Многочлен степени n


Содержание

Многочлены степени n и степени не выше n. Проверка выполнимости для них групповых свойств

Вариант №33

Свойства групп. Элемент симметричный к симметричному, симметричный к а*в.

Прежде чем приводить другие примеры групп укажем некоторые простейшие свойства этих алгебраических систем. Во всех последующих формулировках считается, что x, y, z, . — элементы некоторой группы G.

1. Закон сокращения

Докажем, например, первый закон. Используем существование обратного элемента и свойство ассоциативности операции.

2. Единственность нейтрального элемента

В любой группе нейтральный элемент определен однозначно. В самом деле, если и оба являются нейтральными, то по определению

и в то же время , откуда . Единственный нейтральный элемент группы G будет в дальнейшем обозначаться или просто e.

3. Единственность обратного элемента

Для каждого элемента x обратный элемент определен однозначно. В самом деле, если элементы y и z являются обратными для x, то y*x=e и z*x=e, откуда y*x=z*x и по закону сокращения y=z.

4. Признак нейтрального элемента

Действительно, поскольку , имеем , откуда по закону сокращения получаем .

5. Разрешимость любого уравнения первой степени (существование обратной операции)

. Элемент z определен однозначно. (Его можно назвать «частным» от деления y на x).

Имеем: и значит можно взять . Однозначность следует из закона сокращения: .

Вариант №34

Многочлены степени n и степени не выше n. Проверка выполнимости для них групповых свойств.

Многочлен Pn(x) относительно переменной x вида

многочлен коэффициент степень разложение

где a, a1, a2… an — действительные числа и a 0, называется многочленом, расположенным по убывающим степеням x, или многочленом, представленном вканоническом виде.

Числа a, a1, a2… an называются его коэффициентами, одночлен a·x n — называют старшим членом, а число n-степенью многочлена.

Если у многочлена, представленного в каноническом виде, отсутствует некоторая степень x, то коэффициент соответствующего одночлена равен нулю.

Два многочлена, представленные в каноническом виде, тождественно равны, если равны их степени и равны коэффициенты при одинаковых степенях x.

Пример. Найти числа если многочлен x 3 +6x 2 +x+ является кубом двучлена x+.

Решение. Используя определение тождественного равенства двух многочленов, получаем систему:

Если многочлены Рn(x), Qm(x), и Kl(x) таковы, что справедливо тождественное равенство

то говорят, что каждый из многочленов и является делителем многочлена При этом говорят, что многочлен делится (нацело) на многочлен (или , и тогда многочлен (соответственно ) называют частным от деления многочлена на многочлен (соответственно .

Доказывается, что если многочлен степени n делится на многочлен степени m, то частным от деления будет многочлен степени n-m и этот многочлен единственный.

Отсюда следует, что если многочлен степени n делится на многочлен степени n, то , где , т.е. коэффициенты этих многочленов пропорциональны. Например если известно, что многочлен 2x 2 +b·x+c делится на многочлен x 2 -x+1, то b= -2 и c=2.

| следующая лекция ==>
I. Для снижения вывоза капитала | Дәрілік өсімдіктермен емдеу

Дата добавления: 2020-10-22 ; просмотров: 695 | Нарушение авторских прав

Что такое многочлен


Часто путают понятия одночлена и многочлена.

Давайте разберемся, что называют одночленом, а что многочленом. Прежде всего, вспомним, что называли одночленом в уроке «Одночлены».

Обратите внимание, что «внутри» одночлена (между буквами и числовым коэффициентом) есть только знак умножения. Например, в одночлене: 3ab = 3 · a · b

Многочленом называется алгебраическая сумма нескольких одночленов.

Одночлены, из которых составлен многочлен, называют членами многочлена.

Примеры многочленов: a + 2b 2 − c; 3t 5 − 4b; 4 − 6xy

Несложно заметить, что любой многочлен состоит из нескольких одночленов.

Рассмотрим многочлен подробнее.

Возникает вопрос, почему многочленом называют алгебраическую сумму одночленов, если в многочлене присутствует знак минуса.

Это объясняется тем, что на самом деле знак « − » относится к числовому коэффициенту одночлена, который стоит справа от знака.

Любой многочлен можно записать по правилу знаков как сумму одночленов.

В многочлене знак, который стоит слева от одночлена относится к числовому коэффициенту самого одночлена.

Как найти степень многочлена

Степенью многочлена называют наибольшую из степеней входящих в него одночленов.

То есть, чтобы найти степень многочлена, нужно сначала найти
степень каждого одночлена, который входит в состав многочлена.

Степени многочленов

Многочлен Степень
многочлена
a 2 − 3a 2 b + x =
a 2 (степень одночлена 2) − 3a 2 b(степень одночлена 3 ) + x(степень одночлена 1)
3
1
3

x 2 y 2 + 4x 2 =

1
3

x 2 y 2 (степень одночлена 4 ) + 4x 2 (степень одночлена 2)

4
8x 2 − 3a + 4 =
8x 2 (степень одночлена 2 ) − 3a(степень одночлена 1) + 4(степень одночлена 0)
2

Любой одночлен является многочленом. В самом деле, любой одночлен, по сути, является многочленом, который состоит всего из одного одночлена.

Примеры таких многочленов: 2a 2 b; −3d 3 ; a.

