Приложеhие доказательство декодиpующего неpавенства


Содержание

Теорема о трех последовательностях.

Сохранение знака неравенства для элементов сходящейся последовательности.

Теорема1. Если последовательность сходится к числу a и a a, то

Доказательство. Достаточно взять . Тогда, по определению предела, найдется , что для всех , следовательно,

Теорема о переходе к пределу в неравенстве для двух последовательностей.

Теорема3..Если для всех n и , то
Доказательство. Пусть, напротив, . Тогда, в силу теоремы1 начиная с некоторого места все станут меньше ,что противоречит условию теоремы.

Замечание. При предельном переходе в неравенстве знак строгого неравенства может перейти в знак нестрогого а в пределе 0=0.

Теорема о трех последовательностях.

Теорема4. Если для всех n и ,то Доказательство. Проверим, что выполняется определение сходимости последовательности к числу . Возьмем любое , тогда из условия следует, что из условия следует, что Поэтому для всех выполняются неравенства следовательно, .

Предельный переход в неравенствах для последовательностей

Свойства сходящихся последовательностей (ограниченность, арифметические свойства)

Ответ:

Если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие число хn, то говорят, что задана последовательность

Общий элементпоследовательности является функцией от n.

Таким образом последовательность может рассматриваться как функция порядкового номера элемента.

Задать последовательность можно различными способами – главное, чтобы был указан способ получения любого члена последовательности.

Для последовательностей можно определить следующиеарифметические свойства:

1) Умножение последовательности на число m: mn> = n>, т.е. mx1, mx2, …

4) Частное последовательностей: при n> ¹ 0.

Ограниченные и неограниченные последовательности.

Определение. Последовательность n> называется ограниченной, если существует такое число М>0, что для любого n верно неравенство:

т.е. все члены последовательности принадлежат промежутку (-М; M).

Определение. Последовательность n>называется ограниченной сверху, если для любого n существует такое число М, что

Определение. Последовательность n>называется ограниченной снизу, если для любого n существует такое число М, что

Предельный переход в неравенствах для последовательностей.

Ответ:

Арифметические операции над сходящимися последовательностями приводят к таким же арифметическим операциям над их пределами. В этом пункте покажем, что неравенства, которым удовлетворяют элементы сходящихся последовательностей, в пределе переходят в соответствующие неравенства для пределов этих последовательностей.

Теорема. Если элементы сходящейся последовательности <xn>, начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству xnb (xnb), то и предел a этой последовательности удовлетворяет неравенству ab (ab).

Доказательство. Пусть все элементы xn, по крайней мере начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству xnb. Требуется доказать неравенство ab. Предположим, что a b, однако при этом предел a может оказаться равным b. Например, если , то xn > 0, однако


Следствие 1. Если элементы xn и yn сходящихся последовательностей <xn> и <yn>, начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству xnyn, то их пределы удовлетворяют такому же неравенству:

В самом деле, элементы последовательности <ynxn> неотрицательны, а поэтому неотрицателен и ее предел

Отсюда следует, что

Следствие 2. Если все элементы сходящейся последовательности <xn> находятся на сегменте [a, b], то и ее предел c также находится на этом сегменте.

Следующая теорема играет важную роль в различных приложениях.

Теорема. Пусть <xn> и <zn> — сходящиеся последовательности, имеющие общий предел a. Пусть, кроме того, начиная с некоторого номера, элементы последовательности <yn> удовлетворяют неравенствам xnynzn. Тогда последовательность <yn> сходится и имеет предел a.

Доказательство. Нам достаточно доказать, что последовательность <yna> является бесконечно малой. Обозначим через N * номер, начиная с которого выполняются неравенства, указанные в условии теоремы. Тогда, начиная с этого же номера, будут выполняться также неравенства xnaynazna. Отсюда следует, что при nN * элементы последовательности <yna> удовлетворяют неравенству

Так как и , то для любого ε > 0 можно указать номера N1 и N2 такие, что при nN1 |xna| * , N1, N2>. Начиная с этого номера, имеет место неравенство |yna|

Доказательство некоторых неравенств

Рассмотрим доказательства некоторых неравенств. Способы доказательства состоят в следующем:

− оказываемое неравенство путём преобразований, основанных на свойствах неравенств и сохраняющих их равносильность, сводят к неравенству, справедливость которого известна;

− путём равносильных преобразований очевидное или известное неравенство сводят к доказываемому неравенству;

− комбинируют первый и второй способы, то есть преобразуют как известное, так и доказываемое неравенства.

Применение данных способов проиллюстрируем примерами.

Пример. Докажем неравенство: .

Доказательство. В самом деле, разность . Очевидно, что , следовательно, , причем равенство достигается только при . Неравенство доказано.

Пример. Докажем неравенство: .

Доказательство. Так как , , , то неравенство принимает вид: .

Это неравенство приводится возведением в квадрат к равносильному: , то есть , что очевидно.

Заметим, что равенство достигается лишь в случае, когда числа и имеют одинаковые знаки или хотя бы одно из них равно нулю.

Пример. Докажем неравенство: .

Доказательство. В самом деле, .

Поэтому или . Неравенство доказано.

Пример. Докажем неравенство: , если .

Доказательство. Число называют средним арифметическим чисел и , а число – их средним геометрическим.

Другими словами докажем, что среднее арифметическое двух неотрицательных чисел не меньше их среднего геометрического.

Для доказательства рассмотрим разность .

Следовательно,, , причём равенство достигается только при , что возможно только при . Неравенство доказано.


Замечание. Понятия среднего арифметического и среднего геометрического вводятся и для неотрицательных чисел этом случае справедливо неравенство: , причем равенство достигается лишь при . Неравенство доказано.

Пример. Докажем неравенство: , если и , причём равенство достигается лишь при .

Доказательство. В самом деле, числа и положительны. Поэтому среднее арифметическое чисел и не меньше их среднего геометрического: или , равенство только в том случае, когда , то есть при , так как и – положительны. Неравенство доказано.

Пример. Докажем неравенство: , если , , причем равенство достигается лишь при .

Доказательство. В самом деле,

Пример. Доказать, что .

Решение. Складываются три известных неравенства: , , . Получаем .

Пример. Доказать, что , если .

Решение. Умножая неравенства , , .

