Поиск минимума функции


Экстремумы функции

Необходимое условие экстремума функции одной переменной

Достаточное условие экстремума функции одной переменной

Если в точке x * выполняется условие:

Пример №1 . Найти наибольшее и наименьшее значения функции: на отрезке [1; 3].
Решение.

Критическая точка одна x1 = 2 (f’(x)=0). Эта точка принадлежит отрезку [1;3]. (Точка x=0 не является критической, так как 0∉[1;3]).
Вычисляем значения функции на концах отрезка и в критической точке.
f(1)=9, f(2)= 5 /2, f(3)=3 8 /81
Ответ: fmin= 5 /2 при x=2; fmax=9 при x=1

Пример №2 . С помощью производных высших порядков найти экстремум функции y=x-2sin(x) .
Решение.
Находим производную функции: y’=1-2cos(x) . Найдем критические точки: 1-cos(x)=2, cos(x)=½, x=± π /3+2πk, k∈Z. Находим y’’=2sin(x), вычисляем , значит x= π /3+2πk, k∈Z – точки минимума функции; , значит x=- π /3+2πk, k∈Z – точки максимума функции.

Пример №3 . Исследовать на экстремум фцнкцию в окрестностях точки x=0.
Решение. Здесь необходимо найти экстремумы функции. Если экстремум x=0 , то выяснить его тип (минимум или максимум). Если среди найденных точек нет x = 0, то вычислить значение функции f(x=0).
Следует обратить внимание, что когда производная с каждой стороны от данной точки не меняет своего знака, не исчерпываются возможные ситуации даже для дифференцируемых функций: может случиться, что для сколь угодно малой окрестности по одну из сторон от точки x или по обе стороны производная меняет знак. В этих точках приходится применять другие методы для исследования функций на экстремум.

Пример №4 . Разбить число 49 на два слагаемых, произведение которых будет наибольшим.
Решение. Обозначим x — первое слагаемое. Тогда (49-x) — второе слагаемое.
Произведение будет максимальным: x·(49-x) → max
или
49x — x 2

Наибольший объем цилиндра

Найти размеры цилиндра наибольшего объема, изготовленного из заготовки в форме шара радиуса R .
Решение:

Объем цилиндра равен: V = πr 2 H
где H = 2h,
Подставим эти значения в целевую функцию.

V → max
Найдем экстремум функции. Поскольку функция объема V(h) зависит только от одной переменной, то найдем производную с помощью сервиса Производная онлайн и приравняем ее к нулю.
dV/dh = 2πR 2 — 6πh 2
dV/dh = 0
2πR 2 — 6πh 2 = 0 или R 2 = 3h 2
Откуда

При высоте и радиусе основания размеры цилиндра будут наибольшими.

Как найти экстремум (точки минимума и максимума) функции

Из точек, подозрительных на экстремум, надо найти именно экстремумы. Для этого смотрим на наши промежутки на координатной прямой. Если при прохождении через какую-то точку знак производной меняется с плюса на минус, то эта точка будет максимумом, а если с минуса на плюс, то минимумом.

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции, нужно вычислить значение функции на концах отрезка и в точках экстремума. Затем выбрать наибольшее и наименьшее значение.

Рассмотрим пример
Находим производную и приравниваем её к нулю:

Полученные значения переменных наносим на координатную прямую и высчитываем знак производной на каждом из промежутков. Ну например, для первого возьмём -2 , тогда производная будет равна -0,24 , для второго возьмём , тогда производная будет 2 , а для третьего возьмём 2 , тогда производная будет -0,24. Проставляем соответствующие знаки.

Видим, что при прохождении через точку -1 производная меняет знак с минуса на плюс, то есть это будет точка минимума, а при прохождении через 1 – с плюса на минус, соответственно это точка максимума.

Найти экстремумы функции

Данный калькулятор предназначен для нахождения экстремумов функции.
Следует различать понятия точек экстремума и экстремумов функции. Точки экстремума – точки максимума и минимума функции, это значения на оси Ox. Точка x является точкой максимума функции y=f(x), если для всех x из ее окрестности выполняется неравенство f(x)≥f(x). Точка x является точкой минимума функции y=f(x), если из ее окрестности для всех x выполняется неравенство f(x)≤f(x). Значения функции, которые соответствуют точкам экстремума, называются экстремумами функции, это значения на оси Oy.
Для того чтобы найти экстремумы функции можно использовать любой из трех условий экстремума, если функция удовлетворяет эти условиям.
Первым достаточным условием экстремума являются следующие утверждения: если в точке x функция непрерывна, и в ней производная меняет знак с плюса на минус, то точка x является точкой максимума, а если в данной точке производная меняет знак с минуса на плюс, то x – точка минимума.

Как найти точку максимума функции?

Поиск точки максимума и минимума функции — довольно распространенная задача в математическом анализе. Иногда требуется экстремум. Многие думают, что под словом «экстремум» подразумевают наибольшее или наименьшее значение функции. Это не совсем верно. Значение может быть наибольшим или минимальным, но не являться экстремумом.

