Математические функции


Содержание

Что такое функция?

Вопрос, конечно, интересный. ) В школе термин «функция» употребляется сплошь и рядом и особых проблем не доставляет. До поры до времени. Как только с этими функциями начинается работа, вот тут и появляются вопросы, да. Бывает, функция так и остаётся монстром в тумане, с которым встречаться лишний раз не хочется. Но. Раз вы здесь, встретились, видимо. )

Между тем, понятие функции является одним из главнейших во всей математике, науке, технике. Без этого понятия — никак. Вообще никак. Имеет смысл разобраться, правда? Тем более, что это достаточно просто. Если рискнуть, и. почитать.)

Начнём с представления о функции, затем освоим понятие функции. После этого определение функции окажется простым и вполне человеческим.

Представление о функции.

Ключевое слово в понятии функции — зависимость. Или — взаимосвязь. В повседневной жизни вы часто сталкиваетесь с функциональными зависимостями. И умело пользуетесь ими, да-да! Сомневаетесь? Тогда пара житейских примеров.

Допустим, вы идёте на встречу с приятелем. И чувствуете, что опаздываете. Что будете делать? Видимо, двигаться шустрее.) Вы твёрдо знаете: быстрей идёшь — меньше время на дорогу. Это общий закон. Время в пути зависит от скорости передвижения. Или, говоря более научно: время в пути есть функция скорости передвижения.

Ещё пример. Вы бросаете камешек в воду. На дальность. Разумеется, стараетесь швырнуть его посильнее. Вы знаете закон: дальность полёта зависит от силы броска. Другими словами: дальность полёта есть функция силы броска.

Вот вам и самое общее, житейское понятие о функции. Если какая-то величина А зависит от другой величины В, говорят, что величина А есть функция величины В. Зачем всё так трудно?! — слышу возмущённый вопрос. Ну зависит, и пусть зависит себе.

Конечно, камешек бросить и без функции можно. Но в обоих примерах есть незаметный, но оч-чень важный момент. Обратите внимание: зная закон зависимости, вы знаете, что нужно делать сейчас, чтобы получить нужный результат потом. Это не очень важно при бросании камешков. А если это не камешек, а ракета? Тогда очень желательно знать, куда она попадёт, да. ) Причём, знать безошибочно! Ракета — не камешек, на берегу не валяется.

Оказывается, знание функциональных зависимостей позволяет просчитывать результат заранее. Заманчивые возможности, правда?)

В случае с ракетой, в любых технических (и не только!) применениях, люди просто обязаны просчитывать результат. Причём, безошибочно! Следовательно, на всякие взаимосвязи и зависимости требуется строгая математика. И она есть! Этот раздел математики называется «Математический анализ». Для студентов — просто «матан».) Элементы этого раздела — графики, функции, производные, интегралы — начинают осваивать ещё в школе.

Представление о функции — вещь полезная. Но, для строгой математики — недостаточная.

Понятие функции.

Всяких величин в мире — колоссальное количество. И взаимосвязи между ними могут быть самые разнообразные. Но математика должна уметь работать со всеми. По одинаковым правилам. На то она и математика. Для начала, надо кратенько записать бесконечное множество существующих в мире взаимосвязей для бесконечного множества существующих в мире величин. Круто? А то!) Вот она, эта самая общая запись:

y = f (x)

Слева стоит буква игрек. Это и есть функция. Под этой буквой скрывается какая-то величина. Любая. Совсем любая. Это может быть время, температура, пройденный путь, сила тока, зарплата и всё, что угодно. Математике без разницы. Игрек, и всё тут. Игрек ещё называется зависимой переменной.

Справа мы видим х. Икс в скобочках. Под этой буквой тоже может скрываться любая величина. Икс на этом месте (в скобочках) называется независимой переменной. Есть ещё одно называние для икса. Он ещё называется аргумент.

И есть буква f. Под этой буквой скрываются все действия над иксом, какие можно только придумать. Не очень понятно, что это за действия? Читайте дальше, там подробненько будет.

Прошу отметить, что в этой записи важны не столько буквы, сколько скобочки.) Да-да! Именно скобочки показывают, что от чего зависит. Буквы могут быть и другие, например g, p, t, s и т.д. Но запись, например:

означает, что s как-то зависит от t. В такой записи s — это функция (зависимая переменная), а t — аргумент (независимая переменная). Под буквой g скрываются какие-то действия, которые совершаются с аргументом t. Если же мы поменяем буквы местами, вот так:

то поменяется и смысл записи. Функцией станет t, а аргументом — s.

Посмотрим на функцию в жизни?

Предположим, мы едем на автомобиле с какой-то средней скоростью 80 км/час. Далеко едем.) Смотрим на карту и прикидываем, где мы будем через два часа, через три. Мы знаем закон, что пройденный путь S равен скорости V, умноженной на время t.

Для нашей скорости 80 км/час:

Т.е. через два часа мы проедем 80·2 = 160 километров, через три 80·3 = 240 километров. Элементарно, Ватсон!) Значит, между временем и расстоянием есть взаимосвязь. Значит, можно вспомнить понятие функции. Общая запись для функции:

y = f (x)

Под игреком в нашем случае скрывается путь S. Это зависимая переменная. Она может быть разная, (переменная же, не постоянная!) но зависит от времени.

Под иксом скрывается время t. Это независимая переменная. Потому, что мы её выбираем сами. Независимо ни от чего. Лично. Из головы, или из условия задачи. Хотим, возьмём время 3 часа. Хотим — 33. Хотим — семь часов и двенадцать минут. Функция всё равно сработает, как надо.

А вот путь S — какой уж получится. Для каждого времени — свой. Зависимость, понимаешь. )

Теперь вопрос на сообразительность. А что в нашей задаче скрывается под буквой f ? Не всех осеняет сразу. )

Под буковкой f скрывается действие — умножение на 80! Это как раз конкретный (наш!) закон, по которому наше время t превращается в путь S.

Можно, кстати, записать функцию, используя наши буквы:

Это означает, что путь как-то зависит от времени. Это общая функция, для любого движения. А вот если мы запишем S = 80·t, это будет уже конкретная функция для наших конкретных условий.

Посмотрим на функции в алгебре?

В алгебре всё попроще будет. Но суть та же самая. Есть функция y, есть аргумент x и есть закон f, по которому x превращается в y. Например, имеется функция:

С иксом всё понятно. Он — независимая переменная. С игреком — тоже. Он — функция. А в чём заключается закон (или правило) f ? Да ничего особенного. Этот закон говорит нам: чтобы получить (посчитать) у для любого (какого хотим) х, надо этот икс умножить на два и прибавить к результату тройку. Вот игрек и получится.

Зачем я всё время занудно про это правило f повторяю?) Да затем, чтобы определение функции, которое будет ниже, не поставило вас навечно в тупик! Кроме того, осознание правила f само по себе позволяет решать некоторые элементарные задания. Например, классика:

Дана функция y = f(x), где f(x) = 5х+8. Найти f(2), f(0).

Читаем задание и соображаем. Ну, y = f(x), это самая общая запись всех функций, тут ничего не найдёшь. А вот дальше эта самая f(x) написана конкретно: f(x) = 5х+8. Указаны все действия над иксом: помножить на 5 и прибавить 8. Найти нужно f(2). Это означает, что над двойкой нужно сделать те же самые действия. Те же самые, потому, что в этом задании одна и та же буква f. Одно и то же правило и для икса, и для двойки.

Говоря школьным языком, надо тупо подставить вместо икса двойку и посчитать, что получится. )

Вот и ответ: f(2)=18. Аналогично считается f(0). Подставляем вместо икса ноль, и считаем:

Как видим, если в выражении стоит икс, это — функция. А если подставляем вместо икса число, получаем значение функции именно для этого числа. Кстати сказать, это же самое задание может быть записано в более коротком виде. Вот так:

Дана функция y(x) = 5х+8. Найти y(2), y(0).

Здесь вообще нет выражения f(x). Но знающий человек видит, что конкретная функция уже дана. А выражение y(2) означает те же действия, но не с иксом, а с двойкой. Потому, что в скобочках стоит двойка. Я же говорил, что главное здесь — скобочки!)

Возможно, кому-то это задание показалось неприлично примитивным. Ну, ладно. Вот задание посолиднее:

Дана функция y = f(x), где f(x) = 2х-1. Найти g(1), если g(х) = f(х 2 +1).

Если не понимать смысл обозначений, задание не решить, да. А если понимать — нет проблем! Нам надо найти g(1). Для этого надо знать g(х). Иначе — никак. Что мы будем с единичкой делать, если неизвестно, что с ней делать?! Функция g(х) нам дана, но как-то хитро. Через другую функцию. Надо как-то найти эту самую f(х 2 +1). Но мы же умные, мы обозначения понимаем?) Что означает запись f(x) = 2х-1 ? Эта запись означает, что в этой функции х (он в скобочках) всегда умножается на 2 и от результата отнимается единичка.

Стало быть, если нужно найти f(х 2 +1), надо проделать те же самые действия, сработать по тому же правилу, но не с иксом, а с выражением х 2 +1. Т.е. вместо х подставить в функцию х 2 +1, да и посчитать результат. И все дела. Вот и пишем:

f(х 2 +1) = 2 · (х 2 +1)-1 = 2х 2 +2-1 = 2х 2 +1

Значит, g(х) = 2х 2 +1.

Здесь нужно сообразить, что в выражении g(х) буква g — это тоже правило действий над иксом. Как и f. Только действия эти другие. Именно поэтому и введены две буквы, f и g в этом задании, чтобы указать на разницу. Но смысл этих букв одинаков. Стало быть, чтобы найти g(1), надо в функцию g(х) вместо икса подставить единичку:

g(1) = 2 · 1 2 +1 = 3

В этом уроке постоянно повторяются слова: зависимость, соответствие, связь, закон, правило. Все эти термины объединяются в понятии функции. Главное, без чего нет функции, — это взаимосвязь каких-то переменных величин.

Кстати, эта взаимосвязь может быть дана и не формулой. Скажем, табличка, где каждому значению икса соответствует какое-то значение игрека — это тоже функция. Есть взаимосвзь — есть функция. Или график, где можно определить значение игрека для выбранного икса — тоже функция. Но о разных способах задания функции мы поговорим подробнее в другом уроке.

Здесь нужно просто понять, что работа с функциями (матанализ) изрядно отличается от работы с числами (арифметика) и буквами (алгебра). Хотя и не отменяет этих наук.

С какими функциями будем работать?

Ответ простой: с любыми.) Но все они будут числовыми и однозначными. Именно с такими функциями работает матанализ в школе и ВУЗе. Поясню смысл этих терминов. Это важно для выполнения некоторых заданий. И общего развития, да.

Под научным названием «числовые функции» скрывается простой смысл. Переменные величины в таких функциях могут принимать только числовые значения. Только числа. Вот и весь смысл.

Чтобы было понятнее, приведу примеры НЕ числовых функций. Скажем, настроение человека однозначно зависит от количества денег в потерянном кошельке, правда?) Есть зависимость, значит есть функция. Но, если аргумент (деньги) — вполне выражается числом, то выразить настроение в числах затруднительно.

Или, представим игру. Один человек называет любую гласную букву, другой в ответ обязан назвать любую согласную. Взаимосвязь налицо, функция есть. Но. НЕ числовая.

Думаю, с числовыми функциями всё понятно.

С однозначными функциями вопрос похитрее будет. Сам по себе смысл этого понятия прост. Любому значения аргумента, т.е. независимой переменной, соответствует единственное значение функции. Другими словами, какой икс не бери, из него получится один игрек. А не два, или 15. Элементарно, но на практике случаются непонятки.)

