Нечеткие множества


Корпоративные хранилища данных. Интеграция систем. Проектная документация.

Нечеткие множества в хранилище данных

Автор: Потапов Евгений Николаевич
31 Мая 2011 г.

История нечетких множеств

Нечёткое (или размытое, расплывчатое, туманное, пушистое) множество — понятие, введённое Лотфи Заде в 1965 г. в статье «Fuzzy Sets» (нечёткие множества) в журнале Information and Control. Л. Заде расширил классическое канторовское понятие множества, допустив, что характеристическая функция (функция принадлежности элемента множеству) может принимать любые значения в интервале [0,1], а не только значения 0 или 1.

С конца 80-х годов и до сих пор идет бумом практического применения теории нечеткой логики в разных сферах науки и техники. До 90-ого года появилось около 40 патентов, относящихся к нечеткой логике. Сорок восемь японских компаний создают лабораторию LIFE (Laboratory for International Fuzzy Engineering), японское правительство финансирует 5-летнюю программу по нечеткой логике, которая включает 19 разных проектов — от систем оценки глобального загрязнения атмосферы и предвидения землетрясений до АСУ заводских цехов. Результатом выполнения этой программы было появление целого ряда новых массовых микрочипов, базирующихся на нечеткой логике. Сегодня их можно найти в стиральных машинах и видеокамерах, цехах заводов и моторных отсеках автомобилей, в системах управления складскими роботами и боевыми вертолетами. В США развитие нечеткой логики идет по пути создания систем для большого бизнеса и военных. Нечеткая логика применяется при анализе новых рынков, биржевой игре, оценки политических рейтингов, выборе оптимальной ценовой стратегии и т.п. Появились и коммерческие системы массового применения.

Описание

Характеристикой нечеткого множества выступает функция принадлежности (membership function). Обозначим через µ(x) степень принадлежности элемента x к нечеткому множеству, представляющую собой обобщение понятия характеристической функции обычного множества. Тогда нечетким множеством С называется множество упорядоченных пар вида C = <µ(x)/x>, при этом µ(x) может принимать любые значения в интервале [0, 1]. Значение µ(x) = 0 означает отсутствие принадлежности к множеству, 1 — полную принадлежность.

Проиллюстрируем это на простом примере. Формализуем неточное определение «неблагонадежный заемщик». В качестве X (область рассуждений) будет выступать количество случаев просроченной задолженности по кредиту за последние 6 месяцев. Пусть оно изменяется от 0 до 6. Нечеткое множество, определенное экспертом, может выглядеть следующим образом:
C = <0>.

Так, заемщик, совершивший две просрочки, принадлежит к множеству «неблагонадежный» со степенью принадлежности 0,7. Для одного банка такое число просрочек может быть крайне существенным, для другого — просто тревожным сигналом. Именно в этом и проявляется нечеткость задания соответствующего множества.

Для переменных, относящихся к непрерывному виду данных, функцию принадлежности удобнее задать аналитической формулой и для наглядности изобразить графически. Существует свыше десятка типовых форм кривых для задания функций принадлежности. Рассмотрим самые популярные кусочно-линейные: треугольную и трапецеидальную.

Рис. 1. Типовые функции принадлежности

Треугольная функция принадлежности определяется тройкой чисел (a, b, c), и ее значение в точке x вычисляется согласно выражению:

Аналогично для задания трапецеидальной функции принадлежности необходима четверка чисел (a, b, c, d):

Для нечетких множеств, как и для обычных, определены основные логические операции. Самыми необходимыми для расчетов являются пересечение, объединение и отрицание.

Для нечетких множеств можно применить визуальное представление. Рассмотрим прямоугольную систему координат, на оси ординат которой откладываются значение mA(x), на оси абсцисс в произвольном порядке расположены элементы E. Если E по своей природе упорядочено, то этот порядок желательно сохранить в расположении элементов на оси абсцисс. Такое представление делает наглядными простые операции над нечеткими множествами.

Пусть A нечеткий интервал между 5 до 8 и B нечеткое число около 4, как показано на рисунке.

  • Пересечение двух нечетких множеств A ∩ B (нечеткое «И»):

Рис.2. Нечеткое множество между 5 и 8 И (AND) около 4 (синяя линия)

  • Объединение двух нечетких множеств A ∪ B (нечеткое «ИЛИ»):

Рис.3. Нечеткое множество между 5 и 8 ИЛИ (OR) около 4 показано на следующем рисунке (снова синяя линия).

  • Отрицание нечеткого множества -A:

Рис.4. Операцию отрицания. Синяя линия — это ОТРИЦАНИЕ нечеткого множества A.

где
µ(x) — результат операции;
µA(x) — степень принадлежности элемента x к множеству A;
µB(x) — степень принадлежности элемента x к множеству B.

Совокупность нечетких множеств, относящихся к одному объекту, образует лингвистическую переменную. Например, лингвистическая переменная Возраст может принимать значения Молодой, Средний, Пожилой (их еще называют базовым терм-множеством, или термами). Зададим область рассуждений в виде X =

Рис. 7. Нечеткое множество

Рис. 8. Алгоритм получения нечеткого среза

Алгоритм формирования нечеткого среза иллюстрирует схема (рис. 8). На шаге 1 используется семантический слой хранилища данных. На шаге 3 в результирующий SQL-запрос попадают границы с учетом минимального индекса соответствия а. Шаг 5 предполагает применение нечетких логических операций pouvez trouver ici.

Рассмотрим пример. Пусть в хранилище содержится информация о соискателях вакансий, и срез (четкий) по измерениям Код анкеты, Возраст и Стаж работы обеспечивает следующий набор данных (табл. 1).

Очевидно, что Код анкеты — это служебное поле. Для возраста будем использовать лингвистическую переменную, определенную на рис. 5, а для поля Стаж работы — переменную, определенную на рис. 9. Каждая функция принадлежности описывается числами: Малый = <0; 0; 6>, Продолжительный = <3; 6; 10; 20>, Большой = <15; 25; 40; 40>.

Таблица 1. Срез по измерениям «Возраст» и «Стаж работы»

Код анкеты Возраст Стаж работы
1 23 4
2 34 11
2 34 11
3 31 10
4 54 36
5 46 26
6 38 15
7 21 1
8 23 2
9 30 8
10 30 12

Рис. 9. Графическое изображение лингвистической переменной «Стаж работы»

Сделаем нечеткий срез «Возраст = Средний и Стаж работы = Продолжительный». Например, для анкеты 4 получим:

Аналогично рассчитаем степени принадлежности к итоговому нечеткому множеству для каждого претендента, зададим минимальный индекс соответствия, равный 0,3, и получим результат, показанный в табл. 2.

Таблица 2. Результат нечеткого среза

Код анкеты Возраст Стаж работы Индекс соответствия
3 31 10 1
9 30 8 1
6 38 15 1
2 34 11 0,9
10 30 12 0,8
8 23 2 0,3
1 23 4 0,3

Нечеткий поиск в хранилищах данных принесет аналитику максимальную пользу в случаях, когда требуется не только извлечь информацию, оперируя нечеткими понятиями, но и каким-то образом проранжировать ее по убыванию (возрастанию) степени релевантности запроса. Это позволит ответить на следующие вопросы: каких клиентов обзвонить в первую очередь, кому сделать рекламное предложение и т.д.

Источники:
[1] книга «Бизнес-аналитика: от данных к знаниям» Орешков В.И., Паклин Н.Б.
[2] Википедия
[3] Теория логики

Нечеткие множества

Глава 1. Нечисловые статистические данные

1.5. Нечеткие множества – частный случай нечисловых данных

Уже много раз упоминались нечеткие множества как практически важный вид объектов нечисловой природы. Что же это такое? Познакомимся с основами теории нечетких множеств.

Нечеткие множества. Пусть A — некоторое множество. Подмножество B множества A характеризуется своей характеристической функцией

Что такое нечеткое множество? Обычно говорят, что нечеткое подмножество C множества A характеризуется своей функцией принадлежности . Значение функции принадлежности в точке х показывает степень принадлежности этой точки нечеткому множеству. Нечеткое множество описывает неопределенность, соответствующую точке х – она одновременно и входит, и не входит в нечеткое множество С. За вхождение — шансов, за второе, т.е. за то, что точка не входит в множество, (1- ) шансов.

Если функция принадлежности имеет вид (1) при некотором B, то C есть обычное (четкое) подмножество A. Таким образом, теория нечетких множество является более общей или хотя бы не менее общей математической дисциплиной, чем обычная теория множеств, поскольку обычные множества – частный случай нечетких. Соответственно можно ожидать, что теория нечеткости как целое обобщает классическую математику. Однако позже мы увидим, что теория нечеткости в определенном смысле сводится к теории случайных множеств и тем самым является частью классической математики. Другими словами, по степени общности обычная математика и нечеткая математика эквивалентны. Однако для практического применения, например, в теории принятия решений описание и анализ неопределенностей с помощью теории нечетких множеств весьма плодотворны.

Обычное подмножество можно было бы отождествить с его характеристической функцией. Этого математики не делают, поскольку для задания функции (в ныне принятом подходе) необходимо сначала задать множество. Нечеткое же подмножество с формальной точки зрения можно отождествить с его функцией принадлежности. Однако термин «нечеткое подмножество» предпочтительнее при построении математических моделей реальных явлений.

Теория нечеткости является обобщением интервальной математики. Действительно, функция принадлежности

задает интервальную неопределенность – про рассматриваемую величину известно лишь, что она лежит в заданном интервале [a,b]. Тем самым описание неопределенностей с помощью нечетких множеств является более общим, чем с помощью интервалов.

Начало современной теории нечеткости положено работой 1965 г. американского ученого азербайджанского происхождения Л.А.Заде. К настоящему времени по этой теории опубликованы тысячи книг и статей, издается несколько международных журналов, выполнено достаточно много как теоретических, так и прикладных работ. Первая книга российского автора по теории нечеткости вышла в 1980 г. [24].

Л.А. Заде рассматривал теорию нечетких множеств как аппарат анализа и моделирования гуманистических систем, т.е. систем, в которых участвует человек. Его подход опирается на предпосылку о том, что элементами мышления человека являются не числа, а элементы некоторых нечетких множеств или классов объектов, для которых переход от «принадлежности» к «непринадлежности» не скачкообразен, а непрерывен. В настоящее время методы теории нечеткости используются почти во всех прикладных областях, в том числе при управлении предприятиями, качеством продукции и технологическими процессами, при описании предпочтений потребителей и оптимизации процессов варки стали.

Л.А. Заде использовал термин «fuzzy set» (нечеткое множество). На русский язык термин «fuzzy» переводили как нечеткий, размытый, расплывчатый, и даже как пушистый и туманный.

Аппарат теории нечеткости громоздок. В качестве примера дадим определения теоретико-множественных операций над нечеткими множествами. Пусть C и D — два нечетких подмножества A с функциями принадлежности и соответственно. Пересечением , произведением CD, объединением , отрицанием , суммой C+D называются нечеткие подмножества A с функциями принадлежности

Как уже отмечалось, теория нечетких множеств в определенном смысле сводится к теории вероятностей, а именно, к теории случайных множеств. Соответствующий цикл теорем приведен в следующем разделе. Однако при решении прикладных задач вероятностно-статистические методы и методы теории нечеткости обычно рассматриваются как различные.

Для знакомства со спецификой нечетких множеств изучим некоторые их свойства.

В дальнейшем считаем, что все рассматриваемые нечеткие множества являются подмножествами одного и того же множества Y.