Глобальный и локальный максимум

Максимум бывает локальным или глобальным. Точка локального максимума — это аргумент, который при подстановке в f(x) даёт значение не меньше, чем в других точках из области около этого аргумента. Для глобального максимума эта область расширяется до всей области допустимых аргументов. Для минимума всё наоборот. Экстремум — это локальное экстремальное — минимальное или максимальное — значение.

Как правило, если математиков интересует глобально самое большое значение f(x), то в интервале, не на всей оси аргументов. Подобные задачи обычно сформулированы фразой «найдите точку максимума функции на отрезке». Здесь подразумевается, что надо выявить аргумент, при котором она не меньше, чем на всём остальном указанном отрезке. Поиск локального экстремума является одним из шагов решения такой задачи.

Дано y = f(x). Требуется определить пик функции на указанном отрезке. f(x) может достигать его в точке:

  • экстремума, если она попадает в указанный отрезок,
  • разрыва,
  • ограничивающей заданный отрезок.

Исследование

Пик f(x) на отрезке или в интервале находится путём исследования данной функции. План исследования для нахождения максимума на отрезке (или интервале):

  1. Найти область допустимых аргументов и пересечения этой области с областью исследования.
  2. Выявить асимптоты. Они равны пределу при стремлении аргумента к точкам разрыва.
  3. Определить первую производную и вычислить экстремальные точки и выяснить поведение функции в окрестности этих точек.
  4. Рассчитать значение f(x) в точках, ограничивающих область исследования.
  5. Сравнить экстремум со значением функции в точках разрыва и на концах интервала. Определить среди них наибольшее.

Теперь подробно разберем каждый шаг и рассмотрим некоторые примеры.

Область допустимых аргументов

Область допустимых аргументов — это те x, при подстановке которых в f(x) она не престаёт существовать.Область допустимых аргументов ещё называют областью определения. Например, y = x^2 определена на всей оси аргументов. А y = 1/x определена для всех аргументов, кроме x = 0.


Найти пересечение области допустимых аргументов и исследуемого отрезка (интервала) требуется для того, чтобы исключить из рассмотрения ту часть интервала, где функция не определена. Например, требуется найти минимум y = 1/x на отрезке от -2 до 2. На самом деле требуется исследовать два полуинтервала от -2 до 0 и от 0 до 2, так как уравнение у = 1/0 не имеет решения.

Асимптоты

Асимптота — это такая прямая, к которой функция тянется, но не дотягивается. Если f(x) существует на всей числовой прямой и неразрывна на ней, то вертикальной асимптоты у неё нет. Если же она разрывна, то точка разрыва является вертикальной асимптотой. Для y = 1/x асимптота задаётся уравнением x = 0. Эта функция тянется к нулю по оси аргументов, но дотянется до него, только устремившись в бесконечность.

Если на исследуемом отрезке имеется вертикальная асимптота, около которой функция стремится в бесконечность с плюсом, то пик f(x) на здесь не определяется. А если бы определялся, то аргумент, при котором достигается максимум, совпал бы с точкой пересечения асимптоты и оси аргументов.

Производная и экстремумы

Производная — это предел изменения функции при стремящемся к нулю изменении аргумента. Что это значит? Возьмём небольшой участок из области допустимых аргументов и посмотрим как изменится здесь f(x), а потом уменьшим этот участок до бесконечно малого размера, в этом случае f(x) станет изменяться так же, как и некая более простая функция, которая именуется производной.

Значение производной в определенной показывает под каким углом проходит касательная к функции в выбранной точке. Отрицательное значение говорит о том, что функция здесь убывает. Аналогично положительная производная говорит о возрастании f(x). Отсюда появляются два условия.

1) Производная в точке экстремума либо нулевая, либо неопределенная. Это условие необходимое, но недостаточно. Продифференцируем y = x^3, получим уравнение производной: y = 3*x^2. Подставим в последнее уравнение аргумент «0», и производная обратится в нуль. Однако, это не экстремум для y = x^3. У неё не может быть экстремумов, она убывает на всей оси аргументов.

2) Достаточно, чтобы при пересечении точки экстремума у производной менялся знак. То есть, до максимума f(x) растёт, а после максимума она убывает — производная была положительной, а стала отрицательной.

После того как аргументы для локального максимума были найдены их надо подставить в исходное уравнение и получить максимальное значение f(x).

Концы интервала и сравнение результатов

При поиске максимума на отрезке необходимо проверить значение на концах отрезка. Например, для y = 1/x на отрезке [1; 7] максимум будет в точке x = 1. Даже если внутри отрезка есть локальный максимум, нет никакой гарантии, что значение на одном из концов отрезка не будет больше этого максимума.

Теперь необходимо сравнить значения в точках разрыва (если f(x) здесь не стремится в бесконечность), на концах исследуемого интервала и экстремум функции. Наибольшее из этих значений и будет максимумом функции на заданном участке прямой.

Илон Маск рекомендует:  Атрибут src в HTML

Для задачи с формулировкой «Найдите точку минимума функции» необходимо выбрать наименьшее из локальных минимумов и значений на концах интервала и в точках разрыва.