Скажем, в функции y=x 2 для х=2 и х=-2 мы получим одинаковые значения y=4. Т.е. для двух разных иксов получается один игрек. Где однозначность!? Ничего страшного, она на месте. Дело в том, что, при расчёте для х=2, мы получили один игрек. И при расчёте с х=-2 мы получили один игрек. То, что они оказались одинаковые — не повод обвинять функцию в неоднозначности.)

А вот функция, скажем, y=±x будет неоднозначной. Захотим посчитать её значение, к примеру, для х=2. Получим y=±2. На один икс получили два игрека: y=+2 и y=-2. И с каким игреком работать!? Существует, конечно, понятие многозначной функции, но с такими вещами в матанализе не работают. Там проще поступают. Выражение y=±x разбивается на два: y=+x и y=-x. Каждое из этих выражений — вполне себе приличная функция. Вот и работаем с каждой по отдельности. Потом, если надо, как-то связываем результаты.

Кстати, игра в буквы, которую я придумал чуть выше, иллюстрирует понятие НЕ числовой и НЕ однозначной функции. Кошмар какой-то.

В матанализе НЕ числовые и (или) НЕ однозначные функции за функции не считаются.)

Надеюсь, с понятием функции всё более-менее ясно. Теперь можно въехать и в определение функции. А то, если с него начинать, функция навсегда монстром остаться может. )

Определение функции.

Наиболее популярное определение функции сводится к следующему:

Функцией называется правило f, по которому каждому элементу х множества Х ставится в соответствие единственный элемент у множества У.

Человеку, который не в теме, так просто не понять. Но вы-то уже в теме?)

Множество Х для числовых функций — это просто набор всех возможных значений икса. Элементом х называется любое конкретное число из этого множества. Про правило f я уже говорил, но. Так уж и быть, ещё раз.)

Для функции у = 2х + 3, например, Х — это множество всех чисел. Вообще всех. Элемент х — любое число. 5 — элемент, и 117 — элемент, и -0,34 — элемент.

А правило f — это действие над иксом. В данном случае правило гласит: «Умножить икс на два и к результату прибавить три». Каждому иксу соответствует (т.е. ставится в соответствие) свой игрек именно по этому правилу.

Ну, элемент у, понятно, это конкретное значение для конкретного икса. А множество У — это набор всех возможных значений игрека.

Замечу (на всякий случай), что данные буквы (х, Х, у, У, f) относятся к самой популярной записи функции: y = f(x). Но если будут другие буквы, смысл определения функции сохраняется.)

Вот и все дела. Иногда говорят ещё короче:

Функция есть закон отображения множества Х на множество У.

Суть та же. Только фраза «ставить в соответствие» заменена на понятие «отображать».

Бывает, в голове возникает некоторая путаница. Как так?! Всё время называем игрек функцией, работаем с ним, как с функцией, а в определении функции какое-то правило f прорезалось!?

Дело в том, что функцией называется не только правило, но и сама зависимая переменная у. По той простой причине, что в записи конкретной функции именно игрек и показывает, что надо делать с иксом, показывает это самое правило f. Если, скажем, y=x 2 , правило — это возведение в квадрат. Если y=5x, правило — умножение на пять. Именно через игрек слова «возведение в квадрат», «умножение на пять» и т.д. переводятся в математическую запись. И никак иначе.

Поэтому игрек — и зависимая переменная, и функция (т.е. правило f). Одновременно.

Очень часто в определении функции присутствуют названия множеств Х и У. Множество Х — область определения функции, множество У — область значений функции. Это очень важные понятия. И вполне заслуживают отдельных уроков.)

Но, прежде всего, имеет смысл разобраться: какие же бывают эти самые правила f, о которых говорится в определении функции? Об этом — в следующем уроке.

Функция

Главная > Учебные материалы > Математика: Функция

1. Понятие функции

Понятие «функция» является одним из основных понятий в математике. Под функцией понимают некий закон, по которому одна переменная величина зависит от другой. Согласно определению, если каждому значению переменной х множества Х ставится в соответствие одно определенное значение переменной у множества Y, то такое соответствие называется функцией. Исходя из этого, можно дать другую формулировку: однозначное соответствие двух переменных величин на множестве действительных чисел R называется функцией.
Переменая х называется независимой переменной или аргументом, y — зависимой переменной от x, буква f обозначает закон соответствия. Множество X называется областью определения функции, а множество Y, соответственно, областью значений функции.

2. Cвойства функций

1.Четность и нечетность. Функция f(x) называется четной, если ее значения симметричны относительно оси OY, т.е. f(-x) = f(x). Функция f(x) называется нечетной, если ее значение изменяется на противоположное при изменении переменной х на -х , т.е. f(-x) = -f(x). В противном случае функция называется функцией общего вида.

2.Монотонность. Функция называется возрастающей (убывающей) на промежутке Х, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее (меньшее) значение функции, т.е. при x1 ) x2, f(x1) ) f(x2).

3.Периодичность. Если значение функции f(x) повторяется через определенный период Т, то функция называется периодической с периодом Т ≠ 0 , т.е. f(x + T) = f(x). В противном случае непериодической.

4. Ограниченность. Функция f (x) называется ограниченной на промежутке Х, если существует такое положительное число М > 0 , что для любого x, принадлежащего промежутку Х, | f (x) | 0 a≠1)

область определения (-∞,∞)
область значений (0; ∞)
общего вида
возрастает на (-∞,∞), если a>1;
убывает на (-∞,∞), если 0 непериодическая

Логарифмическая функция

у = log ₐ x (a>0 a≠1)

область определения (0,∞)
область значений (-∞; ∞)
общего вида
возрастает на (0,∞), если a>1;
убывает на (0,∞), 0 непериодическая

Тригонометрические функции

y = sin x

область определения (-∞; ∞)
область значений [-1; 1]
нечетная
возрастает на [-π/2 + 2πn, π/2 + 2πn];
убывает на [π/2 + 2πn, 3π/2 + 2πn], nϵZ;
период Т=2π

y = cos x

область определения (-∞; ∞)
область значений [-1; 1]
четная
возрастает на [-π + 2πn, 2πn];
убывает на [2πn, π + 2πn], nϵZ;
период Т=2π

y = tg x

область определения
(-π/2 + πn, π/2 + πn) nϵZ;
область значений (-∞; ∞)
нечетная
возрастает на (-π/2 + πn, π/2 + πn) nϵZ;
период Т=π

y = ctg x

область определения
(πn, π + πn) nϵZ;
область значений (-∞; ∞)
нечетная
убывает на (πn, π + πn) nϵZ;
период Т=π

y = arcsin x

область определения [-1; 1]
область значений [-π/2; π/2]
нечетная
возрастает на [-1; 1]

y = arccos x

область определения [-1; 1]
область значений [0; π]
функция центрально-симметрична относительно точки (0; π/2)
убывает на [-1; 1]

y = arctg x

область определения (-∞; ∞)
область значений [-π/2; π/2]
нечетная
возрастает на (-∞; ∞)

y = arcctg x

область определения (-∞; ∞)
область значений [0; π]
ни четная, ни нечетная
убывает на (-∞; ∞)

Графики и основные свойства элементарных функций

Данный методический материал носит справочный характер и относится к широкому кругу тем. В статье приведен обзор графиков основных элементарных функций и рассмотрен важнейший вопрос – как правильно и БЫСТРО построить график. В ходе изучения высшей математики без знания графиков основных элементарных функций придётся тяжело, поэтому очень важно вспомнить, как выглядят графики параболы, гиперболы, синуса, косинуса и т.д., запомнить некоторые значения функций. Также речь пойдет о некоторых свойствах основных функций.

Я не претендую на полноту и научную основательность материалов, упор будет сделан, прежде всего, на практике – тех вещах, с которыми приходится сталкиваться буквально на каждом шагу, в любой теме высшей математики. Графики для чайников? Можно сказать и так.

По многочисленным просьбам читателей кликабельное оглавление:

Кроме того, есть сверхкраткий конспект по теме
– освойте 16 видов графиков, изучив ШЕСТЬ страниц!

Серьёзно, шесть, удивился даже я сам. Данный конспект содержит улучшенную графику и доступен за символическую плaту, демо-версию можно посмотреть здесь. Файл удобно распечатать, чтобы графики всегда были под рукой. Спасибо за поддержку проекта!

И сразу начинаем:

Как правильно построить координатные оси?

На практике контрольные работы почти всегда оформляются студентами в отдельных тетрадях, разлинованных в клетку. Зачем нужна клетчатая разметка? Ведь работу, в принципе, можно сделать и на листах А4. А клетка необходима как раз для качественного и точного оформления чертежей.

Любой чертеж графика функции начинается с координатных осей.

Чертежи бывают двухмерными и трехмерными.

Сначала рассмотрим двухмерный случай декартовой прямоугольной системы координат:

1) Чертим координатные оси. Ось называется осью абсцисс, а ось – осью ординат. Чертить их всегда стараемся аккуратно и не криво. Стрелочки тоже не должны напоминать бороду Папы Карло.

2) Подписываем оси большими буквами «икс» и «игрек». Не забываем подписывать оси.

3) Задаем масштаб по осям: рисуем ноль и две единички. При выполнении чертежа самый удобный и часто встречающийся масштаб: 1 единица = 2 клеточки (чертеж слева) – по возможности придерживайтесь именно его. Однако время от времени случается так, что чертеж не вмещается на тетрадный лист – тогда масштаб уменьшаем: 1 единица = 1 клеточка (чертеж справа). Редко, но бывает, что масштаб чертежа приходится уменьшать (или увеличивать) еще больше

НЕ НУЖНО «строчить из пулемёта» …-5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …. Ибо координатная плоскость – не памятник Декарту, а студент – не голубь. Ставим ноль и две единицы по осям. Иногда вместо единиц удобно «засечь» другие значения, например, «двойку» на оси абсцисс и «тройку» на оси ординат – и эта система (0, 2 и 3) тоже однозначно задаст координатную сетку.

Предполагаемые размеры чертежа лучше оценить еще ДО построения чертежа. Так, например, если в задании требуется начертить треугольник с вершинами , , , то совершенно понятно, что популярный масштаб 1 единица = 2 клеточки не подойдет. Почему? Посмотрим на точку – здесь придется отмерять пятнадцать сантиметров вниз, и, очевидно, что чертеж не вместится (или вместится еле-еле) на тетрадный лист. Поэтому сразу выбираем более мелкий масштаб 1 единица = 1 клеточка.

Кстати, о сантиметрах и тетрадных клетках. Правда ли, что в 30 тетрадных клетках содержится 15 сантиметров? Отмерьте в тетради для интереса 15 сантиметров линейкой. В СССР, возможно, это было правдой… Интересно отметить, что если отмерить эти самые сантиметры по горизонтали и вертикали, то результаты (в клетках) будут разными! Строго говоря, современные тетради не клетчатые, а прямоугольные. Возможно, это покажется ерундой, но, чертить, например, окружность циркулем при таких раскладах очень неудобно. Если честно, в такие моменты начинаешь задумываться о правоте товарища Сталина, который отправлял в лагеря за халтуру на производстве, не говоря уже об отечественном автомобилестроении, падающих самолетах или взрывающихся электростанциях.

К слову о качестве, или краткая рекомендация по канцтоварам. На сегодняшний день большинство тетрадей в продаже, плохих слов не говоря, полное гомно. По той причине, что они промокают, причём не только от гелевых, но и от шариковых ручек! На бумаге экономят. Для оформления контрольных работ рекомендую использовать тетради Архангельского ЦБК (18 листов, клетка) или «Пятёрочку», правда, она дороже. Ручку желательно выбрать гелевую, даже самый дешевый китайский гелевый стержень намного лучше, чем шариковая ручка, которая то мажет, то дерёт бумагу. Единственной «конкурентоспособной» шариковой ручкой на моей памяти является «Эрих Краузе». Она пишет чётко, красиво и стабильно – что с полным стержнем, что с практически пустым.