Законы де Моргана для нечетких множеств. Как известно, законами же Моргана называются следующие тождества алгебры множеств

Теорема 1. Для нечетких множеств справедливы тождества

Доказательство теоремы 1 состоит в непосредственной проверке справедливости соотношений (3) и (4) путем вычисления значений функций принадлежности участвующих в этих соотношениях нечетких множеств на основе определений, данных выше.

Тождества (3) и (4) назовем законами де Моргана для нечетких множеств. В отличие от классического случая соотношений (2), они состоят из четырех тождеств, одна пара которых относится к операциям объединения и пересечения, а вторая — к операциям произведения и суммы. Как и соотношение (2) в алгебре множеств, законы де Моргана в алгебре нечетких множеств позволяют преобразовывать выражения и формулы, в состав которых входят операции отрицания.


Дистрибутивный закон для нечетких множеств. Некоторые свойства операций над множествами не выполнены для нечетких множеств. Так, , за исключением случая, когда А — «четкое» множество (т.е. функция принадлежности принимает только значения 0 и 1).

Верен ли дистрибутивный закон для нечетких множеств? В литературе иногда расплывчато утверждается, что «не всегда». Внесем полную ясность.

Теорема 2. Для любых нечетких множеств А, В и С

В то же время равенство

справедливо тогда и только тогда, когда при всех

Доказательство. Фиксируем произвольный элемент . Для сокращения записи обозначим . Для доказательства тождества (5) необходимо показать, что

Рассмотрим различные упорядочения трех чисел a, b, c. Пусть сначала . Тогда левая часть соотношения (7) есть , а правая , т.е. равенство (7) справедливо.

Пусть . Тогда в соотношении (7) слева стоит , а справа , т.е. соотношение (7) опять является равенством.

Если , то в соотношении (7) слева стоит , а справа , т.е. обе части снова совпадают.

Три остальные упорядочения чисел a, b, c разбирать нет необходимости, поскольку в соотношение (6) числа b и c входят симметрично. Тождество (5) доказано.

Второе утверждение теоремы 2 вытекает из того, что в соответствии с определениями операций над нечеткими множествами

Эти два выражения совпадают тогда и только тогда, когда, когда , что и требовалось доказать.

Определение 1. Носителем нечеткого множества А называется совокупность всех точек , для которых .

Следствие теоремы 2. Если носители нечетких множеств В и С совпадают с У, то равенство (6) имеет место тогда и только тогда, когда А — «четкое» (т.е. обычное, классическое, не нечеткое) множество.

Доказательство. По условию при всех . Тогда из теоремы 2 следует, что , т.е. =1 или = 0, что и означает, что А — четкое множество.

Пример описания неопределенности с помощью нечеткого множества. Понятие «богатый» часто используется при обсуждении социально-экономических проблем, в том числе и в связи с подготовкой и принятием решений. Однако очевидно, что разные лица вкладывают в это понятие различное содержание. Сотрудники Института высоких статистических технологий и эконометрики провели в 2004 г. небольшое пилотное (т.е пробное) социологическое исследование представления различных слоёв населения о понятии «богатый человек».

Мини-анкета опроса выглядела так:

1. При каком месячном доходе (в тыс. руб. на одного человека) Вы считали бы себя богатым человеком?

2. Оценив свой сегодняшний доход, к какой из категорий Вы себя относите:

б) достаток выше среднего;

в) достаток ниже среднего;

д) за чертой бедности?

(В дальнейшем вместо полного наименования категорий будем оперировать буквами, например «в» — категория, «б» — категория и т.д.)

3. Ваша профессия, специальность.

Всего было опрошено 74 человека, из них 40 — научные работники и преподаватели, 34 человека — не занятых в сфере науки и образования, в том числе 5 рабочих и 5 пенсионеров. Из всех опрошенных только один (!) считает себя богатым. Несколько типичных ответов научных работников и преподавателей приведено в табл.1, а аналогичные сведения для работников коммерческой сферы – в табл.2.

Типичные ответы научных работников и преподавателей

6.3. Нечёткие множества: основные определения

Обобщение понятия принадлежности. В рассмотренных примерах характеристическая функция принимала значения 0 или 1. Предположим, что характеристическая функция принимает любое значение из . Тогда элемент может не принадлежать множеству , принадлежать в какой-либо степени или быть элементом множества .

Нечёткое множество. Нечётким подмножеством (нечётким множеством) множества называется множество упорядоченных пар , где – функция принадлежности элемента множеству , характеризующая степень принадлежности элемента этому множеству, или, другими словами, меру соответствия элемента универсального множества свойствам нечёткого множества . В случае непрерывного множества для задания нечёткого множества используют такое обозначение: .

Множество принадлежностей. Множество значений функции принадлежности называется Множеством принадлежностей. Если , то – обычное множество, т. е. чёткое множество можно рассматривать как предельный случай нечёткого множества. Далее в этом учебном пособии множество принадлежностей .

Мощность нечёткого множества. Пусть на универсальном множестве задано нечёткое множество . Мощность нечёткого множества или его Кардинальное число определяется следующим образом: .

Пример 28. На универсальном множестве определим следующее нечёткое множество:

Определим кардинальное число нечёткого множества :

Принадлежность элемента нечёткому множеству можно обозначать и так: .

Для определения степени принадлежности элемента нечёткому множеству существует специальная терминология. Так, нечёткое множество , заданное в Примере 28, содержит в незначительной степени элемент , не содержит , в небольшой степени содержит , в значительной степени – и , и содержит элемент .

Пример 29. Нечёткое множество небольших натуральных чисел может быть задано, например, так:

Замечание. Значения заданы субъективно.

Носитель нечёткого множества. Носителем (суппортом) нечёткого множества (supp ) называется множество элементов , для которых . Нечёткое множество называется пустым, если его носитель является пустым множеством.

Ядро нечёткого множества. Ядром Нечёткого множества ( ) называется множество элементов , для которых .

Высота нечёткого множества. Величина ( для дискретных универсальных множеств) называется Высотой нечёткого множества ( ).

Нормальные и субнормальные нечёткие множества. Нечёткое множество Нормально, если его высота равна 1. Если высота меньше 1, то нечёткое множество называется Субнормальным. Всякое непустое субнормальное нечёткое множество можно преобразовать к нормальному , нормируя его функцию принадлежности:

Унимодальные нечёткие множества. Нечёткое множество называется Унимодальным, если только для одного .

Точки перехода нечётких множеств. Элементы , для которых , называются Точками перехода нечёткого множества .

Выпуклые нечёткие множества. Нечёткое множество называется Выпуклым, если:

Пример 30. Пусть универсальное множество есть множество действительных чисел, т. е. . Определим нечёткое множество как множество чисел, близких к числу (Рис. 4).

Функцию принадлежности можно задать следующим образом: , где . Показатель степени выбирается в зависимости от степени близости к . Например, для описания множества чисел, очень близких к , можно взять ; для множества чисел, не очень далеких от , .

Пример 31. На универсальном множестве из Примера 28 Задано нечёткое множество . Для нечёткого множества : 1) определить его мощность; 2) определить носитель, ядро и высоту; 3) выяснить, является ли оно нормальным или субнормальным. Если является субнормальным, преобразовать его к нормальному; 4) проверить, будет ли полученное множество унимодальным; 5) определить точки перехода .

1. По определению, мощность (кардинальное число) нечёткого множества , заданного на конечном универсальном множестве , определяется по формуле: .

2. Воспользуемся определениями носителя, ядра и высоты нечёткого множества. Очевидно, , , .

3. Заданное нечёткое множество является субнормальным. Построим соответствующее ему нечёткое нормальное множество . Для этого вычислим значения функции принадлежностей элементов по формуле:

Имеем: , аналогично: , , , , . Таким образом, нечёткое нормализованное множество .

4. Множество является унимодальным, так как содержит только один элемент , для которого .

5. Множество имеет единственную точку перехода – , так как только .

Умножение нечётких множеств на число. Если – такое положительное число, что , то для нечёткого множества функция принадлежности определяется следующим образом: .

Сравнение нечётких множеств. Рассмотрим два нечётких множества и , заданных на универсальном множестве .

Говорят, что Содержится в , т. е. , если для любого . Графически это означает, что кривая, задающая нечёткое множество располагается выше аналогичной кривой нечёткого множества . Если условие включения выполняется не для всех , то говорят о Степени включения в , которая определяется как , где – множество , на котором выполняется условие включения.

Два нечётких множества и Равны, если они содержатся друг в друге, т. е. , если для любого .

Подмножество -уровня. Подмножеством -уровня нечёткого множества , , называется чёткое подмножество элементов , для которых . Множество называют также -сечением нечёткого множества . При этом, если , то говорят о сильном сечении, а если , то о слабом сечении. Имеет место Важное свойство: если , то .

Для задач анализа и синтеза нечётких множеств применяют Теорему о декомпозиции: нечёткое множество можно разложить по его множествам -уровня следующим образом: , где – произведение числа на множество .

Пример 32. На универсальном множестве определим нечёткое множество . Найдём все подмножества нечёткого множества :

По теореме о декомпозиции нечётких множеств заданное нечёткое множество представим следующим образом:

Нечеткие множества

При рассмотрении смысла лингвистической переменной мы уже столкнулись с нечетким подмножеством, определив его как множество с размытыми или нечеткими границами. По-английски Fuzzy означает нечеткий, размытый. Поэтому иногда нечеткие множества называют размытыми множествами, или множествами Заде (Zadeh set) — по имени их автора.

Дадим более строгое определение нечеткого множества, а также связанных с ним понятий.


Нечеткое множество (НМ)

определяется как совокупность упорядоченных пар, составленных из элементов х универсального множества X и соответствующих степеней принадлежности или непосредственно в виде функции

Универсальным множеством (УМ) X нечеткого множества А называется область определения функции принадлежности juA .

Носителем НМ А называется множество таких точек в X, для которых

Высотой НМ А называется величина Sup/^Cv).

Точкой перехода НМ А называется такой элемент множества X , степень принадлежности которого множеству А равна 0,5.

Пусть УМ X представляет собой интервал [0,100], и переменная х, принимающая значения из этого интервала, интерпретируется как возраст. Нечеткое подмножество универсального множества X, обозначаемое термином старый, можно определить функцией принадлежности вида

Рис. 5.2. Функция принадлежности нечеткого множества старый

В этом примере (рис. 5.2) носителем НМ старый является интервал [50,100], высота близка к /, а точкой перехода является значение х = 55. Обычно НМ А универсального множества X записывается в виде

где , / = 1,п — степень принадлежности элемента х. НМ А . Пример 5.3

НМ Несколько = 0,52 + 0,83 + 0,94 + 715 + 716 +717 +0,88 + 0,59

Если носитель нечеткого множества имеет мощность континуума, то используется следующая запись:

Илон Маск рекомендует:  Что такое код curl_exec

где знак J обозначает объединение одноточечных Пример 5.4.

Рассмотрим некоторые из основных операций, которые можно выполнить над нечетким множеством.

1. Дополнение НМ А :

Операция дополнения соответствует логическому отрицанию.

2. Объединение НМ А и В :

Объединение соответствует логической связке «или».

3. Пересечение НМ А и В :

Пересечение соответствует логической связке «и».

4. Произведение НМ А и В :

Таким образом, любое НМ А“,где а — положительное число, следует понимать как

Основным равенством, с помощью которого для НМ можно расширить область определения X отображения или отношения, включив в нее наряду с точками произвольные нечеткие подмножества множества X , является принцип обобщения.