Разложение на множители алгебраического многочлена степени n

Разложение на множители алгебраического многочлена степени n

Любой алгебраический многочлен степени n может быть представлен в виде произведения n-линейных множителей вида и постоянного числа, которое является коэффициентов многочлена при старшей ступени х, т.е.

где — являются корнями многочлена.

Корнем многочлена называют число (действительное или комплексное), обращающее многочлен в нуль. Корнями многочлена могут быть как действительные корни, так и комплексно-сопряженные корни, тогда многочлен может быть представлен в следующем виде:

Рассмотрим методы разложения многочленов степени «n» в произведение множителей первой и второй степени.

Способ №1. Метод неопределенных коэффициентов.

Коэффициенты такого преобразованного выражения определяются методом неопределенных коэффициентов. Суть метода сводится к тому, что заранее известен вид множителей, на которые разлагается данный многочлен. При использовании метода неопределённых коэффициентов справедливы следующие утверждения:

П.1. Два многочлена тождественно равны в случае, если равны их коэффициенты при одинаковых степенях х.

П.2. Любой многочлен третьей степени разлагается в произведение линейного и квадратного множителей.

П.3. Любой многочлен четвертой степени разлагается на произведение двух многочленов второй степени.

Пример 1.1. Необходимо разложить на множители кубическое выражение:

П.1. В соответствии с принятыми утверждениями для кубического выражения справедливо тождественное равенство:


П.2. Правая часть выражения может быть представлена в виде слагаемых следующим образом:

П.3. Составляем систему уравнений из условия равенства коэффициентов при соответствующих степенях кубического выражения.

Данная система уравнений может быть решена методом подбора коэффициентов (если простая академическая задача) или использованы методы решения нелинейных систем уравнений. Решая данную систему уравнений, получим, что неопределённые коэффициенты определяются следующим образом:

Таким образом, исходное выражение раскладывается на множители в следующем виде:

Данный метод может использоваться как при аналитических выкладках, так и при компьютерном программировании для автоматизации процесса поиска корня уравнения.

Способ №2. Формулы Виета

Формулы Виета — это формулы, связывающие коэффициенты алгебраических уравнений степени n и его корни. Данные формулы были неявно представлены в работах французского математика Франсуа Виета (1540 — 1603). В связи с тем, что Виет рассматривал только положительные вещественные корни, поэтому у него не было возможности записать эти формулы в общем явном виде.

Для любого алгебраического многочлена степени n, который имеет n-действительных корней,

справедливы следующие соотношения, которые связывают корни многочлена с его коэффициентами:

Формулами Виета удобно пользоваться для проверки правильности нахождения корней многочлена, а также для составления многочлена по заданным корням.

Пример 2.1. Рассмотрим, как связаны корни многочлена с его коэффициентами на примере кубического уравнения

В соответствии с формулами Виета взаимосвязь корней многочлена с его коэффициентами имеет следующий вид:

Аналогичные соотношения можно составить для любого полинома степени n.

Способ №3. Разложение квадратного уравнения на множители с рациональными корнями

Из последней формулы Виета следует, что корни многочлена являются делителями его свободного члена и старшего коэффициента. В связи с этим, если в условии задачи задан многочлен степени n c целыми коэффициентами

то данный многочлен имеет рациональный корень (несократимая дробь), где p — делитель свободного члена , а q – делитель старшего коэффициента . В таком случае многочлен степени n можно представить в виде (теорема Безу):

Многочлен , степень которого на 1 меньше степени начального многочлена, определяется делением многочлена степени n двучлен , например, с помощью схемы Горнера или самым простым способом — «столбиком».

Пример 3.1. Необходимо разложить многочлен на множители

П.1. В связи с тем, что коэффициент при старшем слагаемом равен единицы, то рациональные корни данного многочлена являются делителями свободного члена выражения, т.е. могут быть целыми числами . Подставляем каждое из представленных чисел в исходное выражение найдем, что корень представленного многочлена равен .

Выполним деление исходного многочлена на двучлен:

Воспользуемся схемой Горнера

В верхней строке выставляются коэффициенты исходного многочлена, при этом первая ячейка верхней строки остается пустой.

В первой ячейке второй строки записывается найденный корень (в рассматриваемом примере записывается число «2»), а следующие значения в ячейках вычисляются определенным образом и они являются коэффициентами многочлена, который получится в результате деления многочлена на двучлен. Неизвестные коэффициенты определяются следующим образом:

Во вторую ячейку второй строки переносится значение из соответствующей ячейки первой строки (в рассматриваемом примере записывается число «1»).

В третью ячейку второй строки записывается значение произведения первой ячейки на вторую ячейку второй строки плюс значение из третьей ячейки первой строки (в рассматриваемом примере 2 ∙1 -5 = -3).

В четвертую ячейку второй строки записывается значение произведения первой ячейки на третью ячейку второй строки плюс значение из четвертой ячейки первой строки (в рассматриваемом примере 2 ∙ (-3) +7 = 1).

И так далее. Последняя ячейка второй строки является остатком деления многочлена на двучлен. В случае если деление происходит на корень уравнения, то остаток должен быть равен «0».

Таким образом, исходный многочлен раскладывается на множители:

П.2. Далее раскладывается на множители многочлен третьей степени (кубическое выражение).

Способ №4. Использование формул сокращенного умножения

Формулы сокращенного умножения применяют для упрощения вычислений, а также разложение многочленов на множители. Формулы сокращенного умножения позволяют упростить решение отдельных задач.