Дополнительно: вИдение прямоугольной системы координат глазами аналитической геометрии освещается в статье Линейная (не) зависимость векторов. Базис векторов, подробную информацию о координатных четвертях можно найти во втором параграфе урока Линейные неравенства.

Трехмерный случай

Здесь почти всё так же.

1) Чертим координатные оси. Стандарт: ось аппликат – направлена вверх, ось – направлена вправо, ось – влево вниз строго под углом 45 градусов.

2) Подписываем оси.

3) Задаем масштаб по осям. Масштаб по оси – в два раза меньше, чем масштаб по другим осям. Также обратите внимание, что на правом чертеже я использовал нестандартную «засечку» по оси (о такой возможности уже упомянуто выше). С моей точки зрения, так точнее, быстрее и эстетичнее – не нужно под микроскопом выискивать середину клетки и «лепить» единицу впритык к началу координат.

При выполнении трехмерного чертежа опять же – отдавайте приоритет масштабу
1 единица = 2 клетки (чертеж слева).

. Для чего нужны все эти правила? Правила существуют для того, чтобы их нарушать. Чем я сейчас и займусь. Дело в том, что последующие чертежи статьи будут выполнены мной в Экселе, и, координатные оси будут выглядеть некорректно с точки зрения правильного оформления. Я бы мог начертить все графики от руки, но чертить их на самом деле жуть как неохота Эксель их начертит гораздо точнее.

Графики и основные свойства элементарных функций

График линейной функции

Линейная функция задается уравнением . График линейной функций представляет собой прямую. Для того, чтобы построить прямую достаточно знать две точки.

Построить график функции . Найдем две точки. В качестве одной из точек выгодно выбрать ноль.

Берем еще какую-нибудь точку, например, 1.

При оформлении заданий координаты точек обычно сводятся в таблицу:

А сами значения рассчитываются устно или на черновике, калькуляторе.

Две точки найдены, выполним чертеж:

При оформлении чертежа всегда подписываем графики.

Не лишним будет вспомнить частные случаи линейной функции:

Обратите внимание, как я расположил подписи, подписи не должны допускать разночтений при изучении чертежа. В данном случае крайне нежелательно было поставить подпись рядом с точкой пересечения прямых , или справа внизу между графиками.

1) Линейная функция вида ( ) называется прямой пропорциональностью. Например, . График прямой пропорциональности всегда проходит через начало координат. Таким образом, построение прямой упрощается – достаточно найти всего одну точку.

2) Уравнение вида задает прямую, параллельную оси , в частности, сама ось задается уравнением . График функции строится сразу, без нахождения всяких точек. То есть, запись следует понимать так: «игрек всегда равен –4, при любом значении икс».

3) Уравнение вида задает прямую, параллельную оси , в частности, сама ось задается уравнением . График функции также строится сразу. Запись следует понимать так: «икс всегда, при любом значении игрек, равен 1».

Некоторые спросят, ну зачем вспоминать 6 класс?! Так-то оно, может и так, только за годы практики я встретил добрый десяток студентов, которых ставила в тупик задача построения графика вроде или .

Построение прямой – самое распространенное действие при выполнении чертежей.

Прямая линия детально рассматривается в курсе аналитической геометрии, и желающие могут обратиться к статье Уравнение прямой на плоскости.

График квадратичной, кубической функции, график многочлена

Парабола. График квадратичной функции ( ) представляет собой параболу. Рассмотрим знаменитый случай:

Вспоминаем некоторые свойства функции .

Область определения – любое действительное число (любое значение «икс»). Что это значит? Какую бы точку на оси мы не выбрали – для каждого «икс» существует точка параболы. Математически это записывается так: . Область определения любой функции стандартно обозначается через или . Буква обозначает множество действительных чисел или, проще говоря, «любое икс» (когда работа оформляется в тетради, пишут не фигурную букву , а жирную букву R).

Область значений – это множество всех значений, которые может принимать переменная «игрек». В данном случае: – множество всех положительных значений, включая ноль. Область значений стандартно обозначается через или .

Функция является чётной. Если функция является чётной, то ее график симметричен относительно оси . Это очень полезное свойство, которое заметно упрощает построение графика, в чём мы скоро убедимся. Аналитически чётность функции выражается условием . Как проверить любую функцию на чётность? Нужно вместо подставить в уравнение . В случае с параболой проверка выглядит так: , значит, функция является четной.

Функция не ограничена сверху. Аналитически свойство записывается так: . Вот вам, кстати, и пример геометрического смысла предела функции: если мы будем уходить по оси (влево или вправо) на бесконечность, то ветки параболы (значения «игрек») будут неограниченно уходить вверх на «плюс бесконечность».

При изучении пределов функций желательно понимать геометрический смысл предела.

Я не случайно так подробно расписал свойства функции, все вышеперечисленные вещи полезно знать и помнить при построении графиков функций, а также при исследовании графиков функций.

Построить график функции .

В этом примере мы рассмотрим важный технический вопрос: Как быстро построить параболу? В практических заданиях необходимость начертить параболу возникает очень часто, в частности, при вычислении площади фигуры с помощью определенного интеграла. Поэтому чертеж желательно научиться выполнять быстро, с минимальной потерей времени. Я предлагаю следующий алгоритм построения.

Сначала находим вершину параболы. Для этого берём первую производную и приравниваем ее к нулю:

Если с производными плохо, следует ознакомиться с уроком Как найти производную?

Итак, решение нашего уравнения: – именно в этой точке и находится вершина параболы. Почему это так, можно узнать из теоретической статьи о производной и урока об экстремумах функции. А пока рассчитываем соответствующее значение «игрек»:

Таким образом, вершина находится в точке

Теперь находим другие точки, при этом нагло пользуемся симметричностью параболы. Следует заметить, что функция – не является чётной, но, тем не менее, симметричность параболы никто не отменял.


В каком порядке находить остальные точки, думаю, будет понятно из итоговой таблицы:

Данный алгоритм построения образно можно назвать «челноком» или принципом «туда-сюда» с Анфисой Чеховой.

Из рассмотренных графиков вспоминается еще один полезный признак:

Для квадратичной функции ( ) справедливо следующее:

Если , то ветви параболы направлены вверх.

Если , то ветви параболы направлены вниз.

Углублённые знания о кривой можно получить на уроке Гипербола и парабола.

Кубическая парабола

Кубическая парабола задается функцией . Вот знакомый со школы чертеж:

Перечислим основные свойства функции

Область определения – любое действительное число: .

Область значений – любое действительное число: .

Функция является нечётной. Если функция является нечётной, то ее график симметричен относительно начала координат. Аналитически нечётность функции выражается условием . Выполним проверку для кубической функции, для этого вместо «икс» подставим «минус икс»:
, значит, функция является нечетной.

Функция не ограничена. На языке пределов функции это можно записать так: ,

Кубическую параболу тоже удобнее строить с помощью алгоритма «челнока»:

Наверняка, вы заметили, в чем ещё проявляется нечетность функции. Если мы нашли, что , то при вычислении уже не нужно ничего считать, автоматом записываем, что . Эта особенность справедлива для любой нечетной функции.

А теперь поговорим о графиках функций-многочленов высоких степеней чуть более подробно. График функции ( ) принципиально имеет следующий вид:

В этом примере коэффициент при старшей степени , поэтому график развёрнут «наоборот». Принципиально такой же вид имеют графики функций-многочленов 5-й, 7-й, 9-й и других нечетных степеней. Чем выше степень, тем больше промежуточных «загибулин».

Функции-многочлены 4-й, 6-й и других четных степеней имеют график принципиально следующего вида:

График функции

Он представляет собой одну из ветвей параболы. Выполним чертеж:

Основные свойства функции :

То есть, график функции полностью находится в первой координатной четверти.

Функция не ограничена сверху. Или с помощью предела:

При построении простейших графиков с корнями также уместен поточечный способ построения, при этом выгодно подбирать такие значения «икс», чтобы корень извлекался нацело:

На самом деле хочется разобрать еще примеры с корнями, например, , но они встречаются значительно реже. Сейчас я ориентируюсь на более распространенные случаи, и, как показывает практика, что-нибудь вроде приходиться строить значительно чаще. Однако унывать не нужно, в других статьях я рассмотрю самые разнообразные функции и их графики, корни в том числе.

График гиперболы

Опять же вспоминаем тривиальную «школьную» гиперболу .

Основные свойства функции :

Запись обозначает: «любое действительное число, исключая ноль»

В точке функция терпит бесконечный разрыв. Или с помощью односторонних пределов: , . Немного поговорим об односторонних пределах. Запись обозначает, что мы бесконечно близко приближаемся по оси к нулю слева. Как при этом ведёт себя график? Он уходит вниз на минус бесконечность, бесконечно близко приближаясь к оси . Именно этот факт и записывается пределом . Аналогично, запись обозначает, что мы бесконечно близко приближаемся по оси к нулю справа. При этом ветвь гиперболы уходит вверх на плюс бесконечность, бесконечно близко приближаясь к оси . Или коротко: .

Такая прямая (к которой бесконечно близко приближается график какой-либо функции) называется асимптотой.

В данном случае ось является вертикальной асимптотой для графика гиперболы при .

Будет ГРУБОЙ ошибкой, если при оформлении чертежа по небрежности допустить пересечение графика с асимптотой.

Также односторонние пределы , говорят нам о том, что гипербола не ограничена сверху и не ограничена снизу.

Исследуем функцию на бесконечности: , то есть, если мы начнем уходить по оси влево (или вправо) на бесконечность, то «игреки» стройным шагом будут бесконечно близко приближаться к нулю, и, соответственно, ветви гиперболы бесконечно близко приближаться к оси .

Таким образом, ось является горизонтальной асимптотой для графика функции , если «икс» стремится к плюс или минус бесконечности.

Функция является нечётной, а, значит, гипербола симметрична относительно начала координат. Данный факт очевиден из чертежа, кроме того, легко проверяется аналитически: .

График функции вида ( ) представляет собой две ветви гиперболы.

Если , то гипербола расположена в первой и третьей координатных четвертях (см. рисунок выше).

Если , то гипербола расположена во второй и четвертой координатных четвертях.

Указанную закономерность места жительства гиперболы нетрудно проанализировать с точки зрения геометрических преобразований графиков.

Построить правую ветвь гиперболы

Используем поточечный метод построения, при этом, значения выгодно подбирать так, чтобы делилось нацело:

Не составит труда построить и левую ветвь гиперболы, здесь как раз поможет нечетность функции. Грубо говоря, в таблице поточечного построения мысленно добавляем к каждому числу минус, ставим соответствующие точки и прочерчиваем вторую ветвь.

Детальную геометрическую информацию о рассмотренной линии можно найти в статье Гипербола и парабола.

График показательной функции

В данном параграфе я сразу рассмотрю экспоненциальную функцию , поскольку в задачах высшей математики в 95% случаев встречается именно экспонента.

Напоминаю, что – это иррациональное число: , это потребуется при построении графика, который, собственно, я без церемоний и построю. Трёх точек, пожалуй, хватит:

График функции пока оставим в покое, о нём позже.

Основные свойства функции :

Область значений: . Обратите внимание, что ноль не включается в область значений. Экспонента – функция положительная, то есть для любого «икс» справедливо неравенство , а сам график экспоненты полностью расположен в верхней полуплоскости.

Функция не ограничена сверху: , то есть, если мы начнем уходить по оси вправо на плюс бесконечность, то соответствующие значения «игрек» стройным шагом будут тоже уходить вверх на по оси . Кстати, график экспоненциальной функции будет «взмывать» вверх на бесконечность очень быстро и круто, уже при

Исследуем поведение функции на минус бесконечности: . Таким образом, ось является горизонтальной асимптотой для графика функции , если

Принципиально такой же вид имеет любая показательная функция , если . Функции , , будут отличаться только крутизной наклона графика, причем, чем больше основание, тем круче будет график.

