Ifs iterated function systems


Ifs iterated function systems

Рисунок 8.183. То же изображение, до и после применения фильтра « IFS Фрактал »

Этот фильтр находится в Филтры → Визуализация → Натуральная → IFS фрактал

Это фрактальное дополнение просто замечательно! Этим гибким инструментом вы можете создать превосходные естественные формы как листья, цветы, ветки, или целые деревья. (« IFS » означает « Iterated Function System — повторимые функциональные системы ».)

Ключ к использованию этого дополнения лежит маленьких и точных движениях в пространстве фракткалов. Результат трудно предсказать, поэтому нужно очень осторожно менят структуру. Если треугольный компонени слишком большой, или сдвинут слишком далеко, то окно просмотра станет сплошным чёрным или изобразит бесформенное облако частиц.

Совет: когда вы нашли желаемую текстуру, делайте только небольшие изменения и придерживайтесь к вариациям текстуры. Очень просто потерять хорошую вещь. Но также намного проще создать лист или дерево при помощи « IFS Собрать » чем вручную задать геометрическую форму, имея полный контроль над каждым шагом.

За коротким введением в IFS обратитесь к Foley, van Dam, и др. Computer Graphics, Principles and Practice, 2nd Ed., (Addison Wesley, 1990).

13.5.2. Параметры

Интерактивная часть дополнения включает область композиции слева, окно просмотра справа, и закладки с параметрами внизу. Начальные настройки показывают три равносторонних треугольника и дают фрактальную текстуру под названием Треугольник Серпинского .

Некоторые инструменты видны прямо с планки инструментов: Переместить , Повернуть , Растянуть , Новый , Удалить , Отменить , Повторить , Выделить все . Чтобы увидеть все (если окно всех не вмещает), нажмите на кнопку в правой части планки: Пересчитать центр и Параметры визуализации .

Позволяет сэкономить время визуализации. Особенно годится при больших значениях радиуса пятна. Значение должно быть делимым на начальное значение: 4096, 8192, 16384, .

Определяет, сколько раз фрактал повторится. Чем больше число повторов, тем дольше ведутся вычисления. Нецелесообразно использовать при маленьком изображении.

Определяет уровень деталей.

Определяет плотность мазков в конечном изображении. Малые значения параметра хороши для облаков частиц или распыла. Большие значения дают толстые мазки сплошного цвета, как в акварели. Чем больше радиус пятна, тем дольше ведутся вычисления.

Даёт информацию о текущем фрактале и позволяет набрать значение, вручную. Изменение параметров с помощью мышки не всегда точно, поэтому даётся возможность набрать точное значение.

Рисунок 8.184. Параметры закладки « Преобразование цветов »

Меняет цвет текущего компонента фрактала на выбранный. Начальный цвет фрактала берётся с цвета переднего плана панели инструментов.

Полное преобразование цветов

Как простое преобразование цветов, но позволяет руководить цветовым преобразованием для каждого цветового канала и канала альфа (показан как чёрный канал).

При наличие многоцветных фракталов, их цвета сливаются друг с другом. Может получится так, что один красный фрактал будет синеватым в некорых местах, а другой, тоже красный, будет жёлтого оттенка. Ползунок насыщенность/яркость определяет цвет текущего фрактала, или влияние цвета фрактала на другие компоненты изображения.

Определяет влияние отдельного фрактала.

13.5.3. Короткая инструкция

Это достаточно сложное дополнение, и чтобы вам было легче понять его работу, предоставляется пошаговая инструкция по тому, как создать лист и стебель.

Многие формы жизни, особенно растения, построены по модели фракталов, т.е. форма, которая воспроизводит и повторяет себя бесконечно в малейших деталях. Вы легко можете симитировать форму листа или ветки, используя четыре (или больше) фрактала. Три фрактала сделают кончик и края листа, а червёртый — стебель.

До запуска фильтра выберите пункт меню Файл → Новое изображение ; Добавьте прозрачный слой с помощью меню Слои → Слои и каналы → Новый слой ; Установите цвет переднего плана в панели инструментов на чёрный, а цвет фона на белый.

Откройте IFS Собрать . Начните с вращения нижнего и правого треугольников так, чтобы они указывали вверх. Вы увидите контур кончика и краёв будущего листа. Помните, что у каждого из углов треугольника разная функция.


