Процедуры работы с множествами


Содержание

Пример работы с множествами

Читайте также:

  1. Flybox EFC-P, назначение, состав и принцип работы
  2. I. Мегауровень ценностей социальной работы
  3. II. Макроуровень ценностей социальной работы
  4. II. Режимы работы СОД.
  5. III. Мезоуровень ценностей социальной работы
  6. III. Примеры итерационных методов.
  7. IV. Примерная тематика рефератов
  8. V. Примеры итерационных методов.
  9. V.Формы работы над развитием внутреннего слуха.
  10. VРегресс и фантазия.— Невроз и искусство.— Перенос (Ubertragung).— Боязнь освобождения вытесненного.— Исходы психоаналитической работы.— Вредная степень вытеснения сексуального
  11. Алгоритм и примеры задач, решаемых с помощью алгоритмов
  12. Алгоритм поиска работы.

Представление множеств в памяти

Операции над множествами

Значения переменных иди констант множественного типа задаются с помощью конструктора, состоящего из квадратных скобок, в которых перечисляются элементы множества или указывается диапазон их значений.

const empty = [];

Digits = [1,2,5,11,64,64,4,3];

var alphabet:set of char; ch: char;

begin alphabet:=[‘A’..’Z’,’a’..’z’];

ch:=’t’;

alphabet:=[ch];

Отсутствие элементов в квадратных скобках означает пустое множество. Присваивание допустимо только в том случае, если все элементы множественного выражения относятся к базовому типу.

Над множествами языка Паскаль можно выполнять те же операции, что и над математическими множествами, то есть находить их объединение, пересечение, разность.

Если S1 и S2 – это константы или переменные множественного типа, то в Паскале:

S1 + S2 – объединение множеств;

S1 * S2 – пересечение множеств;

S1 – S2 – разность множеств.

К множествам можно применять 5 операция отношения:

S1 = S2 – равенство множеств;

S1 <> S2 – неравенство множеств;

S1 = S2 – включение, результат true, если S2 является подмножеством S1

E in S1 – вхождение в множество, результат true, если Е является элементом S1

Пример var ch:char; … if ch in alphabet then …

Такая операция выполняется быстро и может использоваться для исключения сложных проверок вида:

If (ch=’A’) of (ch=’E’) or … then …

Чтобы добавить во множество какой-нибудь элемент, его следует объединить с множеством, состоящим из единственного элемента:

Alphabet:=alphabet + [ch];

В ВР для добавления можно также использовать процедуру include(s,ch). Для исключения exclude(s,ch). Где первый параметр может означать множество, а второй – исключаемый элемент.

Множество представляется в памяти с помощью характеристической переменной функции C(s). Это массив из битовых логических значений. Причем і-ая компонента массива указывает входит или не входит соответствующий элемент в множество s.

Например, множество s:set of 1..15, которому присвоено значение s:=[1,3,5,7,13,14]

Представление множество в виде характеристических функция позволяет выполнять операции над множествами посредством логических операций над строками битов. Поэтому операции над множествами выполняются быстро.

vara,b:set of 1..8;

a:[1,3,5,8] 1 0 1 0 1 0 0 1
b:=[1,4,5,8] 1 0 0 1 1 0 0 1
a*b=[1,5,8] 1 0 0 0 1 0 0 1
Значения базового типа 1 2 3 4 5 6 7 8

Пусть требуется создать множество из литер, найти в нем элемент с минимальным кодом, распечатать все элементы множества в алфавитном порядке. Выход из процедуры создания будем осуществлять вводом символа «*». Работу организуем с пользованием процедур, вызываемых из пунктов меню

program DemoSet;

uses crt;

Procedure Rasp;

Дата добавления: 2014-01-07 ; Просмотров: 254 ; Нарушение авторских прав? ;

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

Множества. Операции над множествами.
Отображение множеств. Мощность множества

Приветствую вас на первом уроке по высшей алгебре, который появился… в канун пятилетия сайта, после того, как я уже создал более 150 статей по математике, и мои материалы начали оформляться в завершённый курс. Впрочем, буду надеяться, что не опоздал – ведь многие студенты начинают вникать в лекции только к государственным экзаменам =)

Вузовский курс вышмата традиционно зиждется на трёх китах:

– математическом анализе (пределы, производные и т.д.)

– и, наконец, сезон 2015/16 учебного года открывается уроками Алгебра для чайников, Элементы математической логики, на которых мы разберём основы раздела, а также познакомимся с базовыми математическими понятиями и распространёнными обозначениями. Надо сказать, что в других статьях я не злоупотребляю «закорючками» , однако то лишь стиль, и, конечно же, их нужно узнавать в любом состоянии =). Вновь прибывшим читателям сообщаю, что мои уроки ориентированы на практику, и нижеследующий материал будет представлен именно в этом ключе. За более полной и академичной информацией, пожалуйста, обращайтесь к учебной литературе. Поехали:

Множество. Примеры множеств

Множество – это фундаментальное понятие не только математики, но и всего окружающего мира. Возьмите прямо сейчас в руку любой предмет. Вот вам и множество, состоящее из одного элемента.

В широком смысле, множество – это совокупность объектов (элементов), которые понимаются как единое целое (по тем или иным признакам, критериям или обстоятельствам). Причём, это не только материальные объекты, но и буквы, цифры, теоремы, мысли, эмоции и т.д.

