у нас есть — это координаты «глаза». И направление взгляда есть. Соответственно, луч для координат [0,0] у нас уже есть. Что же делать с остальными координатами? Ответ на этот вопрос даст (или нет) эта картинка:

Для начала, нам нужны единичные векторы dx и dy, перпендикулярные друг другу и вектору взгляда, чтобы построить на них плоскую систему координат, которая будет для нас экраном. Вектор dy у нас уже есть («Вектор, показывающий, где у «глаза» верх» в исходных данных). Что же на счет dx? А тут приходит на помощь векторная алгебра, из которой мы помним (или нет), что результатом векторного произведения двух векторов является вектор, перпендикулярный векторам-множителям, с нормой равной площади параллелограмма, построенного на этих векторах. Соответственно, если исходные векторы перпендикулярны друг другу и оба с длиной равной единице – длина результата тоже будет равен единице. А это прекрасно, ведь нам нужен именно единичный вектор.

где tv — вектор направления взгляда, а dY вектор, показывающий где у взгляда верх.

Дальше, было бы неплохо определиться с длиной векторов dx и dy, определив таким образом размер экрана (по сути, это управление углом обзора). Мне оптимальным показался вариант, когда у экрана размер равен единице

Где max_x – разрешение экрана по x. Да, dy тоже делится на max_x, чтобы длина вектора dx была равна вектору dy, так как иначе изображение будет растянуто по одной из осей.

Итак, у нас есть:

dX, dY – векторы, определяющие плоскость экрана.

dZ – вектор направления взгляда.

1. Определяем параллелепипед, ограничивающий нашу поверхность (мы помним, что по условиям ограничили ее в размерах).

2. Ищем точки пересечения луча и параллелепипеда. Получаем 2 точки – «вход» и «выход» в пределы параллелепипеда.

3. В точке «входа» переводим координаты из глобальной системы координат в локальную для параллелепипеда.

4. В локальных x и у находим по формуле поверхности координату z. Если найденная координата z больше, чем у точки «входа», фиксируем, что мы «под» поверхностью. Иначе – фиксируем, что мы «над» поверхностью.

5. От точки «входа» до «выхода» проверяем аналогичным образом все точки на луче с заданным шагом. Как только на следующем шаге состояние отличается от того, что было на предыдущем – значит, нашли точку пересечения.

6. Если до точки «выхода» состояние не менялось – значит пересечения не было.

Теперь по пунктам.

Существует простой и понятный алгоритм быстрого поиска пересечения прямоугольника с лучом на плоскости. Для его понимания нужно ввести пару терминов:


Точка входа – точка пересечения луча с прямой, в случае если нормаль этой прямой направлена навстречу лучу.

Точка выхода – точка пересечения луча с прямой, в случае если нормаль этой прямой направлена навстречу лучу.

Проверяем каждую прямую на пересечение с лучом и определяем для каждой точку входа или выхода. Если самая дальняя из найденных точек входа ближе, чем самая ближняя из найденных точек выхода, то это значит, что луч пересекает прямоугольник в этих точках. Если самая дальняя из найденных точек входа дальше, чем самая ближняя из найденных точек выхода, то это значит, что луч не пересекает прямоугольник.

К чему это я? А вот к чему. Этот подход отлично работает и в пространстве, если заменить 4 прямые на 6 плоскостей.

Как мы помним, поверхность задана точкой и нормалью и ограничена в размерах по x, y и z. Причем эти x y и z – в локальных координатах. То есть наш параллелепипед, ограничивающий поверхность, должен уметь вращаться вместе с поверхностью.

Поэтому для начала определим эти плоскости с учетом поворота параллелепипеда с поверхностью. Для этого нам понадобятся 3 вектора:

ddX[3] = <0,0,0>; // единичный вектор, который направлен вдоль оси X нашей поверхности
ddY[3] = <0,0,0>; // единичный вектор, который направлен вдоль оси Y нашей поверхности
ddZ[3] = <0,0,0>; // единичный вектор, который направлен вдоль оси Z нашей поверхности

с ddZ все понятно – это нормаль к поверхности.