Пример. Доказать, что , если и .

Решение. Используем равносильность неравенств: . Неравенство доказано.

При доказательстве некоторых неравенств удобно использовать замену данных величин другими.

Пример. Доказать, что , если , .

Решение. Полагая , запишем неравенство в виде , , равносильное известному .

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: При сдаче лабораторной работы, студент делает вид, что все знает; преподаватель делает вид, что верит ему. 9339 — | 7293 — или читать все.

188.64.174.135 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)

очень нужно

Число e – его смысл и доказательство сходимости последовательности

Определение числа e

Число e – это значение предела последовательности:
(1) .

Этот предел является частным случаем второго замечательного предела. Число e иногда называют числом Эйлера или числом Непера. Это самое используемое число в математическом анализе. Оно примерно равно
.
Число e можно представить в виде ряда:
.

Далее приводится объяснение, почему оно так популярно в математике, и дается доказательство существования конечного предела (1).

Смысл числа e

С развитием механики, возникла потребность в вычислении мгновенной скорости движения тел. Для определения скорости v , мы должны взять разность значений координат x в два момента времени и разделить на промежуток времени между ними:
.
По этой формуле, однако, мы не получим мгновенного значения скорости, а получим ее среднее значение в промежутке времени между и . Чтобы найти мгновенную скорость, мы должны положить . Но тогда знаменатель дроби станет равным нулю. Таким образом, эта задача не решается методами классической алгебры.

При попытке решить эту задачу, возникла новая математическая дисциплина – математический анализ. В нем, мгновенная скорость в момент времени t определяется как предел, к которому стремится отношение при , стремящемся к нулю. Этот предел называется производной x по t .

Таким образом, производная является одним из самых важных понятий в математическом анализе. Поэтому необходимо уметь вычислять производные. Оказывается, что если мы найдем производную показательной функции , то ее вычисление сводится к вычислению второго замечательного предела, аналогичного пределу последовательности (1), и выражается через число e :
.

Тогда, если за основание степени a взять число e , то производная будет иметь наиболее простой вид:
.
В связи с этим, в математическом анализе, за основание степени, там где это возможно, выбирают именно число e . Показательная функция с основанием e называется экспонентой. Логарифм по основанию e называется натуральным логарифмом и имеет специальное обозначение . Любую другую показательную функцию (с другим основанием) можно выразить через экспоненту:
.

Таким образом, смысл применения числа e заключается в том, что через него выражается производная показательной функции, и без него просто нельзя обойтись.


Но прежде, чем применять число e , нужно доказать, что оно существует. То есть нужно доказать, что существует конечный предел последовательности при n стремящемся к бесконечности: .

Доказательство сходимости последовательности

Здесь мы покажем, что последовательность с общим членом
(2)
имеет конечный предел. Для этого мы применим теорему Вейерштрасса о пределе монотонной последовательности. Тогда нам нужно доказать, что
1) последовательность (2) монотонна;
2) последовательность (2) ограничена.

Доказательство можно выполнять различными способами.

Применение бинома Ньютона

Рассмотрим последовательность с общим членом
(2) .
Докажем, что она строго возрастает. Для этого применим формулу бинома Ньютона:

Здесь

– биноминальные коэффициенты.

Подставим и выполним преобразования. Тогда элемент запишется в виде суммы положительных членов:

.
Выполняя деление в каждом члене на , имеем:
(3)

Для элемента имеем сумму положительных членов:

Далее замечаем, что

Таким образом, каждый член в , начиная с третьего по n + 1 -ый, больше соответствующего члена в . Кроме этого, в на один положительный член больше. Поэтому

То есть последовательность строго возрастает.

Докажем, что эта последовательность ограничена. Поскольку она возрастает, то снизу она ограниченна значением . Докажем, что последовательность ограничена сверху. Для этого замечаем, что

Тогда

Далее замечаем, что . Тогда
.
Применим формулу суммы членов геометрической прогрессии:
.

Отсюда получаем ограниченность :
.

Поскольку последовательность монотонна и ограничена, то, по теореме Вейерштрасса, она имеет конечный предел.

Применение неравенства Бернулли

Снова рассматриваем последовательность
(2) .
Докажем ее монотонность и ограниченность применяя неравенство Бернулли. При и при натуральном , имеет место следующее неравенство:
(4) .

Докажем с его помощью, что последовательность строго возрастает. Выпишем ее элементы в следующем виде:
, .
Тогда
.
Преобразуем второй множитель и применим неравенство Бернулли:

;
.
Поскольку , то строгое возрастание последовательности доказано.

Докажем, что последовательность ограничена. Поскольку она возрастает, то нам нужно доказать ее ограниченность сверху. Для четных n , является натуральным числом. Имеем:

;
.
Отсюда следует, что элементы последовательности с четными номерами ограничены:
.
Если n нечетно, то используем тот факт, что последовательность строго возрастает. Тогда четно. Поэтому и при нечетных n , элементы последовательности ограничены:
.

Итак, мы показали, что последовательность монотонна и ограничена. Тогда по теореме Вейерштрасса, она имеет конечный предел.

Использование вспомогательной последовательности

Для исследования сходимости исходной последовательности, иногда бывает удобно взять вспомогательную последовательность, которую легче исследовать. При этом предел исходной последовательности должен выражаться через предел вспомогательной.

В нашем случае, для исследования сходимости последовательности
(2) ,
возьмем вспомогательную последовательность
(5) .

Покажем, что она строго убывает. Для этого используем неравенство Бернулли:
(4) .
Имеем:
;

Илон Маск рекомендует:  Высокая сложность

.
Поскольку , то отсюда следует, что последовательность строго убывает.

Покажем, что ограничена. Поскольку она убывает, то сверху она ограничена значением . Покажем, что последовательность ограничена снизу. Снова применяем неравенство Бернулли:
;
.

Поскольку последовательность монотонна и ограничена, то, по теореме Вейерштрасса, она имеет конечный предел.

Элементы исходной последовательности выражаются через :
.
Далее замечаем, что
.
Применяем теорему о пределе частного числовой последовательности:
.
Поскольку последовательность имеет конечный предел, то и исходная последовательность имеет конечный предел.