Рисунок 8.185. Шаг 2

Начните с вращения треугольников 2 и 3, стараясь чтобы их размер был одинаковым.

Чтобы сделать лист симметричным, направьте нижний треугольник слегка влево, а правый — вправо.

Нажмите на кнопку Новый чтобы добавить компонент к композиции. Это будет стебель листа, так что сделайте его тонким и длинным. Нажмите на кнопку Растянуть , и подвигайте курсором чтобы растянуть новый треугольник. Не беспокойтесь, если это ухудшит изображение. Просто нажмите на Масштаб чтобы отрегулировать размер длинного треугольника. Вам скорее придётся подвигать и покрутить новый фрактал, чтобы он выглядел убедительно.

Рисунок 8.186. Шаг 3

Добавте четвёртый компонент, растяните его, укажите масштаб, и двиньте его как показано.

Вам всё ещё нужно изменить фрактал, чтобы он выглядел как лист. Увеличьте размер верхнего триугольника пока он не станет толще и по форме похож на лист. Измените все фракталы пока форма не определится. Нажмите на правую кнопку мышки чтобы получить меню, нажмите на пункт Выбрать все . Теперь все компоненты выбраны указать масштаб и повернуть весь лист.

Рисунок 8.187. Шаг 4

Увеличьте компонент 1, сгруппируйте другие компоненты как надо, затем выберите все компоненты и установите масштаб и поворот.

Последний шаг заключается в нивелировании цвета. Выберите закладку Цветовые преобразования , и выберите разный цвет для каждого фрактала. Для этого, выберите Простое и нажмите на правый цветовой квадрат. Покажется цветовой круг, где вы можете выбрать цвет.

Рисунок 8.188. Шаг 5

Примените коричневатый цвет к компоненту 4 и разные оттенки зелёного к другим компонентам.

Нажмите на кнопку OK чтобы применить изображение, и вы получите фрактальный лист. С этим опытом вы теперь можете сами экспериметировать. Все фракталы, имитирующие растения, будь то дерево дуба, папоротник или колос, сделаны по одному и тому же принципу: листья вокруг ветки или веток. Требуются всего лишь небольшие изменения в растяжении или повороте чтобы получить новое растение.

Iterated Function Systems

Contraction Mappings

Contraction mappings are the elementary building blocks of IFSs, but they are un-interesting by themselves (as seen by the above theorem).

Iterated Function Systems

Def: Given a metric space (X,d), we define another metric space (H(X),h(d)). Where H(X) is the set of all nonempty compact subsets of X, and h(d) is the Hausdorf distance between two elements of H(X).

Илон Маск рекомендует:  Основы разработки прикладных виртуальных драйверов

This metric space (H,h) has been called the space on which fractals live. In a general way a fractal is an element of this space, however, this definition doesn’t account for our intuitive ideas about what a fractal should be (since it includes lot’s of normal geometric objects.)

Theorem: Let n, n=1,2. N> be a hyperbolic iterated function system on the metric space (X,d) with contractivity factor s. Then the map W:H(X)->H(X) defined by:

where
is a contraction mapping on (H(X),h(d)) with contractivity factor s. Further, the unique fixed point, A, of W is given by:

This subspace A is called the attractor of the IFS.

It is the attractors of IFSs, which live in H(X), which are really fractals. Indeed, almost all of the well known fractals, as well as many less well known ones, are the attractors of appropriate IFSs. See some examples generated using Fractalina.

Finding the Attractor of an IFS

The deterministic algorithm:

Below is an applet that implements the deterministic algorithm for the IFS:

Notice that the initial set can vary widely, but the result converges rapidly to the attractor of the IFS. (The attractor of this IFS is the well known Sierpinski triangle.)

To chose the initial set drag in the window, then use the Iterate button to step through iterations on that set.
Oops! Your browser doesn’t support Java!


The Random Iteration Algorithm

Continuous Dependence on Parameters

This theorem provides the mathematical basis for animations of IFSs (in particular for Franimate!). The effect implied here has been called «blowing in the wind», because an imaginary fractal tree can be made to blow in an imaginary mathematical breeze, by continuously varying a parameter to the IFS of the «tree».

Further Reading

Fractals Everywhere, Michael Barnsley, Academic Press Inc., 1988.