Обратите внимание, что во всех случаях графики проходят через точку , то есть . Это значение должен знать даже «двоечник».

Теперь рассмотрим случай, когда основание . Снова пример с экспонентой – на чертеже соответствующий график прочерчен малиновым цветом? Что произошло? Ничего особенного – та же самая экспонента, только она «развернулась в другую сторону». Об этой метаморфозе можно получить подробную информацию в статье Построение графиков с помощью геометрических преобразований.

Принципиально так же выглядят графики функций , и т. д.

Должен сказать, что второй случай встречается на практике реже, но он встречается, поэтому я счел нужным включить его в данную статью.

График логарифмической функции

Рассмотрим функцию с натуральным логарифмом .
Выполним поточечный чертеж:

Если позабылось, что такое логарифм, пожалуйста, обратитесь к школьным учебникам.

Основные свойства функции :

Функция не ограничена сверху: , пусть и медленно, но ветка логарифма уходит вверх на бесконечность.
Исследуем поведение функции вблизи нуля справа: . Таким образом, ось является вертикальной асимптотой для графика функции при «икс» стремящемся к нулю справа.

Обязательно нужно знать и помнить типовое значение логарифма: .

Принципиально так же выглядит график логарифма при основании : , , (десятичный логарифм по основанию 10) и т.д. При этом, чем больше основание, тем более пологим будет график.

Случай рассматривать не будем, что-то я не припомню, когда последний раз строил график с таким основанием. Да и логарифм вроде в задачах высшей математики ооочень редкий гость.

В заключение параграфа скажу еще об одном факте: Экспоненциальная функция и логарифмическая функция – это две взаимно обратные функции. Если присмотреться к графику логарифма, то можно увидеть, что это – та же самая экспонента, просто она расположена немного по-другому.

Графики тригонометрических функций

С чего начинаются тригонометрические мучения в школе? Правильно. С синуса

Построим график функции

Данная линия называется синусоидой.

Напоминаю, что «пи» – это иррациональное число: , и в тригонометрии от него в глазах рябит.

Основные свойства функции :

Данная функция является периодической с периодом . Что это значит? Посмотрим на отрезок . Слева и справа от него бесконечно повторяется точно такой же кусок графика.

Область определения: , то есть для любого значения «икс» существует значение синуса.

Область значений: . Функция является ограниченной: , то есть, все «игреки» сидят строго в отрезке .
Такого не бывает: или , точнее говоря, бывает, но указанные уравнения не имеют решения.

Синус – это функция нечетная, синусоида симметричная относительно начала координат, и справедлив следующий факт: . Таким образом, если в вычислениях встретится, например, , то минус терять здесь ни в коем случае нельзя! Он выносится:

Как ведет себя синус на бесконечности? Попробуем провести исследование с помощью пределов:
, Чему равны такие пределы? Запомните, данных пределов не существует. По вполне понятным причинам, график синуса болтается как как неприкаянный, то дойдет единицы, то уйдет к минус единице и так до бесконечности.

Вот вам пример, когда предела не существует. В высшей математике это можно встретить не очень часто, но такое понятие, как «предела не существует» – существует!

В практических вычислениях желательно (и даже обязательно) знать и помнить следующие значения синуса: , , . Другие значения синуса (а также остальных тригонометрических функций) можно найти в методическом материале Тригонометрические таблицы.

График косинуса

Построим график функции

График косинуса – это та же самая синусоида, сдвинутая вдоль оси на влево
(см. также Пример 8 урока о геометрических преобразованиях графиков).

Поэтому почти все свойства синуса справедливы и для косинуса. За некоторым, но существенным исключением.

Косинус – это функция четная, ее график симметричен относительно оси , и справедлив следующий факт: . То есть, минус перед аргументом косинуса можно безболезненно убирать (или наоборот, ставить). В отличие от синуса в косинусе минус «бесследно пропадает».

Для решения практических задач нужно знать и помнить следующие значения косинуса: , , .

Графики тангенса и котангенса

Построим график функции

Основные свойства функции :

Данная функция является периодической с периодом . То есть, достаточно рассмотреть отрезок , слева и справа от него ситуация будет бесконечно повторяться.

Область определения: – все действительные числа, кроме … , , , … и т. д. или коротко: , где – любое целое число. Множество целых чисел (… -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, …) в высшей математике обозначают жирной буквой Z.

Область значений: . Функция не ограничена. В этом легко убедиться и аналитически:
– если мы приближаемся по оси к значению справа, то ветка тангенса уходит на минус бесконечность, бесконечно близко приближаясь к своей асимптоте .
– если мы приближаемся по оси к значению слева, то «игреки» шагают вверх на плюс бесконечность, а ветка тангенса бесконечно близко приближается к асимптоте .

Тангенс – функция нечетная, как и в случае с синусом, минус из-под тангенса не теряется, а выносится: .

В практических вычислениях полезно помнить следующие значения тангенса: , , , а также те точки, в которых тангенса не существует (см. график).

График котангенса – это почти тот же самый тангенс, функции связаны тригонометрическим соотношением . Вот его график:

Свойства попробуйте сформулировать самостоятельно, они практически такие же, как и у тангенса.

Графики обратных тригонометрических функций

Построим график арксинуса

Перечислим основные свойства функции :

Область определения: , не существует значений вроде или

Область значений: , то есть, функция ограничена.

Арксинус – функция нечетная, здесь минус опять же выносится: .

В практических вычислениях полезно помнить следующие значения арксинуса: , , . Другие распространенные значения арксинуса (а также других «арков») можно найти с помощью таблицы значений обратных тригонометрических функций.

Построим график арккосинуса

Очень похоже на арксинус, свойства функции сформулируйте самостоятельно. Остановлюсь на единственном моменте. В данной статье очень много разговоров шло о четности и нечетности функций, и, возможно, у некоторых сложилось впечатление, что функция обязательно должна быть четной или нечетной. В общем случае, это, конечно, не так. Чаще всего, функция, которая вам встретится на практике – «никакая». В частности, арккосинус не является четной или нечетной функцией, он как раз «никакой».

Построим график арктангенса

Всего лишь перевернутая ветка тангенса.
Перечислим основные свойства функции :

Область значений: , то есть, функция ограничена.
У рассматриваемой функции есть две асимптоты: , .

Арктангенс – функция нечетная: .

Самые «популярные» значения арктангенса, которые встречаются на практике, следующие: , .

К графику арккотангенса приходится обращаться значительно реже, но, тем не менее, вот его чертеж:

Свойства арккотангенса вы вполне сможете сформулировать самостоятельно. Отмечу, что арккотангенс, как и арккосинус, не является четной или нечетной функцией.

Пожалуй, для начала хватит. К этой странице придется частенько обращаться в ходе изучения самых различных разделов курса высшей математики.

Ну что, смертнички, полетаем? =)

Тогда надеваем парашюты и готовимся к преобразованиям графиков.

Стандартные математические функции в языке Си

Пожалуйста, приостановите работу AdBlock на этом сайте.

Математические вычисления не ограничиваются лишь арифметическими действиями. Кроме них, можно ещё встретить корни, модули, логарифмы, тригонометрические функции и пр. Научимся же использовать подобные функции в своих программах.

Для использования математических функций нужно подключить заголовочный файл math.h . В ней определено много различных функций, но мы пока рассмотрим следующие:

Некоторые математические функции

fabs(x) модуль числа x
sqrt(x) квадратный корень из числа x
sin(x) синус числа x (х в радианах)
cos(x) косинус числа x (х в радианах)
pow(x, y) вычисление x y
exp(x) вычисление e x
log(x) натуральный логарифм числа x
log10(x) десятичный логарифм числа x

Два важных момента.

  • Все функции возвращают значение типа double .
  • Параметры функций – вещественные числа( double ), но можно передавать и целые числа. При этом произойдёт неявное преобразование типа . Компилятор из целого числа, например 3, сделает вещественное 3.0.

Примеры.
Даны длины катетов прямоугольного треугольника. Вычислить длину гипотенузы. Простая задачка на знание теоремы Пифагора.

Вычислить синус угла ввёденного с клавиатуры. Угол вводится в градусах.

В этой программе есть о чём поговорить. Тригонометрические функции, которые определены в math.h работают с радианной мерой угла. Людям же привычнее работать с градусами. Поэтому в данной программе мы предварительно перевели значение из градусов в радианы. Если этого не сделать, результат получится неправильным. Проверьте это самостоятельно.

Неявное преобразование типов

При явном преобразовании типа мы в скобках перед значением указывали тип, к которому нужно привести данное значение. В неявном преобразовании этого делать не нужно. Компилятор автоматически подберёт необходимый тип.

Неявное преобразование типов осуществляется в следующих случаях:

  1. перед передачей аргументов в функцию (как в нашем примере с корнем. Листинг 1.)
  2. выполнение арифметических операций с разными типами аргументов
  3. перед выполнением присваивания

Правила неявного преобразования типов

  • если выполняются арифметические операции с разными типами аргументов. Оба аргумента приводятся к большему типу.
    Порядок типов: int float double
  • при присваивании. Значение справа от оператора присваивания приводится к типу переменной слева от оператора присваивания. При этом, если больший тип присваивается меньшему, то может произойти потеря точности.

int+float будет автоматически преобразовано к float+float
float/int будет автоматически преобразовано к float/float
double*float будет преобразовано к double*double
int = double double будет преобразовано к int с потерей дробной части
float = int int будет преобразовано к float

Практика

Решите предложенные задачи:

Для удобства работы сразу переходите в полноэкранный режим

Определение функции

Определение функции

Функцией y = f ( x ) называется закон (правило, отображение), согласно которому, каждому элементу x множества X ставится в соответствие один и только один элемент y множества Y .

Множество X называется областью определения функции.
Множество элементов y ∈ Y , которые имеют прообразы во множестве X , называется множеством значений функции (или областью значений).

Область определения функции иногда называют множеством определения или множеством задания функции.

Элемент x ∈ X называют аргументом функции или независимой переменной.
Элемент y ∈ Y называют значением функции или зависимой переменной.

Само отображение f называется характеристикой функции.

Характеристика f обладает тем свойством, что если два элемента и из множества определения имеют равные значения: , то .

Символ, обозначающий характеристику, может совпадать с символом элемента значения функции. То есть можно записать так: . При этом стоит помнить, что y – это элемент из множества значений функции, а – это правило, по которому для элемента x ставится в соответствие элемент y .

Сам процесс вычисления функции состоит из трех шагов. На первом шаге мы выбираем элемент x из множества X . Далее, с помощью правила , элементу x ставится в соответствие элемент множества Y . На третьем шаге этот элемент присваивается переменной y .

Частным значением функции называют значение функции при выбранном (частном) значении ее аргумента.

Графиком функции f называется множество пар .

Сложные функции

Определение
Пусть заданы функции и . Причем область определения функции f содержит множество значений функции g . Тогда каждому элементу t из области определения функции g соответствует элемент x , а этому x соответствует y . Такое соответствие называют сложной функцией: .

Сложную функцию также называют композицией или суперпозицией функций и иногда обозначают так: .

В математическом анализе принято считать, что если характеристика функции обозначена одной буквой или символом, то она задает одно и то же соответствие. Однако, в других дисциплинах, встречается и другой способ обозначений, согласно которому отображения с одной характеристикой, но разными аргументами, считаются различными. То есть отображения и считаются различными. Приведем пример из физики. Допустим мы рассматриваем зависимость импульса от координаты . И пусть мы имеем зависимость координаты от времени . Тогда зависимость импульса от времени является сложной функцией . Но ее, для краткости, обозначают так: . При таком подходе и – это различные функции. При одинаковых значениях аргументов они могут давать различные значения. В математике такое обозначение не принято. Если требуется сокращение, то следует ввести новую характеристику. Например . Тогда явно видно, что и – это разные функции.