Использованная литература:
О.И. Бесов. Лекции по математическому анализу. Часть 1. Москва, 2004.
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 25-03-2020

Неравенства и основные способы их доказательства. Часть 1. Приложение к журналу «Квант» №3/2020

Скачать книгу

О книге «Неравенства и основные способы их доказательства. Часть 1. Приложение к журналу «Квант» №3/2020»


Книга содержит различные методы и приемы, используемые при доказательстве неравенств. В нее включены задачи, которые не требуют специальных знаний и подойдут для начинающих изучать неравенства. Книга предназначена, прежде всего, учащимся и учителям средних школ, лицеев и гимназий.

Произведение было опубликовано в 2020 году издательством МЦНМО. Книга входит в серию «Приложение к журналу «КВАНТ»». На нашем сайте можно скачать книгу «Неравенства и основные способы их доказательства. Часть 1. Приложение к журналу «Квант» №3/2020» в формате fb2, rtf, epub, pdf, txt или читать онлайн. Здесь так же можно перед прочтением обратиться к отзывам читателей, уже знакомых с книгой, и узнать их мнение. В интернет-магазине нашего партнера вы можете купить и прочитать книгу в бумажном варианте.

Презумпция равенства всех видов доказательств по уголовному делу Текст научной статьи по специальности « Доказательства»

Аннотация научной статьи по государству и праву, юридическим наукам, автор научной работы — Левченко Ольга Владимировна

Презумпция равенства всех видов доказательств является межотраслевой презумпцией, в соответствии с которой суд, прокурор, следователь, дознаватель не должны признавать за каким-либо доказательством заранее установленную силу и на этом основании предрешать уголовное дело. Как и другие презумпции, она, будучи включенной в процесс доказывания по уголовному делу, в конечном итоге влияет на оценку доказательств, упорядочивает процесс познания обстоятельств, имеющих значение для дела, содействует установлению истины по делу. Библиогр. 3.

Похожие темы научных работ по государству и праву, юридическим наукам , автор научной работы — Левченко Ольга Владимировна,

THE PRESUMPTION OF EQUALITY OF ALL KINDS OF PROOFS ON CRIMINAL CASE

The presumption of equality of all kinds of proofs is an inter-branch presumption, according to which the court, the public prosecutor, the inspector, the investigator should not recognize behind any proof in advance established force and on this basis to determine criminal case. Like other presumptions, being included in proving process on criminal case, it finally influences an estimation of proofs, orders the process of knowledge of valuable for case circumstances, and promotes to the truth establishment on the case.

Текст научной работы на тему «Презумпция равенства всех видов доказательств по уголовному делу»

О. В. Левченко Астраханский государственный технический университет

ПРЕЗУМПЦИЯ РАВЕНСТВА ВСЕХ ВИДОВ ДОКАЗАТЕЛЬСТВ ПО УГОЛОВНОМУ ДЕЛУ

В п. 2 ст. 17 Уголовно-процессуального кодекса (УПК) РФ написано, что «никакие доказательства не имеют заранее установленной силы». Закрепление такого положения в законе, в отличие от формальной оценки доказательств, когда суд обязан был при наличии доказательств определенного вида и числа постановить обвинительный приговор, провозглашает свободную оценку доказательств по внутреннему убеждению участников доказывания.

Закон презюмирует равенство всех видов доказательств по уголовному делу. Логика оценки доказательств носит личный характер, основанный на их совокупности при руководстве закона и совести.

Как и каждая презумпция, презумпция равенства всех видов доказательств основана на определенных фактах, один из которых презюмирован законом, другой имеется в наличии как результат доказывания по делу.

Законом презюмированы виды доказательств (ч. 2 ст. 74 УПК РФ), которыми являются любые сведения, дающие возможность суду, прокурору, следователю, дознавателю устанавливать наличие или отсутствие обстоятельств, подлежащих доказыванию, а также иных обстоятельств, имеющих значение для дела (ч. 1 ст. 74 УПК РФ).

Для того чтобы стать доказательством по делу, эти сведения должны иметь ряд свойств: относимость, допустимость, достоверность. Доказательства, не отвечающие указанным свойствам, не могут включаться в их совокупность, достаточную для разрешения дела. Значит, законом при использовании презумпции равенства всех видов доказательств, имеются в виду только те из них, которые допускаются в процесс доказывания при оценке обстоятельств дела.

Закон регулирует порядок собирания и проверки любого вида доказательств, могущих быть подвергнутым оценке, и исключает «негодное» доказательство как объект оценки. Поэтому в характеристику презумпции равенства всех видов доказательств включены доказательства, имеющие юридическую силу (ч. 1 ст. 75 УПК РФ).

Это означает, что доказательства, имеющиеся по уголовному делу, для того чтобы учитываться названной презумпцией, должны соответствовать некому «эталону» доказательства, установленному законом.

Презумпция равенства всех видов доказательств является искусственной. Она установлена государством в качестве гарантии законности, обоснованности и справедливости решений. Правила оценки доказательств введены законодателем (в этом проявление искусственности презумпции) и могут быть изменены. Общечеловеческая практика познания объективной действительности напрямую не связана с данной презумпцией. Юридическая сила доказательства, в отличие от уже упоминавшейся формальной теории доказательств, зависит только от возможного нарушения требований уголовно-процессуального закона.

Презумпция равенства всех видов доказательств применяется только при их оценке, никак не влияя на собирание и проверку доказательств. Априори закон устанавливает, что все собранные и проверенные доказательства равны и никакое из них не может быть «лучшим» или «худшим». Как пишет А. В. Смирнов, «. пока не доказано обратное, считается, например, что документы не хуже показаний, вещественные доказательства — документов и т. д.» [1, с. 85].

В то же время в процессе доказывания используются такие доказательства, которые можно назвать «незаменимыми». К ним, в первую очередь, относится заключение эксперта. В ст. 196 УПК РФ указаны случаи, когда назначение и производство экспертизы по уголовному делу обязательны. Это означает прежде всего то, что при оценке заключения эксперта по, например, установлению причины смерти потерпевшего и показаний свидетеля, присутствовавшего в момент его смерти, большее доказательственное значение имеет все-таки заключение эксперта. Или, при оценке показаний свидетеля-очевидца и свидетеля, дающего показания с его слов, предпочтение будет отдано очевидцу как лицу, непосредственно воспринимавшему событие преступления.