Ifs iterated function systems

Iterated function — In mathematics, iterated functions are the objects of deep study in computer science, fractals and dynamical systems. An iterated function is a function which is composed with itself, repeatedly, a process called iteration.DefinitionThe formal… … Wikipedia

Function composition — For function composition in computer science, see function composition (computer science). g ∘ f, the composition of f and g. For example, (g ∘ f)(c) = #. In mathematics, function composition is the application of one function to the resul … Wikipedia

L-system — An L system or Lindenmayer system is a parallel rewriting system, namely a variant of a formal grammar (a set of rules and symbols), most famously used to model the growth processes of plant development, but also able to model the morphology of a … Wikipedia

Refinable function — In mathematics, in the area of wavelet analysis, a refinable function is a function which fulfills some kind of self similarity. A function varphi is called refinable with respect to the mask h if:varphi(x)=2cdotsum ^ h… … Wikipedia

Inverse function — In mathematics, if fnof; is a function from A to B then an inverse function for fnof; is a function in the opposite direction, from B to A , with the property that a round trip (a composition) from A to B to A (or from B to A to B ) returns each… … Wikipedia

Ordinal collapsing function — In mathematical logic and set theory, an ordinal collapsing function (or projection function) is a technique for defining (notations for) certain recursive large countable ordinals, whose principle is to give names to certain ordinals much larger … Wikipedia

Error function — Plot of the error function In mathematics, the error function (also called the Gauss error function) is a special function (non elementary) of sigmo >Wikipedia

Measure-preserving dynamical system — In mathematics, a measure preserving dynamical system is an object of study in the abstract formulation of dynamical systems, and ergodic theory in particular. Contents 1 Definition 2 Examples 3 Homomorphisms 4 … Wikipedia

Cryptographic hash function — A cryptographic hash function (specifically, SHA 1) at work. Note that even small changes in the source input (here in the word over ) drastically change the resulting output, by the so called avalanche effect. A cryptographic hash function is a… … Wikipedia

Fractal compression — is a lossy image compression method using fractals to achieve high levels of compression. The method is best suited for photographs of natural scenes (trees, mountains, ferns, clouds). The fractal compression technique relies on the fact that in… … Wikipedia

Iterated функция системы — Iterated function system

В математике , итерированные функциональные системы (КСФ) представляют собой способ построения фракталов ; результирующие фрактал часто самоподобные . IFS фракталы более связаны с теорией множеств , чем фрактальной геометрии. Они были введены в 1981 году.

IFS фракталы, так как они , как правило , называют, могут быть любого числа измерений, но обычно вычисляются и обращается в 2D. Фрактал состоит из объединения нескольких экземпляров само по себе, каждая копия преобразуется с помощью функции (отсюда «функция системы»). Канонический пример является Серпинским треугольником . Функции , как правило , сжимающие , что означает , что они приносят очки ближе друг к другу и сделать формы меньше. Следовательно, форма с фрактальной IFS состоит из нескольких , возможно , перекрывающихся меньших копий себя, каждый из которых также состоят из копий самого по себе, до бесконечности . Это источник его автомодельного фрактальной природы.

содержание

Определение

Формально итерация функция системы является конечное множество сжимающих отображений на полном метрическом пространстве . Символично,

является итерация функция системы , если каждый является сокращение на полном метрическом пространстве . е я <\ Displaystyle f_ <я>> Икс

свойства

Hutchinson (1981) показал , что для метрического пространства , такая система функций имеет единственный непустой компактный (замкнуто и ограниченно) фиксированный набор S . Один из способов построения фиксированного набора, чтобы начать с начальной точкой множества S и итерацией действия на е я , принимая S п + 1 , чтобы быть объединением изображений S п под е я ; то , принимая S быть замыкание объединения в S п . Символично, уникальное фиксированный (непустое компактное) множество обладает свойством р N <\ Displaystyle \ mathbb ^ <п>> S ⊆ Икс


Множество S , таким образом , фиксированный набор из оператора Hutchinson

Существование и единственность S является следствием принципа сжимающих отображений , а также тот факт , что

для любого непустого компакта в . (Для сжимающего МФСА этой сходимость имеет место даже для любых непустых замкнутой ограниченного множества ). Случайные элементы сколь угодно близкие к S , могут быть получены с помощью «хаоса игры» , описанной ниже. A <\ Displaystyle A>Икс <\ Displaystyle X>A

Недавно было показано , что КСФ из несжимающим типа (т.е. состоит из карт, которые не являются сокращениями по отношению к какой — либо топологический эквивалентной метрике в X ) может дать аттракторы.