Обычно множества обозначаются большими латинскими буквами (как вариант, с подстрочными индексами: и т.п.), а его элементы записываются в фигурных скобках, например:

– множество букв русского алфавита;
– множество натуральных чисел;

ну что же, пришла пора немного познакомиться:
– множество студентов в 1-м ряду

… я рад видеть ваши серьёзные и сосредоточенные лица =)

Множества и являются конечными (состоящими из конечного числа элементов), а множество – это пример бесконечного множества. Кроме того, в теории и на практике рассматривается так называемое пустое множество:

– множество, в котором нет ни одного элемента.

Пример вам хорошо известен – множество на экзамене частенько бывает пусто =)

Принадлежность элемента множеству записывается значком , например:

– буква «бэ» принадлежит множеству букв русского алфавита;
– буква «бета» не принадлежит множеству букв русского алфавита;
– число 5 принадлежит множеству натуральных чисел;
– а вот число 5,5 – уже нет;
– Вольдемар не сидит в первом ряду (и тем более, не принадлежит множеству или =)).

В абстрактной и не очень алгебре элементы множества обозначают маленькими латинскими буквами и, соответственно, факт принадлежности оформляется в следующем стиле:

– элемент принадлежит множеству .

Вышеприведённые множества записаны прямым перечислением элементов, но это не единственный способ. Многие множества удобно определять с помощью некоторого признака (ов), который присущ всем его элементам. Например:

– множество всех натуральных чисел, меньших ста.

Запомните: длинная вертикальная палка выражает словесный оборот «которые», «таких, что». Довольно часто вместо неё используется двоеточие: – давайте прочитаем запись более формально: «множество элементов , принадлежащих множеству натуральных чисел, таких, что ». Молодцы!

Данное множество можно записать и прямым перечислением:

Ещё примеры:
– и если и студентов в 1-м ряду достаточно много, то такая запись намного удобнее, нежели их прямое перечисление.

– множество чисел, принадлежащих отрезку . Обратите внимание, что здесь подразумевается множество действительных чисел (о них позже), которые перечислить через запятую уже невозможно.

Следует отметить, что элементы множества не обязаны быть «однородными» или логически взаимосвязанными. Возьмите большой пакет и начните наобум складывать в него различные предметы. В этом нет никакой закономерности, но, тем не менее, речь идёт о множестве предметов. Образно говоря, множество – это и есть обособленный «пакет», в котором «волею судьбы» оказалась некоторая совокупность объектов.

Подмножества

Практически всё понятно из самого названия: множество является подмножеством множества , если каждый элемент множества принадлежит множеству . Иными словами, множество содержится во множестве :

Значок называют значком включения.

Вернёмся к примеру, в котором – это множество букв русского алфавита. Обозначим через – множество его гласных букв. Тогда:

Также можно выделить подмножество согласных букв и вообще – произвольное подмножество, состоящее из любого количества случайно (или неслучайно) взятых кириллических букв. В частности, любая буква кириллицы является подмножеством множества .

Отношения между подмножествами удобно изображать с помощью условной геометрической схемы, которая называется кругами Эйлера.

Пусть – множество студентов в 1-м ряду, – множество студентов группы, – множество студентов университета. Тогда отношение включений можно изобразить следующим образом:

Множество студентов другого ВУЗа следует изобразить кругом, который не пересекает внешний круг; множество студентов страны – кругом, который содержит в себе оба этих круга, и т.д.

Типичный пример включений мы наблюдаем при рассмотрении числовых множеств. Повторим школьный материал, который важно держать на заметке и при изучении высшей математики:

Числовые множества

Как известно, исторически первыми появились натуральные числа, предназначенные для подсчёта материальных объектов (людей, кур, овец, монет и т.д.). Это множество уже встретилось в статье, единственное, мы сейчас чуть-чуть модифицируем его обозначение. Дело в том, что числовые множества принято обозначать жирными, стилизованными или утолщёнными буквами. Мне удобнее использовать жирный шрифт:

Иногда к множеству натуральных чисел относят ноль.

Если к множеству присоединить те же числа с противоположным знаком и ноль, то получится множество целых чисел:

, рационализаторы и лентяи записывают его элементы со значками «плюс минус»:))

Совершенно понятно, что множество натуральных чисел является подмножеством множества целых чисел:
– поскольку каждый элемент множества принадлежит множеству . Таким образом, любое натуральное число можно смело назвать и целым числом.

Название множества тоже «говорящее»: целые числа – это значит, никаких дробей.

И, коль скоро, целые, то сразу же вспомним важные признаки их делимости на 2, 3, 4, 5 и 10, которые будут требоваться в практических вычислениях чуть ли не каждый день:

Целое число делится на 2 без остатка, если оно заканчивается на 0, 2, 4, 6 или 8 (т.е. любой чётной цифрой). Например, числа:
400, -1502, -24, 66996, 818 – делятся на 2 без остатка.

И давайте тут же разберём «родственный» признак: целое число делится на 4, если число, составленное из двух его последних цифр (в порядке их следования) делится на 4.

400 – делится на 4 (т.к. 00 (ноль) делится на 4);
-1502 – не делится на 4 (т.к. 02 (двойка) не делится на 4);
-24, понятно, делится на 4;
66996 – делится на 4 (т.к. 96 делится на 4);
818 – не делится на 4 (т.к. 18 не делится на 4).

Самостоятельно проведите несложное обоснование данного факта.

С делимость на 3 чуть сложнее: целое число делится на 3 без остатка, если сумма входящих в него цифр делится на 3.

Проверим, делится ли на 3 число 27901. Для этого просуммируем его цифры:
2 + 7 + 9 + 0 + 1 = 19 – не делится на 3
Вывод: 27901 не делится на 3.