С ddX и ddY сложнее. Одной только точкой и нормалью можно задать в пространстве только бесконечную поверхность. А тут нам нужно зафиксировать поворот этой плоскости вокруг оси z. Это можно сделать разными способами – я беру еще одну точку на плоскости и фиксирую ее координаты в глобальной системе координат. Допустим, это точка point2, а нулевая точка поверхности — point. Тогда

ddX[0] = point2[0] — point[0];
ddX[1] = point2[1] — point[1];
ddX[2] = point2[2] — point[2];
len = sqrt(ddX[0]*ddX[0]+ddX[1]*ddX[1]+ddX[2] *ddX[2]) ;
ddX[0]/=len;
ddX[1]/=len;
ddX[2]/=len;

Как мы видим, я не забыл, что нам нужен именно единичный вектор (с длиной равной единице), поэтому я посчитал длину вектора от точки point к точке point2 и разделил каждую координату на длину. Эта процедура называется нормализация вектора – приведение его к единичной длине с сохранением направления.

Ну и ddY по старой схеме (как в пункте 1, где мы экран рисовали) определяем как векторное произведение ddX на ddZ:

Таким образом, мы можем задать все 6 плоскостей. Например, плоскость, ограничивающая параллелепипед «снизу» определяется так:

spoint[0] = point[0] — z * ddZ[0];
spoint[1] = point[1] — z * ddZ[1];
spoint[2] = point[2] — z * ddZ[2];
n[0] = -ddZ[0];
n[1] = -ddZ[1];
n[2] = -ddZ[2];

где point — нулевая точка нашей поверхности, а z — половина высоты параллелепипеда.

Остальные – по аналогии, меняем только — на + и буквы координат.

Дальше нужно в общем виде понимать, как мы будем искать точки пересечения луча и плоскости. Допустим, плоскость задана точкой point[3] и нормалью n[3]. Луч задан точкой tp[3] и вектором tv[3]. Еще одна картинка в стиле «я у мамы paint master»:

Несложно догадаться, что если векторы n и tv имеют единичную длину, то расстояние от точки tp до точки пересечения с плоскостью будет равно -h/p. Шучу, сложно догадаться. Но при желании вы можете это проверить. Даже так – если вы сейчас в школе проходите векторную алгебру – вы должны это проверить и выложить в комментариях доказательство. Иначе вам поставят двойку. Или что там сейчас ставят в школах…

Как же найти эти h и p? Тут на помощь снова приходят определения из векторной алгебры. Скалярное произведение векторов численно равно длине проекции одного из этих векторов на другой. Как определить скалярное произведение? А примерно так:

float MulVecSc(float *Vec1, float *Vec2)<
return Vec1[0]*Vec2[0] + Vec1[1]*Vec2[1] + Vec1[2]*Vec2[2];
>;

Как мы видим из рисунка, h – это проекция на нормаль вектора от точки tp до точки point, принадлежащей плоскости, а p – это проекция на нормаль вектора tv.

vp[0] = point[0] — tp[0];
vp[1] = point[1] — tp[1];
vp[2] = point[2] — tp[2];
p = MulVecSc(n,tv);
h = MulVecSc(n,vp);
t = — h/p;

Знак p покажет нам, с какой стороны плоскости мы находимся (а значит покажет, нашли мы точку «входа» или «выхода»).

Резюмируем. В пространстве точки пересечения луча с параллелепипедом находятся так:

float ddY[3] = ;
float ddX[3] = <0,0,0>;
float ddZ[3] = ;
tmMulVec(n,ddY,ddX);
// 6 плоскостей. Ищем самый поздний «вход» и самый ранний «выход»
// Плоскость 1
spoint[0] = point[0] + x * ddX[0];
spoint[1] = point[1] + x * ddX[1];
spoint[2] = point[2] + x * ddX[2];
vp[0] = tp[0]-spoint[0];
vp[1] = tp[1]-spoint[1];
vp[2] = tp[2]-spoint[2];
n[0] = ddX[0];
n[1] = ddX[1];
n[2] = ddX[2];
p = tmMulVecSc(lv_n,tv);
t = — tmMulVecSc(lv_n,lv_vp)/p;
if(p>0.0f)< // выход
if(t t_in)
t_in = t;
>;
// Плоскость 2
spoint[0] = point[0] — x * ddX[0];
spoint[1] = point[1] — x * ddX[1];
spoint[2] = point[2] — x * ddX[2];
vp[0] = tp[0]-spoint[0];
vp[1] = tp[1]-spoint[1];
vp[2] = tp[2]-spoint[2];
n[0] = -ddX[0];
n[1] = -ddX[1];
n[2] = -ddX[2];
p = tmMulVecSc(lv_n,tv);
t = — tmMulVecSc(lv_n,lv_vp)/p;
if(p>0.0f)< // выход
if(t t_in)
t_in = t;
>;
// Плоскость 3
// .
// Плоскость 4
// …
// Плоскость 5
// …
// Плоскость 6
// .
if(t_in 0)<
// есть пересечение
>;
Так. Теперь мы знаем, что в промежутке от t_in до t_out мы внутри параллелепипеда.
Дальше, как и планировали, будем проверять каждую точку с неким шагом h на то, находится она выше или ниже поверхности в локальных координатах.
Что такое локальные координаты?