Формулы, используемые для разложения на множители


Формулы, используемые для разложения на слагаемые

Деление формул на две группы выполнено условно для удобства запоминания, а любые равенства справедливы как при чтении их слева направо, так и справа налево.

Пример 4.1. Необходимо разложить многочлен на множители

П.1. Воспользуемся формулой сокращенного умножения для разности квадратов и преобразуем исходное выражение к следующему виду:

П.2. Далее решаются квадратные уравнения и исходный многочлен раскладывается на множители.

Пример 4.2. Необходимо разложить многочлен четвертой степени на множители

П.1. Воспользуемся формулой сокращенного умножения для разности квадратов и преобразуем исходное выражение к следующему виду:

П.2. Далее решаются квадратные уравнения и исходный многочлен раскладывается на множители.

Для того, чтобы добавить Ваш комментарий к статье, пожалуйста, зарегистрируйтесь на сайте.

Многочлен степени n

Ключевые слова конспекта: Многочлен, стандартный вид многочлена, члены многочлена, полиномы, нуль-многочлен, степень многочлена, приведение подобных слагаемых, старший коэффициент, свободный член многочлена.

Выражение 5a 2 b – 3ab – 4а 3 + 7 представляет собой сумму одночленов 5a 2 b, –5ab, –4а 3 и 7. Такие выражения называют многочленами.

Определение. Многочленом называется сумма одночленов.

Одночлены, из которых составлен многочлен, называют членами многочлена. Например, членами многочлена х 3 у 4х 2 + 9 являются одночлены х 3 у, 4х 2 и 9.

Многочлен, состоящий из двух членов, называется двучленом, а многочлен, состоящий из трёх членов, — трёхчленом. Одночлен считают многочленом, состоящим из одного члена. Многочлены иногда называют полиномами, а двучлены — биномами (от греческих слов «поли» — «много», «номос» — «член, часть» и латинского «би» — «два, дважды»).

Зная значения переменных, входящих в многочлен, можно вычислить значение многочлена.

Пример 1. Найдём значение многочлена –0,3х 2 у – х 3 + 7у при х = –0,2, у = –1.
Имеем:
–0,3х 2 у – х 3 +7у = –0,3 • (–0,2) 2 • (–1) – (–0,2) 3 + 7 • (–1) = 0,012 + 0,008 – 7 = –6,98.

Стандартный вид многочлена

В многочлене 13х 2 у + 4 + 8ху – 6х 2 у — 9 первый и четвёртый члены имеют одинаковую буквенную часть. Члены многочлена, имеющие одинаковую буквенную часть, называются подобными членами. Подобными членами считаются и слагаемые, не имеющие буквенной части.

Сумму подобных членов многочлена можно заменить одночленом. Такое тождественное преобразование называют приведением подобных членов или приведением подобных слагаемых. Приведение подобных членов основано на переместительном и сочетательном свойствах сложения и распределительном свойстве умножения.

Пример 2. Приведём подобные члены многочлена 13х 2 у + 4 + 8ху – 6х 2 у — 9.
Имеем:
13х 2 у + 4 + 8ху – 6х 2 у – 9 = (13х 2 у – 6х 2 у) + 8ху + (4 – 9) = (13 – 6)х 2 у + 8ху – 5 = 7х 2 у + 8ху – 5.

В многочлене 7х 2 у + 8ху – 5 каждый член является одночленом стандартного вида, причём среди них нет подобных членов. Такие многочлены называются многочленами стандартного вида.

Рассмотрим многочлен стандартного вида За 3 – 5а 3 b 2 + 7. Его членами являются одночлены третьей, пятой и нулевой степени. Наибольшую из этих степеней называют степенью многочлена. Таким образом, этот многочлен является многочленом пятой степени.

Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней входящих в него одночленов. Степенью произвольного многочлена называют степень тождественно равного ему многочлена стандартного вида.

Пример 3. Определим степень многочлена а 6 + 2а 2 b – а 6 + 1.
Для этого приведём многочлен к стандартному виду: а 6 + 2а 2 b – а 6 + 1 = 2a 2 b + 1.
Степень полученного многочлена равна трём. Значит, и степень заданного многочлена равна трём.

Если многочлен является числом, отличным от нуля, то степень такого многочлена равна 0. Число нуль называют нуль-многочленом. Его степень считается не определённой.

Среди многочленов выделяют многочлены с одной переменной. Многочлен n-й степени с одной переменной в стандартном виде записывается так: ах n + а1х n-1 + а2х n-2 + … + аn-2х 2 + аn-1х + аn, где х — переменная, а, a1 а2, …, аn-1, аn — произвольные числа, n N или n = 0. Коэффициент при х n называют старшим коэффициентом (в нашем случае это а). Слагаемое, не содержащее переменной х, называют свободным членом многочлена (в нашем случае это аn). Например, старший коэффициент многочлена х 4 + 2х 3 х 2 + 3х равен 1, а свободный член равен нулю.

Заметим, что значение многочлена с переменной х при х = 0 равно свободному члену этого многочлена, а при х = 1 — сумме его коэффициентов.

Это конспект по математике на тему «Многочлен и его стандартный вид». Выберите дальнейшие действия:

Многочлен степени n

чУРПНОЙН ОЕЛПФПТЩЕ УЧПКУФЧБ НОПЗПЮМЕОПЧ У ДЕКУФЧЙФЕМШОЩНЙ ЛПЬЖЖЙГЙЕОФБНЙ.