Просуммируем цифры числа -825432:
8 + 2 + 5 + 4 + 3 + 2 = 24 – делится на 3
Вывод: число -825432 делится на 3

Целое число делится на 5, если оно заканчивается пятёркой либо нулём:
775, -2390 – делятся на 5

Целое число делится на 10, если оно заканчивается на ноль:
798400 – делится на 10 (и, очевидно, на 100). Ну и, наверное, все помнят – для того, чтобы разделить на 10, нужно просто убрать один ноль: 79840

Также существуют признаки делимости на 6, 8, 9, 11 и т.д., но практического толку от них практически никакого =)

Следует отметить, что перечисленные признаки (казалось бы, такие простые) строго доказываются в теории чисел. Этот раздел алгебры вообще достаточно интересен, однако его теоремы… прямо современная китайская казнь =) А Вольдемару за последней партой и того хватило…, но ничего страшного, скоро мы займёмся живительными физическими упражнениями =)

Следующим числовым множеством идёт множество рациональных чисел:
– то есть, любое рациональное число представимо в виде дроби с целым числителем и натуральным знаменателем.

Очевидно, что множество целых чисел является подмножеством множества рациональных чисел:

И в самом деле – ведь любое целое число можно представить в виде рациональной дроби , например: и т.д. Таким образом, целое число можно совершенно законно назвать и рациональным числом.

Характерным «опознавательным» признаком рационального числа является то обстоятельство, что при делении числителя на знаменатель получается либо
– целое число,

либо
конечная десятичная дробь,

либо
– бесконечная периодическая десятичная дробь (повтор может начаться не сразу).

Полюбуйтесь делением и постарайтесь выполнять это действие как можно реже! В организационной статье Высшая математика для чайников и на других уроках я неоднократно повторял, повторяю, и буду повторять эту мантру:

В высшей математике все действия стремимся выполнять в обыкновенных (правильных и неправильных) дробях


Согласитесь, что иметь дело с дробью значительно удобнее, чем с десятичным числом 0,375 (не говоря уже о бесконечных дробях).

Едем дальше. Помимо рациональных существует множество иррациональных чисел, каждое из которых представимо в виде бесконечной НЕпериодической десятичной дроби. Иными словами, в «бесконечных хвостах» иррациональных чисел нет никакой закономерности:
(«год рождения Льва Толстого» дважды)
и т.д.

О знаменитых константах «пи» и «е» информации предостаточно, поэтому на них я не останавливаюсь.

Объединение рациональных и иррациональных чисел образует множество действительных (вещественных) чисел:

– значок объединения множеств.

Геометрическая интерпретация множества вам хорошо знакома – это числовая прямая:

Каждому действительному числу соответствует определённая точка числовой прямой, и наоборот – каждой точке числовой прямой обязательно соответствует некоторое действительное число. По существу, сейчас я сформулировал свойство непрерывности действительных чисел, которое хоть и кажется очевидным, но строго доказывается в курсе математического анализа.

Числовую прямую также обозначают бесконечным интервалом , а запись или эквивалентная ей запись символизирует тот факт, что принадлежит множеству действительных чисел (или попросту «икс» – действительное число).

С вложениями всё прозрачно: множество рациональных чисел – это подмножество множества действительных чисел:
, таким образом, любое рациональное число можно смело назвать и действительным числом.

Множество иррациональных чисел – это тоже подмножество действительных чисел:

При этом подмножества и не пересекаются – то есть ни одно иррациональное число невозможно представить в виде рациональной дроби.

Существуют ли какие-нибудь другие числовые системы? Существуют! Это, например, комплексные числа, с которыми я рекомендую ознакомиться буквально в ближайшие дни или даже часы.

Ну а пока мы переходим к изучению операций над множествами, дух которых уже материализовался в конце этого параграфа:

Действия над множествами. Диаграммы Венна

Диаграммы Венна (по аналогии с кругами Эйлера) – это схематическое изображение действий с множествами. Опять же предупреждаю, что я рассмотрю не все операции:

1) Пересечение множеств характеризуется логической связкой И и обозначается значком

Пересечением множеств и называется множество , каждый элемент которого принадлежит и множеству , и множеству . Грубо говоря, пересечение – это общая часть множеств:

Так, например, для множеств :

Если у множеств нет одинаковых элементов, то их пересечение пусто. Такой пример нам только что встретился при рассмотрении числовых множеств:

Множества рациональных и иррациональных чисел можно схематически изобразить двумя непересекающимися кругами.

Операция пересечения применима и для бОльшего количества множеств, в частности в Википедии есть хороший пример пересечения множеств букв трёх алфавитов.

2) Объединение множеств характеризуется логической связкой ИЛИ и обозначается значком

Объединением множеств и называется множество , каждый элемент которого принадлежит множеству или множеству :

Запишем объединение множеств :
– грубо говоря, тут нужно перечислить все элементы множеств и , причём одинаковые элементы (в данном случае единица на пересечении множеств) следует указать один раз.

Но множества, разумеется, могут и не пересекаться, как это имеет место быть с рациональными и иррациональными числами:

В этом случае можно изобразить два непересекающихся заштрихованных круга.