Предположим, что /- отображение X->Y, а А — нечеткое подмножество вида (2). Тогда согласно принципу обобщения

Применяя принцип обобщения, имеем

Таким образом, арифметическое произведение нечетких чисел примерно 2 и примерно б есть нечеткое число, выраженное формулой (3).

Используя принцип обобщения, можно переходить к нечетким множествам более высокого уровня.

НМ есть множество типа n, п = 2,3. если значениями его функции принадлежности являются НМ типа п-1. Функция принадлежности типа 1 принимает значения из интервала [0.1].

Операции дополнения, объединения, пересечения и т.п. для НМ типа 2 определяются, если использовать принцип обобщения [10. 19].

Нечеткие множества

Читайте также:

  1. Множества. Общие понятия
  2. Ограниченные числовые множества. Границы числовых множеств.
  3. Подмножество. Основные числовые множества.
  4. Понятие множества.
  5. Понятие множества.
  6. Понятие множества. Подмножества.
  7. Понятие подмножества. Свойства подмножеств.
  8. Счетные и несчетные множества.
  9. Числовые множества.

Основные элементы теории нечетких объектов; нечеткие множества, системы и семейства нечетких множеств; меры близости нечетких объектов; меры релевантности; отношения релевантности нечетких объектов

Для начала дадим определение нечеткого множества, чтобы определить тот объект, с которым мы будем работать на протяжении всех лекций.

В математике давно используется понятие множества – совокупности объектов, выделенных по некоторому признаку. Это понятие является базовым в современной математике и потому не определяется строго, формально. Так, если задано некоторое базовое множество X (конечное или бесконечное), то его подмножеством (четким подмнжеством) A называется любое множество, содержащее в себе только элементы множества X (хотя, может быть, и не все его элементы).

Любое подмножество A множества X можно описать его функцией принадлежности A : X ® <0; 1>m , значение которой для элемента xÎ X равно единице в том случае, если этот элемент принадлежит множеству A, и нулю – в противном случае.

Соответствие между подмножествами множества X и всевозможными функциями принадлежности m : X ® <0; 1>является взаимно однозначным, то есть, определив некоторое подмножество, мы можем определить его функцию принадлежности, и обратно, задание функции m : X ® <0; 1>задает и подмножество множества X.

В четком множестве любой элемент может или принадлежать ему, или не принадлежать, поэтому функция принадлежности принимает лишь два возможных значения – ноль или единица.

В нечетком же множестве (точнее, в нечетком подмножестве базового множества X) любой элемент x Î X может принадлежать множеству с некоторой степенью достовер ности, принимающей значения от нуля (элемент достоверно не принадлежит множеству) до единицы (элемент достоверно принадлежит множеству). Соответственно и функция принадлежности нечеткого множества может принимать любое значение из отрезка [0; 1].

Мы определим понятие нечеткого множества через его функцию принадлежности. Пусть X – некоторое обыкновенное (четкое) множество. В дальнейшем мы будем рассматривать его нечеткие подмножества.

Определение 1.Нечетким множеством A

в X называется функция mА

: X ®[0; 1] , которая каждому из элементов множества X ставит в соответствие степень его принадлежности нечеткому множеству A

Зачем же было введено понятие нечеткого множества? Для того же, для чего вводятся и другие математические объекты – чтобы описывать окружающий нас мир. В действительности большинство понятий, которые используют люди в повседневной жизни, являются нечеткими! Когда сапожник ждет около трех минут после нанесения клея перед склеиванием, когда хозяйка в соответствии с рецептом кладет в суп две щепотки соли, когда менеджер в коммерческой фирме выполняет указание руководства существенно повысить объемы продаж – все они выполняют нечеткие инструкции, сформулированные неформально с помощью разговорного языка. Даже формально четкие понятия, используемые в обыденной жизни, воспринимаются людьми как нечеткие. Например, в рецепте может быть четко указано «две чайные ложки соли», но хозяйка понимает, что блюдо не будет испорчено и если будет положено две с половиной ложки, не говоря уже о том, что чайные ложки, вообще говоря, бывают разной емкости.

Удобным способом математического описания неформальных понятий, подобных упомянутым выше, являются нечеткие множества6.

Язык нечетких множеств имеет существенные преимущества перед языком теории вероятностей в том случае, когда оценки получаются из опроса экспертов. Известно, что люди в большинстве своем неправильно оценивают вероятности (особенно большие и малые). Потому требовать от экспертов – специалистов в конкретных предметных областях, а не математиков, оценок в форме распределения вероятности зачастую невозможно8. Использование же полученных результатов для принятия решений можно квалифицировать как самонадеянное. Описание в форме нечетких множеств гораздо менее требовательно к квалификации экспертов и зачастую гораздо точнее отражает суть дела и имеющуюся у ЛПР информацию.

Конечно, за это удобство приходится платить. Предлагаемые теорией решения, основанные на нечеткой информации, и сами несут на себе печать нечеткости. Они могут рассматриваться лишь как рекомендации для ЛПР, требуя от него выбора одного из предлагаемых вариантов. Тем не менее, даже этот факт можно рассматривать как достоинство теории – он показывает, как увеличение информированности ЛПР сказывается на достоверности и правильности принимаемых решений.

| следующая лекция ==>
Математический аппарат и модели информационных объектов и процессов | Нечёткие системы управления

Дата добавления: 2014-01-07 ; Просмотров: 265 ; Нарушение авторских прав? ;

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

Определение и примеры чёткой логики

Определение и примеры чётких множеств

Чёткое множество – совокупность различных элементов, мыслимая как единое целое. X = <x>, x Є X

Операции над чёткими множествами:

Пусть множество цифр E = <0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9>, тогда подмножество чётных цифр можно определить как: A = <0, 2, 4, 6, 8>.

Пусть множество фамилий E = <Иванов, Петров, Аносов, Кузнецов, Анискин, Афанасьев, Сергеев>, тогда подмножество фамилий, начинающихся на букву “А” можно определить:

Определение и примеры нечётких множеств

Универсальное множество – множество, содержащие все мыслимые объекты.

Нечёткое множество A – математический объект, представляющий собой множество, принадлежность к которому представляет собой не отношение, а функцию; совокупность универсального множества X и характеристической функции μA(x), которая характеризует степень принадлежности элемента x нечёткому множеству.

Функция μA(x) принимает значения в некотором линейно упорядоченном множестве принадлежностей M. Часто в качестве M выбирается отрезок [0, 1]. Если M = <0, 1>, то нечёткое множество может рассматриваться как обычное, чёткое множество.

Операции над нечёткими множествами:

— пересечение:

— объединение:

— сумма:


— произведение:

Пусть E = <0,1,2,3. n. >. Нечеткое множество «малый» можно определить: Пусть E = <1,2,3. 100>и соответствует понятию «возраст«, тогда нечеткое множество «молодой«, может быть определено: m«молодой»(x) = . Нечеткое множество «молодой» на универсальном множестве E’ =<Иванов, Петров, Сидоров. > задается с помощью функции принадлежности m«молодой«(x) на E = <1,2,3. 100>(возраст),называемой по отношению к E’ функцией совместимости, при этом:m«молодой»(Сидоров):= m«молодой«(x), где x — возраст Сидорова.

Сходства чётких и нечётких множеств

Чёткие и нечёткие множества имеют одинаковую иерархию: они делятся на подмножества, множества и надмножества. Чёткие и нечёткие множества имеют одинаковые типы операций (Пересечение, объединение, произведение), производимые над ними.

Чёткое множество является частным случаем нечёткого, а понятие нечёткого множества является расширенным понятием, охватывающим и понятие чёткого множества.

Различия чётких и нечётких множеств

В чётком множестве все элементы делятся на 2 типа: относящиеся к нему и не относящиеся. Относительно элементов нечёткого множества можно говорить в какой мере они в него входят, а не просто входят они в него или нет. Операции над нечёткими множествами представляются отлично от операций над чёткими множествами.

Сравнение множеств происходит по разному:

Пусть A и B — 2 чётких множества, определённых на универсальном множестве X.

Множество A содержится во множестве B, если каждый элемент A есть элемент B:

Два чётких множества называются равными, если они являются подмножествами друг друга:

Пусть A и B нечёткие множества, заданные на универсальном множестве X. A содержится в B, если для любого элемента из X функция его принадлежности множеству A будет принимать значение меньшее либо равное, чем функция принадлежности множеству B:

В случае, если условие выполняется не для всех , говорят о степени включения нечёткого множества A в B, которое определяется так:

Два нечётких множества называются равными, если они содержатся друг в друге:

2. Сравнительный анализ чёткой и нечёткой логики

Определение и примеры чёткой логики

Чёткая логика – детерминированная логика, допускающая только две оценки: истина и ложь. Она основана на двузначной булевой алгебре и чётких множествах.

Все переменные изменяются по базовому сигналу управления – тактовому импульсу.

С помощью чёткой логики можно строить последовательные схемы:

Для случая 1 входа и выхода существуют 4 операции отношения, для 2 входов и 1 выхода – 16 операций, и т.д.

x y xy xy x xy y xy x|y x & y xy y xy x xy xy

Среди них наиболее важными операциями являются НЕ-И и НЕ-ИЛИ, так как любую комбинаторную схему можно построить только с помощью только вентилей НЕ-И, либо – НЕ-ИЛИ.

В общем случае при логических выводах в искусственном интеллекте выполняется силлогизм, в основе которого лежат операции импликации. Его можно представить следующими формулами:

1) Вывод из утверждений “Если птица, то летает” и “Если летит, то направляется на этот остров” заключения “Если птица, то направляется на этот остров”.

2) Вывод из утверждений “Если птица, то летает” и “Это животное – птица” заключения “Это животное летает”.

3) Вывод из утверждений “Если птица, то летает” и “Это животное не летает” заключения “Это животное – не птица”.

Нечеткие множества и их особенности

Нечёткое (или размытое, расплывчатое) множество — понятие, введённое Л. Заде, который расширил классическое (канторовское) понятие множества, допустив, что характеристическая функция (функция принадлежности элемента множеству) может принимать любые значения в интервале [0,1], а не только значения 0 или 1.

Определение: нечеткое множество (a fuzzy set)

Пусть C есть некоторое универсальное множество (универсум). Тогда нечеткое множество A в C определяется как упорядоченное множество пар

где называется функцией принадлежности (ФП) элемента х к нечеткому множеству A.

ФП приписывает каждому элементу из C значение из интервала [0, 1], которое называется степенью принадлежности х к A или нечеткой мерой.

Нечеткая мера может быть рассмотрена как степень истинности того, что элемент х принадлежит A.

Определение: основа нечеткого множества (a support of a fuzzyset)

Основой нечеткого множества A является множество всех точек таких, что .

Таким образом, определение нечеткого множества является расширением определения классического множества, в котором характеристическая функция может принимать непрерывные значения между 0 и 1. Универсум C может быть дискретным или непрерывным множеством.

Для представления ФП обычно используется несколько типов параметрических функций.

Типовые представления ФП

Треугольные ФП (рис. 2.2, а) описываются тремя параметрами <a, b, c>, которые определяют x координаты трех углов треугольника следующим образом:

Трапециидальные ФП (рис. 2.2, в) описываются четырьмя параметрами <a,b,c,d>, которые определяют x координаты четырех углов трапеции следующим образом:

Рис. 2.2. Треугольная и трапецеидальная ФП

Гауссовские ФП (рис. 2.3) специфицируются двумя параметрами и представляют собой следующую функцию: .

Рис. 2.3. Гауссовская ФП

Одним из фундаментальных понятий, введенных также Л.Заде, является понятие лингвистической переменной.