Будет ли это отказ от презумпции равенства всех видов доказательств? На наш взгляд, нет, т. к. именно данная презумпция позволит в случае наличия существенных противоречий между видами доказательств в приведенных примерах правильно оценить каждое из них и назначить, например, повторную экспертизу или осуществить дополнительную проверку показаний свидете-ля-очевидца. Если бы то же заключение эксперта имело заранее установленную силу, то это могло бы повлиять на обоснованность решения с точки зрения возможных злоупотреблений.

Такая роль презумпции равенства всех видов доказательств имеет большое значение для мотивированности принимаемых решений, когда суд в соответствии с п. 4 ч. 1 ст. 305 и п. 2 ст. 307 УПК РФ должен изложить мотивы, по которым он отверг ряд доказательств по уголовному делу при постановлении приговора.

Исходя из этого, презумпция равенства всех видов доказательств действует только до вынесения итогового решения по делу, т. е. до момента окончательной оценки доказательств в их совокупности. После этого решение приобретает преюдициальную силу и обстоятельства, им установленные, признаются без дополнительной проверки (ст. 90 УПК РФ).

Презумпция равенства всех видов доказательств применяется и при оценке одноименных видов доказательств, если их несколько по уголовному делу. На наш взгляд, именно эта презумпция является средством выражения в уголовном деле конституционного положения о равенстве граждан независимо от пола, расы, национальности, языка, происхождения, имущественного и должностного положения и т. д. (ст. 19 Конституции РФ). Если в предыдущем Кодексе была закреплена такая норма (ст. 14), то в действующем она опосредованно осуществляется через презумпцию равенства доказательств. Например, показания любого лица должны оцениваться не с точки зрения личности, дающей эти показания, а по их содержанию и значению для дела.

В соответствии с этой же презумпцией предусматривается равенство доказательств, представленных суду стороной обвинения и стороной защиты. Такое положение подкреплено принципом состязательности сторон (ст. 15 УПК РФ).

Логическое построение данного принципа предусматривает не только процессуальное равноправие, но и равное отношение к результатам доказывания по делу. Право участников на собирание и представление доказательств наравне с лицами, осуществляющими уголовное судопроизводство (ч. 2, 3 ст. 86 УПК РФ), подразумевает, что они будут проверены и оценены по тем же правилам, что и доказательства, полученные путем производства следственных и иных процессуальных действий. Презумпция равенства всех видов доказательств способствует реализации состязательности сторон.

Заранее не установленная сила доказательств по делу, лежащая в основе рассматриваемой презумпции, оказывает свое влияние и на другие положения уголовно-процессуального закона. Например, если обвиняемый признает свою вину, то его признание может быть положено в основу обвинения только тогда, когда оно подтверждено совокупностью имеющихся по уголовному делу доказательств (ч. 2 ст. 77 УПК РФ). Это требование закона уравнивает признательные показания обвиняемого с другими видами доказательств и отрицает их приоритет. Вместе с принципом уважения чести и достоинства личности (ст. 9 УПК РФ), запрещающим подвергать насилию, пыткам, другому жестокому или унижающему человеческое достоинство обращению участников процесса, в том числе и обвиняемых, презумпция равенства всех видов доказательств гарантирует непредвзятую оценку показаний обвиняемого.

Презумпция равенства всех видов доказательств имеет большое значение и при оценке доказательств методом внутреннего убеждения судьей, присяжным заседателем, прокурором, следователем, дознавателем. Эти участники процесса, применяя указанный метод, должны руководствоваться законом и совестью. Здесь на первый план выступает принцип законности при производстве по уголовному делу (ст. 7 УПК РФ), который предусматривает основные оценочные критерии всех уголовно-процессуальных нарушений, влекущих отмену итогового решения по делу.


Совесть, как морально-этическая категория, с точки зрения презумпции равенства всех видов доказательств обеспечивает внутренний настрой вышеперечисленных участников на объективное исследование всех собранных по делу доказательств. Такой настрой должен быть подкреплен чувством справедливости, непредвзятости, а также желанием установить истину. Презумпция равенства всех видов доказательств является мерилом добросовестного отношения участника к исполнению назначения уголовного судопроизводства (ст. 6 УПК РФ).

Презумпция равенства всех видов доказательств является опровержимой презумпцией. Ее опровержимость может быть рассмотрена в двух аспектах: 1) при оценке всей совокупности доказательств по делу; 2) при оценке доказательств, устанавливающих одно обстоятельство. В первом случае такая оценка касается вывода о виновности (невиновности) обвиняемого; во втором — о доказанности (недоказанности) конкретного обстоятельства, подлежащего доказыванию или имеющего значение для дела.

Логическое обоснование опровержения презумпции равенства всех видов доказательств заключается в том, что закон называет достоверностью доказательств по уголовному делу. Известный русский юрист И. Я. Фойницкий писал: «Мы верим свидетелю не столько потому, что он человек неопороченный, не заинтересованный в исходе дела и дает свое показание под присягой, сколько, главным образом, потому, что показания его согласны с известными нам законами природы и подтверждаются обстоятельствами дела, установленными путем приемов реального познавания» [2, с. 201].

Здесь опровержение презумпции равенства всех видов доказательств зависит от соблюдения такого общего условия судебного разбирательства, как непосредственное исследование доказательств, которое заключается в том, что суд заслушивает показания подсудимого, потерпевшего, свидетелей, заключение эксперта, осматривает вещественные доказательства, оглашает протоколы и иные документы, проводит другие судебные действия (ч. 1 ст. 240 УПК РФ). В результате такого исследования некоторые доказательства могут быть признаны судом противоречащими объективным обстоятельствам дела, некоммуникативными и не приняты во внимание при постановлении итогового решения.

Илон Маск рекомендует:  Что такое код ora_fetch

Презумпция равенства всех видов доказательств как доктринального положение существует и в других отраслях российского процессуального права (ч. 2 ст. 67 Гражданско-процессуального кодекса (ГПК) РФ, ч. 2 ст. 71 Административно-процессуального кодекса (АПК) РФ).