— НОПЗПЮМЕО n-ПК УФЕРЕОЙ. уФЕРЕОША НОПЗПЮМЕОБ ОБЪЩЧБАФ НБЛУЙНБМШОХА УФЕРЕОШ РТЙ x. лПТОЕН НОПЗПЮМЕОБ ОБЪЩЧБАФ ФБЛПЕ ЮЙУМП, РПДУФБОПЧЛБ ЛПФПТПЗП ПВТБЭБЕФ НОПЗПЮМЕО Ч 0.


тБУУНПФТЙН ЧЙДЩ РТПУФЕКЫЙИ НОПЗПЮМЕОПЧ:
I. мЙОЕКОЩК: x-a . лПТЕОШ НОПЗПЮМЕОБ a, ЕЗП ОЕМШЪС ТБЪМПЦЙФШ ОБ НОПЦЙФЕМЙ.
II. лЧБДТБФОЩК ФТЕИЮМЕО: x 2 + px + q. рТЙ ОБМЙЮЙЙ ДЕКУФЧЙФЕМШОЩИ ЛПТОЕК x1 Й x2 НПЦОП ТБЪМПЦЙФШ ОБ НОПЦЙФЕМЙ. .
III. нОПЗПЮМЕОЩ УФЕРЕОЙ .

фЕПТЕНБ
чУСЛЙК НОПЗПЮМЕО У ДЕКУФЧЙФЕМШОЩНЙ ЛПЬЖЖЙГЙЕОФБНЙ УФЕРЕОЙ ЧЩЫЕ ЧФПТПК НПЦЕФ ВЩФШ РТЕДУФБЧМЕО Ч ЧЙДЕ РТПЙЪЧЕДЕОЙС МЙОЕКОЩИ Й ЛЧБДТБФОЩИ УПНОПЦЙФЕМЕК Ч ЧЙДЕ Pn(x)=(x-a) k1 (x-b) k2 . (x 2 + p1x + q1) t1 (x 2 + p2x + q2) t2 . ЗДЕ a, b — ЛПТОЙ НОПЗПЮМЕОБ ЛТБФОПУФЕК УППФЧЕФУФЧЕООП k1 Й k2. (еУМЙ k1=1, ФП a — РТПУФПК ЛПТЕОШ, РТЙ k1>1 — a — ЛТБФОЩК ЛПТЕОШ). х ЛЧБДТБФОЩИ ФТЕИЮМЕОПЧ ДЕКУФЧЙФЕМШОЩИ ЛПТОЕК ОЕФ.

рТЙНЕТ :

Многочлен степени n

Многочлен — Запрос «Полином» перенаправляется сюда; см. также другие значения. Многочлен (или полином) от n переменных это конечная формальная сумма вида , где есть набор из целых неотрицательных чисел (называется мультииндекс), число… … Википедия

Многочлен Лорана — В математике, многочлены или полиномы от одной переменной функции вида где ci фиксированные коэффициенты, а x переменная. Многочлены составляют один из важнейших классов элементарных функций. Изучение полиномиальных уравнений и их решений… … Википедия

Многочлен Чебышева — Многочлены Чебышёва две последовательности многочленов и , названные в честь их первооткрывателя Пафнутия Львовича Чебышёва. T1, T2, T3, T4 … Википедия

Многочлен Чебышёва — Многочлены Чебышёва две последовательности многочленов и , названные в честь их первооткрывателя Пафнутия Львовича Чебышёва. T1, T2, T3, T4 … Википедия

МНОГОЧЛЕН — (polynomial) Функция y=f(x), определенная в виде суммы членов, каждый из которых в коэффициент раз больше степени х. Линейная функция представляет собой многочлен первой степени: у=ах+b. Уравнение второй степени является многочленом второй… … Экономический словарь

МНОГОЧЛЕН — (полином), сумма одночленов, которые являются произведениями, состоящими из числового множителя (коэффициента) и одной или нескольких букв, каждая из которых взята с тем или иным показателем степени. В общем виде, многочлен имеет форму… … Научно-технический энциклопедический словарь

Многочлен Бернулли — Многочлены Бернулли В математике, Многочлены Бер … Википедия

Многочлен — полином, выражение вида Axkyl…..wm + Bxnyp…..wq + …… + Dxrts…..wt, где х, у, . w переменные, а А, В, . D (коэффициенты М.) и k, l, . t (показатели степеней целые неотрицательные числа) постоянные. Отдельные… … Большая советская энциклопедия

МНОГОЧЛЕН — полином, выражение вида где переменные, а А, В, . D (коэффициент ы М.) и x, y, .. ., w (показатели степеней целые неотрицательные числа) постоянные. Отдельные слагаемые вида наз. членами М. Порядок членов, а также порядок множителей в каждом… … Математическая энциклопедия

Многочлен Лагранжа — Интерполяционный многочлен Лагранжа многочлен минимальной степени, принимающий данные значения в данном наборе точек. Для n + 1 пар чисел , где все xi различны, существует единственный многочлен L(x) степени не более n, для которого L(xi) = yi.… … Википедия

Многочлен над конечным полем — Многочленом над конечным полем называется формальная сумма вида Здесь целое неотрицательное число, называемое степенью многочлена , а элементы алгебры над … Википедия

Методы решения ЛНДУ 2-го порядка — многочлены степени n, k, m

Как мы говорили в предыдущей статье , существует несколько методов определения частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. В этой статье мы рассмотрели первый метод , здесь говорили о втором методе, здесь описание третьего метода, а сейчас рассмотрим четвертый метод.