Определение: лингвистическая переменная (ЛП) представляет собой следующую пятерку , где – имя переменной, – терм-множество, задающее множество значений ЛП, являющихся языковыми выражениями (синтагмами), X – универсум, G – синтаксическое правило, используя которое мы можем формировать синтагмы , M – семантическое правило, используя которое каждой синтагме приписывается ее значение, являющееся нечетким множеством в универсуме X.

Примером ЛП может служить, например, переменная = «возраст». Ее терм-множество может быть, например, следующим:

(возраст) = <очень молодой, молодой, более или менее молодой, средних лет, старый, очень старый>.

Универсумом для данной ЛП может служить некоторое множество действительных чисел, например, интервал . Семантическое правило М приписывает термам из T (возраст) значения, являющиеся различными модификациями нечетких множеств.

Вернемся к нашему примеру управления движением автомобиля и опишем лингвистические значения в выше приведенных правилах с помощью нечетких множеств. Рассмотрим следующие лингвистические переменные:

xрасстояние между машинами;

yскорость впереди едущей машины;

z – ускорение управляемого автомобиля.

ФП должны быть определены в соответствии с рассматриваемой ситуацией управления. Так, например, скорость равная 70 км/час является «большой» в ситуации движения по городской дороге и может рассматриваться как «небольшая» в ситуации движения по скоростному шоссе.

Определим для нашего примера следующие универсумы:

На рис. 2.4 показаны ФП для описания лингвистических значений «небольшая» (slow) и «большая» (fast) для скорости и «близкое» (short) и «большое» (long) для расстояния.

Рис. 2.4. Нечеткие множества для задачи управления простейшим движением автомобиля

Различия между классическим и нечетким представлением множества

Обсудим эти различия с использованием следующего примера. Рассмотрим классическое и нечеткое представления множества для описания лингвистического значения «короткий» (для расстояния).

На рис. 2.5 показаны различия между классическим и нечетким представлением множества A для данного примера.

Рис. 2.5. Классическое и нечеткое представления множества A

Определим классическое представление множества A так, как показано на рис. 2.5 слева. В этом случае характеристическая функция будет:

Нечеткое представление множества A показано на рис. 2.5 справа. В этом случае функция принадлежности ФП выглядит следующим образом:

Зададим теперь следующий вопрос: принадлежит ли точка м или точка м множествуA?

С точки зрения классического представления ответ «нет». С точки зрения человеческого восприятия ответ скорее «да», чем «нет». С точки зрения нечеткого представления ответ «да».


Таким образом, данный простой пример наглядно показывает, что нечеткий подход более близок к естественному, человеческому, и обладает большей гибкостью, нежели классический подход.

С помощью нечетких множеств мы можем описывать нечеткие границы.

Основные операции в теории нечетких множеств

Определим основные нечеткие операции следующим образом.

Определение:нечеткое подмножество (Fuzzy Containment или Fuzzy Subset). Нечеткое множество A содержится в нечетком множестве B (или, эквивалентно, A является подмножеством B) тогда и только тогда, когда для всех . В символьной форме:

Определение:эквивалентность нечетких множеств (Equality of Fuzzy Sets). Эквивалентность (равенство) нечетких множеств A и B определяется следующим образом:

Определение:нечеткое объединение или нечеткая дизъюнкция (Fuzzy Union).Объединение двух нечетких множеств A и B (в символьной форме пишется как или A OR B или A B) есть нечеткое множество , ФП которого определяется следующим образом:

Определение:нечеткое пересечение (Fuzzy Intersection).Пересечение двух нечетких множеств A и B (в символьной форме записывается как , или C = A AND B, или C = A B) есть нечеткое множество , ФП которого определяется следующим образом:

Определение:нечеткое дополнение.Дополнение A (в символьной форме пишется как или ) есть нечеткое, ФП которого определяется следующим образом:

На рис 2.6 показаны примеры нечетких операций над нечеткими множествами.

Рис. 2.6. Примеры нечетких операций над нечеткими множествами

Особенности нечетких множеств

Отметим важные особенности теории нечетких множеств.

1) Закон исключенного третьего и закон контрадикции , где — пустое множество верны в классической теории множеств, однако в теории нечетких множеств в общем случае они не выполняются.

Закон исключенного третьего и закон контрадикции в нечеткой теории выглядят следующим образом: и .

2) В классической теории множеств точка из множества A может иметь одну из двух возможностей: or . В нечеткой теории точка может принадлежать множеству A и одновременно не принадлежать A (т.е. принадлежать множеству ) с различными значениями функций принадлежности и , как показано на рис. 2.7.

Рис. 2.7. Особенность нечетких множеств

Это означает, что в процессе нечетких рассуждений мы можем одновременно рассматривать две возможности, что делает процесс рассуждений более гибким, чем классический.

3) Связь с теорией вероятности. Теория нечётких множеств в определенном смысле сводится к теории случайных множеств и тем самым к теории вероятностей. Описание последовательности теорем, описывающих это сведение, находится вне рамок данной книги [см. ссылки в сайте википедии]. Основная идея состоит в том, что значение функции принадлежности можно рассматривать как вероятность накрытия элемента некоторым случайным множеством B. Однако при практическом применении аппарат теории нечётких множеств обычно используется самостоятельно, выступая конкурентом к аппарату теории вероятностей и прикладной статистики.

Дата добавления: 2020-12-05 ; просмотров: 1422 | Нарушение авторских прав

Нечеткие множества

При планировании новых проектов аналитики сталкиваются с проблемой неопределенности, которая для каждой сферы проявляется по-разному. Обычно неопределенность относится к предсказаниям будущих событий, или к неизвестному.

В общем случае, неопределенность — нехватка уверенности, состояние наличия ограниченных знаний, где невозможно точно описать будущий результат или наличие большого числа возможных исходов. В такой ситуации конечно можно использовать классические статистические (вероятностные) методы, но как показывает практика, их использование не всегда может дать адекватные результаты т.к. не всегда существуют условия для их корректного применения, что в свою очередь может привести либо к реализации совершенно неэффективного проекта, либо к его избыточному финансированию.

В результате на сегодняшний день уделяется большое внимание исследованиям в области теории нечетких множеств и в частности нечетким множествам первого порядка (НМ1). В общем виде НМ1 можно определить следующим образом:

где B — базис, X – универсальное множество, — отображение базиса на универсальное множество.

Для решения конкретных практических задач определение (1) использовать достаточно неудобно, поэтому Лотфи Заде предложил более удобную интерпретацию НМ1 [5]:

где X – универсальное множество, а μA(x) — функция принадлежности элемента х множеству А, являющееся подмножеством универсального множества. На основе нечетких множеств первого порядка были разработаны различные модели и алгоритмы для принятия решения в условиях неопределенности, и в частности модель оценки эффективности инвестиционных проектов [1,2]. Анализ таких методов и моделей показывает, что довольно часто они не обеспечивают получение полностью достоверных решений ввиду недостаточно обоснованного выбора параметров моделирования, а поиск эффективных решений сопровождается значительными временными затратами из-за необходимости выполнения многократных реализаций используемых методов, моделей и алгоритмов с целью выбора оптимальных параметров. Еще одним недостатком нечетких множеств первого порядка является тот факт, что зачастую они не могут адекватно описать всю имеющуюся неопределенность (вероятностную, интервальную, временную).

Средством для решения всех выше описанных проблем могут выступить нечеткие множества второго порядка (НМ2), которые и будут более подробно описаны в этой статье.

Нечеткие множества второго порядка

Нечеткие множества второго порядка являются обобщением нечетких множеств первого порядка и разрабатывались для обработки большей степени неопределенности. Еще в начале исследований, связанных с теорией нечетких множеств, высказывались соображения о том, что функция принадлежности нечеткого множества первого порядка практически не содержит неопределенности, связанной с ней, что, в свою очередь противоречит слову «нечеткий», что означает «много неопределенности».

В таком случае возникает закономерный вопрос: — что делать в той ситуации, когда возникают сомнения относительно значения функции принадлежности. В ответ на этот вопрос был Лотфи А. Заде, предложил использовать более сложные виды нечетких множеств и названные нечеткими множествами второго порядка (НМ2). Они дают возможность описать всю неопределенность в функции принадлежности теории нечетких множеств. Если же неопределенность имеет достаточно низкий уровень, то НМ2 можно свести к НМ1, так же как снижение вероятности к детерминизму, когда неопределенность исчезает.

Исходя из приведенного выше определения НМ1 (1) можно вывести формулу для определения нечеткого множества n-порядка:

из которого получаем определение НМ2:

В работе [3] Мендель и Джохан предложили определение более удобное для практического применения:

где X — универсальное множество, а – множество функций принадлежности , характеризующих степень принадлежности элементов x и и (третье измерение, характеризующее вторичную функцию принадлежности) множеству A . Различают общее и интервальное НМ2. Особенности каждого вида будут рассмотрены далее.

Функция принадлежности общего НМ2, представлена в 3-мерной модели на рисунке 1, где третьим измерением функции принадлежности в каждой точке 2-мерной области является так называемый след неопределенности (FOU).

Рисунок 1. След неопределенности НМ2

След неопределенности — это размывание функции принадлежности первого порядка, который полностью описывается двумя ее ограничивающими функциями (рис. 1): нижняя функция принадлежности (НФП) и верхней функции принадлежности (ВФП), каждая из которых представляет собой нечеткое множество первого порядка.

Следовательно, можно использовать нечеткую математику, характерную для первого порядка при работе с НМ2, с особенностями которой можно ознакомиться в статье Менделя и Карника [4].

Сравнение нечетких множеств первого и второго порядков

Нечеткие множества первого порядка характеризуется степенью расплывчатости, а вторые — степенью нечеткости, так что его можно было бы назвать «нечеткое нечеткое множество.» Такое множество полезно в тех случаях, когда затруднительно определить точное значение функции принадлежности для нечеткого множества, а так же и при моделировании.

В НМ1 степень принадлежности определена числом, принадлежащим интервалу [0, 1], в НМ2 — степень принадлежности сама по себе нечетка и представляется как вторичная функция принадлежности. НМ2 включают третье измерение и след неопределенности, который дает им дополнительные степени свободы для управления неопределенностью.

Рисунок 2. Три типа нечетких множеств

На рис. 2 представлено трех типов нечетких множеств. Нужно отметить, что, в то время как традиционное множество первого типа не визуализируется как трехмерный набор, его концепция и визуализация в трех измерениях, является прямой. При рассмотрении каждого из его элементов, связанного со значением функции принадлежности в третьем измерении равным 1, получаем полную уверенность относительно каждого достигнутого значения принадлежности, связанным с новым входным значением.

Илон Маск рекомендует:  Синтаксис HTML

НМ1 учитывает нечеткое представление исходного параметра и функция принадлежности этого множества определяет степень принадлежности, полученную на основании исходного набора термов и в результате она перестает быть нечеткой (теряется вся неопределенность). Если же существует достаточный уровень неопределенности в количестве исходных наборов, то можно воспользоваться НМ2, которые дают возможность избежать постоянного обновления функции принадлежности и результата в степенях принадлежности, при этом наличие неопределенности сохраняется, что в некоторых случаях необходимо учитывать [3].

Рисунок 3. Представление вторичных функций принадлежности (третьи измерения)

На рис. 2 представлен исходный параметр p, примененный к трем различным типам нечетких множеств – НМ1 (2а), интервальное НМ2 (2б) и общее НМ2 (2в), на основе которого получаем степени принадлежности (определенной для типа нечеткого множества). Количество неопределенности (и распределение), которое связано со степенью – след неопределенности, выделено цветом в рис. 2 и более наглядно продемонстрировано на рис. 3, котором показаны вторичные функции принадлежности (третье измерение) НМ1 — рис. 3a, интервального НМ2 – рис. 3б и общего НМ2 – рис. 3в. Нужно отметить, что рис. 3 визуализирует µ-z измерения.