Необходимо отметить, что указанные законы содержат также положение о том, что оценка доказательств по внутреннему убеждению, в отличие от УПК РФ, основывается на всестороннем, полном, объективном и непосредственном исследовании имеющихся в деле доказательств (ч. 1 ст. 67 ГПК РФ, ч. 1 ст. 71 АПК РФ). В связи с этим презумпция равенства доказательств в таких процессах имеет большее значение, поскольку эти условия, как пишет А. Г. Коваленко, «обеспечивает, с одной стороны, законодатель, надлежащим образом выстраивая нормативно-процессуальные требования, а с другой стороны — суд в рамках субъективных требований и саморегламентации деятельности (действий) самих судей» [3, с. 247].

Таким образом, презумпция равенства всех видов доказательств является межотраслевой презумпцией, в соответствии с которой суд, прокурор, следователь, дознаватель не должны признавать за каким-либо доказательством заранее установленную силу и на этом основании предрешать уголовное дело. Как и другие презумпции, она, будучи включенной в процесс доказывания по уголовному делу, в конечном итоге, влияет на оценку доказательств, упорядочивает процесс познания имеющих значение для дела обстоятельств, содействует установлению истины по делу.

1. Смирнов А. В. Состязательный процесс. — СПб.: Альфа, 2001. — 316 с.

2. Фойницкий И. Я. Курс уголовного судопроизводства. — СПб.: Альфа, 1996. — 640 с.

3. Коваленко А. Г. Институт доказывания в гражданском и арбитражном судопроизводстве. — М.: НОРМА, 2004. — 202 с.

Статья поступила в редакцию 9.11.2006

THE PRESUMPTION OF EQUALITY OF ALL KINDS OF PROOFS ON CRIMINAL CASE

The presumption of equality of all kinds of proofs is an inter-branch presumption, according to which the court, the public prosecutor, the inspector, the investigator should not recognize behind any proof in advance established force and on this basis to determine criminal case. Like other presumptions, being included in proving process on criminal case, it finally influences an estimation of proofs, orders the process of knowledge of valuable for case circumstances, and promotes to the truth establishment on the case.

Декодирование кодов БЧХ

Пусть с — произвольное кодовое слово некоторого кода БЧХ над полем GF(q). При передаче кодового слова с через канал связи значение битов исходного кодового слова может измениться в результате действия помех. При этом будет получено сообщение v, которое может отличаться от исходного переданного кодового слова с.

Связь многочлена v(x) принятой последовательности с многочленом с(х) переданного кодового слова можно записать в виде:

где е <х)— так называемый многочлен ошибок, ненулевые коэффициенты которого соответствуют разрядам исходного кодового слова с, в которых произошли ошибки в процессе передачи.

Таким образом, определение многочлена ошибок является основной задачей декодирования циклического кода. В соответствии с правилами систематического кодирования циклических кодов (см. подпараграф 2.2.4):

Обозначим многочлен (е(х)) mod (g(x)) через s(x). Многочлен s(x) называется синдромным многочленом.

При небольшой длине циклического кода целесообразно использовать табличный метод декодирования, схожий с табличным методом декодирования кодов Хэмминга (см. подпараграф 2.1.7). В этом случае для определения многочлена ошибок используется таблица соответствия значений синдромного многочлена и многочлена ошибок.

При большой длине кодового слова табличный метод декодирования не является эффективным с точки зрения машинных методов. Поэтому мы подробно рассмотрим другой метод декодирования, более пригодный для реализации в виде машинного алгоритма декодирования кодов БЧХ.

Рассмотрим q-ичный код БЧХ некоторой длины п с конструктивным расстоянием с/* = 2-f + 1, который задан корнями порождающего многочленаg(x) из поля GF(q m ).

Пусть при передаче кодового слова этого кода произошли ошибки в разрядах с номерами U, к. iv (v [1] . Пусть, например, при передаче кодового слова некоторого кода БЧХ длины п > 8 произошли две ошибки, например, в нулевом и седьмом разрядах. В этом случае v = 2, U = 7, к = 0.

В действительности мы не знаем ни числа ошибок v, ни номеров разрядов, в которых произошли ошибки. Нам только предстоит это выяснить для произвольного кода БЧХ и произвольного числа ошибок v ik называется локатором ошибок.

Обозначим a ik как Xу, где j = к. Обозначим также ненулевые элементы eik многочлена ошибок е(х) как У/, где) = к = 0,1. v. Тогда многочлен е(х) при х = = а будет иметь вид:

По аналогии многочлен е(х) прих = a s может быть записан как:

Будем считать, что если в кодовом слове произошла одна ошибка и многочлену ошибок соответствует некоторое значение У;Хг, то остальные значения X, равны нулю. Тогда при отсутствии ошибок X,- = 0 для всех /.

Значение S, = v(d) = е(а) называется компонентой синдрома — корень порождающего многочлена).


Как было сказано в параграфе 2.4, порождающий многочлен кода БЧХ всегда имеет 2-t корней (где t- число исправляемых кодом ошибок). Поэтому для любого кода БЧХ можно определить систему, состоящую из 2-t компонент синдрома:

Значения X/, i = 1,2. v (v -1 = а -/ :

Многочлен (2.38) называется многочленом локаторов ошибок.

Умножим многочлен (2.38) на Ym-Xm и примем х-Хт . Поскольку х = Хт является корнем уравнения A(jc), то:

Это уравнение может быть переписано следующим образом:

Просуммировав последнее уравнение по т от 1 до v, получим:

Каждое слагаемое полученного равенства соответствует некоторой компоненте синдрома по аналогии с уравнениями системы (2.37). Поэтому можно записать:

Пусть у = 1,2. у. Тогда из уравнения (2.39) можно получить систему уравнений для определения коэффициентов Х многочлена локаторов ошибок (2.38). Эта система может быть записана в матричном виде:

Обозначим матрицы системы следующим образом:

Такое обозначение позволяет перейти к компактной форме записи системы:

В действительности мы не знаем числа v произошедших ошибок. Поэтому

в матричном уравнении (2.41) заменим v переменным параметром ц = 1,2. v.

Тогда, согласно соотношениям (2.37), (2.39) и (2.40), элементы матрицы М можно записать как:

Перепишем правую часть последнего равенства, представив YtXe +J ‘ 1 в ви- де xi

В соответствии с определением операции произведения матриц, матрицу М можно представить в виде произведения некоторых матриц А и В. В этом случае элементы матрицы М будут определяться следующим образом:

где ац = Х <1 — элементы матрицы A, btj = YvXtXt 1 — элементы матрицы В.