где r является числом комплексно сопряженных пар корней характеристического уравнения, которые равны ,

Найти коэффициенты многочленов Lm(x) и Nm(x) можно используя равенство .

Рассмотрим этот метод определения частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами на примере.

Необходимо вычислить общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами .

В данном случае . Тогда, m=max(n,k)=1.

Первым шагом определяем y, для чего записываем и решаем характеристическое уравнение:

Корни уравнения являются действительными и различными, значит:

Далее вычисляем общее решение исходного неоднородного уравнения как

  • где А, В, С и D – являются неизвестными коэффициентами,
  • r=0 потому что нет пар комплексно сопряженных корней характеристического уравнения, которые были бы равны .

Определим коэффициенты А, В, С и D из равенства .

Найдя производные и приведя подобные слагаемые получаем:

Приравняв соответственные коэффициенты (в равенстве выше они были размещены построчно), решаем выведенную систему линейных уравнений методом, который вам больше нравится:

Это и называется общим решением исходного ЛНДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

Многочлен P(x) степени N


01.10.2009, 13:04

Даны действительное число а, многочлен степени n. Получить многочлен (x^2+2ax+3)*P(x)
Даны действительное число а, многочлен степени n. Получить многочлен (x^2+2ax+3)*P(x). :help: .

Многочлен n+1ой степени
Дан многочлен P(x) степени n. Дано натур. число n, действительные числа a0 , . , an и d0 , . .

Многочлен n-ой степени. Списки
Не могли бы Вы помочь мне с решение следующей задачи: Многочлен n-ой степени можно представить в.

Дан многочлен P(x) степени n. Получить его производную P′(x)
Дан многочлен P(x) степени n. Получить его производную P′(x) #include .

Методы разложения многочленов на множители

Основа метода

Пусть

– многочлен степени n ≥ 1 от действительной или комплексной переменной z с действительными или комплексными коэффициентами ai . Примем без доказательства следующую теорему.

Теорема 1

Уравнение Pn ( z ) = 0 имеет хотя бы один корень.

Докажем следующую лемму.

Лемма 1

Пусть Pn ( z ) – многочлен степени n , z 1 – корень уравнения:
Pn ( z 1) = 0 .
Тогда Pn ( z ) можно представить единственным способом в виде:
Pn ( z ) = ( z – z 1) Pn– 1 ( z ) ,
где Pn– 1 ( z ) – многочлен степени n – 1 .

Доказательство

Для доказательства, применим теорему (см. Деление и умножение многочлена на многочлен уголком и столбиком), согласно которой для любых двух многочленов Pn ( z ) и Qk ( z ) , степеней n и k , причем n ≥ k , существует единственное представление в виде:
Pn ( z ) = Pn–k ( z ) Qk ( z ) + Uk– 1 ( z ) ,
где Pn–k ( z ) – многочлен степени n–k , Uk– 1 ( z ) – многочлен степени не выше k– 1 .

Положим k = 1 , Qk ( z ) = z – z 1 , тогда
Pn ( z ) = ( z – z 1 ) Pn– 1 ( z ) + c ,
где c – постоянная. Подставим сюда z = z 1 и учтем, что Pn ( z 1) = 0 :
Pn ( z 1 ) = ( z 1 – z 1 ) Pn– 1 ( z 1 ) + c ;
0 = 0 + c .
Отсюда c = 0 . Тогда
Pn ( z ) = ( z – z 1 ) Pn– 1 ( z ) ,
что и требовалось доказать.

Разложение многочлена на множители

Итак, на основании теоремы 1, многочлен Pn ( z ) имеет хотя бы один корень. Обозначим его как z 1 , Pn ( z 1 ) = 0 . Тогда на основании леммы 1:
Pn ( z ) = ( z – z 1 ) Pn– 1 ( z ) .
Далее, если n > 1 , то многочлен Pn– 1 ( z ) также имеет хотя бы один корень, который обозначим как z 2 , Pn– 1 ( z 2 ) = 0 . Тогда
Pn– 1 ( z ) = ( z – z 2 ) Pn– 2 ( z ) ;
Pn ( z ) = ( z – z 1 )( z – z 2 ) Pn– 2 ( z ) .

Продолжая этот процесс, мы приходим к выводу, что существует n чисел z 1 , z 2 , . , z n таких, что
Pn ( z ) = ( z – z 1 )( z – z 2 ) . ( z – z n ) P ( z ) .
Но P ( z ) – это постоянная. Приравнивая коэффициенты при z n , находим что она равна an . В результате получаем формулу разложения многочлена на множители:
(1) Pn ( z ) = an ( z – z 1 )( z – z 2 ) . ( z – z n ) .

Числа zi являются корнями многочлена Pn ( z ) .

В общем случае не все zi , входящие в (1), различны. Среди них могут оказаться одинаковые значения. Тогда разложение многочлена на множители (1) можно записать в виде:
(2) Pn ( z ) = an ( z – z 1 ) n 1 ( z – z 2 ) n 2 . ( z – z k ) nk ;
.
Здесь zi ≠ zj при i ≠ j . Если ni = 1 , то корень zi называется простым. Он входит в разложение на множители в виде ( z–zi ) . Если ni > 1 , то корень zi называется кратным корнем кратности ni . Он входит в разложение на множители в виде произведения ni простых множителей: ( z–zi )( z–zi ) . ( z–zi ) = ( z–zi ) ni .