Экстремумы функции

Точки экстремума функции

Говорят, что в точке максимум (минимум), если существует такая -окрестность точки — , что для всех из этой окрестности, отличных от выполняется неравенство f\left(x_ <0>\right)\right)» title=»Rendered by QuickLaTeX.com» height=»18″ w /> .

Необходимое условие существования экстремума функции. Пусть функция дифференцируема в промежутке . Если в некоторой точке функция имеет экстремум, то в этой точке производная равна нулю: .

Достаточное условие существования экстремума функции. Если производная функции равна нулю в точке и при переходе через эту точку в сторону возрастания меняет знак с «+» («-») на «-» («+»), то в точке функция имеет максимум (минимум). Если же при переходе через точку производная функции не меняет знак, то в этой точке функция экстремума не имеет.

Для исследования функции на экстремум необходимо:

  1. найти критические точки функции;
  2. проверить, изменяет ли знак производная функции при переходе через критическую точку;
  3. вычислить значения максимума или минимума .

Примеры исследования функции на экстремум

Задание Найти экстремум функции
Решение Найдем критические точки функции, для этого вычислим производную заданной функции

приравняем её к нулю и найдем корни полученного квадратного уравнения

Получили две критические точки . Обозначим найденные корни на числовой оси и определим знак производной на полученных интервалах.

В точке производная меняет знак с «+» на «-», значит в этой точке максимум. Вычислим значение максимума

В точке производная меняет знак с «-» на «+», значит, — точка минимума. Значение минимума соответственно равно

Ответ
Задание Найти экстремум функции
Решение Область определения функции — вся числовая прямая, за исключением точки , то есть .

Вычислим производную заданной функции и найдем критические точки

Приравниваем к нулю производную

Получаем одну критическую точку . Обозначим на числовой оси область определения функции и найденную критическую точку и определим знак производной на полученных интервалах

В точке производная меняет знак с «-» на «+», значит, в этой точке минимум. Значение минимума соответственно равно


Численные методы поиска минимума функционала

Как было показано в предыдущем параграфе, при решении некорректных задач часто необходимо искать минимумы некоторых функционалов. Задача о поиске минимума — классическая задача оптимизации [1] . Материал данного параграфа при первом чтении можно пропустить.

Пусть на множестве U, состоящем из элементов и линейного метрического пространства, определена скалярная функция Ъ(и).

Определение 9.3. Говорят, что 0(«) имеет локальный минимум на элементе и , если существует его конечная е-окрестность, в которой выполнено:

Ь(и) достигает глобального минимума в U на элементе и (строгий, абсолютный минимум), если имеет место равенство

Если U есть числовая ось, мы имеем задачу на нахождение минимума функции одной переменной; если U есть «-мерное векторное пространство, то мы имеем задачу на нахождение функции п переменных; если U функциональное пространство, то мы решаем задачу на отыскание функции, доставляющей минимум функционалу (задача оптимального управления).

Если к условию (9.5) или (9.6) добавляются условия вида

где и^, Ff — числа, то это — задача на отыскание условного минимума.

Если функции Ь(и), Fj(u) линейны, то задача поиска условного минимума называется задачей линейного программирования.

Мы говорим об отыскании минимума функции, не ограничивая общности, так как максимум функции 0(«) является минимумом функции -0(«). Ь(и) называют целевой функцией.

Отметим связь между задачами вычисления корней системы нелинейных уравнений и задачей минимизации. Пусть на множестве U с Ь п задана система

Определим целевую функцию следующим образом:

В области Uсправедливо неравенство d(w) > 0, причем О(и) минимально при и = и где и — корень нелинейной системы уравнений. Поэтому решение системы эквивалентно поиску минимума $(и) в U. Если О(и) строго положительна, то система не имеет решений.

Теперь предположим, что необходимо найти минимум целевой функции Ф(и), у которой существуют первые производные. В этом случае задача сводится к решению нелинейной системы

Точка, являющаяся решением этой системы, называется стационарной. Однако не всякая стационарная точка является точкой локального минимума целевой функции.

Теорема 9.1. Пусть функция Ъ(и) дважды непрерывно дифференцируема. Тогда достаточным условием того, чтобы стационарная точка и была точкой локального минимума, является положительная определенность матрицы Гессе:

4 мес.) для нахождения minO(w), если предположить, что количество арифметических действий, необходимое для вычисления значений Щи) в каждой точке, требует

10 3 арифметических операций. Этот метод можно сделать более эффективным, если сначала определить минимум с грубым шагом. Затем необходимо искать минимум с меньшим шагом на том из отрезков [Xj xi+i], на котором предполагается наличие минимума.

Метод золотого сечения. Расположим точки и<, и2 на [а; b] так, чтобы одна из них стала бы также пробной (т.е. такой, в которой вычисляется значение 0(г/)), но уже на новом отрезке, после исключения части исходного. Это позволит уменьшить количество вычислений, поскольку необходимо будет вычислить значение 0(г/) лишь в одной из пробных точек, так как во второй оно уже известно.

Найдем расположение таких точек, для чего рассмотрим отрезок [0; 1], для определенности положим, что при его уменьшении исключается его правая часть. Пусть и2 = т, тогда симметрично расположенная относительно центра отрезка точка имеет координату и< = 1 — т.