Любой столбец матрицы А состоит из степеней 0,1. ц — 1 одного и того же

элемента. Таким образом, матрица А соответствует транспонированной матрице Вандермонда (см. приложение 1) с элементами Xt, где i = 0, 1, 2, . д — номер столбца матрицы:

Рассмотрим теперь матрицу В. Согласно приведенному выше представлению отдельных элементов, эта матрица будет иметь вид:

Также, согласно правилам матричного умножения, матрицу В можно представить в виде произведения матриц С и D:

При этом элемент матрицы В будет определяться следующим образом:

Матрица D соответствует матрице Вандермонда с элементами Х(, где t = О,

1,2,ц — номер строки матрицы (см. приложение 1). Тогда D = A T v А = DT

Матрица С — диагональная матрица, элементы которой могут быть записаны следующим образом:

Также элемент матрицы С может быть записан следующим образом:

где 5 г/с — символ Кронекера, принимающий единичное значение при совпадении значений его индексов и нулевое значение — во всех остальных случаях:

Теперь элемент матрицы В можно представить в виде:

Тогда элемент искомой матрицы М может быть записан следующим образом:


Матрица М является результатом произведения трех рассмотренных выше матриц: М = A-C-D = А-С-А т , каждая из которых является квадратной матрицей. Так как для любой квадратной матрицы А справедливо равенство | А | = | А т | и для любых двух квадратных матриц А и В справедливо равенство А-В = = A-B (см. приложение 1), то:

Так как определитель диагональной матрицы равен произведению всех диагональных (ненулевых) элементов матрицы, то при д > v определитель матрицы С будет иметь нулевое значение. При д m ) корней порождающего многочлена кода.

В соответствии с полученным условием (2.42) можно сформулировать теорему, которая часто называется центральной теоремой декодирования кодов БЧХ: матрица М не вырождена (определитель матрицы отличен от нуля) только в том случае, если размер (порядок) д матрицы меньше или равен числу v ошибок кодового слова.

Теперь мы можем определить в общем виде один из алгоритмов декодирования кодов БЧХ (пока считаем, что v m ) корней порождающего многочлена кода, то для поиска корней многочлена Л(х) необходимо проверить максимум q m -1 элементов GF(q m ).

Метод прямого перебора для поиска корней многочлена локаторов ошибок Л(х) известен как процедура Ченя.

Наиболее эффективным с точки зрения машинных алгоритмов является вычисление значения Л((3) циклическим методом:

На каждой итерации вычисляется значение

Такой метод вычисления значения Л((3) называется методом Горнера.

Примечательно, что в настоящее время никаких более эффективных альтернатив процедуре Ченя и методу Горнера не найдено. Нахождение корней уравнений над расширениями конечных полей без прямого перебора всех элементов поля расширения — одна из нерешенных задач алгебры.

Корни многочлена ошибок Л(х) — значения X,» 1 = а

1 (по определению многочлена ошибок). Поэтому значения локаторов ошибок ст 1 ‘ определяются как 1/Х/.

В случае недвоичного кода БЧХ требуется решение системы (2.37) для определения значений ошибок.

Полученные значения ошибок и локаторов ошибок позволяют получить многочлен ошибок и далее, основываясь на соотношении (2.36), восстановить исходное кодовое слово.

Пример 2.4.5. Рассмотрим процесс декодирования кодового слова двоичного (15,5)-кода БЧХ, исправляющего t = 3 ошибки, из примеров 2.4.1 и 2.4.2.

Пусть при передаче кодового слова с = 110010001111010 произошли две битовые ошибки и вместо исходного кодового слова с принята последовательность v = 110000001110010, которой соответствует многочлен v(x) = х 14 + х 13 + х 6 + х 5 + + х 4 + х над полем GF(2).

Найдем компоненты синдрома S,- = v(d), i- 1,2. 2-t, используя арифметику поля GF(2 4 ), построенного по модулю примитивного многочлена р(х) = х 4 + + х+ 1:

Составим квадратную матрицу компонент синдрома (матрицу М)

Определим число ошибок кодового слова. Для этого найдем определитель матрицы М для различных значений ц порядка матрицы, начиная с ц = 3:

Определитель матрицы М в этом случае равен 0. Это означает, что число ошибок кодового слова не равно трем. Уменьшим значение ц на 1:

При ц = 2 определитель матрицы М отличен от нуля. Следовательно, можно утверждать, что при передаче исходного кодового слова произошли две ошибки. Поэтому дальнейшие вычисления производятся для значения v = 2.

Для нахождения коэффициентов многочлена локаторов ошибок решим матричное уравнение (2.41). Для этого найдем обратную матрицу М

Найдем матрицу коэффициентов многочлена локаторов ошибок:

Теперь мы можем записать многочлен локаторов ошибок:

Подставляя последовательно все значения а поля GF(2 4 ) в многочлен локаторов ошибок (процедура Ченя), начиная с i = 0, получим:

Для остальных i значение Л(а ) отлично от нуля. Таким образом, корнями многочлена Л(х) являются х — а 5 и хг = а 12 поля GF(2 4 ). Проверим разложение Л(х) по найденным корням:

Так как локаторы ошибок обратны корням многочлена Л(х), то: Xi = 1/а 5 = = а 15 /а 5 — а 10 и Хг = 1/а 12 = а 15 /а 12 = а 3 .

Так как степень локатора ошибок соответствует ошибочному разряду кодового слова, то можно утверждать, что ошибки произошли в третьем и десятом разрядах кодового слова. Тогда многочлен ошибок будет иметь вид: е(х) = х 10 + х 3 .

Согласно соотношению (2.36),

Полученный многочлен соответствует кодовому слову 110010001111010.


Таким образом, мы обнаружили и исправили две ошибки кодового слова с.

Отметим, что порядок перебора корней не имеет никакого влияния на конечный результат и в данном случае выбранный порядок перебора элементов и индексов корней связан только с принятой выше системой нумерации локаторов ошибок, которая позволяет получить многочлен ошибок, записанный в порядке убывания степеней неопределенной переменной.