Многочлены с действительными коэффициентами

Далее мы считаем, что многочлен

имеет действительные коэффициенты ai .

Лемма 2

Если – комплексный корень многочлена с действительными коэффициентами, , то комплексно сопряженное число также является корнем многочлена, .

Доказательство

Действительно, если , и коэффициенты многочлена – действительные числа, то .

Таким образом, комплексные корни входят в разложение на множителями парами со своими комплексно сопряженными значениями:
,
где , – действительные числа.
Тогда разложение (2) многочлена с действительными коэффициентами на множители можно представить в виде, в котором присутствуют только действительные постоянные:
(3) ;
.

Методы разложения многочлена на множители

С учетом сказанного выше, для разложения многочлена на множители, нужно найти все корни уравнения Pn(z) = 0 и определить их кратность. Множители с комплексными корнями нужно сгруппировать с комплексно сопряженными. Тогда разложение определяется по формуле (3).

Таким образом, метод разложения многочлена на множители заключается в следующем:
1. Находим корень z 1 уравнения Pn ( z 1) = 0 .
2.1. Если корень z 1 действительный, то в разложение добавляем множитель ( z – z 1) и делим многочлен Pn(z) на ( z – z 1) . В результате получаем многочлен степени n – 1 :
.
Далее повторяем процесс для многочлена Pn– 1 (z) , начиная с пункта (1), пока не найдем все корни.
2.2. Если корень комплексный, то и комплексно сопряженное число является корнем многочлена. Тогда в разложение входит множитель

,
где b 1 = – 2 x 1 , c 1 = x 1 2 + y 1 2 .
В этом случае, в разложение добавляем множитель ( z 2 + b 1 z + c 1) и делим многочлен Pn(z) на ( z 2 + b 1 z + c 1) . В результате получаем многочлен степени n – 2 :
.
Далее повторяем процесс для многочлена Pn– 2 (z) , начиная с пункта (1), пока не найдем все корни.

Нахождение корней многочлена


Главной задачей, при разложении многочлена на множители, является нахождение его корней. К сожалению, не всегда это можно сделать аналитически. Здесь мы разберем несколько случаев, когда можно найти корни многочлена аналитически.

Корни многочлена первой степени

Многочлен первой степени – это линейная функция. Она имеет один корень. Разложение имеет только один множитель, содержащий переменную z :
.

Корни многочлена второй степени

Чтобы найти корни многочлена второй степени, нужно решить квадратное уравнение:
P 2( z ) = a 2 z 2 + a 1 z + a = 0 .
Если дискриминант 0″ style=»width:167px;height:22px;vertical-align:-12px;background-position: -392px -473px;»> , то уравнение имеет два действительных корня:
, .
Тогда разложение на множители имеет вид:
.
Если дискриминант D = 0 , то уравнение имеет один двукратный корень:
;
.
Если дискриминант D 0 , то корни уравнения комплексные,
.

Многочлены степени выше второй

Существуют формулы для нахождения корней многочленов 3-ей и 4-ой степеней. Однако ими редко пользуются, поскольку они громоздкие. Формул для нахождения корней многочленов степени выше 4-ой нет. Несмотря на это, в некоторых случаях, удается разложить многочлен на множители.

Нахождение целых корней

Если известно, что многочлен, у которого коэффициенты – целые числа, имеет целый корень, то его можно найти, перебрав все возможные значения.

Лемма 3

Пусть многочлен
,
коэффициенты ai которого – целые числа, имеет целый корень z 1 . Тогда этот корень является делителем числа a .

Доказательство

Перепишем уравнение Pn ( z 1) = 0 в виде:
.
Тогда – целое,
M z 1 = – a .
Разделим на z 1 :
.
Поскольку M – целое, то и – целое. Что и требовалось доказать.

Поэтому, если коэффициенты многочлена – целые числа, то можно попытаться найти целые корни. Для этого нужно найти все делители свободного члена a и, подстановкой в уравнение Pn ( z ) = 0 , проверить, являются ли они корнями этого уравнения.
Примечание. Если коэффициенты многочлена – рациональные числа, , то умножая уравнение Pn ( z ) = 0 на общий знаменатель чисел ai , получим уравнение для многочлена с целыми коэффициентами.

Нахождение рациональных корней

Если коэффициенты многочлена – целые числа и целых корней нет, то при an ≠ 1 , можно попытаться найти рациональные корни. Для этого нужно сделать подстановку
z = y/an
и умножить уравнение на an n- 1 . В результате мы получим уравнение для многочлена от переменной y с целыми коэффициентами.Далее ищем целые корни этого многочлена среди делителей свободного члена. Если мы нашли такой корень yi , то перейдя к переменной x , получаем рациональный корень
zi = yi /an .

Полезные формулы

Приведем формулы, с помощью которых можно разложить многочлен на множители.