Пробная точка и< отрезка [0; 1] перейдет в пробную точку и2 = -т нового отрезка [0; т]. Условием деления отрезков [0; 1] и [0; т] в одном и том же отношении точками х2 = т и х -1 -т является равенство

или т 2 + т — 1 = 0, откуда находим положительный корень квадратного уравнения. Мы легко получим

Для отрезка [а; /;] аналогично получим

Точки uvu2 обладают следующим свойством: каждая из них делит отрезок а Ь на две неравные части так, что отношение длины всего отрезка к длине его большей части равно отношению длин большей и меньшей части. Точки, обладающие таким свойством, называются точками золотого сечения (введенного Леонардо да Винчи).

На каждой итерации отрезок поиска минимума уменьшается в одном и том же отношении 0,61803. поэтому в результате п итераций длина становится равной Ап = т п (Ьа). Следовательно, точность е„ определения точки и* после п итераций равна

а условие окончания вычислительного процесса имеет вид е„ f(u2) >

-Л и з) и их /(м1)), (u2,f(u2))>3,/(и3)). Это интерполяционный полином в форме Ньютона, а его коэффициенты — соответствующие разностные соотношения. Точка й минимума Q(u) находится из условия обращения в нуль его производной:

Далее полагаем и

й (очередное приближение точки минимума). Эту процедуру можно продолжить до достижения необходимой точности, выбирая новые точки uk, k = 1, 2, 3. Для этого можно применять методы исключения отрезков, используя в качестве двух пробных точек и2 и й такие, что и2,йе[щ;щ].

Методы спуска. Основная идея методов спуска состоит в том, чтобы построить алгоритм, позволяющий перейти из точки начального приближения и = и®> в следующую точку и 1 =<м>,...уи> таким образом,

чтобы значение целевой функции приблизилось к минимальному.

Метод покоординатного спуска. Этот метод представляет собой редукцию методов поиска минимума функции многих переменных к методам поиска минимума функции одной переменной. Пусть u°e U — начальное приближение к минимуму 0(и).

Рассмотрим Ф(и 0 ) = Ф(я<. и^) как функцию одной переменной и< при фиксированных и% и найдем каким-либо из описанных выше методов поиска минимума функции одной переменной min Ф

Полученное значение и< доставляющее минимум О(г/1), обозначим и при этом Ф(и, и%. и®) 0 ,и®).

Далее при фиксированных значениях и, и®. и„ ищем min Ф(и, и> гг§,

и%) как функции от и2. Соответствующее значение и2 обозначим и, при этом выполняется неравенство Ф(и>, и2. и^) 1 . Этот процесс повторяется для следующего шага и повторяется до тех пор, пока не будет выполнено условие выхода из итераций, например |0(u* +1 ) — Ь(и к ) 0 — заданная точность.


Рассмотрим далее для простоты случай двух переменных. Можно показать, что покоординатный спуск реализуется (сходится к точке минимума) при условии существования Ф», Ф»2, Ф» , причем Ф» < >0, Ф»2 2 >0, |Ф^„9| а. Изломы приводят к подъему. Этот метод сходится достаточно медленно, а при наличии «оврагов» — очень медленно. Разделим рельефы, образуемые линиями уровня, на два типа: «котловинный» и «овражный». В первом случае линии уровня похожи на эллипсы, а функция вблизи своего минимума не сильно изменяется при изменении переменных. Этот случай можно назвать простым.

Градиентный метод сходится медленно, если поверхности уровня минимизируемой функции (поверхности ее равных значений) сильно вытянуты в некоторых направлениях. В двумерном случае рельеф соответствующей поверхности напоминает рельеф местности с оврагом. Поэтому такие функции называют «овражными», а их изоповерхности — «оврагами». Вдоль направлений, характеризующих дно оврага, такая функция меняется незначительно, а в направлениях, характеризующих склон оврага, происходит значительное изменение функции. Рельеф овражного типа имеет либо точки излома, либо участки с большой кривизной («разрешимый овраг»). Если линии уровня кусочно-гладкие, то выделим на них точки излома, геометрическое место которых назовем «истинным оврагом», когда угол направлен в сторону возрастания функции, и «гребнем» — когда в сторону убывания.

Примером «разрешимого оврага» является функция

Неупорядоченный тип рельефа характеризуется наличием многих экстремумов; примером может служить функция

Метод «оврагов» используется в случае, если «дно» «оврага» узкое, а «склоны» — «крутые». В этом случае спустимся из двух точек р() и р1? например, с помощью координатного или градиентного спуска (см. ниже) на «дно» «оврага» (или в его окрестность), не требуя высокой точности сходимости. Проведем через эти две точки прямую и выберем на ней новую точку

где h = const > 0 — «овражный шаг», который выбирается для каждой функции расчетным путем. Точка р2 лежит на «склоне» «оврага». Из нее спускаемся на «дно» и попадаем в некую точку г2, через точки гх и г2 проводим прямую и находим точку р3. Процесс продолжается до тех пор, пока значения целевой функции на «дне» «оврага» убывают, т.е.