У вторичной функции принадлежности НМ1 есть только одно значение в ее области (рис. 3a) в соответствии с основным значением функции принадлежности, в которой вторичность равняется 1. Следовательно, в НМ1, для каждого значения x (в нашем случае p), нет никакой неопределенности, связанной с основным значением функции принадлежности. В интервальном НМ2 (рис. 3б), существует максимальная неопределенность, связанная со вторичной функцией принадлежности, поскольку значение основной функции принадлежности находится в пределах интервала [a, b], где у каждого значения в этом интервале есть связанная с ним вторичная принадлежность 1. Что касается общего НМ2 (рис. 3в), то неопределенность (представление вторичной функцией принадлежности) здесь может быть смоделирована с любой степенью между первым и интервальным вторым нечетким множеством, например треугольной вторичной функцией принадлежности — рисунке 3в. В целом, можно отметить, что общее НМ2 позволяет смоделировать любую степень неопределенности в третьем измерении, т.е. если неопределенность практически отсутствует, то данное НМ2 можно свести к первому порядку, в случае максимального уровня неопределенности все можно свести к интервальному НМ2, где неопределенность одинаково распределена в третьем измерении.

Высоты функции принадлежности второго порядка находятся на вершине своего следа неопределенности. На рис. 4б показан след неопределенности, если существует размывание треугольной функции принадлежности, представленное затенением. Другой пример приведен на рис. 4а для гауссовой первичной функции принадлежности, у которой стандартное отклонение известно с совершенной уверенностью, но, среднее, ??m, не определено и варьируется где-нибудь в интервале от m1 до m2. Равномерное затенение в течение всего следа неопределенности означает, что предполагается равномерное взвешивание (возможности). Из-за равномерного взвешивания, это НМ2 называется интервальным НМ2 (рис. 4б) [3].

Рисунок 4. Общее (а) и интервальное (б) НМ2

Почти все приложения используют интервальное НМ2, потому что, на сегодняшний день, только для таких множеств (и систем, которые используют их), все расчеты просты для выполнения. Кроме того, хотя общее НМ2 дает больше степеней свободы параметров, чем интервальное, никто не знает еще, что лучше выбрать.

Практическое применение нечетких множеств второго порядка

Для демонстрации целесообразности использования НМ2 рассмотрим актуальную на сегодня проблему – оценка экономической эффективности инвестиционных проектов.

Исходное условие задачи:

Необходимо проанализировать три инвестиционные проекта, реализация которых рассчитана на 5 лет, с различными объемами предполагаемых вложений и доходов. Необходимо определить наиболее эффективный инвестиционный проект с учетом данных представленных в таблице 1 (данные реальные, но обезличенные). Ставка дисконтирования равна 15%, а уровень инфляции составляет 8,3%.

Таблица 1 Исходные данные по задаче

Требуемые инвестиционные вложения, млн. руб.

Прогнозируемый поток доходов с учетом срока реализации, млн. руб.:

Теория нечетких множеств – часть теории вероятностей Текст научной статьи по специальности « Математика»

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Орлов Александр Иванович

Одно из принципиальных положений системной нечеткой интервальной математики – утверждение о том, что теория нечетких множеств является частью теории случайных множеств , тем самым –частью теории вероятностей . Статья посвящена обоснованию этого утверждения. Доказан ряд теорем, показывающих, что нечеткие множества и результаты операций над ними можно рассматривать как проекции случайных множеств и результатов соответствующих операций над ними

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Орлов Александр Иванович,

FUZZY SETS THEORY AS THE PART OF PROBABILITY THEORY


One of the key provisions of the system fuzzy interval mathematics the claim that the theory of fuzzy sets is the part of the theory of random sets, thus, part of the probability theory. The article is devoted to the justification of this statement. Proved number of theorems that show that the fuzzy sets and the results of operations on them can be viewed as the projections of random sets and the results of the corresponding operations on them

Текст научной работы на тему «Теория нечетких множеств – часть теории вероятностей»

ТЕОРИЯ НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ — ЧАСТЬ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Орлов Александр Иванович д.э.н., д.т.н., к.ф.-м.н., профессор

Московский государственный технический университет нм. Н.Э. Баумана, Россия, 105005, Москва, 2-я Бауманская ул., 5, рго/-ог1оу(сйта)1.ги

Одно из принципиальных положений системной нечеткой интервальной математики — утверждение о том, что теория нечетких множеств является частью теории случайных множеств, тем самым -частью теории вероятностей. Статья посвящена обоснованию этого утверждения. Доказан ряд теорем, показывающих, что нечеткие множества и результаты операций над ними можно рассматривать как проекции случайных множеств и результатов соответствующих операций над ними

Ключевые слова: НЕЧЕТКИЕ МНОЖЕСТВА, ФУНКЦИЯ ПРИНАДЛЕЖНОСТИ, АЛГЕБРА НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ, ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ, СЛУЧАЙНЫЕ МНОЖЕСТВА, РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ,

ПРОЕКЦИЯ СЛУЧАЙНОГО МНОЖЕСТВА

FUZZY SETS THEORY AS THE PART OF PROBABILITY THEORY

Orlov Alexander Ivanovich

Dr.Sci.Econ., Dr.Sci.Tech., Cand.Phys-Math.Sci.,

Bauman Moscow State Technical University, Moscow, Russia

One of the key provisions of the system fuzzy interval mathematics — the claim that the theory of fuzzy sets is the part of the theory of random sets, thus, part of the probability theory. The article is devoted to the justification of this statement. Proved number of theorems that show that the fuzzy sets and the results of operations on them can be viewed as the projections of random sets and the results of the corresponding operations on them

Keywords: FUZZY SETS, MEMBERSHIP FUNCTION, AFGEBRA OF FUZZY SETS, PROBABIFITY THEORY, RANDOM SETS, PROBABIFITY DISTRIBUTION, RANDOM SET PROJECTION

В статье [1] сформулированы основные идеи системной нечеткой интервальной математики. Разработка этого перспективного направления теоретической и вычислительной математики поддержано специалистами, в частности, на всероссийской конференции «Философия математики — 2013» [2]. Одно из принципиальных положений статьи [1] состоит в том, что теорию нечетких множеств можно рассматривать как часть теории случайных множеств, тем самым -как часть теории вероятностей. А именно, нечеткие множества можно рассматривать как проекции случайных множеств, подобно тому, как за функциями распределения видны случайные величины, порождающие эти функции распределения. В настоящей статье это принципиальное положение развернуто в виде цепочки теорем. Хотя в настоящее время при решении прикладных задач вероятностно-статистические методы и методы теории нечеткости обычно рассматриваются как различные, их внутренне единство заслуживает обсуждения и применения.

1. Нечеткие множества

В 1965 г. в журнале «Информация и управление» появилась статья Лотфи А. Заде, профессора информатики Калифорнийского Университета в Беркли, специалиста по теории управления сложными системами [3]. Она называлась непривычно: «Fuzzy Sets». Второе слово этого названия переводится с английского языка привычным математическим термином «множества», а вот первое никогда до тех пор в кибернетической литературе не использовалось. Согласно словарю, «fuzz»

— пух, пушинка, «fuzzy» — пушистый. На русский язык термин «fuzzy» переводят по-разному: нечеткий, размытый, расплывчатый, реже — туманный, пушистый и т.п.

Чтобы определить нечеткое множество, надо сначала задать совокупность всех тех элементов, для которых имеет смысл говорить о мере их принадлежности рассматриваемому нечеткому множеству. Эта совокупность называется универсальным множеством. Например, для числа зерен «кучи» — это множество натуральных чисел, для описания видимых человеческим глазом цветов — отрезок шкалы электромагнитных волн, соответствующий видимому свету.

Пусть А — некоторое универсальное множество. Подмножество В множества^ характеризуется своей характеристической функцией

|Дв(х) = i Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

задает интервальную неопределенность — про рассматриваемую величину известно лишь, что она лежит в заданном интервале [а, Ь]. Тем самым описание неопределенностей с помощью нечетких множеств является более общим, чем с помощью интервалов.

Начало современной теории нечеткости положено работой 1965 г. американского ученого азербайджанского происхождения Л.А. Заде. Основные

определения, алгоритмы расчетов и выражающие их свойства теоремы приведены ниже. Рассуждения древнегреческих философов, Пуанкаре и Бореля (подробнее см. [1]) обосновывают методологию теорию нечеткости, но как математическая дисциплина она началась с работы Заде. За десятилетия, прошедшие с появления статьи [3], «пушистой» тематике посвящены тысячи статей и книг. Выполнено достаточно много как теоретических, так и прикладных работ. Появилось новое направление в прикладной математике — теория нечеткости. Выходят международные научные журналы, проводятся конференции, в том числе и в нашей стране. В нашей стране концепция Заде активно обсуждалась еще в 60-е и 70-е гг., однако первая книга российского автора по теории нечеткости вышла лишь в 1980 г. [4].

Л.А. Заде рассматривал теорию нечетких множеств как аппарат анализа и моделирования гуманистических систем, т.е. систем, в которых участвует человек. Его подход опирается на предпосылку о том, что элементами мышления человека являются не числа, а элементы некоторых нечетких множеств или классов объектов, для которых переход от «принадлежности» к «непринадлежности» не скачкообразен, а непрерывен. В настоящее время методы теории нечеткости используются почти во всех прикладных областях, в том числе при управлении предприятием, качеством продукции и технологическими процессами. Нет необходимости связывать теорию нечеткости только с гуманистическими системами.

Л.А. Заде использовал термины «теория нечетких множеств» и «нечеткая логика». Мы предпочитаем говорить о теории нечеткости. Термин «нечеткая логика» не является синонимом к термину «теория нечеткости», поскольку логика -это наука о мышлении человека, а теория нечеткости применяется не только для моделирования мышления. Нечеткая логика — это часть теории нечеткости.

Аппарат теории нечеткости довольно громоздок. В качестве примера дадим определения теоретико-множественных операций над нечеткими множествами. Пусть Си/)- два нечетких подмножества универсального множества А с

функциями принадлежности ^с(х)и М^(х) соответственно. Пересечением (‘ ^1!), произведением СИ, объединением сотрицанием С, суммой С+И называются нечеткие подмножества А с функциями принадлежности

^спо(х) = т1П&с(х)^о(х)), Нсо(х) = Нс(х)Но(х), Нс(х) = 1

Исио(х) = тах(Ис(х)’^о(х))’ ^с+о(х) = Мх)+^о(х)-Мх)МхХ хеЛ

Для знакомства со спецификой нечетких множеств рассмотрим некоторые их свойства.

В дальнейшем считаем, что все рассматриваемые нечеткие множества являются подмножествами одного и того же множества 7.

Законы де Моргана для нечетких множеств. Как известно, законами де Моргана называются следующие тождества алгебры множеств

лив = лпв, лпв = лив. ^

Теорема 1. Для нечетких множеств справедливы тождества

А + В = АВ, АВ =А + В. ^

Доказательство теоремы 1 состоит в непосредственной проверке (как это сделано ниже при доказательстве теоремы 2) справедливости соотношений (3) и (4) путем вычисления значений функций принадлежности участвующих в этих соотношениях нечетких множеств на основе определений, данных выше.