Операция объединения применима и для бОльшего количества множеств, например, если , то:

, при этом числа вовсе не обязательно располагать в порядке возрастания (это я сделал исключительно из эстетических соображений). Не мудрствуя лукаво, результат можно записать и так:

3) Разностью множеств и называют множество , каждый элемент которого принадлежит множеству и не принадлежит множеству :

Разность читаются следующим образом: «а без бэ». И рассуждать можно точно так же: рассмотрим множества . Чтобы записать разность , нужно из множества «выбросить» все элементы, которые есть во множестве :

Пример с числовыми множествами:
– здесь из множества целых чисел исключены все натуральные, да и сама запись так и читается: «множество целых чисел без множества натуральных».

Зеркально: разностью множеств и называют множество , каждый элемент которого принадлежит множеству и не принадлежит множеству :

Для тех же множеств
– из множества «выброшено» то, что есть во множестве .

А вот эта разность оказывается пуста: . И в самом деле – если из множества натуральных чисел исключить целые числа, то, собственно, ничего и не останется :)

Кроме того, иногда рассматривают симметрическую разность , которая объединяет оба «полумесяца»:
– иными словами, это «всё, кроме пересечения множеств».

4) Декартовым (прямым) произведением множеств и называется множество всех упорядоченных пар , в которых элемент , а элемент

Запишем декартово произведение множеств :
– перечисление пар удобно осуществлять по следующему алгоритму: «сначала к 1-му элементу множества последовательно присоединяем каждый элемент множества , затем ко 2-му элементу множества присоединяем каждый элемент множества , затем к 3-му элементу множества присоединяем каждый элемент множества »:

Зеркально: декартовым произведением множеств и называется множество всех упорядоченных пар , в которых . В нашем примере:
– здесь схема записи аналогична: сначала к «минус единице» последовательно присоединяем все элементы множества , затем к «дэ» – те же самые элементы:

Но это чисто для удобства – и в том, и в другом случае пары можно перечислить в каком угодно порядке – здесь важно записать все возможные пары.

А теперь гвоздь программы: декартово произведение – это есть не что иное, как множество точек нашей родной декартовой системы координат .

Задание для самостоятельного закрепления материала:

Выполнить операции , если:

Множество удобно расписать перечислением его элементов.

И пунктик с промежутками действительных чисел:

Напоминаю, что квадратная скобка означает включение числа в промежуток, а круглая – его невключение, то есть «минус единица» принадлежит множеству , а «тройка» не принадлежит множеству . Постарайтесь разобраться, что представляет собой декартово произведение данных множеств. Если возникнут затруднения, выполните чертёж ;)

Краткое решение задачи в конце урока.

Отображение множеств

Отображение множества во множество – это правило, по которому каждому элементу множества ставится в соответствие элемент (или элементы) множества . В том случае если в соответствие ставится единственный элемент, то данное правило называется однозначно определённой функцией или просто функцией.

Функцию, как многие знают, чаще всего обозначают буквой – она ставит в соответствие каждому элементу единственное значение , принадлежащее множеству .

Ну а сейчас я снова побеспокою множество студентов 1-го ряда и предложу им 6 тем для рефератов (множество ):

Установленное (добровольно или принудительно =)) правило ставит в соответствие каждому студенту множества единственную тему реферата множества .

…а вы, наверное, и представить себе не могли, что сыграете роль аргумента функции =) =)

Элементы множества образуют область определения функции (обозначается через ), а элементы множества – область значений функции (обозначается через ).

Построенное отображение множеств имеет очень важную характеристику: оно является взаимно-однозначным или биективным (биекцией). В данном примере это означает, что каждому студенту поставлена в соответствие одна уникальная тема реферата, и обратно – за каждой темой реферата закреплён один и только один студент.

Однако не следует думать, что всякое отображение биективно. Если на 1-й ряд (к множеству ) добавить 7-го студента, то взаимно-однозначное соответствие пропадёт – либо один из студентов останется без темы (отображения не будет вообще), либо какая-то тема достанется сразу двум студентам. Обратная ситуация: если к множеству добавить седьмую тему, то взаимнооднозначность отображения тоже будет утрачена – одна из тем останется невостребованной.

Уважаемые студенты на 1-м ряду, не расстраивайтесь – остальные 20 человек после пар пойдут прибирать территорию университета от осенней листвы. Завхоз выдаст двадцать голиков, после чего будет установлено взаимно-однозначное соответствие между основной частью группы и мётлами…, а Вольдемар ещё и в магазин сбегать успеет =)

Теперь разберёмся со «школьной» функцией одной переменной. Пожалуйста, загляните на страницу Функции и графики (отроется на соседней вкладке), и в Примере 1 найдите график линейной функции .

Задумаемся, что это такое? Это правило , которое каждому элементу области определения (в данном случае это все значения «икс») ставит в соответствие единственное значение . С теоретико-множественной точки зрения, здесь происходит отображение множества действительных чисел во множество действительных чисел:

Первое множество мы по-обывательски называем «иксами» (независимая переменная или аргумент), а второе – «игреками» (зависимая переменная или функция ).

Далее взглянем на старую знакомую параболу . Здесь правило каждому значению «икс» ставит в соответствие его квадрат, и имеет место отображение:

Итак, что же такое функция одной переменной? Функция одной переменной – это правило , которое каждому значению независимой переменной из области определения ставит в соответствие одно и только одно значение .

Как уже отмечалось в примере со студентами, не всякая функция является взаимно-однозначной. Так, например, у функции каждому «иксу» области определения соответствует свой уникальный «игрек», и наоборот – по любому значению «игрек» мы сможем однозначно восстановить «икс». Таким образом, это биективная функция.