Действительные функции

Область определения функции и множество ее значений могут быть любыми множествами.
Например, числовые последовательности – это функции, областью определения которых является множество натуральных чисел, а множеством значений – вещественные или комплексные числа.
Векторное произведение тоже функция, поскольку для двух векторов и имеется только одно значение вектора . Здесь областью определения является множество всех возможных пар векторов . Множеством значений является множество всех векторов.
Логическое выражение является функцией. Ее область определения – это множество действительных чисел (или любое множество, в котором определена операция сравнения с элементом “0”). Множество значений состоит из двух элементов – “истина” и “ложь”.

В математическом анализе большую роль играют числовые функции.

Числовая функция – это функция, значениями которой являются действительные или комплексные числа.

Действительная или вещественная функция – это функция, значениями которой являются действительные числа.

Максимум и минимум

Действительные числа имеют операцию сравнения. Поэтому множество значений действительной функции может быть ограниченным и иметь наибольшее и наименьшее значения.

Действительная функция называется ограниченной сверху (снизу), если существует такое число M , что для всех выполняется неравенство:
.

Числовая функция называется ограниченной, если существует такое число M , что для всех :
.

Максимумом M (минимумом m ) функции f , на некотором множестве X называют значение функции при некотором значении ее аргумента , при котором для всех ,
.

Верхней гранью или точной верхней границей действительной, ограниченной сверху функции называют наименьшее из чисел, ограничивающее область ее значений сверху. То есть это такое число s , для которого для всех и для любого , найдется такой аргумент , значение функции от которого превосходит s′ : .
Верхняя грань функции может обозначаться так:
.

Верхней гранью неограниченной сверху функции является бесконечно удаленная точка .

Нижней гранью или точной нижней границей действительной, ограниченной снизу функции называют наибольшее из чисел, ограничивающее область ее значений снизу. То есть это такое число i , для которого для всех и для любого , найдется такой аргумент , значение функции от которого меньше чем i′ : .
Нижняя грань функции может обозначаться так:
.

Нижней гранью неограниченной снизу функции является бесконечно удаленная точка .

Таким образом, любая действительная функция, на не пустом множестве X , имеет верхнюю и нижнюю грани. Но не всякая функция имеет максимум и минимум.

В качестве примера рассмотрим функцию , заданную на открытом интервале .
Она ограничена, на этом интервале, сверху значением 1 и снизу – значением 0 :
для всех .
Эта функция имеет верхнюю и нижнюю грани:
.
Но она не имеет максимума и минимума.

Если мы рассмотрим туже функцию на отрезке , то она на этом множестве ограничена сверху и снизу, имеет верхнюю и нижнюю грани и имеет максимум и минимум:
для всех ;
;
.

Монотонные функции

Определения возрастающей и убывающей функций
Пусть функция определена на некотором множестве действительных чисел X . Функция называется строго возрастающей (строго убывающей), если для всех таких что выполняется неравенство:
.
Функция называется неубывающей (невозрастающей), если для всех таких что выполняется неравенство:
.


Определение монотонной функции
Функция называется монотонной, если она неубывающая или невозрастающая.

Многозначные функции

Как следует из определения функции, каждому элементу x из области определения, ставится в соответствие только один элемент из множества значений. Но существуют такие отображения, в которых элемент x имеет несколько или бесконечное число образов.

В качестве примера рассмотрим функцию арксинус: . Она является обратной к функции синус и определяется из уравнения:
(1) .
При заданном значении независимой переменной x , принадлежащему интервалу , этому уравнению удовлетворяет бесконечно много значений y (см. рисунок).

Наложим на решения уравнения (1) ограничение. Пусть
(2) .
При таком условии, заданному значению , соответствует только одно решение уравнения (1). То есть соответствие, определяемое уравнением (1) при условии (2) является функцией.

Вместо условия (2) можно наложить любое другое условие вида:
(2.n) ,
где n – целое. В результате, для каждого значения n , мы получим свою функцию, отличную от других. Множество подобных функций является многозначной функцией. А функция, определяемая из (1) при условии (2.n) является ветвью многозначной функции.

Многозначная функция – это совокупность функций, определенных на некотором множестве.

Ветвь многозначной функции – это одна из функций, входящих в многозначную функцию.

Однозначная функция – это функция.

Использованная литература:
О.И. Бесов. Лекции по математическому анализу. Часть 1. Москва, 2004.
Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 2003.
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 10-04-2020 Изменено: 08-10-2020

Математические функции

Термин «функция» (в некотором более узком смысле) был впервые использован Лейбницем (1692 год). В свою очередь, Иоганн Бернулли в письме к тому же Лейбницу употребил этот термин в смысле, более близком к современному [1] .

Первоначально, понятие функции было неотличимо от понятия аналитического представления. Впоследствии появилось определение функции, данное Эйлером (1751 год), затем — у Лакруа (1806 год) — уже практически в современном виде. Наконец, общее определение функции (в современной форме, но для числовых функций) было дано Лобачевским (1834 год) и Дирихле (1837 год) [2] .

К концу XIX века понятие функции переросло рамки числовых систем. Первыми это сделали векторные функции, вскоре Фреге ввёл логические функции (1879), а после появления теории множеств Дедекинд (1887) и Пеано (1911) сформулировали современное универсальное определение.

Определения

Наиболее строгим определением функции является теоретико-множественное определение (на основе понятия бинарного отношения). Часто вместо определения функции даётся её интуитивное описание; то есть понятие функции переводится на обычный язык, используя слова «закон», «правило» или «соответствие».

Интуитивное описание

Функция (отображение, операция, оператор) — это закон или правило, согласно которому каждому [3] элементу из множества ставится в соответствие единственный элемент из множества [4] .

При этом говорят, что функция задана на множестве , или что отображает в .

Если элементу сопоставлен элемент , то говорят, что элемент находится в функциональной зависимости от элемента . При этом переменная называется аргументом функции или независимой переменной, множество называется областью задания или областью определения функции, а элемент , соответствующий конкретному элементу — частным значением функции в точке . Множество всех возможных частных значений функции называется её областью значений или областью изменения.

Теоретико-множественное определение

В теоретической математике функцию удобно определить как бинарное отношение (то есть множество упорядоченных пар ), которое удовлетворяет следующему условию: для любого [3] существует единственный элемент такой, что .

Это и позволяет говорить о том, что элементу сопоставлен один и только один элемент такой, что .

Таким образом, функция — это упорядоченная тройка (или кортеж) объектов , где

  • множество называется о́бластью определе́ния;
  • множество называется о́бластью значе́ний;
  • множество упорядоченных пар или, что то же самое, график функции.

Обозначения

Если задана функция , которая определена на множестве и принимает значения в множестве , то есть, функция отображает множество в , то

  • этот факт коротко записывают в виде или .
  • область определения функции (множество ) обозначается , или ;
  • область значений функции (множество ) обозначается ( ), или ( ).

Наличие функциональной зависимости между элементом и элементом

  • наиболее часто обозначается как , или ;
  • реже используется обозначение без скобок , или ,
  • а там, где необходимо подчеркнуть двойственность, используются обозначения со скобками: или ;
  • так же существует и операторное обозначение , которое можно встретить в общей алгебре.
  • в лямбда-исчислении Чёрча.

Функции нескольких аргументов

Определение функции легко обобщить на случай функции многих аргументов.

Если множество представляет собой декартово произведение множеств , тогда отображение оказывается -местным отображением, при этом элементы упорядоченного набора называются аргументами (данной -местной функции), каждый из которых пробегает своё множество:

В этом случае означает, что .

Способы задания функции

Аналитический способ

Функция, как математический объект, представляет собой бинарное отношение, удовлетворяющее определенным условиям. Функцию можно задать непосредственно как множество упорядоченных пар, например: есть функция . Однако, этот способ совершенно непригоден для функций на бесконечных множествах (каковыми являются привычные вещественные функции: степенная, линейная, показательная, логарифмическая и т. п.).

Для задания функции пользуются выражением: . При этом, есть переменная, пробегающая область определения функции, а — область значений. Эта запись говорит о наличии функциональной зависимости между элементами множеств. х и y могут пробегать любые множества объектов любой природы. Это могут быть числа, векторы, матрицы, яблоки, цвета радуги. Поясним на примере:

Пусть имеется множество яблоко, самолет, груша, стул и множество человек, паровоз, квадрат . Зададим функцию f следующим образом: (яблоко, человек), (самолет, паровоз), (груша, квадрат), (стул, человек) . Если ввести переменную x, пробегающую множество и переменную y, пробегающую множество , указанную функцию можно задать аналитически, как: .

Аналогично можно задавать числовые функции. Например: , где х пробегает множество вещественных чисел, задает некоторую функцию f. Важно понимать, что само выражение не является функцией. Функция, как объект, представляет собой множество (упорядоченных пар). А данное выражение, как объект, есть равенство двух переменных. Оно задает функцию, но не является ею.

Однако, во многих разделах математики, можно обозначать через f(x) как саму функцию, так и аналитическое выражение, ее задающее. Это синтаксическое соглашение является крайне удобным и оправданным.

Графический способ

Числовые функции можно также задавать с помощью графика. Пусть — вещественная функция n переменных.

Рассмотрим некоторое (n+1)-мерное линейное пространство над полем вещественных чисел (так как функция вещественная). Выберем в этом пространстве любой базис ( ). Каждой точке функции сопоставим вектор: . Таким образом, мы будем иметь множество векторов линейного пространства, соответствующих точкам данной функции по указанному правилу. Точки соответствующего аффинного пространства будут образовывать некоторую поверхность.

Если в качестве линейного пространства взять евклидово пространство свободных геометрических векторов (направленных отрезков), а число аргументов функции f не превосходит 2, указанное множество точек можно изобразить наглядно в виде чертежа (графика). Если сверх того исходный базис взять ортонормированным, получим «школьное» определение графика функции.

Для функций 3 аргументов и более такое представление не применимо ввиду отсутствия у человека геометрической интуиции многомерных пространств.

Однако, и для таких функций можно придумать наглядное полугеометрическое представление (например каждому значению четвертой координаты точки сопоставить некоторый цвет на графике).

Связанные определения

Сужение и продолжение функции

Пусть дано отображение и .

Отображение , которое принимает на те же значения, что и функция , называется суже́нием (или, иначе ограничением) функции на множество .

Сужение функции на множество обозначается как .

Если функция такова, что она является сужением для некоторой функции , то функция , в свою очередь, называется продолжением функции на множество .

Образ и прообраз (при отображении)

Элемент , который сопоставлен элементу , называется образом элемента (точки) (при отображении ).

Если взять целое подмножество области определения функции , то можно рассмотреть совокупность образов всех элементов множества , а именно подмножество области значений (функции ) вида

которое, называется образом множества (при отображении ). Это множество иногда обозначается как или .

Наоборот, взяв некоторое подмножество области значений функции , можно рассмотреть совокупность тех элементов области определения (функции ), чьи образы попадают в множество , а именно — множество вида

которое называется (полным) прообразом множества (при отображении ).

В том частном случае, когда множество состоит из одного элемента, скажем, , множество имеет более простое обозначение .

Тождественное отображение

Отображения, у которых совпадают область определения и область значений, называются отображениями заданного множества в себя или преобразованиями.

В частности, преобразование , которое сопоставляет каждой точке множества её саму или, что тоже самое,

Это отображение имеет специальное обозначение: или, проще, (если из контекста понятно, какое множество имеется в виду). Такое обозначение обязано своим происхождением англ. слову identity («идентичность, тождественность»).

Другое обозначение тождественного преобразования — . Такое отображение является унарной операцией, заданной на множестве . Поэтому, нередко, тождественное преобразование называют единичным.