В более общем случае, чтобы разложить многочлен
Pn ( z ) = z n – a ,
где a – комплексное, нужно найти все его корни, то есть решить уравнение:
z n = a .
Это уравнение легко решается, если выразить a через модуль r и аргумент φ :
.
Поскольку a не изменится, если к аргументу прибавить 2 π , то представим a в виде:
,
где k – целое. Тогда
;
.
Присваивая k значения k = 0, 1, 2, . n– 1 , получаем n корней многочлена. Тогда его разложение на множители имеет вид:
.

Биквадратный многочлен

Рассмотрим биквадратный многочлен:
.
Биквадратный многочлен можно разложить на множители, без нахождения корней.

Далее раскладываем квадратные многочлены на множители, если соответствующие многочлены имеют действительные корни.

Бикубический и многочлены, приводящиеся к квадратному

Рассмотрим многочлен:
.
Его корни определяются из уравнения:
.
Оно приводится к квадратному уравнению подстановкой t = z n :
a 2 n t 2 + an t + a = 0 .
Решив это уравнение, найдем его корни, t 1 , t 2 . После чего находим разложение в виде:
.
Далее методом, указанным выше, раскладываем на множители z n – t 1 и z n – t 2 . В заключении группируем множители, содержащие комплексно сопряженные корни.

Возвратные многочлены

Многочлен называется возвратным, если его коэффициенты симметричны:

Пример возвратного многочлена:
.

Если степень возвратного многочлена n – нечетна, то такой многочлен имеет корень z = –1 . Разделив такой многочлен на z + 1 , получим возвратный многочлен степени n – 1 .
Если степень возвратного многочлена n – четна, то подстановкой , он приводится к многочлену степени n/ 2 . См. Пример с возвратным многочленом >>>.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 11-06-2015 Изменено: 30-04-2020

Реферат: Теорема Безу

французский математик, член Парижской Академии Наук( с 1758 года ), родился в Немуре 31 марта 1730 года и умер 27 сентября 1783 года.

С 1763 года Безу преподавал математику в училище гардемаринов, а с 1768 года и в королевском артиллерийском корпусе.


Основные работы Этьена Безу относятся к высшей алгебре, они посвящены созданию теории решения алгебраических уравнений. В теории решения систем линейных уравнений он содействовал возникновению теории определителей , развивал теорию исключения неизвестных из систем уравнений высших степеней, доказал теорему (впервые сформулированную К. Маклореном ) о том , что две кривые порядка m и n пересекаются не более чем в mn точках. Во Франции и за её границей вплоть до 1848 года был очень популярен его шеститомный“Курс математики “, написанный им в 1764-69 годах. Безу развил метод неопределённых множителей, в элементарной алгебре его именем назван способ решения систем уравнений, основанный на этом методе . Часть трудов Безу посвящена внешней баллистике. Именем учёного названа одна из основных теорем алгебры.

R – остаток от деления ( R не содержит переменной x как делитель первой степени относительно x ).

Согласно правилу деления многочленов с остатком можно записать :

Значит , R = P n ( a ) , т.е. остаток от деления полинома на ( x a ) равен значению этого

полинома при x = a , что и требовалось доказать .

Следствия из теоремы .

Согласно правилу деления многочленов :

Pn (-b/a) = (a(-b/a) + b)Qn-1(-b/a) + R = R. Значит , R = Pn (-b/a) , что и требовалось доказать.

По теореме Безу остаток от деления многочлена P ( x ) на x a равен P ( a ) , а по условию a является корнем P ( x ) , а это значит , что P ( a ) = 0 , что и требовалось доказать .

Из данного следствия теоремы Безу видно , что задача решения уравнения P ( x ) = 0 равносильна задаче выделения делителей многочлена P , имеющих первую степень ( линейных делителей ) .

попарно различные корни

Проведём доказательство с помощью математической индукции по числу корней . При n =1 утверждение доказано в следствии 2 . Пусть оно уже доказано для случая , когда число корней равно k , это значит , что P(x) делится без остатка на ( x a 1 )( x a 2 ) … ( x a k ) , где

Пусть P ( x ) имеет k +1 попарно различных корней .По предположению индукции a 1 , a 2 , a k , … , a k +1 являются корнями многочлена, а , значит, многочлен делится на произедение ( x a 1 ) … ( x a k ) , откуда выходит , что

Значит , подставляя вместо x a k +1 , получаем верное равенство :

Итак, доказано , что теорема верна при k =1 , а из её справедливости при n = k вытекает , что она верна и при n = k +1 . Таким образом, теорема верна при любом числе корней , что и требовалось доказать .

Воспользуемся методом от противного: если бы многочлен P n ( x ) степени n имел бы более n корней — n + k (a 1 , a 2 , … , a n + k — его корни ) , тогда бы по ранее доказанному следствию 3 он

Мы пришли к противоречию , значит наше предположение неверно и многочлен степени n не может иметь более , чем n корней , что и требовалось доказать .

Пусть P ( x ) – данный многочлен степени n , a — любое число .

Причём по теореме Безу :

Pn(x) — Pn(a) = (x-a)Qn-1(x) ,

не ниже первой тогда и

только тогда , когда

Чтобы доказать данную теорему требуется рассмотреть необходимость и достаточность сформулированного условия .

Пусть a – корень многочлена P ( x ) , тогда по следствию 2 P ( x ) делится на ( x a ) без остатка .

Таким образом делимость P ( x ) на ( x a ) является необходимым условием для того , чтобы a являлось корнем P ( x ) , т.к. является следствием из этого .

Таким образом делимость P ( x ) на ( x a ) является и достаточным условием для того , чтобы a являлось корнем P ( x ) .