Это система координат, образованная теми самыми ddX, ddY, ddZ которые мы определили выше. Как очевидно из рисунка (на этот раз действительно очевидно), если у нас есть точка p, то вектор, ведущий от нулевой точки нашей поверхности до точки p будет определяться векторной суммой x*ddX+y*ddY+z*ddZ, где x y и z локальные координаты этой точки. Что ж, в таком случае, зная глобальные координаты точки p мы можем получить локальные таким образом:

vtp[0] = p[0]-point[0];
vtp[1] = p[1]-point[1];
vtp[2] = p[2]-point[2];
x = MulVecSc(ddX,vtp);
y = MulVecSc(ddY,vtp);
z = MulVecSc(ddZ,vtp);

Дальше, проверяем, находимся мы в этой точке под поверхностью или над.


F = F_xy; // тут у нас определение значения функции, описывающей плоскость. Его мы рассмотрим позже, в 3й части.
if(z =t_out)<
break; // никакого пересечения не было
>;
// на данный момент t – это расстояние от точки tp до точки пересечения
// фактически точка на расстоянии t уже после пересечения с плоскостью, поэтому
// в качестве точки пересечения берем t-h
t-=h
collision_pt[0] = tp[0] + tv[0]*t;
collision_pt[1] = tp[1] + tv[1]*t;
collision_pt[2] = tp[2] + tv[2]*t;

Вот мы и нашли, где луч пересек поверхность. Запихнув это решение в цикл, который мы получили в первой части, мы получим картинку, на которой будут видны очертания поверхности. Но на 3d картинку это не будет похоже – чтобы одна точка поверхности отличалась от другой (что создаст объем) нужно определить освещенность.

3. Определение освещенности точки.

В рамках этой задачи мы не будем заморачиваться с источниками света – будем считать, что у нас один источник и он расположен непосредственно за «глазом». В таком случае расчет освещенности сводится к простому определению нормали к поверхности. Чем меньше значение проекции – тем темнее точка, так как свет падает под большим углом. Поскольку векторы у нас единичные, значение проекции будет изменяться в диапазоне [0..1], что позволяет просто домножать значение цвета на проекцию и получать нужную картинку.

Итак, вернемся к «простому определению нормали».

Пора наконец определиться с тем, какую поверхность мы рисуем. В коде ранее была конструкция F = F_x; Тут F_x это макрос, в который я подставляю формулу, которую хочу рисовать. Разумеется, в последствии в код можно будет подставить любую формулу, но для примера нужно взять что-то конкретное. Я выбрал такое:

Чтобы понимать, что мы хотим увидеть в программе, построим этот график в каком-нибудь инструменте, который это уже умеет:

Так как же определить нормаль в какой-нибудь точке поверхности? Нормаль – это вектор перпендикулярный касательной плоскости к поверхности в заданной точке, правильно? А коэффициент угла наклона касательной к графику функции в точке – это ни что иное как производная функции в этой точке. Таким образом, нужно просто взять с обратным знаком производные исходной функции по трем координатам – это и будет вектор нормали.

Для примера возьмем двумерный график:

(графики касательных смещены для наглядности)

Функция Y=x^2. Её производная Y’=2x. Соответственно, в точке X=0.5 коэффициент угла наклона равен единице, а в точке 2 – четырем. Из графика видно, что коэффициент угла наклона с обратным знаком показывает угол наклона линии, перпендикулярной касательной. Эта же логика работает и для более сложных графиков. Так же она работает и в пространстве.