У метода «оврагов» много общих черт с методом координатного спуска, но он имеет самостоятельное значение.

Метод градиентного спуска. Заметим, что градиент функции 0(и), определяемый как

— вектор, ортогональный линиям уровня целевой функции, а его направление совпадает с направлением наискорейшего роста Ф(и) в данной точке. В точке минимума функции справедливо равенство УФ(и) = 0.

Построим итерационный процесс следующим образом:

где т — шаг спуска (итерационный параметр). Построенную последовательность итераций продолжим до выполнения заданного условия окончания процесса поиска минимума, например ||УФ(и* +1 )|| 0 = <1; 1>, т = 0,1. Тогда первые три последовательных приближения к точке минимума имеют следующий вид:

Если взять т = 2, го и х = <0; -3>и Ф(м ! ) = 9, в то время как ттФ(г/) = 0, т.е. выбор

шага оказывается существенным. В реальных расчетах чаще используются методы с переменным шагом.

Метод наискорейшего спуска. Будем в методе градиентного спуска выбирать шаг т так, чтобы функция Ф(и) за этот шаг как можно скорее уменьшала свое значение:

В предыдущем примере выбор шага в точке и 0 сводится к задаче об отыскании минимума следующей функции:

откуда т = 10/9, поскольку

На следующих шагах т будет зависеть от u* k > 0.

Решение экстремальных задач в L N зачастую сопряжено со значительными трудностями, особенно для многоэкстремальных задач. Некоторые из этих трудностей исчезают, если ограничиться рассмотрением только выпуклых функций на выпуклых множествах.

Определение 9.4. Функция Ф(м), заданная на выпуклом множестве UczL N , называется выпуклой, если для любых точек и> v е U и любого а е [0; 11 выполнено

Определение 9.5. Функция Ф(м) называется строго выпуклой, если для всех а е (0; 1) выполнено строгое неравенство

Это определение имеет наглядный геометрический смысл, а именно: график функции Ф(и) на интервале, соединяющем точки и, v, лежит ниже хорды, проходящей через точки (и, Ф(и)) и (v, Ф(а)).

Для дважды непрерывно дифференцируемой функции Ф(и) положительная определенность матрицы Гессе Ф»и(и) есть достаточное условие строгой выпуклости.

Теорема 9.2. Пусть Ф(м) — выпуклая функция на выпуклом множестве U, и е U. Тогда любой ее локальный минимум на U является одновременно и глобальным. Глобальный минимум строго выпуклой функции Ф(и) на выпуклом множестве U достигается в единственной точке.

Доказательство. Предположим противное, т.е. и 0 — точка локального, а и — глобального минимума функции Ф(и) на U, и* Ф и 0 и Ф(и°) > Ф(и*). Отсюда с учетом выпуклости Ф(и) имеем

При ос —> +0 точка и = аи* + (1 — а)и° попадает в сколь угодно малую окрестность и 0 . Поэтому полученное неравенство Ф(и) 0 — точка локального минимума (следовательно, первая часть теоремы доказана).

Пусть теперь иО), и— две различные точки глобального минимума. Из строгой выпуклости Ф(г/) следует, что для всех ос е (0; 1) выполняется строгое неравенство

что противоречит предположению о том, что и^ 2 ‘* — точки глобального минимума. •

Поиск минимума функции

Наменьшее значение функции

Как говорил крестный отец: «Ничего личного». Только производные!

Статью Как посчитать производные? надеюсь, ты изучил, без этого дальше будет проблематично.

12 задание по статистике считается достаточно трудным, а все потому, что ребята не прочитали эту статью (joke). В большинстве случаев виной всему невнимательность.

12 задание бывает двух видов:

  1. Найти точку максимума / минимума (просят найти значения «x»).
  2. Найти наибольшее / наименьшее значение функции (просят найти значения «y»).

Как же действовать в этих случаях?


Найти точку максимума / минимума

  1. Взять производную от предложенной функции.
  2. Приравнять ее к нулю.
  3. Найденный или найденные «х» и будут являться точками минимума или максимума.
  4. Определить с помощью метода интервалов знаки и выбрать, какая точка нужна в задании.

Найдите точку максимума функции

  • Приравняем ее к нулю:
  • Получили одно значение икса, для нахождения знаков подставим −20 слева от корня и 0 справа от корня в преобразованную производную (последняя строчка с преобразованием):

Все верно, сначала функция возрастает, затем убывает — это точка максимума!
Ответ: −15

Найдите точку минимума функции

  • Преобразуем и возьмем производную:
  • Получается один корень «−2», однако не стоит забывать о «−3», она тоже будет влиять на изменение знака.

  • Отлично! Сначала функция убывает, затем возрасает — это точка минимума!

Ответ: −2

Найти наибольшее / наименьшее значение функции

  1. Взять производную от предложенной функции.
  2. Приравнять ее к нулю.
  3. Найденный «х» и будет являться точкой минимума или максимума.
  4. Определить с помощью метода интервала знаки и выбрать, какая точка нужна в задании.
  5. В таких заданиях всегда задается промежуток: иксы, найденные в пункте 3, должны входить в данный промежуток.
  6. Подставить в первоначальное уравнение полученную точку максимума или минимума, получаем наибольшее или наименьшее значение функции.