Тождества (3) и (4) назовем законами де Моргана для нечетких множеств. В отличие от классического случая соотношений (2), они состоят из четырех тождеств, одна пара которых относится к операциям объединения и пересечения, а вторая — к операциям произведения и суммы. Как и соотношение (2) в алгебре множеств, законы де Моргана в алгебре нечетких множеств позволяют преобразовывать выражения и формулы, в состав которых входят операции

Научный журнал КубГАУ, №92(08), 2013 года отрицания.

Дистрибутивный закон для нечетких множеств. Некоторые свойства

операций над множествами не выполнены для нечетких множеств. Так, А + АфА> за

исключением случая, когда А — «четкое» множество (т.е. функция принадлежности

принимает только значения 0 и 1).

Верен ли дистрибутивный закон для нечетких множеств? В литературе иногда расплывчато утверждается, что «не всегда». Внесем полную ясность.

Теорема 2. Для любых нечетких множеств А, В и С

В то же время равенство

А(В + С) = АВ + АС ф

справедливо тогда и только тогда, когда при всех у е г

(Иа (у) — (У))Рв ООис (у) = °-Доказательство. Фиксируем произвольный элемент у е ^. Для сокращения

записи обозначим а

^а(у)’Ь — цв(у)’с — №с(у)- для доказательства тождества (5) необходимо показать, что

шт(а, тах( Ъ, с)) = тах(тт( а, Ь), тш(а, с)).

Рассмотрим различные упорядочения трех чисел а, Ь, с. Пусть сначала

а а) = а, т.е. равенство (7) справедливо.

Пусть Ъ с) = а> а справа тах(Ъ, а) = а, Т е соотношение (7) опять является равенством.

Если Ь i Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Эти два выражения совпадают тогда и только тогда, когда, когда а

Определение 1. Носителем нечеткого множества А называется совокупность

всех точек У е ¥, для которых ^ (у) > 0

Следствие теоремы 2. Если носители нечетких множеств В и С совпадают с У, то равенство (6) имеет место тогда и только тогда, когда А — «четкое» (т.е. обычное, классическое, не нечеткое) множество.

Доказательство. По условию ^в(у)^-с(у) ф 0 ПрИ всех у е У хогда из теоремы

2 следует, что Ра(у)

11а(у) = ®’ т.е. ^а(у) = ^ или чт0 и означает, что А —

2. Теория нечеткости как часть теории случайных множеств


Что такое случайное множество? Начнем с понятия случайной величины. Это величина, зависящая от случая, т.е. функция от элементарного исхода (события). Скажем, результат наблюдения, зависящий от случайных привходящих факторов. А случайное множество — это множество, зависящее от случая. Другими словами, функция, область определения которой — пространство элементарных событий, а область значений — совокупность множеств, например, совокупность всех подмножеств некоторого конкретного множества.

Случайные множества используются во многих прикладных задачах [5]. В монографиях [6, 7] случайные множества использовались для моделирования распространения лесных пожаров. Пусть пожар начался с загорания в определенной точке. В следующий момент времени загорятся некоторые из соседних точек. А

некоторые не загорятся. Через час огнем будет охвачено некоторое множество. Форма пожара будет описываться случайным множеством, зависящим от времени.

От чего зависит форма пожара? Конечно, от того, как «устроен» лес — какие в нем породы деревьев, сколько сухостоя, есть ли естественные преграды для огня (ручьи, овраги), а также от метеорологических условий — куда дует ветер, сколько осадков выпало за последнее время, какова температура воздуха. Все эти условия неизвестны в точности наблюдателю на самолете. Поэтому для него вполне естественно моделировать распространение пожара с помощью теории вероятностей. Эти модели, разработанные на основе теории случайных множеств, находят применение в лесном хозяйстве [6, 7].

Теория нечетких множеств сводится к теории случайных множеств с помощью понятия «проекция случайного множества». С каждым случайным множеством можно связать некоторую функцию — вероятность того, что элемент принадлежит множеству. Эта функция обладает всеми свойствами функции принадлежности нечеткого множества. Соответствующее нечеткое множество и называют проекцией исходного случайного множества. Оказывается, верно и обратное — для любого размытого множества можно подобрать случайное множество так, что вероятность принадлежности элемента случайному множеству всюду совпадает с функцией принадлежности заданного размытого множества. Подобное соответствие можно установить так, что результаты операций над множествами тоже будут соответствовать друг другу.

Есть все основания полагать, что связь между размытостью и вероятностью позволит применить в теории нечеткости методы и результаты, накопленные в теории случайных множеств. И наоборот, даст возможность перенести понятия и постановки задач из первой теории во вторую, что послужит прогрессу в обеих.

Почему же специалисты по нечетким множествам порою «открещиваются» от теории вероятностей? Одна из причин — устаревшее на три четверти века представление о математике случая, согласно которой она рассматривается как «наука о массовых явлениях»: вероятность мыслится как предел частоты, а

случайное событие — как то, которое может произойти, а может не произойти. Всё это — отголоски далекого прошлого, когда теория вероятностей недостаточно отделялась от ее приложений. Ныне она опирается на четкую систему аксиом, обычно — на аксиоматику А.Н. Колмогорова. В 1933 г. им опубликована основополагающая монография [8], заложившая научные основы современной теории вероятностей. Теоремы в ней доказываются точно так же, как и в любом другом разделе математики, без всяких ссылок на свойства реального мира. Ее выводы могут применяться при анализе весьма различных реальных явлений — как массовых, так и таких, где нет и речи о массовости и частоте. Именно таковы многие расплывчатости, «нечастотную» природу которых специалисты по нечетким множествам зачастую рассматривают как причину несводимости к понятиям теории вероятностей.

Разберем подробнее связи между теорией нечеткости и теорией случайных множеств.

Нечеткие множества как проекции случайных множеств. С самого начала появления современной теории нечеткости в 60-е гг. началось обсуждение ее взаимоотношений с теорией вероятностей. Дело в том, что функция принадлежности нечеткого множества напоминает распределение вероятностей. Отличие только в том, что сумма вероятностей по всем возможным значениям случайной величины (или интеграл, если множество возможных значений несчетно) всегда равна 1, а сумма Л’ значений функции принадлежности (в непрерывном случае — интеграл от функции принадлежности) может быть любым неотрицательным числом. Возникает искушение пронормировать функцию принадлежности, т.е. разделить все ее значения на £ (при £ ^ 0), чтобы свести ее к распределению вероятностей (или к плотности вероятности). Однако специалисты по нечеткости справедливо возражают против такого «примитивного» сведения, поскольку оно проводится отдельно для каждой размытости (нечеткого множества), и определения обычных операций над нечеткими множествами с ним согласовать нельзя. Последнее утверждение означает следующее. Пусть указанным образом

преобразованы функции принадлежности нечетких множеств А и В. Как при этом преобразуются функции принадлежности АГ\В,Аив,А + В,АВ усхановихь Это невозможно в принципе. Последнее утверждение становится совершенно ясным после рассмотрения нескольких примеров пар нечетких множеств с одними и теми же суммами значений функций принадлежности, но различными результатами теоретико-множественных операций над ними, причем и суммы значений соответствующих функций принадлежности для этих результатов теоретико-множественных операций, например, для пересечений множеств, также различны.

В работах по нечетким множествам довольно часто утверждается, что теория нечеткости является самостоятельным разделом прикладной математики и не имеет отношения к теории вероятностей (см., например, обзор литературы в монографиях [4, 5]). Авторы, сравнивавшие теорию нечеткости и теорию вероятностей, обычно подчеркивали различие между этими областями теоретических и прикладных исследований. Обычно сравнивают аксиоматику и сравнивают области приложений. Надо сразу отметить, что аргументы при втором типе сравнений не имеют доказательной силы, поскольку по поводу границ применимости даже такой давно выделившейся научной области, как вероятностно-статистические методы, имеются различные мнения. И с арифметикой не лучше. Итог рассуждений одного из наиболее известных французских математиков Анри Лебега по поводу границ применимости арифметики таков: «Арифметика применима тогда, когда она применима» (см. его монографию [9, с.21-22]).

При сравнении различных аксиоматик теории нечеткости и теории вероятностей нетрудно увидеть, что списки аксиом различаются. Из этого, однако, отнюдь не следует, что между указанными теориями нельзя установить связь, типа известного сведения евклидовой геометрии на плоскости к арифметике (точнее к

теории числовой системы К2 — см., например, монографию [10]). Напомним, что эти две аксиоматики — евклидовой геометрии и арифметики — на первый взгляд весьма

Можно понять желание энтузиастов нового направления подчеркнуть принципиальную новизну своего научного аппарата. Однако не менее важно установить связи нового подхода с ранее известными. Рассмотрим метод сведения теории нечетких множеств к теории случайных множеств.

Определение 2. Пусть А = А(&) . случайное подмножество конечного

множества У. Нечеткое множество В, определенное на У, называется проекцией А и обозначается Ргоу А, если

Очевидно, каждому случайному множеству А можно поставить в соответствие с помощью формулы (8) нечеткое множество В = Ргоу А. Оказывается, верно и обратное.

Теорема 3. Для любого нечеткого подмножества В конечного множества У существует случайное подмножество А множества У такое, что В = Ргоу А.

Доказательство. Достаточно задать распределение случайного множества А Пусть У\ — носитель В (см. определение 1 выше). Без ограничения общности можно

считать, что ^ “ <У\’Уп--Ут> ПрИ некотором т и элементы У\ занумерованы в таком порядке, что

0 i Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Р(А = 1),1с7, и Р(Х сДХс Y,

выражаются один через другой.

Доказательство. Второй набор выражается через первый следующим образом:

Элементы первого набора выразить через второй можно с помощью формулы включений и исключений из формальной логики, в соответствии с которой

В этой формуле в первой сумме у пробегает все элементы множества Y\X, во второй

Илон Маск рекомендует:  Что такое код filepro_retrieve

сумме переменные суммирования у\ и у2 не совпадают и также пробегают это

множество, и т.д. Ссылка на формулу включений и исключений завершает

доказательство теоремы 4.

В соответствии с теоремой 4 случайное множество А можно характеризовать

не только распределением, но и набором чисел р^х — ^х ^ Y. g этом наборе

Р(0 ^А) = 1, а друГИХ связей типа равенств нет. В этот набор входят числа

Р <<у>^ А) = Р(у е А), следовательно, фиксация проекции случайного множества эквивалентна фиксации k = CardiY) параметров из (2/i-1) параметров, задающих распределение случайного множества А в общем случае. (Здесь символом CardiY) обозначено число элементов множества Y.)

Научный журнал КубГАУ, №92(08), 2013 года Будет полезна следующая теорема.

Теорема 5. Если Ргоу А = В, то Ргоу’ А = В.

Для доказательства достаточно воспользоваться тождеством из теории случайных множеств = Х) = Р(А = X), формулой ддЯ вероятности накрытия

Р(уе А) ^ определением отрицания нечеткого множества и тем, что сумма всех Р(А=Х) равна 1. Под формулой для вероятности накрытия имеется в виду следующее утверждение: чтобы найти вероятность накрытия фиксированного элемента ц случайным подмножеством £ конечного множества О, достаточно вычислить

где суммирование идет по всем подмножествам^ множества Q, содержащим ц.

Пересечения и произведения нечетких и случайных множеств. Выясним, как операции над случайными множествами соотносятся с операциями над их проекциями. В силу законов де Моргана (теорема 1) и теоремы 5 достаточно рассмотреть операцию пересечения случайных множеств.