! На всякий случай ликвидирую возможное недопонимание: моя постоянная оговорка об области определения не случайна! Функция может быть определена далеко не при всех «икс», и, кроме того, может быть взаимно-однозначной и в этом случае. Типичный пример:

А вот у квадратичной функции не наблюдается ничего подобного, во-первых:
– то есть, различные значения «икс» отобразились в одно и то же значение «игрек»; и во-вторых: если кто-то вычислил значение функции и сообщил нам, что , то не понятно – этот «игрек» получен при или при ? Что и говорить, взаимной однозначностью здесь даже не пахнет.

Задание 2: просмотреть графики основных элементарных функций и выписать на листок биективные функции. Список для сверки в конце этого урока.

Мощность множества

Интуиция подсказывает, что термин характеризует размер множества, а именно количество его элементов. И интуиция нас не обманывает!

Мощность пустого множества равна нулю.

Мощность множества равна шести.

Мощность множества букв русского алфавита равна тридцати трём.

И вообще – мощность любого конечного множества равно количеству элементов данного множества.

…возможно, не все до конца понимают, что такое конечное множество – если начать пересчитывать элементы этого множества, то рано или поздно счёт завершится. Что называется, и китайцы когда-нибудь закончатся.

Само собой, множества можно сравнивать по мощности и их равенство в этом смысле называется равномощностью. Равномощность определяется следующим образом:

Два множества являются равномощными, если между ними можно установить взаимно-однозначное соответствие.

Множество студентов равномощно множеству тем рефератов, множество букв русского алфавита равномощно любому множеству из 33 элементов и т.д. Заметьте, что именно любому множеству из 33 элементов – в данном случае имеет значение лишь их количество. Буквы русского алфавита можно сопоставить не только с множеством номеров
1, 2, 3, …, 32, 33, но и вообще со стадом в 33 коровы.

Гораздо более интересно обстоят дела с бесконечными множествами. Бесконечности тоже бывают разными! . зелёными и красными Самые «маленькие» бесконечные множества – это счётные множества. Если совсем просто, элементы такого множества можно пронумеровать. Эталонный пример – это множество натуральных чисел . Да – оно бесконечно, однако у каждого его элемента в ПРИНЦИПЕ есть номер.

Примеров очень много. В частности, счётным является множество всех чётных натуральных чисел . Как это доказать? Нужно установить его взаимно-однозначное соответствие с множеством натуральных чисел или попросту пронумеровывать элементы:

Взаимно-однозначное соответствие установлено, следовательно, множества равномощны и множество счётно. Парадоксально, но с точки зрения мощности – чётных натуральных чисел столько же, сколько и натуральных!

Множество целых чисел тоже счётно. Его элементы можно занумеровать, например, так:

Более того, счётно и множество рациональных чисел . Поскольку числитель – это целое число (а их, как только что показано, можно пронумеровать), а знаменатель – натуральное число, то рано или поздно мы «доберёмся» до любой рациональной дроби и присвоим ей номер.

А вот множество действительных чисел уже несчётно, т.е. его элементы пронумеровать невозможно. Данный факт хоть и очевиден, однако строго доказывается в теории множеств. Мощность множества действительных чисел также называют континуумом, и по сравнению со счётными множествами это «более бесконечное» множество.

Поскольку между множеством и числовой прямой существует взаимно-однозначное соответствие (см. выше), то множество точек числовой прямой тоже несчётно. И более того, что на километровом, что на миллиметровом отрезке – точек столько же! Классический пример:

Поворачивая луч против часовой стрелки до его совмещения с лучом мы установим взаимно-однозначное соответствие между точками синих отрезков. Таким образом, на отрезке столько же точек, сколько и на отрезке и !

Данный парадокс, видимо, связан с загадкой бесконечности… но мы сейчас не будем забивать голову проблемами мироздания, ибо на очереди основы математической логики, а не философия =)

Спасибо за внимание и успехов вам в учёбе!

Задание 1

2)
– это множество нечётных натуральных чисел:

– все точки координатной плоскости , удовлетворяющие двум указанным неравенствам. Аналогично:

Задание 2 Взаимно-однозначные функции на иллюстрациях урока Функции и графики:

Понятие множества. Способы задания множеств.

Данная тема содержит немало терминологии, поэтому я добавлю содержание темы, которое позволит легче ориентироваться в материале.

Начнём с того, что же, собственно, понимать под словом «множество». На интуитивном уровне под множеством понимают некую совокупность объектов, именуемых элементами множества. Например, можно говорить о множестве груш на столе, множестве букв в слове «множество» и так далее. Георг Кантор (немецкий математик, основатель современной теории множеств) писал, что под «множеством я понимаю вообще всё то многое, которое возможно мыслить как единое, т.е. такую совокупность определённых элементов, которая посредством одного закона может быть соединена в одно целое». Некоторое время понятие множества, введённое Кантором, полагалось довольно очевидным и не требующим дополнительных пояснений. Казалось, что появление работ Больцано, а затем и Кантора в конце 19 — начале 20 века, положит конец многим вопросам (например, окончательно разрешит апории Зенона, разрешит проблему бесконечности и т.д.) и станет началом новой математики. Гениальный немецкий математик Давид Гильберт отмечал, что «Никто не изгонит нас из рая, созданного Кантором».