Поэтому запишем уравнение поверхности в виде cos((x*x+y*y)/20.0)/(1+(x*x+y*y)/100.0) — z = 0 и возьмем производные по трем координатам:

Вернемся к коду. Теперь зная точку пересечения и ее локальные координаты – мы можем найти нормаль. Она будет определяться как N[3] = <-F'x,-F'y,-F'z>. Но нужно помнить, что это ее значения в локальных координатах. Чтобы перевести в глобальные – нужно каждый компонент умножить на значение вектора той оси, которой он соответствует:

#define F_x ((sin((x*x+y*y)/20.0)*x/10.0)*(1+(x*x+y*y)/100.0)-(x/50.0)*cos((x*x+y*y)/20.0))/((1+(x*x+y*y)/100.0)*(1+(x*x+y*y)/100.0))
#define F_y ((sin((x*x+y*y)/20.0)*y/10.0)*(1+(x*x+y*y)/100.0)-(y/50.0)*cos((x*x+y*y)/20.0))/((1+(x*x+y*y)/100.0)*(1+(x*x+y*y)/100.0))
#define F_z 1.0
float Fx = F_x;
float Fy = F_y;
float Fz = F_z;
collision_normal[0] = ddX[0]*Fx+ddY[0]*Fy+ddZ[0]*Fz;
collision_normal[1] = ddX[1]*Fx+ddY[1]*Fy+ddZ[1]*Fz;
collision_normal[2] = ddX[2]*Fx+ddY[2]*Fy+ddZ[2]*Fz;

Теперь мы готовы определять компоненты цвета в заданной точке. Допустим, базовый цвет поверхности у нас лежит в переменной rgb:

Shade = 255.0f * MulVecSc(collision_normal,tv);
if(Shade

#define F_xy 0.3*(sin(x)*cos(y/2.0)+cos(x/2.5)*sin(y/1.5))
#define F_x -0.3*(cos(x)*cos(y/2.0)-sin(x/2.5)*sin(y/1.5))
#define F_y -0.3*(-sin(x)*sin(y/2.0)+cos(x/2.5)*cos(y/1.5))

График функции в 3D

Здравствуйте мастера. Как мне построить графики поверхностей функций 3D? Например Sin(x), Cos(x)? Если кто знает ссылки, то подскажите, пожалуйста чтобы почитать об этом. Заранее, спасибо.

А с каких это пор синус и косинус стали функциями с трехмерными графиками? O_o

Dinosaur ширще надо смотреть!
Может _DarkSide хочет графики Sin(x), Cos(x) для комплексного аргумента строить?

_Darkside
А чего тут сложного? Задаешь диапозон аргументов по двум независимым координатам, а третья координата — значение самой функции. Задаешь шаг прохода по кажной из независимых координат (чем меньше шаг, тем точнее построенная поверхность). Получаешь сетку координат, по которым строишь поверхность. Ньансы могут возникнуть, если поверхность разрывна — тут нужно делать различные допущения (например вместо бесконечности используешь некоторую очень большую величину). Я такое реализовывал не раз.
Dinosaur
Функции в 2Д пространстве легко переносятся в 3Д — одна из координат просто не учавствует в расчетах

KaNoN
> Функции в 2Д пространстве легко переносятся в 3Д — одна из координат просто не учавствует в расчетах

Это да, но в таком случае лучше было бы написАть что-нибудь вроде «построить графики функций в виде 3D поверхностей». :)
А то как-то двусмысленно получается.

Dinosaur
Двусмысленности, в общем-то нет. Любая функция, заданная в явном виде z = f(x,y) — это поверхность в 3Д пространстве, даже если от одной из переменных она не зависит.

KaNoN
Может быть, что и так, но мое мнение — если функция имеет вид z = f(x, y), то она должна зависеть от обоих переменных. Иначе получается, что z = f(x, 1) = f(x, 2) = f(x, 3) = . = f(x, n).

z = f(x,y) — это общее представление функции, которая целиком может быть отображена в 3Д пространстве, а от скольки переменных она зависит — это не столь важно. Пример: z = 0. В одномерном пространстве — это точка, в 2Д пространстве — это прямая с постоянной z — координатой, а в 3Д пространстве — это плоскость, параллельная плоскости XY. И при этом эта функция не зависит ни от одной из переменных.


KaNoN
Это не функция, это постоянная (z = 0).

Построить график функции онлайн — Reshish

graph.reshish.ru — наиболее удобный сервис, где Вы сможете построить интерактивный график функции онлайн. Благодаря этому, график можно масштабировать, а так же перемещаться по координатной плоскости, что позволит Вам не только получить общее представление о построении данного графика, но и более детально изучить поведение графика функции на участках.

reshish.ru представляет новый подход к построению графиков функций онлайн! Теперь, чтобы построить график функции онлайн, Вам не нужно устанавливать никакие сторонние программы и плагины. Все, что Вам необходимо, это современный браузер на компьютере, планшете или телефоне. Никаких flash, java-апплетов или Silverlight. Чистый HTML — HTML5.