Найдите наибольшее значение функции на отрезке [−4; −1]

  • Преобразуем и возьмем производную:
  • «3» не вдходит в промежуток [−4; −1]. Значит, остается проверить «−3» — это точка максимума?
  • Подходит, сначала функция возрастает, затем убывает — это точка максимума, и в ней будет наибольшее значение функции. Остается только подставить в первоначальную функцию:

Найдите наибольшее значение функции на отрезке [0; 1,5π]

  • Берем производную:
  • Находим, чему равняется sin(x):
  • Но такое невозможно! Sin(x).
  • Получается, что уравнение не имеет решения, и в таких ситуациях нужно подставлять крайние значения промежутка в первоначальное уравнение:


  • Наибольшее значение функции равно «11» при точке максимума (на этом отрезке) «0».
  1. 70% ошибок заключается в том, что ребята не запоминают, что в ответ на наибольшее/наименьшее значение функции нужно написать «y» , а на точку максимума/минимума написать «х».
  2. Нет решения у производной при нахождении значений функции? Не беда, подставляй крайние точки промежутка!
  3. Ответ всегда может быть записан в виде числа или десятичной дроби. Нет? Тогда перерешивай пример.
  4. В большинстве заданий будет получаться одна точка и наша лень проверять максимум или минимум будет оправдана. Получили одну точку — можно смело писать в ответ.
  5. А вот с поиском значения функции так поступать не стоит! Проверяйте, что это нужная точка, иначе крайние значения промежутка могут оказаться больше или меньше.

Максимум и минимум функции

Одним из этапов исследования функции является нахождение экстремумов заданной функции, другими словами, максимума и минимума функции.

Некоторая точка называется точкой минимума заданной функции $y=f(x)$, если для всех точек из некоторой окрестности данной точки справедливо неравенство $f(x)\ge f(x_ <0>)$, $x_ <0>$ — точка минимума.

Некоторая точка называется точкой максимума заданной функции $y=f(x)$, если для всех точек из некоторой окрестности данной точки справедливо неравенство $f(x)\le f(x_ <0>)$, $x_ <0>$ — точка максимума.

Точки экстремума показаны на рис.

Функция вида $y=ax^ <2>+bx+c$ (парабола) имеет на области определения:

Экстремум параболы, рассматриваемой на всей области определения, совпадает с ее вершиной (рис.).

Значения заданной функции в точках минимума и максимума называются соответственно минимумом и максимумом заданной функции.

Экстремумы функции делятся на:

  • локальный экстремум;
  • глобальный экстремум.

Определения 1 и 2 относятся к локальным экстремумам: локальный минимум и локальный максимум.

Наименьшее и наибольшее значения заданной функции на некотором промежутке являются глобальными экстремумами.

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Глобальные экстремумы могут достигаться либо в точках локального экстремума, либо на концах отрезка.

Необходимое условие экстремума определяется следующей теоремой.

Если заданная функция $y=f(x)$ имеет экстремум в некоторой точке $x_ <0>$, то ее производная $f'(x)$ в данной точке либо равна нулю, либо не существует.

Достаточные условия экстремума определяются следующими теоремами.

Пусть для заданной функции $y=f(x)$ выполнены условия:

  1. данная функция $y=f(x)$непрерывна в окрестности точки $x_ <0>$;
  2. $f'(x)$ при $x=x_ <0>$ равна нулю или $f'(x)$ не существует;
  3. производная $f'(x)$ при переходе через данную точку $x_ <0>$ меняет знак.

Тогда в точке $x=x_ <0>$ заданная функция $y=f(x)$ имеет экстремум, причем он является минимумом, если при переходе через точку $x_ <0>$ производная меняет знак с «-» на «+»; является минимумом, если при переходе через точку $x_ <0>$ производная меняет знак с «+» на «-».

Задай вопрос специалистам и получи
ответ уже через 15 минут!

Максимальное и минимальное значения функций на интервале.

Доброго времени суток всем моим уважаемым читателям!

В этой статье мы попробуем научиться определять максимальное и минимальное значения различных функций, простых и посложнее, находить точки экстремумов, определять, является ли экстремум минимумом или максимумом функции, и даже отличать перегиб функции от экстремума.

Действовать мы будем так:

1. Определим производную функции.

2. Приравняем производную к нулю, чтобы определить, имеет ли функция экстремумы (если полученное уравнение имеет корни). Определим, принадлежат ли данные экстремумы заданному промежутку.

3. Если функция имеет экстремум на заданном промежутке, определим, максимум ли это или минимум.

4. Если функция не имеет экстремума (нет корней у уравнения, полученного путем приравнивания производной к нулю), определяем знак производной. Это покажет нам, является ли функция возрастающей или убывающей. Далее действуем по условию задачи: если функция возрастает, то максимальное значение справа, а минимальное – слева. Если убывает – то наоборот. Решение задач поможет нам все разложить по полочкам, и с помощью картинок мы постараемся не оставить непонятных мест в решении подобных задач.