Они естественным образом возникают в проективных пространствах, хотя классическая иррациональное вращение по кругу может быть адаптирована тоже.

Набор функций формирует в моноид по составу . Если есть только две такие функции, моноид можно представить в виде бинарного дерева , где в каждом узле дерева, один может сочинить с той или иной функции ( т.е. взять левую или правую ветвь). В общем, если есть К функции, то можно представить себе моноид как полный K -ичного дерево , также известное как дерево Кэлей . е я <\ Displaystyle f_ <я>>

Илон Маск рекомендует:  RmDir - Процедура Delphi

конструкции

Иногда каждая функция требуется , чтобы быть линейными , или более обычно является аффинным , преобразованием, и , следовательно , представлена матрицей . Тем не менее, КСФ также может быть построен из нелинейных функций, в том числе проективных преобразований и преобразований Мёбиуса . Фрактальное пламя является примером КСФА с нелинейными функциями. е я <\ Displaystyle f_ <я>>

Наиболее распространенный алгоритм для вычисления IFS фракталы называется « хаос игра ». Она состоит из выбора случайной точки в плоскости, а затем итеративно применяя одну из функций , выбранных случайным образом из системы функции , чтобы преобразовать точку , чтобы получить следующую точку. Альтернативный алгоритм для генерации каждой возможной последовательности функций до заданной максимальной длины, а затем построить результаты применения каждого из этих последовательностей функций до начальной точки или формы.

Каждый из этих алгоритмов обеспечивает глобальную конструкцию, которая генерирует точки, распределенные по всем фрактал. Если небольшая площадь фрактала втягиваются, многие из этих пунктов будут выходить за пределы границ экрана. Это делает масштабирование в конструкции МФС нарисованной таким образом нецелесообразно.

Хотя теория МФСА требует, чтобы каждая функции будет сжимающим, на практике программного обеспечения, которое реализует IFS только требует, чтобы вся система сжимающая в среднем.

Разделенные итерированные системы функций

ПИФ (многораздельные итерированные функциональные системы), называемые также местный итерированные функциональные системами, дают удивительно хорошее сжатие изображения, даже для фотографий, которые, кажется, не имеют виды автомодельную структуры, показанные простым МФС factals.

Обратная задача

Очень быстрые алгоритмы существуют для формирования изображения из набора параметров КСФОВ или PIFS. Это быстрее и требует гораздо меньше мест для хранения описания того, как он был создан, передать это описание на целевое устройство, и восстановить этот образ заново на целевом устройстве, чем хранить и передавать цвет каждого пикселя в изображении ,

Обратная задача сложнее: учитывая некоторые оригинальные произвольные цифровые изображения , такие как цифровая фотография, попытаться найти набор параметров КСФ , которые, при оценке с помощью итераций, производит другое изображение визуально похожий на оригинал. В 1989 году Арно Jacquin представил решение в ограниченной форме обратной задачи с использованием только ПИФов; общая форма обратной задачи остается нерешенной.

По состоянию на 1995, все фрактальная компрессия программное обеспечение основано на подходе JACQUIN в.

Примеры

Диаграмма показывает конструкцию на качестве КСФ из двух аффинных функций. Функции , представлены их влияние на би-единицу площади (функция преобразует структурированную квадрат в заштрихованной площади). Сочетание этих двух функций образует оператора Hutchinson . Три итерации оператора показана, а затем окончательное изображение является неподвижной точкой, окончательным фрактальным.

Ранние примеры фракталов , которые могут быть получены с помощью IFS включают в себя набор Cantor , впервые описанный в 1884 году; и кривые де Рама , тип автомодельного кривой описывается Georges де Рама в 1957 году.

история

КСФ были задуманы в их нынешнем виде Джон Э. Хатчинсон в 1981 году и популяризировал Майкл Барнсли «s книги Fractals Everywhere .

КСФ предоставляют модели для определенных растений, листьев и папоротников, в силу самоподобия, которое часто встречается в ветвящихся структур в природе.

IFS — Iterated Function System

Thing Apps Enabled

Contents


License

Liked By View All

Give a Shout Out

If you print this Thing and display it in public proudly give attribution by printing and displaying this tag.