Теорема 6. Если случайные подмножества А\ и А2 конечного множества У

независимы, то нечеткое множество п А2) является произведением нечетких

множеств Ргоу’ А\ и Ргоу’ А2.

Доказательство. Надо показать, что для любого у е г

Р(у &А1слА1) = Р(у& А!)Р(у еА2). (9)

По формуле для вероятности накрытия точки случайным множеством (см. выше)

Р(у е 4 п А2)= £ Р((А1 п А2) = X).

Легко проверить, что распределение пересечения случайных множеств 4 г’ ^2 можно выразить через их совместное распределение следующим образом:

Р(А,г,А1=Х) = X Р(А,=Х,,А2=Х2)

Из соотношений (10) и (11) следует, что вероятность накрытия для пересечения случайных множеств можно представить в виде двойной суммы

Р(У£.4,Г,.1)= X X Р(А=Х1,А1= X,).

Х:уеХ Х1,Х2:Х1пХ2=Х (12)

Заметим теперь, что правую часть формулы (12) можно переписать следующим образом:

Действительно, формула (12) отличается от формулы (13) лишь тем, что в ней

сгруппированы члены, в которых пересечение переменных суммирования 1 2

принимает постоянное значение. Воспользовавшись определением независимости случайных множеств и правилом перемножения сумм, получаем, что из (12) и (13) вытекает равенство

Для завершения доказательства теоремы 6 достаточно еще раз сослаться на формулу для вероятности накрытия точки случайным множеством.

Определение 3. Носителем случайного множества С называется совокупность

всех тех элементов У ддЯ которых Р(у е О >

Теорема 7. Равенство

РгоI (А ПЛ) = (рщ 4)п(Рщ Л2) верно тогда и только тогда, когда пересечение носителей случайных множеств Ахп\А2 и Д с^А2 дусто.

Доказательство. Необходимо выяснить условия, при которых

Р(у еА1г^А2) = тт( Р(у е А1), Р(у е А2)). ^

Р\ =Р(уеА1 пА2),р2 = Р(у е Ах глА2\ръ = Р(у е Ах глА2).


Тогда равенство (14) сводится к условию

Ясно, что соотношение (15) выполнено тогда и только тогда, когда р2рз=® при всех

уеУ, те не сущесхвуех ни одного элемента у°е^ такого, что одновременно

Р(у0 ^ А\ глА2)>0 и Р(у0 е Аг пА2) > 0 ^ а это эквивалентНо пустоте пересечения

носителей случайных множеств А п А и ^ . Теорема 7 доказана.

Сведение последовательности операций над нечеткими множествами к последовательности операций над случайными множествами. Выше получены некоторые связи между нечеткими и случайными множествами. Изучение этих связей [4, 5] началось с введения случайных множеств с целью развития и обобщения аппарата нечетких множеств Л.А. Заде. Дело в том, что математический аппарат нечетких множеств не позволяет в должной мере учитывать различные варианты зависимости между понятиями (объектами), моделируемыми с его помощью, не является достаточно гибким. Так, для описания «общей части» двух нечетких множеств есть лишь две операции — произведение и пересечение. Если применяется первая из них, то фактически предполагается, что множества ведут себя как проекции независимых случайных множеств (см. выше теорему 6). Операция пересечения также накладывает вполне определенные ограничения на вид зависимости между множествами (см. выше теорему 7), причем в этом случае найдены даже необходимые и достаточные условия. Желательно иметь более широкие возможности для моделирования зависимости между множествами (понятиями, объектами). Использование математического аппарата случайных множеств предоставляет такие возможности.

Цель сведения теории нечетких множеств к теории случайных множеств — за любой конструкцией из нечетких множеств увидеть конструкцию из случайных множеств, определяющую свойства первой, аналогично тому, как за плотностью распределения вероятностей мы видим случайную величину. Приведем результаты по сведению алгебры нечетких множеств к алгебре случайных множеств.

меньшего Р(Х), можно указать измеримое множество 7 с X такое, что =а

Пример. Пусть ^ — единичный куб конечномерного линейного пространства, О есть сигма-алгебра борелевских множеств, а Р — мера Лебега. Тогда <О, С, Р>-делимое вероятностное пространство.

Таким образом, делимое вероятностное пространство — это не экзотика. Обычный куб является примером такого пространства.

Доказательство сформулированного в примере утверждения проводится стандартными математическими приемами. Они основаны на том, что измеримое множество можно сколь угодно точно приблизить открытыми множествами, последние представляются в виде суммы не более чем счетного числа открытых шаров, а для шаров делимость проверяется непосредственно (от шара X тело

объема а i Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

(оно существует в силу теоремы 3). Построим случайное множество Сг с указанным

распределением, независимое от А Тогда рГ(у(Ап1С2) = ВБ п0 хе0реме 6

Перейдем к построению случайного множества С\. По теореме 7 необходимо

и достаточно определить случайное множество так, чтобы Рго>С\ = В и

пересечение носителей случайных множеств А П’С\ И Лг’)( \ было пусто, т.е.

Ръ = Р(у е А п Сх) = 0

Построим ^ (ю), исходя из заданного случайного множества )• Пусть У\ Исключим элемент у\ из для стольких элементарных событий ю , чтобы

для полученного случайного множества А (ю) было справедливо равенство

(именно здесь используется делимость вероятностного пространства, на котором

задано случайное множество ). Для У ф У\ ^ очевидно,

Р(уеА1) = Р(у i Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Аналогичным образом последовательно исключаем у из ) для всех У2 и

добавляем у в ^со) для всех У е ^ , меняя на каждом шагу р^у е А) только для у

(ясно, что при рассмотрении ^ е гл ^ случайное множество АХ&) не меняется).

Перебрав все элементы 7, получим случайное множество А (®) — (ю) ^ для

которого выполнено требуемое. Теорема 8 доказана.

Основной результат о сведении теории нечетких множеств к теории случайных множеств дается следующей теоремой.

Теорема 9. Пусть 15 25 35 ’ ‘ — некоторые нечеткие подмножества

множества 7 из конечного числа элементов. Рассмотрим результаты последовательного выполнения теоретико-множественных операций

подмножества 15 25 35 ’ 1 того же множества У такие, что

и, кроме того, результаты теоретико-множественных операций связаны аналогичными соотношениями

где знак ® означает, что на рассматриваемом месте стоит символ пересечения ^ случайных множеств, если в определении Вт стоит символ пересечения или символ произведения нечетких множеств, и соответственно символ объединения ^ случайных множеств, если в Вт стоит символ объединения или символ суммы нечетких множеств.

Комментарий. Поясним содержание теоремы. Например, если

Как совместить справедливость дистрибутивного закона для случайных множеств (вытекающего из его справедливости для обычных множеств) с теоремой 2 выше, в которой показано, что для нечетких множеств, вообще говоря, (В + В >В Ф в в + в в

^ 1 2′ 3 1 3 2 3 ? Дело в том, что хотя в соответствии с теоремой 9 для любых

трех нечетких множеств В\, В2 и Вт, можно указать три случайных множества^!, Л2 и Аз такие, что

Научный журнал КубГАУ, №92(08), 2013 года где

но при этом, вообще говоря,

РГОу (А ° А) ф ад и, кроме случаев, указанных в теореме 2,

Ргсу ^ А) ^ А) ^ ад В2Вз-

Доказательство теоремы 9 проводится по индукции. При ? = 1 распределение случайного множества строится с помощью теоремы 3. Затем конструируется само случайное множество А\, определенное на делимом вероятностном пространстве (нетрудно проверить, что на делимом вероятностном пространстве можно построить случайное подмножество конечного множества с любым заданным распределением именно в силу делимости пространства). Далее случайные множества А2, А^, . А( строим по индукции с помощью теоремы Теорема 9 доказана.

Замечание. Проведенное доказательство теоремы 9 проходит и в случае, когда при определении Вт используются отрицания, точнее, кроме Вт ранее введенного вида используются также последовательности результатов

теоретико-множественных операций, очередной шаг в которых имеет вид

тут пт-1 73 Т) т ту т—\ тл пи пт-1 о

А именно, сначала при помощи законов де Моргана (теорема 1 выше) проводится преобразование, в результате которого в последовательности Вт остаются только

отрицания отдельных подмножеств из совокупности 15 25 3’ ’ % а затем с помощью теоремы 5 вообще удается избавиться от отрицаний и вернуться к условиям теоремы 9.

Итак, в настоящем разделе описаны связи между такими объектами нечисловой природы, как нечеткие и случайные множества, установленные в нашей стране в первой половине 70-х годов, начиная с работы [12]. Через несколько лет, а именно, в начале 80-х годов, близкие подходы стали развиваться и за рубежом.

Одна из работ [13] носит примечательное название «Нечеткие множества как классы эквивалентности случайных множеств».

В эконометрике и прикладной статистике разработан ряд методов статистического анализа нечетких данных, в том числе методы классификации, регрессии, проверки гипотез о совпадении функций принадлежности по опытным данным и т.д., при этом оказались полезными общие подходы статистики объектов нечисловой природы [11]. Методологические и прикладные вопросы теории нечеткости широко обсуждаются в литературе. Приведем пример.

3. Нечеткий экспертный выбор в контроллинге инноваций

Обсудим одно применение экспертных технологий, разработанных на основе теории нечеткости.

В настоящее время активно разрабатывается подход к управлению инновационными проектами, основанный на методологии контроллинга. Одной из главных причин возникновения и внедрения концепции контроллинга для разработки инноваций на промышленных предприятиях стала необходимость в системной интеграции различных аспектов управления инновационными проектами. Контроллинг обеспечивает методическую и инструментальную базу для поддержки основных функций менеджмента: планирования, учета, контроля и анализа, а также оценки ситуаций для принятия управленческих решений [14].

Этапы контроллинга инноваций. Согласно [15], контроллинг инноваций включает в себя:

— оценку реализуемости проекта;

— информационную поддержку планирования разработки инновационного проекта;

информационную поддержку контроля над осуществлением http://ej.kubagro.ru/2013/08/pdf/39.pdf

— информационную поддержку функции анализа.

На первом этапе контроллеру проекта необходимо ответить на вопрос: достигнет ли предприятие поставленных перед ним целей, если приступит к реализации проекта. Цели проекта — как и цели самого предприятия, должны иметь ясный смысл, результаты, полученные при достижении цели, должны быть измеримы, а заданные ограничения (по времени, рамкам бюджета, выделенным ресурсам и качеству получаемых результатов) выполнимы. Если при реализации проекта общефирменные цели не достигаются, то подразделение контроллинга вырабатывает предложения об альтернативных вариантах реализации проекта, способных удовлетворить поставленные цели.

На этом этапе возникает задача выбора варианта реализации проекта, позволяющего достичь общефирменные цели.

Для решения этой задачи можно воспользоваться эконометрическими методами. Эконометрика — это наука, изучающая конкретные количественные и качественные взаимосвязи экономических объектов и процессов с помощью математических и статистических методов и моделей, поэтому именно в эконометрике следует искать методы для решения поставленной задачи.

Каждый предложенный вариант реализации проекта имеет свои преимущества и недостатки. Он может характеризоваться как количественными экономическими показателями, такими, как затраты, поступления и др., техническими показателями, описывающими характеристики качества разрабатываемого продукта, так и качественными показателями, выраженными в виде терминов, например, крошечный, маленький, средний.

Целесообразно выделить эталонный вариант реализации проекта и его характеристики. Характеристики подбираются таким образом, чтобы проект был оптимальным с точки зрения предъявляемых к нему требований. Чтобы сравнить варианты реализации проекта с эталонным вариантом и выбрать из них лучший, можно применить эконометрические методы, основанные на алгоритмах анализа


качественных и количественных данных. Такие методы подробнее рассматриваются ниже.