Задача 1. Необходимо определить наибольшее значение функции:


Действуем по алгоритму: сначала определяем производную. Здесь мы имеем сумму функций, поэтому определяем производную от каждой в отдельности и складываем, после чего приравняем производную к нулю:

Решаем полученное уравнение. Если корни будут – значит, возможно, экстремумы есть (точка, где производная равна нулю, может быть и не экстремумом, а точкой перегиба).

Видим – корень есть:

В этой точке наша функция имеет экстремум. Важно, что эта точка принадлежит заданному интервалу. Выясним, максимум это или минимум.Для этого нужно определить знак производной в окрестности этой точки, то есть справа и слева от нее. Например, здесь можно взять точку – она будет располагаться слева, и точку – она будет справа. Тогда:

Понятно, что функция имеет наибольшее значение в точке максимума.Найдем это значение так: подставим найденную точку экстремума в уравнение функции:

Ответ: наибольшее значение функции на данном интервале равно 10.

2.Найти наименьшее значение функции на заданном интервале:

Точно так же, как и в первый раз, берем производную и приравниваем к нулю:

Уже видно, что это уравнение будет иметь корни:

В точке функция имеет экстремум. Максимум это или минимум? Найдем значение производной справа и слева от точки . Снова возьмем точку – она будет располагаться слева, и точку – она будет справа. Тогда:

Наименьшее значение функция принимает в точке м инимума, найдем его:

Ответ: наименьшее значение функции на данном интервале равно 1.

Решим следующую задачу:

3. Определить наибольшее значение функции на отрезке:

Сначала, как всегда, производная:

Это как раз случай, когда экстремумов у функции на данном интервале нет: у уравнения выше нет корней. Это означает, что функция монотонная: либо убывает, либо возрастает. Мы можем определить это по знаку производной: если производная положительна – функция возрастает, если отрицательна – убывает. Зачем нам знать, убывает или возрастает функция? Дело в том, что если функция возрастает, то ее значение будет всегда больше на правом конце интервала, а если убывает – на левом.

У нас, какой бы угол мы ни взяли, косинус его не превышает 1, поэтому производная положительна, а значит, функция растет. Таким образом, своего наибольшего значения она достигнет в точке 0:

Ответ: наибольшее значение функции на данном интервале – 3.

4. Определить наименьшее значение функции на отрезке:

Определим производную и приравняем к нулю:

Уже видно, что функция монотонная (нет корней у получившегося уравнения):

Так как производная отрицательна, то делаем вывод, что функция убывает. Тогда ее наименьшее значение – на правом конце отрезка, то есть в 0:

Ответ: наименьшее значение функции на данном отрезке – 19.

5. Найдите наименьшее значение функции на отрезке:

Берем производную, приравниваем к нулю и решаем полученное уравнение:

Казалось бы – уравнение имеет корни, значит, функция будет иметь экстремум на данном отрезке (второй корень данному отрезку не принадлежит, поэтому не рассмотрен). Определим, максимум это или минимум. Значение 1 для косинуса – максимальное, то есть, какую точку ни возьми около нуля – значение косинуса – абсциссы – будет меньше, чем в точке ноль. Однако! Производная в точке ноль знака не меняет! Она положительна в окрестности нуля, и значит, функция возрастает как до нуля, так и после. Значит, функция в точке ноль имеет не экстремум, а перегиб.

Поэтому, чтобы определить наименьшее значение, надо брать левый конец отрезка и считать значение функции в этой точке. По счастливой случайности, это точка ноль. Однако, это могла бы быть и другая точка, отличная от нуля, и тогда можно было бы ошибиться, посчитав точку ноль экстремумом и определив значение функции в ней. Итак, значение функции:

Ответ: наименьшее значение функции на данном отрезке – 8.

6. Найдите точку максимума функции:

Алгоритм выполнения таких заданий тот же самый. Первым делом – производная. Здесь имеем произведение двух функций, поэтому брать производную будем по правилу взятия производной от произведения функций:

Далее приравняем полученное выражение к нулю. Понятно, что экспонента всегда неотрицательна, в какую степень ни возведи, поэтому корень “спрятан” во втором сомножителе:

Убедимся, что данный экстремум – максимум. Действительно, в этой точке производная знак меняет, и меняет с положительного на отрицательный, то есть до этой точки функция возрастает, а после – убывает.

Таким образом, найденная нами точка – максимум. Ответ: точка х=-7.

7. Найдите наименьшее значение функции на отрезке:

Нам предстоит, как обычно, найти производную данной функции, а это функция сложная: под знаком логарифма выражение в степени (причем степень – четная! Если выносить ее за знак логарифма, то нужно ставить знак модуля, чтобы не сузить область определения функции). Поэтому, чтобы не раскрывать модуль, можем воспользоваться правилом взятия производной от сложной функции:


Полученное выражение приравняем к нулю:

Отметим, что в точке (-3) производная не определена. Тем не менее в этой точке производная поменяет знак. Точка (-2) – минимум функции, так как в ней производная меняет знак с отрицательного на положительный. Значит, в этой точке у функции минимальное значение. Найдем его:

Ответ: наименьшее значение функции на данном отрезке – 8.