Все необходимое для того, чтобы построить график функции онлайн, Вы найдете слева (просто кликните по названию функции для выбора). Если у вас возникли вопросы, читайте инструкцию.

Используйте мышь для перемещения графика
и колесико для изменения масштаба

Построение трехмерных графиков функций в среде MATLAB

Система MATLAB обладает широкими возможностями построения трехмерных графиков. В данном разделе рассмотрим несколько функций, позволяющих создавать трехмерные графики всреде MATLAB.

Для создания трехмерного графика функции от двух переменныхz=f(x, у) необходимо:

1) сгенерироватьдве матрицыX иYс координатами узлов сетки на прямоугольной области определения функции, определяемой значениями переменных xи y;

2) необходимо вычислить значение функции z=f(X, Y) в узлах сетки и записать полученные значения в матрицу значений функции Z.После этого можно приступить к построению графика функции в трехмерной области графическими средствами среды MATLAB.

Для формирования матрицы, определяющей координаты прямоугольной сетки в среде MATLAB существует функция meshgrid со следующим синтаксисом:

[X, Y]=meshgrid (x, y)

где: x, y – векторы, задающие прямоугольную область определения функции z=f(x, у);X,Y–матрицы, содержащие координаты узлов сетки на прямоугольной области.

Функция meshgrid преобразует область векторов х иу в массивы X иY, соответственно,при этом строки матрицыХ являются копиями вектора х, а столбцы матрицыY– копиями вектора у. Матрицы ХиYявляются матрицами одинаковых размеров.

Для построения каркасна поверхности в трехмерном пространстве в среде MATLAB используется функция mesh, имеющая следующий синтаксис:

Mesh(X, Y, Z)

Цвет линий каркаса поверхности соответствует значениям функции z=f(x, у). Система MATLAB рисует только видимую часть каркаса поверхности. С помощью команды hiddenoffможно сделать каркас поверхности прозрачным, сделав видимой скрытую от наблюдателя часть изображения. Команда hiddenonубирает невидимую часть поверхности, возвращая графику прежний вид.

Используя функцию surfв среде MATLAB можно построить каркасную поверхность графика функции, заливая каждую клетку поверхности цветом, зависящим от значения функцииz=f(x, у) в точках, соответствующих узлам координатной сетки. Функция имеет следующий синтаксис:

Surf(X, Y, Z)

По умолчанию в среде MATLAB при формировании каркасной поверхности с помощью функции surfцвет в пределах каждой клетки поверхности остается постоянным. Команда shadinginterpпозволяет получить поверхность, плавно залитую цветовой палитрой. Команда shadingflatпозволяет убрать каркасные линии с поверхности. При помощи команды shadingflatможно получить исходный вид каркасной поверхности.

Изменение цветового оформления каркасных поверхностей в среде MATLAB можно осуществить с помощью функции colormap:

Colormap(attribute)

где: attribute–параметр, определяющий цветовое оформление поверхности. Более подробно о различных значениях данного параметра можно узнать в справочной системе MATLAB (doccolormap).

В том случае, если координаты точек линии в трехмерном пространстве заданы с помощью массивов, а не функциональной зависимости, то в среде MATLAB удобнее использовать функциюplot3для построенияданной поверхности. Функция plot3имеет следующий синтаксис:

Plot3 (x, у, z)

где: x, y, z – векторы одинакового размера.

В данном случае функция plot3обеспечивает построение линии в трехмерном пространстве, проходящей через точки с координатами x(i), y(i), z(i).

Входные аргументы функцииplot3может быть представлены в видематриц:

Plot3(X, Y, Z)

где:X, Y, Z–матрицы одинакового размера,

В данном случае функция plot3обеспечивает построение линии в трехмерном пространстве, проходящей через точки с координатами X(i, :), Y(i, :), Z(i, :) для каждого столбца матриц X, Y, Z.

Функция plot3может иметь входной параметр, определяющий стиль трехмерного графика, значения параметра стилей аналогичны значениям соответствующего параметра функции plot.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Увлечёшься девушкой-вырастут хвосты, займёшься учебой-вырастут рога 9791 — | 7666 — или читать все.

188.64.174.135 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)

очень нужно

Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Кодинг, CSS и SQL