Thing Statistics

Summary

This .stl file was made for MATH 493: Math Through 3D Printing at George Mason University, Spring 2020.

This is an Iterated Function System (IFS) with a quadrilateral base. The IFS was created by changing the parameters of the .scad file. This changes the pattern that the IFS converges to, and the base shape can be changed by adjusting the polygon command.

IFSs are used to construct fractals. Specifically, they are a finite set of contraction mappings on a complete metric space. A common example of an IFS is the Sierpinski Triangle. These files allow you to create your own IFS.

Note: The .scad file does not have the same parameters as were used to print the .stl file.

Iterated Function Systems

What is an IFS?

An iterated function system is a finite set of mappings on a complete metric space. Or perhaps more understandably, a set of transforms that make things smaller. In practice affine transforms are best. If you start with an arbitrary point, and repeatedly iterate transforms selected at random, you can generate a fractal.

Examples

By convention an IFS is written in rows of numbers in the form

which describes the transform λ(x,y).(ax+by+e,cx+dy+f) . The value p represents the percentage of the fractal’s area generated by the transform. Theoretically it is not required but if you select it well, the fractal is drawn much more efficiently.

Here are some classics to try:

  • The Barnsley Fern
  • The von Koch Curve

    An IFS Renderer

    Enter your IFS in the textarea below and hit Refresh or just pick one of these:

    IFS stands for Iterated Function Systems

    Popular lists for the abbreviation: fractalcodingferntechnology


    The list of acronyms and abbreviations related to
    IFS — Iterated Function Systems

    • IP Internet Protocol
    • CCA Cluster-Cluster Aggregation
    • FDI Fractal Dimension Index
    • HFH Hamburger Fern-Hochschule
    • ADD Asshole Driven Development
    • LAIFS Los Angeles International Fern Society
    • HIBC Health Industry Bar Codes
    • FIC Fractal Image Compression
    • CEF Character Encoding Form
    • BPVC Boiler and Pressure Vessel Codes
    • ESMA European Society for mathematics and arts
    • CFB Composite Fractal Behavior
    • ADL Argument dependent lookup
    • BOMC Book-of-the-Month Club

    usage

    Areas of interest where
    IFS (Iterated Function Systems) is mostly used

    Ifs iterated function systems

    IFS — Iterated function system

    Iterated function systems or IFSs are a method of constructing fractals; the resulting constructions are always self-similar. IFS fractals, as they are normally called, can be of any number of dimensions, but are commonly computed and drawn in 2D. The fractal is made up of the union of several copies of itself, each copy being transformed by a function (hence «function system»). The canonical example is the Sierpinski gasket also called the Sierpinski triangle. The functions are normally contractive which means they bring points closer together and make shapes smaller. Hence the shape of an IFS fractal is made up of several possibly-overlapping smaller copies of itself, each of which is also made up of copies of itself, ad infinitum. This is the source of its self-similar fractal nature. (more from Wikipedia: http://en.wikipedia.org/wiki/Iterated_function_system )

    Илон Маск рекомендует:  Что такое код fbsql_num_rows

    What is this Project?


    This project is a implementation of a kind of IFS. Each system is a stochastic composition of two-dimensional linear functions.

    I wanted to learn more about these beautiful fractal like mathematical structures.

    The system are configured by json files, e. g.:

    The system is defined by the «transformations» list. It’s a mapping of probability to the transformation function. Each number (first element of each transformation) is a proportional probability of that transformation to occur, and each function is an expression transforming a x and y arguments into another two-dimensional point (comma separated).

    The sum of the probability keys are not necessary to sum to unity, as the probability is calculated proportionally (i. e. roulette wheel).

    The Barnsley’s Fern resembles remarkably the Black Spleenwort:

    The Pentadentrite is a variation of the McWorter’s pentigree:

    A very beautiful spiral fractal:

    And, of course, the Sierpinksi triangle, which seems to pop up everywhere:

    Try modifying or creating new formulas, it’s fascinating to discover new patterns.

    Iterated Function Systems

    (a.k.a. Multiple Reduction Copy Machine Algorithms — MRCMs)

    Note: This page uses animated GIFs. You must use a graphical web browser which supports 89a GIFs. If you would like to view each frame of the animation at your own pace, please click on the animation. Clicking on the animation will link you to another page where each frame will be displayed as its own graphic.