8. Найдите точку максимума функции:

Определяем производную сложной функции. Найденную производную приравняем к нулю:

Имеем две точки экстремумов. Одна из них – максимум, другая – минимум.

Максимум функция имеет в точке 8.

9. Найдите точку минимума функции:

Определяем производную произведения, кроме того, экспонента является сложной функцией (здесь производная степени, в которую возведена экспонента, равна 1). Найденную производную приравняем к нулю:

Точкой минимума функции является точка 11. В этом можно убедиться: производная в ней меняет знак с минуса на плюс.

Ответ: точка х=11.

10. Найдите точки минимума и максимума функции:

Определяем производную сложной функции. Найденную производную приравняем к нулю:

Производная этой функции меняет знак с отрицательного на положительный в точке 2 (минимум), и с положительного на отрицательный – в точке 17 (максимум).

11. Найти наименьшее значение функции на отрезке:

Обратим внимание на то, что выражение, стоящее под знаком логарифма, больше нуля. Тогда 0″ title=”x+3>0″/>[/pmath], -3″ title=”x>-3″/>[/pmath]. Отрезок, на котором мы исследуем функцию и определяем знаки производной, удовлетворяет области определения функции.

Найдем производную и приравняем к нулю:

В точке 2 производная знак меняет, значит, это экстремум. Знак она меняет с отрицательного на положительный, поэтому данная точка – точка минимума. В ней функция принимает наименьшее значение:

Ответ: наименьшее значение функции на данном отрезке – 8.

12. Найти наименьшее значение функции на отрезке:

Найдем производную и приравняем к нулю:

Можем отметить, что область определения функции – положительные значения х (так как выражение под знаком логарифма больше ноля), и что производная в точке 0 не определена.Получим квадратное уравнение, у которого сумма коэффициентов равна 0 (a+b+c=0). В таком уравнении один корень равен 1, а второй c/a:

Заданному отрезку принадлежит лишь одна точка – 1. Производная здесь меняет знак с отрицательного на положительный, и значит, это минимум. Определим значение функции в этой точке:

13. Найдите наименьшее значение функции на отрезке:

Заметим, что функция не определена в точке 0.

Берем производную дроби:

Приравниваем производную к нулю и отыскиваем корни:

Один из корней нас не интересует, так как промежутку не принадлежит, а во второй точке производная меняет знак с отрицательного на положительный.То есть функция имеет минимум в данной точке. Определим ее минимальное значение:

Надеюсь, эта статья и, главное, приведенные примеры помогут вам справиться с заданием B15. Необходимо только помнить правила взятия производной, и особенно от сложных функций.

Поиск минимума функции

День добрый. Подскажите пожалуйста, как найти минимум функции, где помимо неизвестной переменной используются известные.
Понятно что можно перебором, но интересно — есть ли в матлабе более простой способ (типа fminbnd, fminsearch и т п, как эти функции приспособить — я не знаю).

Конкретно интересует такой пример:

18.12.2020, 11:35

Поиск минимума и максимума функции
Здравствуйте, только начала изучать Матлаб и столкнулась вот с такой задачей: необходимо найти.

Поиск минимума задачи с ограничениями fmincon
Доброго времени суток! Мне нужно минимизировать функцию при помощи MatLab 2015b: function f =.

Нахождение минимума/максимума функции
Была написана программа с использованием утилиты GUIDE. Пользовательский интерфейс выглядит так.

Метод Оптимизации, нахождение минимума функции
Нужно найти производную ,приравнять её к нулю и найти минимум функции и сам аргумент. %Приведем.

Алгоритм поиска минимума функции методом Дихотомии
Ребята хелп) я в матлабе нуб=-O, поэтому нужна ваша помощь. :drink::help: Короче программа уже у.

18.12.2020, 11:53 2 18.12.2020, 12:00 [ТС] 3

Annza, ну тогда это будет только на длину когда влиять. Но по факту — это тот же перебор будет ведь.
Даже памяти больше выделится чем при переборе.

А из встроенных функций никакую приладить сюда нельзя?
Сделать что-то типа

18.12.2020, 12:03 4
18.12.2020, 12:03
18.12.2020, 12:08 [ТС] 5
18.12.2020, 13:59 6
18.12.2020, 14:05 [ТС] 7

Как эти функции применять для одной переменной с постоянными коэффициентами я знаю и хелпом пользоваться умею.
Мне нужен совет — как эти функции применить касательно моего примера. Т.к. в случае с аргументами, которые известны, но подаются на вход — я не могу создать ни отдельную функцию с одним аргументом, которую подам на вход fminbnd, ни inline или что-то такое.

Т.е. в вопросе присутствует еще переменная s, которую варьировать не нужно, но она меняется до поиска минимума и вот она как раз-таки мешает мне заранее создать функцию, либо как-то иначе использовать.

Либо да, подскажите мне учебник или хелп, в которых данный вопрос освещен. Так как найденные и прочитанные мной хелпы, статьи на экспоненте и прочее — описывают примеры с одной переменной, которые тривиальны и не подходят.

Илон Маск рекомендует:  Сообщения об ошибках изменены
Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Кодинг, CSS и SQL