Пример 2.4.6. Рассмотрим теперь случай, когда число ошибок кодового слова у превышает максимальное значение t исправляемых кодом ошибок.

Илон Маск рекомендует:  Изменение стандартной формы

Пусть вместо исходного кодового слова с = 110010001111010 принята последовательностью = 110010000000010 с числом ошибок у = 4.

Определив компоненты синдромов и составив матрицу М по аналогии с предыдущим примером, получим, что определитель матрицы М не равен нулю уже при р = 3. Полагая, что р = 3, находим корни многочлена Л(х). В данном случае ни один элемент поля GF(2 4 ) не является корнем многочлена Л(х). Это свидетельствует о том, что в данном случае ошибки не подлежат исправлению.

Рассмотренный метод декодирования кодов БЧХ известен как метод Петер- сона-Горенстейна-Цирлера. Этот метод не отличается скоростью вычислений, однако является относительно простым для понимания (по сравнению с другими методами декодирования кодов БЧХ), не требует хранения в памяти всех возможных синдромов и подходит для программной реализации на любом языке программирования. Основной объем вычислений рассмотренного метода приходится на нахождение матрицы М -1 из матричного уравнения (2.41) путем прямого обращения.

Прямое обращение матрицы увеличивает время вычислений. Это особенно сказывается на времени декодирования кодов большой длины. Поэтому для вычисления коэффициентов многочлена Л(х) были разработаны методы на основе рекуррентных соотношений, позволяющие уменьшить количество необходимых действий. Наиболее известным методом непрямого вычисления коэффициентов Л(х) является алгоритм Берлекэмпа-Месси [2], [10], [14].

Алгоритм Берлекэмпа-Месси целесообразно использовать при большом числе исправляемых ошибок. Забегая вперед, отметим, что стандартные функции FEC, используемые в телекоммуникационных системах, как правило, позволяют исправить относительно небольшое число ошибок кодового слова. Поэтому рассмотренный метод декодирования будем считать удовлетворительным.

Информационные технологии

Необходимые и достаточные условия существования префиксного кода с заданными длинами кодовых слов. Неравенство Крафта

Для применения кода на практике желательно, чтобы кодовые слова были как можно короче. Однако чем слова короче, тем их запас меньше. В этом легко убедиться, посмотрев на изображение словарного универсума на рис.6.3. Если попытаться построить префиксный код с очень короткими длинами кодовых слов, то можно потерпеть неудачу — кода с такими длинами слов может не быть. Например, нетрудно убедиться, что не существует префиксного кода с длинами слов 1, 1, 2. При необходимости построить префиксный код с большим числом кодовых слов заданной длины проверка существования такого кода может быть достаточно сложной. К счастью, найдены необходимые и достаточные условия на длины кодовых слов для существования префиксного и любого однозначно декодируемого кода. Эти условия известны как теорема Крафта — Макмиллана. Необходимые и достаточные условия сформулируем в виде двух теорем.

Теорема (необходимые условия). Пусть — префиксный двоичный код с длинами кодовых слов . Тогда выполняется неравенство Крафта

Доказательство . Рассмотрим, сколько слов длины может быть в префиксном коде. Максимальное число таких слов равно . В этом случае все кодовых слова имеют длину .

Для каждого кодового слова длины имеется слов длины , для которых данное слово является префиксом и по этой причине не является кодовым. Это следует из структуры словарного дерева (см. рис. 6.3). Множества и слов длины , для которых кодовые слова и являются префиксами, не пересекаются, так как в противном случае более короткое из этих слов было бы префиксом более длинного. Значит, если в префиксном коде имеется слов длины слов длины слов длины 1, то число слов длины удовлетворяет неравенству

Это неравенство верно для любого , в том числе и для , равного максимальной длине кодовых слов. После деления на обеих частей неравенства (6.4) его можно преобразовать к виду

Слагаемое вида , представляющее в неравенстве (6.5) кодовых слов длины , можно записать в виде суммы

С учетом такого представления неравенство (6.5) можно переписать следующим образом:

где — общее число слов префиксного кода . Теорема доказана.

Выполнение неравенства Крафта доказано для префиксного кода . Однако в 1956 году Макмиллан доказал более общую теорему, согласно которой неравенство Крафта выполняется и для любого однозначно декодируемого кода. Доказательство теоремы изложено в [29], [31].

Можно также доказать, что если префиксный код полный, то в нестрогом неравенстве (6.3) будет выполняться равенство .

Теорема (достаточные условия). Если положительные целые числа удовлетворяют неравенству Крафта

то существует префиксный код с длинами кодовых слов

Доказательство . Если среди чисел имеется ровно чисел, равных , то неравенство Крафта можно записать в виде

где — максимальное из данных чисел. Из справедливости этого неравенства следует, что верны неравенства (6.5) для всех , а следовательно, и неравенство (6.4).

Для построения нужного префиксного кода должна быть возможность подходящим образом выбрать слов длины 1, слов длины 2, вообще слов длины или, иными словами, вершин кодового дерева на первом, — на втором, — на -м ярусе.

Из неравенства (6.4) при получаем , т. е. требуемое число не превосходит общего числа вершин первого яруса. Значит, на этом ярусе можно выбрать какие-то вершин в качестве концевых ( равно 0, 1 или 2). Если это сделано, то из общего числа вершин второго яруса (их ) для построения кода можно использовать лишь . Однако и этого числа вершин хватит, так как из неравенства (6.4) при вытекает

Аналогично, при имеем неравенство :

Правая часть его вновь совпадает с допустимым для построения префиксного кода числом вершин третьего яруса, если на первых двух ярусах уже выбраны и кодовых вершин. Значит, снова можно выбрать кодовых вершин на третьем ярусе. Продолжая этот процесс вплоть до , мы и получим требуемый код. Теорема доказана.


Докажем, что если для длин кодовых слов выполняется равен — равенство ,то код является полным. Предположим противное, то есть, что код не полный. Тогда к нему можно добавить, по крайней мере, одно кодовое слово (длины ) и получить новый префиксный код , для которого, с одной стороны, 1″ style=»display: inline; «>, а с другой стороны, в силу теоремы Крафта, Полученное противоречие доказывает утверждение.