Композиция отображений

Пусть и — два заданных отображения таких, что область значений первого отображения является подмножеством области определения второго отображения. Тогда для всякого однозначно определяется элемент такой, что , но для этого самого однозначно определяется элемент такой, что . То есть, для всякого однозначно определяется элемент такой, что . Другими словами, определено отображение такое, что

Это отображение называется композицией отображений и и обозначается

  • либо или ,
  • либо (именно в таком порядке!), что является наиболее употребительным.

Обратное отображение

Если отображение является взаимно однозначным или биективным (см. ниже), то определено отображение , у которого

  • область определения (множество ) совпадает с областью значений отображения ;
  • область значений (множество ) совпадает с областью определения отображения ;
  • тогда и только тогда, когда .

Такое отображение называется обратным по отношению к отображению .

Отображение, у которого определено обратное, называется обратимым.

В терминах композиции функции, свойство обратимости заключается в одновременном выполнении двух условий: и .

Свойства

Пусть задана функция , где и — данные множества, причём . Каждая такая функция может обладать некоторыми свойствами, описание которых приведено ниже.

Образ и прообраз при отображении

Взятие образа

Положим, и — подмножества области определения. Взятие образа (или, что то же самое, применение оператора ) обладает следующими свойствами:

  • образ объединения равен объединению образов: ;
  • образ пересечения является подмножеством пересечения образов .

Последние два свойства, вообще говоря, допускают обобщение на любое количество множеств, большее двух (как оно здесь сформулировано).

Взятие прообраза

Положим, и — подмножества множества .

По аналогии с взятием образа, взятие прообраза (переход к прообразу) обладает также следующими двумя очевидными свойствами:

  • прообраз объединения равен объединению прообразов: ;
  • прообраз пересечения равен пересечению прообразов .

Данные свойства, также, допускают обобщение на любое количество множеств, большее двух (как оно здесь сформулировано).

В случае, если отображение обратимо (см. ниже), прообраз каждой точки области значений одноточечный, поэтому для обратимых отображений выполняется следующее усиленное свойство для пересечений:

  • образ пересечения равен пересечению образов: .

Поведение функций

Сюръективность

Функция называется сюръективной (или, коротко, сюръекция), если каждому элементу множества прибытия может быть сопоставлен хотя бы один элемент области определения. Другими словами, функция сюръективна, если образ множества при отображении совпадает с множеством : .

Такое отображение называется ещё отображением на.

Если условие сюръективности нарушается, то такое отображение называют отображением в.

Инъективность

Функция называется инъективной (или, коротко, инъекция), если разным элементам множества сопоставлены разные элементы множества . Более формально, функция инъективна, если для любых двух элементов таких, что , непременно выполняется .

Другими словами, сюръекция — это когда «у каждого образа есть прообраз», а инъекция — это когда «разные — в разные». То есть при инъекции не бывает так, чтобы два или больше разных элементов отображались в один и тот же элемент . А при сюръекции не бывает так, чтобы какой-то элемент не имел прообраза.

Биективность

Если функция является и сюръективной, и инъективной, то такую функцию называют биективной или взаимно однозначной.

Возрастание и убывание

Пусть дана функция Тогда

  • функция называется возраста́ющей на , если

y \Rightarrow f(x) \ge f(y);» border=»0″ />

  • функция называется стро́го возраста́ющей на , если

y \Rightarrow f(x) > f(y);» border=»0″ />

  • функция называется убыва́ющей на , если

y \Rightarrow f(x) \le f(y);» border=»0″ />

  • функция называется стро́го убыва́ющей на , если

y \Rightarrow f(x)

(Строго) возрастающая или убывающая функция называется (строго) монотонной.

Периодичность

Функция называется периодической с пери́одом , если справедливо

Если это равенство не выполнено ни для какого , то функция называется апериоди́ческой.

Чётность

  • Функция называется нечётной, если справедливо равенство
  • Функция называется чётной, если справедливо равенство

Экстремумы функции

Пусть дана функция и — внутренняя точка области определения Тогда

  • называется точкой абсолютного (глобального) максимума, если
  • называется точкой абсолютного минимума, если

Примеры

В зависимости от того, какова природа области определения и области значений, различают случаи, когда эти области — это:

  • абстрактные множества — множества, без какой-либо дополнительной структуры;
  • множества, которые наделены некоторой структурой.

В первом случае рассматриваются отображения в самом общем виде и решаются наиболее общие вопросы. Таким общим вопросом, например, является вопрос о сравнении множеств по мощности: если между двумя множествами существует взаимно однозначное отображение (биекция), то два данных множества называют эквивалентными или равномощными. Это позволяет провести классификацию множеств в виде единой шкалы, начальный фрагмент выглядит следующим образом:

  • конечные множества — здесь мощность множества совпадает с количеством элементов;
  • счётные множества — множества эквивалентные множеству натуральных чисел;
  • множества мощности континуума (например, отрезок действительной прямой или сама действительная прямая).

В соответствии с этим, имеет смысл рассматривать следующие примеры отображений:

  • конечные функции — отображения конечных множеств;
  • последовательности — отображение счётного множества в произвольное множество;
  • континуальные функции — отображения несчётных множеств в конечные, счётные или несчётные множества.

Во втором случае, основной объект рассмотрения — заданная на множестве структура и то, что происходит с этой структурой при отображении: если существует взаимно однозначное отображение одной структуры в другую, что при отображении сохраняются свойства заданной структуры, то говорят, что между двумя структурами установлен изоморфизм. Таким образом, изоморфные структуры, заданные в различных множествах, невозможно различить, поэтому в математике принято говорить, что данная структура рассматривается «с точностью до изоморфизма».

Существует великое разнообразие структур, которые могут быть заданы на множествах. Сюда относится:

  • структура порядка — частичный или линейный порядок.
  • алгебраическая структура — группоид, полугруппа, группа, кольцо, тело, область целостности или поле.
  • структура метрического пространства — здесь задаётся функция расстояния;
  • структура евклидового пространства — здесь задаётся скалярное произведение;
  • структура топологического пространства — здесь задаётся совокупность т. н. «открытых множеств»;
  • структура измеримого пространства — здесь задаётся сигма-алгебра подмножеств исходного множества (например, посредством задания меры с данной сигма-алгеброй в качестве области определения)

Природа множеств определяет и свойства соответствующих функций, поскольку эти свойства формулируются в терминах заданных на множествах структурах. Например, свойство непрерывности, требует задания топологической структуры.

Вариации и обобщения

Частично определённые функции

Частично определённая функция из множества в множество есть функция с областью определения .

Некоторые авторы понимают под функцией, частично определённую функцию. Это имеет свои преимущества, например возможна запись , где в этом случае .

Многозначные функции

В силу определения функции, заданному значению аргумента соответствует ровно одно значение функции. Несмотря на это, нередко можно услышать про т. н. «многозначные» функции. В действительности, это не более чем удобное обозначение функции, область значений которой сама является семейством множеств.

Пусть , где — семейство подмножеств множества . Тогда будет множеством для всякого .

Функция однозначна, если каждому значению аргумента соответствует единственное значение функции. Функция многозначна, если хотя бы одному значению аргумента соответствует два или более значений функции [5] .

См. также

Примечания

  1. В. А. Зорич Глава I. Некоторые общематематические понятия и обозначения. § 3. Фунция // Математический анализ, часть I. — М .: Наука, 1981. — С. 31. — 544 с.
  2. Г. Е. Шилов Глава 2. Элементы теории множеств. § 2.8. Общее понятие функции. График // Математический анализ (функции одного переменного). — М .: Наука, 1969. — С. 69. — 528 с.
  3. 12 Иногда функция определяется без этого условия. Например говорят, что есть функция из хотя значение не определено при
  4. В. А. Ильин , В. А. Садовничий , Бл. Х. Сендов . Глава 3. Теория пределов // Математический анализ / Под ред. А. Н. Тихонова . — 3-е изд. , перераб. и доп. — М .: Проспект, 2006. — Т. 1. — С. 105—121. — 672 с. — ISBN 5-482-00445-7
  5. Г. Корн, Т. Корн. Справочник по математике. Для научных работников и инженеров. М., 1973 г. Глава 4. Функции и пределы, дифференциальное и интегральное исчисление. 4.2. Функции. 4.2-2. Функции со специальными свойствами. (а), стр.99.

Литература

  • Функция. Математический энциклопедический словарь. — Гл. ред. Ю. В. Прохоров. — М.: «Большая российская энциклопедия», 1995.
  • Клейн Ф.Общее понятие функции. В кн.: Элементарная математика с точки зрения высшей. Т. 1. М.—Л., 1933.
  • ISBN 5-02-014844-X
  • А. Н. Колмогоров , С. В. Фомин . Глава 1. Элементы теории множеств // Элементы теории функций и функционального анализа. — 3-е изд . — М .: Наука, 1972. — С. 14—18. — 256 с.
  • А. Н. Колмогоров.«Что такое функция» // «Квант». — М .: «Наука», 1970. — В. 1. — С. 27—36. — ISSN0130-2221.

Ссылки

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое «Функция (математика)» в других словарях:

Функция (программирование) — У этого термина существуют и другие значения, см. функция. Функция в программировании это поименованная часть программы, которая может вызываться из других частей программы столько раз, сколько необходимо. Функция, в отличие от… … Википедия


Функция — В Викисловаре есть статья «функция» Функция многозначный термин, который означает такое отношение между элементами, в котором изменение в одном влечет измен … Википедия

Функция (информатика) — Функция в программировании один из видов подпрограммы. Особенность, отличающая её от другого вида подпрограмм процедуры, состоит в том, что функция возвращает значение, а её вызов может использоваться в программе как выражение. С точки зрения… … Википедия

МАТЕМАТИКА — наука, или группа наук, о познаваемых разумом многообразиях и структурах, специально – о математических множествах и величинах; напр., элементарная математика – наука о числовых величинах (арифметика) и величинах пространственных (геометрия) и о… … Философская энциклопедия

ФУНКЦИЯ — (лат. functio – исполнение) обязанность, круг деятельности. «Функция – это существование, мыслимое нами в действии» (Гёте). Наука о функциях органов живых существ – физиология; специальная наука о функциях нервной системы – физиология органов… … Философская энциклопедия

Функция Аккермана — Функция Аккермана простой пример вычислимой функции, которая не является примитивно рекурсивной. Она принимает два неотрицательных целых числа в качестве параметров и возвращает натуральное число, обозначается . Эта функция растёт очень… … Википедия

Функция Мёбиуса — мультипликативная арифметическая функция, применяемая в теории чисел и комбинаторике, названа в честь немецкого математика Мёбиуса, который впервые рассмотрел её в 1831 году. Содержание 1 Определение … Википедия

Функция Мебиуса — Функция Мёбиуса μ(n) мультипликативная арифметическая функция, применяемая в теории чисел и комбинаторике, названа в честь немецкого математика Мёбиуса, который впервые рассмотрел её в 1831 г. Содержание 1 Определение 2 Свойства и приложения … Википедия

Функция (математ.) — Функция, одно из основных понятий математики, выражающее зависимость одних переменных величин от других. Если величины x и у связаны так, что каждому значению x соответствует определённое значение у, то у называют (однозначной) функцией аргумента … Большая советская энциклопедия

Математика Древнего Востока — История науки По тематике Математика Естественные науки … Википедия

Основные математические функции (стандартные функции)

В этом разделе приведены основные математические функции, встроенные в системную библиотеку Турбо Паскаль. Стандартные функции служат для выполнения элементарных математических расчетов, часто требуемых при написании программ. Разработчики Паскаля стремились сделать его программное ядро максимально компактным, поэтому в него не вошел ряд функций, обычно имеющихся в других языках, таких, как вычисление максимума и минимума, возведение числа в произвольную степень и др. Физически коды стандартных функций хранятся в стандартной библиотеке Паскаля – файле с именем TURBO.TPL. Все функции оформляются одинаково: после имени функции следует ее аргумент, заключенный в круглые скобки. Если аргументов несколько, они разделяются запятыми. Информацию об основных стандартных функциях удобно представить в виде таблицы:

Математическая запись Запись на языке Турбо Паскаль Пояснение Тип аргумента и результата функции
|x| abs(x) модуль аргумента x Integer или Real
x 2 sqr(x) квадрат аргумента x аргумент – I или R, результат – R
sin x cos x arctg x sin(x) cos(x) arctan(x) Остальные тригонометрические функции выражаются через эти аргумент – I или R, результат – R
e x ln x exp(x) ln(x) экспонента и натуральный логарифм аргумент — I или R, результат – R
sqrt(x) квадратный корень от аргумента x аргумент — I или R, результат – R
p pi функция без аргументов, вернет число p R
trunc(x) функция отбрасывает дробную часть аргумента, аргумент не округляется аргумент R, результат L
frac(x) функция выделяет дробную часть своего аргумента R
round (x) округление вещественного числа до ближайшего целого аргумент R, результат L
Int(X) возвращает число, равное целой части числа аргумента. R
Random(X) Возвращает случайное целое число в диапазоне 0..X. Если аргумент опущен (Random), то возвращается случайное вещественное число от 0 до 1. результат I, если аргумент I; результат R, если аргумент опущен
Inc(X,Y) Увеличивает значение числа X на Y. Если число Y не указано, то увеличение происходит на 1. I
Dec(X,Y) Уменьшает значение числа X на Y. Если число Y не указано, то уменьшение происходит на 1. I

Здесь x обозначает любую подходящую по типу переменную, либо результат вычисления выражения соответствующего типа (см. ниже), либо соответствующий по типу результат, вычисленный другой стандартной функцией. Функция pi не имеет аргументов и возвращает число π.

Функции возведения в произвольную степень в Турбо Паскале нет. Используйте многократное умножение для возведения в целочисленную степень, либо функции Exp и Ln для возведения в вещественную степень.

Перед использованием Random в программах рекомендуется сначала инициализировать генератор псевдослучайных чисел процедурой Randomize. В противном случае при каждом запуске программы будет генерироваться одна и та же последовательность случайных чисел.

Пример. Вывод на экран 5 случайных чисел в диапазоне -10..10.

var i: integer;begin randomize; for i:=1 to 5 do writeln(random(21)-10);end.

Примеры

1) возвести x в пятую степень

x*x*x*x*x или sqr(x)*sqr(x)*x или sqr(sqr(x))*x, последнее показывает, что результаты одних функций могут быть аргументами других – это называют вложением функций. Разумеется, тип результата, возвращаемый вложенной функцией, должен быть подходящим для аргумента внешней функции.

2) возвести величину a в произвольную степень x

Так как в Паскале нет функции возведения в произвольную степень, воспользуемся формулой a x =e x * ln a

обратите внимание, что все скобки в выражении должны быть парными. Или:

3) вычислить sin 2 x => sqr(sin(x)).

Нельзя писать sin*x или sin x, после имени функции может следовать только аргумент в круглых скобках.

4) вычислить k=tg(t). Т.к. функции tg нет, пишем k:=sin(t)/cos(t);

При необходимости изменить обычное старшинство операций в записи выражения используются круглые скобки.

Правильная запись: y:=(a+b)/2; Неправильно y:=a+b/2, т.к. это означает .

6) В записи выражений нельзя пропускать знак *, как часто делается в математике.

b 2 -4ac -> sqr(b)-4*a*c

Тип выражения

Турбо Паскаль построен на основе строгого соблюдения концепции типов, в соответствии с которой все применяемые в языке операции определены только для операндов совместимых типов. Поэтому для всех операций оговариваются допустимые типы операндов и тип получаемого результата.

В программе данные одного типа могут преобразовываться в данные другого типа. Такое преобразование может быть явным и неявным.
При явном преобразовании типов используются вызовы специальных функций преобразования, аргументы которых принадлежат одному типу, а значение – другому. Например, это функции ORD, TRUNC, ROUND и т.д.
Неявное преобразование типов возможно в выражениях, составленных из вещественных и целочисленных переменных. Тип выражения в этом случае определяется старшим из типов входящих в него операндов (т.е. стандартных функций, переменных, констант).

Пример:

i+4*j целый тип выражения, можно записать результат в целую переменную.

f+i*0.5 вещественный, результат пишется в вещественную переменную.

Оператор x:= i+4*j будет синтаксически правильным, а x:= f+i*0.5 будет неверным. Среда разработчика при компиляции сообщит об ошибке несовместимости типов.

Операция деления / в Паскале всегда дает вещественное число. Для деления целых чисел с целым результатом (остаток отбрасывается) используйте div, для взятия остатка от деления двух целых – mod.

Тип переменной позволяет не только устанавливать длину её внутреннего представления, но и контролировать те действия, которые выполняются над ней в программе. Такой контроль осуществляется на этапе компиляции программы и это важное преимущество Турбо Паскаля перед другими языками.

Функция

Отображе́ние или фу́нкция ( лат. functio — «исполнение, осуществление») — одно из основных понятий математики, выражающее зависимость одной величины от другой.

Отображение функции.

Наиболее распространенная трактовка понятия функции состоит в его отождествлении с понятием отображения:

Определение. Пусть $ X $ и $ Y $ — два множества. Закон $ F $ , согласно которому каждому элементу $ x \in X $ поставлен в соответствие единственный элемент $ y \in Y $ , называется отображением множества $ X $ в множество $ Y $ или функцией, заданной на $ X $ со значениями в $ Y $ .

Отображения обозначают так:

  • $ F:\ X \to Y $ или $ X\to^ <\!\!\!\!\!\!\!F\,>Y $ для отображения $ F $ , множества $ X $ в множество $ Y $ .
  • $ y=F(x) $ или $ F:x \mapsto y $ или $ x \mapsto^ <\!\!\!\!\!\!\!F\,>y $ .
  • Множество $ X $ тогда называется о́бластью определе́ния отображения $ F $ (обозначается D(f) или D(x).).
  • Множество $ Y $ — о́бластью значе́ний отображения $ F $ .(обозначается E(f) или E(y).
  • Элемент $ x $ называют аргуме́нтом или незави́симой переме́нной,
  • Элемент $ y=F(x) $ — значе́нием или зави́симой переме́нной.

Функции считаются равными, если у них одинаковые области определения и значений и если они определяются одним правилом. Например, все три следующие функции различны:

  • $ F: \mathbb_+ \to \mathbb_+ $ , $ F(x)=x $
  • $ F: \mathbb $ $ \to \mathbb_+ $ , $ F(x)=|x| $
  • $ F: \mathbb $ $ \to \mathbb $ , $ F(x)=|x| $

При необходимости можно различать отображения в зависимости от природы множеств $ X $ и $ Y $ . Если $ X $ и $ Y $ — числовые множества, такие, как $ \mathbb $ или $ \mathbb $ , то отображение называют функцией. Если $ X $ или $ Y $ многомерны, например, $ \mathbb^n $ или $ \mathbb^n $ , то отображение называют ве́ктор-фу́нкцией. Если $ X $ — произвольной природы, а $ Y $ — поле, то отображение называют функциона́лом. В специальных случаях используют и другие термины: оператор, функтор, преобразование, морфизм и т. д.

Способы задания функции

Словесный

игрек равно целая часть от х. ( $

Аналитический

Графический

С помощью графика.

Таблицы

Функция задается таблицей значений. Например:

X 1 2 3
Y 1 8 27

Интуитивно можно догадаться, что y = x 3 .

Смежные понятия

Сужение функции.

Пусть дано отображение $ F:X \to Y $ , и $ M \subset X $ . Тогда суже́нием функции $ F $ на $ M $ называется функция $ \left.F\right\vert_ $ , определяемая равенством

$ \left.F\right\vert_(x) = F(x),\; \forall x\in M $ .

Это определение подчеркивает, что фиксация области определения является частью определения функции.

Образ множества

Пусть $ M \subset X $ . Тогда о́бразом множества $ M $ называется подмножество $ Y $ , определяемое равенством

Множество $ F(X) $ называется образом отображения $ F $ .

Прообраз

Пусть задано отображение $ F:X \to Y $ , $ x\in X, \;y\in Y $ и $ y=F(x) $ . Тогда $ x $ называется проо́бразом $ y $ , а $ y $ называется о́бразом $ x $ . Согласно определению отображения, каждый элемент $ x\in X $ должен иметь ровно один образ, но элемент $ y\in Y $ может не иметь прообразов либо иметь один или несколько.

Пример. Пусть дана функция $ F:\mathbb \to \mathbb $ , где $ F(x) = x^2 $ . Тогда

  • $ y = -1 $ не имеет прообразов;
  • $ y = 0 $ имеет единственный прообраз $ x = 0 $ ;
  • $ y = 1 $ имеет два прообраза: $ x_1 = 1 $ и $ x_2 = -1 $ .

Полный прообраз элемента

Пусть задано отображение $ F:X \to Y $ , и $ y \in Y $ . Тогда множество $ \ называется по́лным проо́бразом элемента $ y $ . Полный прообраз обозначается $ F^<-1>(y) $ .

Пример. Пусть $ F:\mathbb \to \mathbb $ , и $ F(x) = \sin x $ . Тогда

Полный прообраз множества

Пусть $ N \subset Y $ . Тогда проо́бразом множества $ N $ называется подмножество $ X $ , определяемое равенством

Пример. Пусть $ F: \mathbb \to \mathbb $ , и $ F(x) = \cos x $ . Тогда

Свойства прообразов и образов

  • $ F^<-1>(A \cup B) = F^<-1>(A) \cup F^<-1>(B), \; \forall A,B \subset Y $ ;

График

Пусть дано отображение $ F: X \to Y $ . Тогда его гра́фиком $ \Gamma $ называется множество

где $ X \times Y $ обозначает декартово произведение множеств $ X $ и $ Y $ .

  • График непрерывной функции $ F:\mathbb \to \mathbb $ является кривой на двумерной плоскости.
  • Графиком непрерывной функции $ F:\mathbb^2 \to \mathbb $ является поверхность в трёхмерном пространстве.

Исторический очерк

Как и остальные понятия математики, понятие функции сложилось не сразу, а прошло долгий путь развития. В работе П. Ферма «Введение и изучение плоских и телесных мест» (1636, опубл. 1679) говорится: «Всякий раз, когда в заключительном уравнении имеются две неизвестные величины, налицо имеется место». По существу здесь идёт речь о функциональной зависимости и её графическом изображении («место» у Ферма означает линию). Изучение линий по их уравнениям в «Геометрии» Р. Декарта (1637) также указывает на ясное представление о взаимной зависимости двух переменных величин. У И. Барроу («Лекции по геометрии», 1670) в геометрической форме устанавливается взаимная обратность действий дифференцирования и интегрирования (разумеется, без употребления самих этих терминов). Это свидетельствует уже о совершенно отчётливом владении понятием функции. В геометрическом и механическом виде это понятие мы находим и у И. Ньютона. Однако термин «функция» впервые появляется лишь в 1692 у Г. Лейбница и притом не совсем в современном его понимании. Г. Лейбниц называет функцией различные отрезки, связанные с какой-либо кривой (например, абсциссы её точек). В первом печатном курсе «Анализа бесконечно малых для познания кривых линий» Лопиталя (1696) термин «функция» не употребляется.

Первое определение функции в смысле, близком к современному, встречается у И. Бернулли (1718): «Функция — это величина, составленная из переменной и постоянной». В основе этого не вполне отчётливого определения лежит идея задания функции аналитической формулой. Та же идея выступает и в определении Л. Эйлера, данном им во «Введении в анализ бесконечных» (1748): «Функция переменного количества есть аналитическое выражение, составленное каким-либо образом из этого переменного количества и чисел или постоянных количеств». Впрочем, уже Л. Эйлеру не чуждо и современное понимание функции, которое не связывает понятие функции с каким-либо аналитическим её выражением. В его «Дифференциальном исчислении» (755) говорится: «Когда некоторые количества зависят от других таким образом, что при изменении последних и сами они подвергаются изменению, то первые называют функциями вторых».