Однако появление парадоксов (Рассел, Бурали-Форти) положило конец «канторовскому раю». Одна из формулировок парадокса Рассела, известная под названием «парадокс брадобрея» звучит так: в некотором селе брадобрей бреет тех и только тех жителей села, которые не бреются сами. Кто же тогда бреет самого брадобрея? Допустим, он бреет себя самостоятельно. Т.е. он принадлежит к тем жителям села, которые бреются сами, – а ведь согласно условию этих жителей брадобрей не имеет права брить. Следовательно, допущение о том, что брадобрей бреется сам, приводит к противоречию. Попробуем иначе: пусть брадобрей не бреется сам. Если он сам не бреется, то согласно условию его обязан брить брадобрей – вновь противоречие! Были предприняты попытки разрешить противоречия теории множеств, предложенной Кантором. Саму канторовскую теорию множеств математики назвали «наивной». Целью многих математических трудов стало построение такой системы аксиом, в которой подобные парадоксы были бы невозможны. Но задача оказалась не столь уж проста. На данный момент, насколько мне известно, единой аксиоматики теории множеств нет. Наиболее распространенной считается система аксиом Цермело-Френкеля (ZFC), в которой особняком стоит так называемая «аксиома выбора». Есть и вариации этой системы: например, автор B-метода Жан-Раймонд Абриал предложил типизированную теорию множеств, на основании которой создал формальный метод разработки программ.

Обозначение множеств. Принадлежность элемента множеству. Пустое множество.

Обычно множества записываются в фигурных скобках. Например, множество всех гласных букв русского алфавита будет записано так:

А множество всех целых целых чисел, больших 8, но меньших 15, будет таким:

Множество может вообще не содержать ни одного элемента. В этом случае его именуют пустым множеством и обозначают как $\varnothing$.

Чаще всего в математической литературе множества обозначаются с помощью больших букв латинского алфавита. Например:

Есть и устоявшиеся обозначения определённых множеств. Например, множество натуральных чисел принято обозначать буквой $N$; множество целых чисел – буквой $Z$; множество рациональных чисел – буквой $Q$; множество всех действительных чисел – буквой $R$. Есть и иные устоявшиеся обозначения, но к ним мы станем обращаться по мере необходимости.

Например, указанное выше множество $A=\<0, 5, 6, -9 \>$ – конечное множество, ибо содержит 4 элемента (т.е. конечное число элементов). Множество натуральных чисел $N$ является бесконечным. Вообще говоря, мы не всегда можем сразу с уверенностью сказать, бесконечно некое множество или нет. Например, пусть $F$ – множество простых чисел.

Простыми числами именуют такие натуральные числа большие 1, которые делятся лишь на 1 или на самое себя. Например, 2, 3, 5, 7 и так далее. Для сравнения: число 12 не является простым числом, так как оно делится не только на 12 и 1, а ещё и на иные числа (например, на 3). Число 12 является составным.


Возникает вопрос: бесконечно множество $F$ или нет? Существует ли наибольшее простое число? Для ответа на этот вопрос понадобилась целая теорема, доказанная Эвклидом, о том, что множество простых чисел – бесконечно.

Например, так как конечное множество $A=\<0, 5, 6, -9 \>$ содержит 4 элемента, то мощность множества $A$ равна 4, т.е. $|A|=4$.

Если нам известно, что некий объект $a$ принадлежит множеству $A$, то записывают это так: $a\in A$. Например, для вышеуказанного множества $A$ можно записать, что $5\in A$, $-9\in A$. Если же объект $a$ не принадлежит множеству $A$, то обозначается это следующим образом: $a\notin A$. Например, $19\notin A$. Кстати, сказать, элементами множеств могут быть и иные множества, например:

Элементами множества $M$ являются числа -9, 1, 0, а также множество $ \< a,\; g\>$ и пустое множество $\varnothing$. Вообще, для упрощения восприятия множество можно представлять как портфель. Пустое множество – пустой портфель. Эта аналогия пригодится чуть далее.

Подмножество. Универсальное множество. Равенство множеств. Булеан.

Например, рассмотрим множества $K=\< -9,5\>$ и $T=\<8,-9,0,5,p, -11\>$. Каждый элемент множества $K$ (т.е. -9 и 5) является также элементом множества $T$. Следовательно, множество $K$ есть подмножество множества $T$, т.е. $K\subseteq T$.

Так как все элементы любого множества $A$ принадлежат самому множеству $A$, то множество $A$ является подмножеством самого множества $A$. Пустое множество $\varnothing$ является подможеством любого множества. Т.е. для произвольного множества $A$ верно следующее:

$$A\subseteq A; \; \varnothing\subseteq A.$$

Введём ещё одно определение – универсальное множество.

Иными словами, универсум содержит в себе элементы всех множеств, которые рассматриваются в рамках некоей задачи. Например, рассмотрим такую задачу: проводится опрос студентов некоей академгруппы. Каждому студенту предлагается указать мобильных операторов РФ, сим-карты которых он использует. Данные этого опроса можно представить в виде множеств. Например, если студент Василий использует сим-карты от МТС и Life, то можно записать следующее:

Подобные множества можно составить для каждого студента. Универсумом в этой модели будет множество, в котором перечислены все операторы России. В принципе, в качестве универсума можно взять также множество, в котором перечислены все операторы СНГ, а также множество всех мобильных операторов мира. И это не будет противоречием, ибо любой оператор России входит в множество операторов как СНГ, так и всего мира. Итак, универсум определяется только в рамках некоей конкретной задачи, при этом зачастую можно рассмотреть несколько универсальных множеств.

Определение равенства множеств можно записать и по-иному: если $A\subseteq B$ и $B\subseteq A$, то $A=B$.

Рассмотрим пару множеств: первое будет $\<\Delta, k \>$, а второе – $\$. Каждый элемент первого множества (т.е. $\Delta$ и $k$) является также элементом второго множества. Каждый элемент второго множества (т.е. $k$ и $\Delta$) является также элементом второго множества. Вывод: $\<\Delta, k \>=\$. Как видите, порядок записи элементов в множестве роли не играет.