Теоремы Крафта доказаны для случая, когда рассматриваются коды в алфавите . Если кодовый алфавит содержит символов, то аналогичным образом можно доказать, что необходимым и достаточным условием для существования префиксного кода с длинами слов является выполнение неравенства

Оказывается, этому неравенству обязаны удовлетворять и длины кодовых слов произвольного однозначно декодируемого кода. Поэтому, если существует однозначно декодируемый код с длинами слов , то существует и префиксный код с теми же длинами слов.

Методы построения кодов. Код Фано

Один из методов алфавитного кодирования был предложен Фано. Схема кодирования по методу Фано заключается в следующем. Предположим, что кодируемые сообщения источника (знаки исходного алфавита) располагаются в последовательности так, что соответствующие им вероятности не возрастают, т. е. . Рассмотрим разбиения последовательности A 1, A2, …, AN на две подпоследовательности и Каждое такое разбиение определяется числом , которое определяет, сколько элементов исходной последовательности входит в первую и вторую части разбиения. Среди разбиения выберем такое, чтобы модуль разности был минимальным. Всем сообщениям из первой части разбиения в качестве первого знака кодового слова приписываем 0, а сообщениям из второй части 1. По тому же принципу каждая из полученных подпоследовательностей снова разбивается на две части, и это раз-биение определяет значение второго символа кодового слова. Процедура продолжается до тех пор, пока все множество не будет разбито на отдельные сообщения. В результате каждому из сообщений будет сопоставлено кодовое слово из нулей и единиц.

Описанную процедуру построения кода Фано на примере из пяти сообщений иллюстрирует следующая таблица .

Таблица 6.1.
Сообщения Вероятности сообщений Знаки кодовых слов Кодовое слово
1-й знак 2-й знак 3-й знак
0.4 00
0.15 1 01
0.15 1 10
0.15 1 110
0.15 1 111

Понятно, что чем более вероятно сообщение, тем быстрее оно образует «самостоятельную» группу и тем более коротким словом оно будет закодировано. Это обстоятельство и обеспечивает высокую экономность кода Фано. Код, построенный для данного источника методом Фано, имеет среднюю длину кодового слова равную 2,3.

Код, построенный методом Фано, всегда является префиксным. Действительно, на первом шаге построения кода методом Фано множество сообщений источника разбивается на два подмножества. Все кодовые слова, соответствующие первому подмножеству, имеют однобуквенный префикс , состоящий из 0, а все слова, соответствующие второму подмножеству, имеют однобуквенный префикс , состоящий из 1 (или наоборот). Поэтому ни одно слово , соответствующее какому-нибудь из сообщений из первого подмножества, не может быть префиксом ни для какого слова, соответствующего сообщению из второго подмножества. Аналогичная процедура разбиения применяется к каждому подмножеству сообщений с одинаковыми префиксами при добавлении нового знака к формируемым кодовым словам. При этом число подмножеств, на которые разбивается исходное множество сообщений источника (блоков разбиения), увеличивается. Важным свойством разбиений является то, что для кодовых слов, соответствующих сообщениям из разных блоков разбиения, имеются различные префиксы. Построение кода завершается разбиением множества сообщений на блоки, содержащие по одному сообщению. Из-за отмеченного свойства разбиений ни одно кодовое слово не является префиксом другого кодового слова, то есть построенный методом Фано код является префиксным.

Описанный метод кодирования можно применять и в случае произвольного алфавита из символов, с той лишь разницей, что на каждом шаге следует производить разбиение на равновероятных групп.

Избыточность кодирования. Нижняя граница средней длины кодирования

Рассмотренные ранее примеры показывают, что использование кодов переменной длины позволяет эффективнее кодировать сообщения по сравнению с равномерным кодированием. Для получения оценки минимально достижимой средней длины кодового слова рассмотрим избыточность кодирования , представляющую собой разность между средней длиной кодового слова при кодировании источника S кодом c и энтропией . Две следующие теоремы показывают, какова нижняя граница средней длины кодирования и как близко можно приблизиться к этой границе за счет рационального выбора кодовых слов.

Для доказательства первой теоремы напомним одно свойство логарифма, которое заключается в том, что график функции лежит ниже касательной к ней в точке , и следовательно, выполняется неравенство . Это свойство иллюстрирует рис.6.6.

Теорема. Для произвольного источника и префиксного кода избыточность кодирования неотрицательна, т. е. .

Предельный переход в неравенствах

Арифметические операции над сходящимися последовательностями приводят к таким же арифметическим операциям над их пределами. В этом пункте покажем, что неравенства, которым удовлетворяют элементы сходящихся последовательностей, в пределе переходят в соответствующие неравенства для пределов этих последовательностей.

Теорема. Если элементы сходящейся последовательности <xn>, начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству xnb (xnb), то и предел a этой последовательности удовлетворяет неравенству ab (ab).

Доказательство. Пусть все элементы xn, по крайней мере начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству xnb. Требуется доказать неравенство ab. Предположим, что a a можно указать номер N такой, что при n ≥ N выполняется неравенство |xna| b — a) b, однако при этом предел a может оказаться равным b. Например, если , то xn > 0, однако .

Следствие 1. Если элементы xn и yn сходящихся последовательностей <xn> и <yn>, начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству xnyn, то их пределы удовлетворяют такому же неравенству:

В самом деле, элементы последовательности <ynxn> неотрицательны, а поэтому неотрицателен и ее предел . Отсюда следует, что

Теорема о трех последовательностях.

Сохранение знака неравенства для элементов сходящейся последовательности.

Теорема1. Если последовательность сходится к числу a и a a, то

Доказательство. Достаточно взять . Тогда, по определению предела, найдется , что для всех , следовательно,

Теорема о переходе к пределу в неравенстве для двух последовательностей.

Теорема3..Если для всех n и , то
Доказательство. Пусть, напротив, . Тогда, в силу теоремы1 начиная с некоторого места все станут меньше ,что противоречит условию теоремы.

Замечание. При предельном переходе в неравенстве знак строгого неравенства может перейти в знак нестрогого а в пределе 0=0.

Теорема о трех последовательностях.

Теорема4. Если для всех n и ,то Доказательство. Проверим, что выполняется определение сходимости последовательности к числу . Возьмем любое , тогда из условия следует, что из условия следует, что Поэтому для всех выполняются неравенства следовательно, .

Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Кодинг, CSS и SQL