Всё же в XVIII веке отсутствовало достаточно ясное понимание различия между функцией и её аналитическим выражением. Это нашло отражение в той критике, которой Л. Эйлер подверг решение задачи о колебании струны, предложенное Д. Бернулли (1753). В основе решения Д. Бернулли лежало утверждение о возможности разложить любую функцию в тригонометрический ряд. Возражая против этого, Л.Эйлер указал на то, что подобная разложимость доставляла бы для любой функции аналитическое выражение, в то время как функция может и не иметь его (она может быть задана графиком, «начертанным свободным движением руки»). Эта критика убедительна и с современной точки зрения, ибо не все функции допускают аналитическое изображение (правда, у Д. Бернулли речь идёт о непрерывной функции, которая, как установил в 1885 К. Вейерштрасс, всегда аналитически изобразима, но она может и не разлагаться в тригонометрический ряд). Однако другие аргументы Л.Эйлера уже ошибочны. Например, он считал, что разложение функции в тригонометрический ряд доставляет для неё единое аналитическое выражение, в то время как она может быть «смешанной» функцией, представимой на разных отрезках разными формулами. На самом деле одно другому не противоречит, но в ту эпоху казалось невозможным, чтобы два аналитических выражения, совпадая на части отрезка, не совпадали на всём его протяжении..

С начала XIX века уже всё чаще и чаще определяют понятие функции без упоминания об её аналитическом изображении. В «Трактате по дифференциальному и интегральному исчислению» (1797—1802) С. Лакруа говорится: «Всякая величина, значение которой зависит от одной или многих других величин, называется функцией этих последних». В «Аналитической теории тепла» Ж. Фурье (1822) имеется фраза: «Функция $ fx $ обозначает функцию совершенно произвольную, то есть последовательность данных значений, подчинённых или нет общему закону и соответствующих всем значениям $ x $ , содержащимся между $ 0 $ и какой-либо величиной $ x $ ». Близко к современному и определение Н. И. Лобачевского: «…Общее понятие функции требует, чтобы функцией от $ x $ называть число, которое даётся для каждого $ x $ и вместе с $ x $ постепенно изменяется. Значение функции может быть дано или аналитическим выражением, или условием, которое подаёт средство испытывать все числа и выбирать одно из них, или, наконец, зависимость может существовать и оставаться неизвестной». Там же немного ниже сказано: «Обширный взгляд теории допускает существование зависимости только в том смысле, чтобы числа одни с другими в связи понимать как бы данными вместе». Таким образом, современное определение функции, свободное от упоминаний об аналитическом задании, обычно приписываемое П. Дирихле (1837), неоднократно предлагалось и до него.

Примечания

См. также

Различные классы функций:

Литература

  • Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа, ч.1, 3 изд., М., 1971;. ч.2, 2 изд., М., 1980;
  • Кудрявцев Л. Д., Математический анализ, 2 изд., т.1-2, 1973,
  • Никольский С. М., Курс математического анализа, 2 изд., т.1-2, М., 1975;
  • История математики, т.2-3, М., 1970-72.
  • Функция. Математический энциклопедический словарь. Гл. ред. Ю. В. Прохоров. М.: «Большая российская энциклопедия». 1995.

Эта статья содержит материал из статьи Функция русской Википедии.

Математические функции

AnyLogic предоставляет пользователям самодостаточный набор математических функций. Расположенная ниже таблица приводит краткую информацию по этим функциям, более подробное описание вы можете найти в онлайн Javadoc документации по классу Math (на английском языке).

Тип возвращаемого значения

Возвращает значение по модулю от вещественного (типа double) значения.

Возвращает значение по модулю от целочисленного (типа int) значения.

Возвращает арккосинус значения; возвращаемое значение лежит в интервале от 0.0 до .

Параметры: a — значение, для которого нужно вернуть арккосинус.

Возвращает арксинус значения; возвращаемое значение лежит в интервале от — /2 до /2.

Параметры: a — значение, для которого нужно вернуть арксинус.

Возвращает арктангенс значения; возвращаемое значение лежит в интервале от — /2 до /2.

Параметры: a — значение, для которого нужно вернуть арктангенс.

atan2(double y, double x)

Возвращает угол theta, полученный из преобразования прямоугольных координат (x, y) в полярные координаты (r, theta).

Возвращает кубический корень из вещественного значения.

Возвращает наименьшее (ближайшее к минус бесконечности) вещественное (типа double) значение, большее или равное аргументу и равное математическому целому числу.

Возвращает тригонометрический косинус угла.

Параметры: a — угол, в радианах

Возвращает гиперболический синус от вещественного (типа double) значения.

Параметры: x — значение, для которого нужно вернуть гиперболический косинус.

Возвращает число Эйлера e, возведенное в степень a (вещественное число).

Возвращает e x -1 .

Возвращает наибольшее (ближайшее к плюс бесконечности) вещественное (типа double) значение
меньшее или равное аргументу и равное математическому целому числу.

Возвращает натуральный логарифм Гамма функции от x : ln(Γ(x)) .
Гамма функция является расширением факториальной функции, принимающей все положительные значения x .
Если n является положительным целым числом, то: Γ(n) = (n — 1)! .

Функция gammaLog может использоваться, например, в системно динамических моделях, вычисляющих комбинаторные факторы.

Возвращает несмещенное значение экспоненты аргумента.

hypot(double x, double y)

Возвращает sqrt(x 2 + y 2 ) без промежуточного переполнения или потери значимости.

limit(double min, double x, double max)

Возвращает x , если значение лежит в интервале [min,max] , иначе возвращает ближайшую границу.

limitMax(double x, double max)

Возвращает x, если его значение меньше или равно значению аргумента max, иначе возвращает max, то есть значение x ограничено справа значением max.

limitMin(double min, double x)

Возвращает x, если его значение больше или равно значению аргумента min, иначе возвращает min, то есть значение x ограничено слева значением min.

Возвращает натуральный логарифм (по основанию e) вещественного аргумента.

Возвращает возвращает логарифм аргумента по основанию 10.

Возвращает натуральный логарифм суммы аругмента и 1.

max(double a, double b)

Возвращает наибольший из двух вещественных аргументов.

Возвращает наибольший из двух целочисленных аргументов.

min(double a, double b)

Возвращает наименьший из двух вещественных аргументов.

Возвращает наименьший из двух целочисленных аргументов.

pow(double a, double b)

Возвращает значение первого аргумента, возведенное в степень второго аргумента.

quantum(double value, double quantizer)

Возвращает число, меньшее (по модулю) или равное значению value , которое наиболее близко к value и кратно величине квантователя quantizer .
Если quantizer меньше или равен нулю, то возвращает value .

Параметры: value — значение; quantizer — квантователь, задающий интервал между возможными значениями, возвращаемыми функцией: quantizer, quantizer*2, .

Возвращает положительное вещественное значение, лежащее в интервале [0.0, 1.0).

Возвращает вещественное значение, ближайшее по значению к аргументу и равное математическому целому числу.

scalb(double d, int scaleFactor)

Возвращает d × 2 scaleFactor .

Возвращает знаковую функцию (сигнум) аргумента; 0, если аргумент равен нулю, 1.0, если аргумент больше, чем ноль, -1.0, если аргумент меньше, чем ноль.

Возвращает тригонометрический синус угла.

Параметры: a — угол, в радианах

Возвращает гиперболический синус от вещественного значения.

Параметры: x — значение, для которого нужно вернуть гиперболический синус.

Возвращает корректно округленный положительный квадратный корень вещественного числа.

Возвращает тригонометрический тангенс угла.

Параметры: a — угол, в радианах

Возвращает гиперболический тангенс вещественного (типа double) значения.

Преобразует измеренный в радианах угол к приблизительно эквивалентному углу, измеренному в градусах.

Параметры: angrad — угол, в радианах

Преобразует измеренный в градусах угол к приблизительно эквивалентному углу, измеренному в радианах.

Параметры: angdeg — угол, в градусах

xidz(double a, double b, double x)

Пытается поделить первый аргумент на второй. Если результат — бесконечность или не является числом, то функция возвращает третий аргумент, если нет — то возвращает результат деления.

Математические функции

Математические функции доступны в меню Математическая функция . К ним относятся стандартные тригонометрические операции, а также функции вычисления абсолютных значений, экспоненты и др. Эти функции доступны для каждого поставщика данных, кроме поставщиков растра, WFS и WMS.

Функции для возврата углов (например ARCCOS) полезно использовать при форматировании выражений, которые определяют поворот.

При создании выражения для геопространственных элементов можно использовать следующие математические функции.

Возврат абсолютного значения числа (без знака) с использованием типа данных ввода.

Возврат арккосинуса или инверсия косинуса: число между -1 и 1 или равное им. Арккосинус — это угол, косинус которого равен указанному числу. Возвращаемое значение указывается в радианах с использованием типа данных «Веществ. дв. точности».

Возврат арксинуса или инверсия синуса: число между -1 и 1 или равное им. Asin — это угол, синус которого равен указанному числу. Возвращаемое значение указывается в радианах с использованием типа данных «Веществ. дв. точности».

Возврат арктангенса или инверсия тангенса для любого числа. Atan — это угол, тангенс которого равен указанному числу. Возвращаемое значение указывается в радианах с использованием типа данных «Веществ. дв. точности».

Возврат арктангенса или инверсия тангенса для координат X и Y точки. В качестве координаты может выступать вещественное число. Возвращаемое значение указывается в радианах с использованием типа данных «Веществ. дв. точности».

Возврат косинуса угла. Возвращаемое значение указывается с использованием типа данных «Веществ. дв. точности». (В правом треугольнике косинус угла является соотношением смежной стороны и гипотенузы.)

EXP возвращает e, возведенное в указанную степень, где e = 2,71828183 .

EXP возвращает значение с использованием типа данных «Веществ. дв. точности».

Возврат натурального логарифма положительного числа. Возвращаемое значение указывается с использованием типа данных «Веществ. дв. точности». Натуральный логарифм часто используется для определения времени достижения заданного уровня.

Возврат логарифма числа по заданному основанию. Возвращаемое значение указывается с использованием типа данных «Веществ. дв. точности». Основанием может быть любое положительное значение, отличное от 1, а числом может быть любое положительное значение.

Возврат остатка от деления числа (делимое) на другое число (делитель).

Используйте функцию FLOOR для округления. Более подробные сведения см. в разделе Использование функций Mod и Remainder .

Возврат результата одного числа, возведенного в степень второго числа. Возвращаемое значение указывается с использованием типа данных «Веществ. дв. точности».

Основание и экспонента могут быть любыми числами, но если основание является отрицательным числом, степень должна быть целым числом.

Возврат остатка от деления числа на другое число.

Используйте функцию ROUND для округления. Более подробные сведения см. в разделе Использование функций Mod и Remainder .

Возврат синуса угла. Возвращаемое значение указывается с использованием типа данных «Веществ. дв. точности». В правом треугольнике синус угла является соотношением противоположной стороны и гипотенузы.

Возврат квадратного корня положительного числа. Возвращаемое значение указывается с использованием типа данных «Веществ. дв. точности».

Возврат тангенса угла. Возвращаемое значение указывается с использованием типа данных «Веществ. дв. точности». В правом треугольнике TAN — это соотношение противоположной стороны и смежной стороны.

Илон Маск рекомендует:  Что такое аккаунт Как зарегистрировать аккаунт и зачем он нужен
Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Кодинг, CSS и SQL
Функция Определение Синтаксис Пример