Рассмотрим ещё пару множеств: $X=\$ и $Y=\<\Delta, k \>$. Каждый элемент множества $X$ является также элементом множества $Y$; каждый элемент множества $Y$ является также элементом множества $X$. Следовательно, $\=\<\Delta, k \>$. С учётом подобных равенств в теории множеств принято одинаковые элементы не повторять в записи дважды. Например, множество цифр числа 1111111555559999 будет таким: $\<1,5,9\>$. Есть, конечно, исключения: так называемые мультимножества. В записи мультимножеств элементы могут повторяться, однако в классической теории множеств повторения элементов не допускаются.

Используя понятие равенства множеств, можно классифицировать подмножества.

Если же некое подмножество множества $A$ совпадает с самим множеством $A$, то это подмножество называют несобственным. Иными словами, множество $A$ является несобственным подмножеством самого множества $A$.

Например, для рассмотренных выше множеств $K=\< -9,5\>$ и $T=\<8,-9,0,5,p, -11\>$ имеем: $K\subseteq T$, при этом $K\neq T$. Следовательно, множество $K$ является собственным подмножеством множества $T$, что записывается как $K\subset T$. Можно сказать и так: множество $K$ строго включено в множество $T$. Запись $K\subset T$ более конкретна, нежели $K\subseteq T$. Дело в том, что записывая $K\subset T$ мы гарантируем, что $K\neq T$. В то время как запись $K\subseteq T$ не исключает случая равенства $K=T$.

Примечание относительно терминологии: показать\скрыть

Вообще говоря, тут есть некая путаница в терминологии. Приведённое выше определение несобственных множеств принято в американской и части отечественной литературы. Однако в другой части отечественной литературы есть несколько иная трактовка понятия несобственных множеств.

Иными словами, пустое множество в такой трактовке исключается из собственных подмножеств и переходит в разряд несобственных. Выбор терминологии – дело вкуса.

Пусть множество $A$ содержит $n$ элементов. Булеан множества $A$ содержит $2^n$ элементов, т.е.

Рассмотрим пару примеров на использование введённых выше понятий.

Из предложенного списка выберите те утверждения, которые являются верными. Ответ аргументируйте.

  1. Нам заданы два множества: $\<-3,5, 9 \>$ и $\<-3, 9, 8, 5, 4, 6 \>$. Каждый элемент первого множества является также элементом второго множества. Следовательно, первое множество есть подмножество второго, т.е. $\<-3,5, 9 \>\subseteq \<-3, 9, 8, 5, 4, 6 \>$. Утверждение первого пункта – верное.
  2. В первом пункте мы выяснили, что $\<-3,5, 9 \>\subseteq \<-3, 9, 8, 5, 4, 6 \>$. При этом данные множества не равны между собой, т.е. $\<-3,5, 9 \>\neq \<-3, 9, 8, 5, 4, 6 \>$. Значит, множество $\<-3,5, 9 \>$ является собственным (в иной терминологии строгим) подмножеством множества $\<-3, 9, 8, 5, 4, 6 \>$. Этот факт записывается как $\<-3,5, 9 \>\subset \ <-3, 9, 8, 5, 4, 6 \>$. Итак, утверждение второго пункта истинно.
  3. Множество $\<-3,5, 9 \>$ не является элементом множества $\<-3, 9, 8, 5, 4, 6 \>$. Утверждение третьего пункта ложно. Для сравнения: утверждение $\<-3,5, 9 \>\in \<9, 8, 5, 4, \<-3,5,9\>, 6 \>$ истинно.
  4. Пустое множество является подможеством любого множества. Поэтому утверждение $\varnothing \subseteq \varnothing$ истинно.
  5. Утверждение ложно. Множество $\varnothing$ не содержит элементов, а множество $\<\varnothing \>$ содержит один элемент, посему равенство $\varnothing=\<\varnothing \>$ неверно. Чтобы это было нагляднее, можно обратиться к той аналогии, что я описал выше. Множество – это портфель. Пустое множество $\varnothing$ – пустой портфель. Множество $\<\varnothing \>$ – портфель, внутри которого лежит пустой портфель. Естественно, что пустой портфель и непустой портфель, внутри которого нечто есть – разные портфели :)
  6. Пустое множество не содержит элементов. Ни единого. Поэтому утверждение $\varnothing \in \varnothing$ ложно. Для сравнения: утверждение $\varnothing\in\<\varnothing \>$ истинно.
  7. Множество $A$ содержит 4 элемента, а именно: 9, -5, 8 и $\<7, 6 \>$. Поэтому мощность множества $A$ равна 4, т.е. $|A|=4$. Следовательно, утверждение о том, что $|A|=5$ – ложно.

Ответ: Утверждения в пунктах №1, №2, №4 – истинны.

Записать булеан множества $A=\<-5,10,9\>$.

Множество $A$ содержит 3 элемента. Иными словами: мощность множества $A$ равна 3, $|A|=3$. Следовательно, множество $A$ имеет $2^3=8$ подмножеств, т.е. булеан множества $A$ будет состоять из восьми элементов. Перечислим все подмножества множества $A$. Напомню, что пустое множество $\varnothing$ является подмножеством любого множества. Итак, подмножества таковы:

Напомню, что подмножество $\<-5, 10, 9 \>$ является несобственным, так как совпадает с множеством $A$. Все остальные подмножества – собственные. Все записанные выше подмножества являются элементами булеана множества $A$. Итак:

Булеан найден, остаётся лишь записать ответ.