На втором этапе осуществляется разработка планово-организационных мероприятий. Подразделение контроллинга разрабатывает методики и инструменты планирования, наилучшим образом подходящие в данных условиях и обеспечивающие наиболее точные результаты. Подготовленный план проверяется на реализуемость, затем решаются вопросы, связанные с координацией участников проекта, с организацией информационного потока, с организацией работ и назначением ответственных.

На третьем этапе устанавливается время проведения контрольных мероприятий, связанное с выполнением определенных блоков работ. Выбираются подконтрольные показатели, характеризующие финансовое и организационное состояние проекта. Устанавливаются допустимые отклонения выбранных показателей, превышение которых может привести к негативным последствиям. Проводится учет показателей, фиксация отклонений. Выявляются причины и виновники отклонений.

На заключительном четвертом этапе подразделение контроллинга оценивает влияние выявленных отклонений на дальнейшие шаги реализации проекта. Выясняет, как выявленные отклонения повлияли на основные управляемые параметры проекта.

По окончанию цикла контроллер проекта подготавливает отчет с предложением вариантов решения возникших проблем и изменением плановых величин на следующий период.

Эконометрические методы сравнения и выбора. На первом этапе контроллинга инноваций необходимо решить задачу выбора варианта реализации проекта. Выбор между вариантами очевиден, если один из вариантов лучше другого по всем рассматриваемым показателям. В реальных ситуациях выбора варианты обычно несравнимы — первый лучше по одним показателям, второй — по другим. Для сравнения вариантов целесообразно прибегать к экспертным технологиям [16].

Одна группа экспертных технологий нацелена на выявление объективного упорядочения вариантов в результате усреднения мнений экспертов. Используют различные способы расчета на основе средних рангов (прежде всего средних арифметических и медиан). Для моделирования результатов парных сравнений применяют теорию люсианов. Для экспертных оценок находят медиану Кемени, и т.д.

Другая группа экспертных технологий нацелена на получение коэффициентов весомости (важности, значимости) отдельных показателей. Итоговая оценка варианта реализации проекта получается в результате суммирования произведений значений показателей на соответствующие коэффициенты весомости. Иногда эти коэффициенты оцениваются экспертами на основе иерархической системы показателей. Более обоснованным является экспертно-статистический метод, согласно которому на основе обучающей выборки восстанавливается зависимость между показателями варианта реализации инновационного проекта и его итоговой оценкой.

Использование теории нечеткости. Для сравнения вариантов реализации инновационного проекта и выбора из них лучшего можно использовать подход, основанный на описании качественных характеристик нечеткими множествами. Опишем его [15].

Пусть £ = / = 1, 2, множество, состоящее из п вариантов

реализации инновационного проекта. Для каждого варианта ^ определено т характеристик 0 отрезка Х1>\ Таким образом,

Для описания критерия i Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

їїДху.> = е ‘ ,і = 0,п, ; = 1 ,т

Исходя из построения множества Ху, в точке дгу функция имеет максимум, в пределах множества Ху функция принадлежности принимает значения больше 0,5, а ъшХу- меньше:

В результате получаем нечеткие множества

йу = К I цу (*;)> і = 0, п, 7 = 1 ,т

описывающие критерии ()у.

Чтобы определить, в какой мере характеристика варианта близка характеристике эталонного варианта л0, вычисляют степень равенства у,у соответствующих нечетких множеств:

Уу = тах шіп(ду (х; ), цо; (х;))

Значение максимина достигается в точке пересечения функций принадлежности:

Произведя взвешенное голосование, получают интегральную оценку V, соответствия совокупности характеристик варианта реализации проекта я, совокупности характеристик эталонного варианта ^о:

Здесь является весом 7-го критерия и показывает уровень его важности.

При обсуждении различных подходов к выбору наилучшего варианта реализации инновационного проекта иногда противопоставляют вероятностно-статистические модели и методы теории нечеткости. С обоснованной выше методологической точки зрения весьма важно, что такое противопоставление лишено оснований.

1.Орлов А.И. Системная нечеткая интервальная математика (СНИМ) — перспективное направление теоретической и вычислительной математики / А.И. Орлов, Е.В. Луценко // Политематический сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета (Научный журнал КубГАУ) [Электронный ресурс]. — Краснодар: КубГАУ, 2013. -№07(091). С. 255 — 30 — ША [article ГО]: 0911307015. — Режим доступа:

2.Орлов А.И., Луценко Е.В. О развитии системной нечеткой интервальной математики // Философия математики: актуальные проблемы. Математика и реальность. Тезисы Третьей всероссийской научной конференции; 27-28 сентября 2013 г. / Редкол.: Бажанов В.А. и др. -Москва, Центр стратегической конъюнктуры, 2013. — С. 190 — 193.

3.Zadeh L.A. Fuzzy sets / Information and Control. 1965. V. N 3. P.338-353.

4.Орлов А.И. Задачи оптимизации и нечеткие переменные. — М.: Знание, 1980. — 64 с.

5.Орлов А.И. Устойчивость в социально-экономических моделях. — М.: Наука, 1979. — 296

6.Воробьев О.Ю., Валендик Э.Н. Вероятностное множественное моделирование распространения лесных пожаров. — Новосибирск: Наука, 1978. — 160 с.

7.Воробьев О.Ю. Среднемерное моделирование. — М.: Наука, 1984. — 136 с.

8.Колмогоров А.Н. Основные понятия теории вероятностей. 2-е изд. — М.: Наука, 1974. —

9.Лебег А. Об измерении величин. — М.: Учпедгиз, 1960. — 204 с.

Ю.Ефимов НВ. Высшая геометрия. — М.: ГИФМЛ, 1961. — 580 с.

11.Орлов А.И. Организационно-экономическое моделирование : в 3 ч.: 4.1. Нечисловая статистика. — М.: Изд-во МГТУ им. НЭ. Баумана, 2009. — 541 с.

12.Орлов А.И. Основания теории нечетких множеств (обобщение аппарата Заде). Случайные толерантности // Алгоритмы многомерного статистического анализа и их применения. -М.: Изд-во ЦЭМИ АН СССР, 1975. — С. 169 — 175.

13.Goodman I.R. Fuzzy sets as equivalence classes of random sets / Fuzzy Set and Possibility Theory: Recent Developments. — New York-Oxford-Toronto-Sydney-Paris-Frankfurt, Pergamon Press, 1982. — P.327 — 343. (Перевод на русский язык: Гудмэн И. Нечеткие множества как классы эквивалентности случайных множеств. — В сб.: Нечеткие множества и теория возможностей. Последние достижения. — М.: Радио и связь, 1986. — С. 241-264.)

14.Контроллинг / А.М. Карминский, С.Г. Фалько, А.А. Жевага, Н.Ю. Иванова; под ред. А.М. Карминского, С.Г. Фалько. — 3-е изд., дораб. — М.: ИД «ФОРУМ»: ИНФРА-М, 2013. — 336 с.

15.3агонова НС., Орлов А.И. Эконометрическая поддержка контроллинга инноваций. Нечеткий выбор / Российское предпринимательство. 2004. №4. С.54-57.

16.Орлов А.И. Организационно-экономическое моделирование: в 3 ч.: 4.2. Экспертные оценки. — М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2011. — 486 с.

1. Orlov A.I. Sistemnaja nechetkaja interval’naja matematika (SNIM) — perspektivnoe

napravlenie teoreticheskoj i vychislitel’noj matematiki / A.I. Orlov, E.V. Lucenko // Politematicheskij setevoj jelektronnyj nauchnyj zhurnal Kubanskogo gosudarstvennogo agrarnogo universiteta (Nauchnyj zhumal KubGAU) [Jelektronnyj resurs], — Krasnodar: KubGAU, 2013. — №07(091). S. 255 — 30 — ША [article ID]: 0911307015. -Rezhim dostupa: http://ej.kubagro.ru/2013/07/pdf/15.pdf.

2. Orlov A.I., Lucenko E.V. О razvitii sistemnoj nechetkoj interval’noj matematiki //

Filosofija matematiki: aktual’nye problemy. Matematika i real’nost’. Tezisy Tret’ej vserossijskoj nauchnoj konferencii; 27-28 sentjabrja 2013 g. / Redkol.: Bazhanov V.A. i dr. — Moskva, Centr strategicheskoj kon#junktury, 2013. — S.190 — 193.

3. Zadeh L.A. Fuzzy sets / Information and Control. 1965. V. N 3. R.338-353.

4. Orlov A.I. Zadachi optimizacii i nechetkie peremennye. — М.: Znanie, 1980. — 64 s.

5. Orlov A.I. Ustojchivost’ v social’no-jekonomicheskih modeljah. — М.: Nauka, 1979. — 296

6. Vorob’ev O.Ju., Valendik Je.N. Verojatnostnoe mnozhestvennoe modelirovanie

rasprostranenija lesnyh pozharov. — Novosibirsk: Nauka, 1978. — 160 s.

7. Vorob’ev O.Ju. Srednemernoe modelirovanie. — М.: Nauka, 1984. — 136 s.

8. Kolmogorov A.N. Osnovnye ponjatija teorii verojatnostej. 2-e izd. — М.: Nauka, 1974. —

9. Lebeg A. Ob izmerenii velichin. — М.: Uchpedgiz, 1960. — 204 s.

10. EfimovN.V. Vysshaja geometrija. — М.: GIFML, 1961. — 580 s.

11. Orlov A.I. Organizacionno-jekonomicheskoe modelirovanie : v 3 ch.: Ch.l. Nechislovaja

statistika. — М.: Izd-vo MGTU im. N.Je. Baumana, 2009. — 541 s.

12. Orlov A.I. Osnovanija teorii nechetkih mnozhestv (obobshhenie apparata Zade). Sluchajnye tolerantnosti // Algoritmy mnogomemogo statisticheskogo analiza i ih primenenija. — М.:

Izd-vo CJeMI AN SSSR, 1975. — S. 169 — 175.

Электронная библиотека

Пусть U – произвольное множество. Будем рассматривать его подмножества и U будем называть универсумом. Каждое подмножество описывается с помощью свойств его элементов. Например, в универсуме натуральных чисел w подмножество <0, 1, 2, 3, 4, 5>задаётся как

Его можно определить с помощью характеристической функции , принимающей значения:

Проблема возникает при попытке определения подмножества чисел, указывающих значение возраста, при которых человек считается старым.

Пусть [0, 1] = – единичный отрезок действительных чисел.

Определение. Нечетким множеством m на универсуме U называется произвольная функция m : U ® [0, 1]. Множество всех нечетких множеств на U обозначается через F(U).

Заметим, что часто понятия нечёткого множества и определяющей его функции различают. В этом случае, говоря о нечётком множестве A, имеют в виду функцию . Обозначают эту функцию через и называют её функцией принадлежности.

Значение m(x) называется степенью принадлежности x нечеткому множеству m. Например, нечеткое множество «старый» определяется как функция , для которой m(70) = 1, а m(0) = 0, ибо ясно, что человек семидесяти лет является старым, а не достигнувший одного года младенец – нет. Можно считать, что m(20) = 0. Возрасту 45 лет можно приписать значение m(45) = 0.5, и далее продолжить функцию m линейно на интервале [20, 70].

Представление нечетких множеств

Существуют различные методы описания функции m : U ® [0, 1]. Если U – конечное множество, то функция будет конечным множеством пар:

Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Кодинг, CSS и SQL