Делимость P ( x ) на ( x a ) является необходимым и достаточным условием для того, чтобы a являлось корнем P ( x ) , что и требовалось доказать .

Многочлен , не имеющийй действи-

тельных корней , в разложении

на множители линейных множителей

Воспользуемся методом от противного: предполо-жим , что не имеющий корней многочлен P ( x ) при разложении на множители содержит линейный множитель ( x a ) :

тогда бы он делился на ( x a ) , но по следствию 6 a являлось бы корнем P ( x ) , а по условию он корней не содержит . Мы пришли к противоречию , значит наше предположение неверно и многочлен ,


не имеющий действительных корней , в разложении на множители линейных множителей не содержит , что и требовалось доказать .

На основании теоремы Безу и следствия 5 можно доказать следующие утверждения:

1. Разность одинаковых натуральных степеней на разность их оснований делится без остатка :

ПустьP(x) = x n , P(a) = a n ,

тогда x n a n – разность одинаковых натуральных степеней .

P(x) — P(a) = x n – a n = (x – a)Q(x) ,

а это значит , что

(x n –a n )/(x–a)=Q(x) , т.е. разность одинаковых натуральных степеней на разность их оснований делится без остатка , что и требовалось доказать .

(x n – a n )/(x – a) = x n-1 + ax n-2 + a 2 x n-3 + … +a n-2 x + a n-1 .

2. Разность одинаковых чётных степеней на сумму их оснований делится без остатка .

ПустьP(x) = x 2k , тогда P(a) = a 2k .

P(a) = a 2k = (-a) 2k = P(-a) , т . е . x 2k — a 2k = P(x) – P(-a).

а это значит , что

x 2k – a 2k = (x + a)Q(x) или

т.е. разность одинаковых чётных степеней на сумму их оснований делится без остатка , что и требовалось доказать .

(x 2k – a 2k )/(x + a) = x 2k-1 – ax 2k-2 + … +a 2k-2 x + a 2k-1 .

3. Разность одинаковых нечётных натуральных степеней на сумму их оснований не делится .

По теореме Безу при делении x 2 k +1 — a 2 k +1 на x + a = x – (- a ) остаток равен

R = P(-a) = (-a) 2k+1 – a 2k+1 = -2a 2k+1

Т. к. остаток при делении не равен , то разность одинаковыхнечётных натуральных степеней на сумму их оснований не делится , что и требовалось доказать .

4. Сумма одинаковых нечётных натуральных степеней на сумму их оснований делится без остатка .

P(x) — P(-a) = x 2k+1 + a 2k+1 = (x –(- a))Q(x)=

а это значит , что

(x 2k+1 + a 2k+1 )/(x + a) = Q(x) ,

т.е. сумма одинаковых нечётных натуральных степеней на сумму их оснований делится без остатка , что и требовалось доказать .

(x 2k+1 + a 2k+1 )/(x + a) = x 2k — ax 2k-1 + … — a 2k-1 x + a 2k .

5. Сумма одинаковых чётных натуральных степеней на сумму их оснований не делится .

R = P(-a) = (-a) 2k + a 2k = 2a 2k .

Т. к. остаток при делении не равен , тосумма одинаковых чётных натуральных степеней на сумму

их оснований не делится, что и требовалось доказать.

Остановимся на рассмотрении некоторых случаев применения теоремы Безу к решению практических задач .

Найти остаток от деления многочлена


на двучлен x – 2 .

По теореме Безу

R = P3 (2) = 2 3 – 3*2 2 + 6*2 – 5 = 3 .

Найти остаток от деления многочлена

Согласно следствию 1 из теоремы Безу

= 2 – 8 + 2 + 18 + 4 =18 .

При каком значении a многочлен

x 4 + ax 3 + 3x 2 – 4x – 4

делится без остатка на двучлен x – 2 ?

По теореме Безу

Но по условию R = 0 , значит

При каких значениях a и b многочлен

ax 3 + bx 2 – 73x + 102

делится на трёхчлен

Разложим делитель на множители :

Поскольку двучлены x – 2 и x – 3 взаимно просты , то данный многочлен делится на x – 2 и на x – 3 , а это значит , что

по теореме Безу

Решим систему уравнений :

27a + 9b – 117 = 0

Ответ: a = 2 , b = 7 .

При каких значениях a и b многочлен

x 4 + ax 3 – 9x 2 + 11x + b

делится без остатка на трёхчлен

Представим делитель так :

Данный многочлен делится на x – 1 без остатка ,

если по теореме Безу

R1 = P4 (1) = 1 + a – 9 + 11 + b = a + b + 3 = 0.

Найдём частное от деления этого многочлена на x – 1 :

_ x 4 + ax 3 –9x 2 + 11x–a –3 x – 1

x 4 – x 3 x 3 +(a+1)x 2 +(a–8)x+(a+3)

(a + 1)x 3 – (a + 1)x 2

делится на ( x – 1) без остатка , откуда

Илон Маск рекомендует:  Шаблон сайта агро HTML, CSS, 1 страница
Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Кодинг, CSS и SQL
Название: Теорема Безу
Раздел: Рефераты по математике
Тип: реферат Добавлен 02:53:24 29 июля 2005 Похожие работы
Просмотров: 3667 Комментариев: 20 Оценило: 15 человек Средний балл: 4.1 Оценка: 4 Скачать