    Fractals can be formed using Iterated Function Systems. To begin thinking about the topic, let us consider the Cantor Set.

    The Cantor Set is formed using the following algorithm:

    1. Begin with the set [0,1].
    2. Divide the existing segments into thirds.
    3. Remove the middle third.
    4. Go to step #2.

    The picture below should help visualize the process. The solid line at the start of the animation represents the set [0,1]. Each iteration is shown in following frames of the animation. The green highlight indicates the «middle third» which is to be removed. If this process were to be repeated indefinitely, the cantor set would be produced. Obviously, the cantor set cannot be precisely represented with a finite number of pixels on the screen, so a very poor approximation will have to suffice. However, this «poor approximation» will give you a good idea what the cantor set look like (as an uneven spacing of discrete values). Notice how the points tend to cluster. This is one characteristic of the cantor set.

    Next, let us focus our attention on the Sierpinski Gasket. As usual, the picture below shows the building of the fractal. We start with an equilateral triangle (although the actual shape does not really matter as we shall see later).

    The Sierpinski Gasket can be formed as follows:

    1. Begin with an equilateral triangle (although, we can begin with any figure as we will see later).
    2. Divide the triangle into four equal-sized triangles.
    3. Remove the middle triangle.
    4. Go to Step #2.

    The above method will form a Sierpinski Gasket. However, it is not an Iterated Function System yet. Let us express this as an Iterated Function System.

    1. Begin with an equilateral triangle (again, this is arbitrary)
    2. Reduce the image by one-half.
    3. Make three copies of the reduced image.
    4. Align them in the shape of an equilateral triangle.
    5. Translate the top copy to the left above the lower-left copy.
    6. Go to step #2.

    The following is produced by the above iterated function system:

    After seeing a few examples, we are now ready to more precisely define an iterated function system. An initial image is transformed by a set of affine transformations (functions) producing a new image. The new image is then transformed by the same affine transformations producing another new image. Thus, each time the image is transformed, an iteration occurs. If the transformation is contractive—that is, the transformation brings points closer together—, then the image will begin to converge. After infinitely many iterations, assuming a contractive transformation, the image will converge to what is called an attractor.

    Let us now look at another Sierpinski Gasket. However, to convince you that the starting shape is arbitrary, let us use a square with half of a diagonal. Below is the resulting IFS Sierpinski Gasket.

    Below are more examples of Iterated Function Systems. As always, click on the picture to see each frame individually.

    Twin Christmas Trees

    Finally, there is one last IFS example to show. However, in this case, the results are not what we would expect. The iterations for Barnsley’s fern (named for Michael Barnsley) begin as normal. However, they do not home in on the attractor quickly. It would take a tremendous amount of computing in order to iterate to the attractor as we have done in the previous method. Thus, there must be a better way.

    Here is the iterative transformation method for the fern:

    Fractals/Iterated function systems

    Iterated Function Systems (or IFS) is the name given to a method for calculating fractals based on a number of contractive affine transformations.

    Contents

    Researchers [ edit ]

    Michael Barnsley did a lot of work on this type of fractal, including naming it.

    Australian mathematician John Hutchinson (who called the system a «Multiple Reduction Copy Machine» or MRCM), also contributed to the field.

    The Basic Method [ edit ]

    There are quite a few variations on this method, but the basic idea is still the same.

    1. Define a number of contractive affine transformations in the unit square (these are also known as «Hutchinson Operators»).
    2. Insert points at random positions into the unit square (or another initializing region of R2)
    3. Make a random selection from the list of transformations, and apply it to the point.
    4. After some run-up number of iterations, begin drawing the points into an accumulation buffer.
    5. Continue inserting points until the desired coverage (or quality) is achieved.
    6. The accumulated values will usually need a log-transform to bring them into good viewing range.
    7. Sorting the positions of, and resampling the points into an image using a filter kernel can give a better resulting image but is a lot more costly in terms of memory and computation.

    Affine Transformations [ edit ]

    Affine transforms are a geometrical construct that comprises translation, rotation, scaling and shear in 2 or more dimensions. A 2-dimensional affine transform can be conveniently stored in a 3×3 matrix for the transformation of homogeneous 2D points. These transforms are applied by simply multiplying the point’s position by the matrix.

  • Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
    Кодинг, CSS и SQL