Способы задания множеств.

Первый способ – это простое перечисление элементов множества. Естественно, такой способ подходит лишь для конечных множеств. Например, с помощью данного способа множество первых трёх натуральных чисел будет записано так:

Часто в литературе можно встретить обозначения такого характера: $T=\<0,2,4,6,8, 10, \ldots \>$. Здесь множество задаётся не перечислением элементов, как кажется на первый взгляд. Перечислить все чётные неотрицательные числа, которые и составляют множество $T$, невозможно, ибо этих чисел бесконечно много. Запись вида $T=\<0,2,4,6,8, 10, \ldots \>$ допускается только тогда, когда не вызывает разночтений.

Второй способ – задать множество с помощью так называемого характеристического условия (характеристического предиката) $P(x)$. В этом случае множество записывается в таком виде:

Запись $\$ читается так: «множество всех элементов $x$, для которых высказывание $P(x)$ истинно». Что именно значит словосочетание «характеристическое условие» проще пояснить на примере. Рассмотрим такое высказывание:

$$P(x)=»x\; – \;натуральное\; число,\; последняя\; цифра\; которого \;равна\; 7″$$

Подставим в это высказывание вместо $x$ число 27. Мы получим:

$$P(27)=»27\; – \;натуральное\; число,\; последняя\; цифра\; которого \;равна\; 7″$$

Это истинное высказывание, так как 27 действительно является натуральным числом, последняя цифра которого равна 7. Подставим в это высказывание число $\frac<2><5>$:

$$P\left(\frac<2><5>\right)=»\frac<2><5>\; – \;натуральное\; число,\; последняя\; цифра\; которого \;равна\; 7″$$

Это высказывание ложно, так как $\frac<2><5>$ не является натуральным числом. Итак, для некоторых объектов $x$ высказывание $P(x)$ может быть ложно, для некоторых – истинно (а для некоторых вообще не определено). Нас будут интересовать лишь те объекты, для которых высказывание $P(x)$ будет истинно. Именно эти объекты и образуют множество, заданное с помощью характеристического условия $P(x)$ (см. пример №3).

Третий способ – задать множество с помощью так называемой порождающей процедуры. Порождающая процедура описывает, как получить элементы множества из уже известных элементов или неких иных объектов (см. пример №4).

Операции над множествами и их свойства

Основные понятия теории множеств

Понятие множества является фундаментальным понятием современной математики. Мы будем считать его первоначальным и теорию множеств строить интуитивно. Дадим описание этого первоначального понятия.

Множество – это совокупность объектов (предметов или понятий), которая мыслится как единое целое. Объекты, входящие в эту совокупность, называются элементами множества.

Можно говорить о множестве студентов первого курса математического факультета, о множестве рыб в океане и т.д. Математика обычно интересуется множеством математических объектов: множество рациональных чисел, множество прямоугольников и т.д.

Множества будем обозначать большими буквами латинского алфавита, а его элементы малыми.

Если – элемент множества M, то говорят « принадлежит M» и пишут: . Если некоторый объект не является элементом множества , то говорят « не принадлежит M» и пишут (иногда ).

Существует два основных способа задания множеств: перечисление его элементов и указание характеристического свойства его элементов. Первый из этих способов применяется, в основном, для конечных множеств. При перечислении элементов рассматриваемого множества его элементы обрамляются фигурными скобками. Например, обозначает множество, элементами которого являются числа 2, 4 , 7 и только они. Этот способ применим не всегда, так как, например, множество всех действительных чисел таким образом задать невозможно.

Характеристическое свойство элементов множества M – это такое свойство, что всякий элемент, обладающий этим свойством, принадлежит M, а всякий элемент, не обладающий этим свойством, не принадлежит M. Множество элементов, обладающих свойством , обозначается так:

Наиболее часто встречающиеся множества имеют свои особые обозначения. В дальнейшем будем придерживаться следующих обозначений:

N = – множество всех натуральных чисел;

Z = – множество всех целых чисел;

– множество всех рациональных чисел;

R – множество всех действительных (вещественных) чисел, т.е. рациональных чисел (бесконечных десятичных периодических дробей) и иррациональных чисел (бесконечных десятичных непериодических дробей);

– множество всех комплексных чисел.

Приведем более специальные примеры задания множеств с помощью указания характеристического свойства.

Пример 1. Множество всех натуральных делителей числа 48 можно записать так: (запись используется только для целых чисел , и означает, что делится на ).

Пример 2. Множество всех положительных рациональных чисел, меньших 7, записывается следующим образом: .

Пример 3. – интервал действительных чисел с концами 1 и 5; – отрезок действительных чисел с концами 2 и 7.

Слово «множество» наводит на мысль, что оно содержит много элементов. Но это не всегда так. В математике могут рассматриваться множества, содержащие только один элемент. Например, множество целых корней уравнения . Более того, удобно говорить о множестве, не содержащем ни одного элемента. Такое множество называется пустым и обозначается через Ø. Например, пустым является множество действительных корней уравнения .

Определение 1. Множества и называются равными (обозначается А=В), если эти множества состоят из одних и тех же элементов.

Определение 2. Если каждый элемент множества принадлежит множеству , то называют подмножеством множества .

Обозначения: (« включается в »); (« включает »).

Ясно, что Ø и само множество являются подмножествами множества . Всякое другое подмножество множества называется его правильной частью. Если и , то говорят, что « Асобственное подмножество »или что «А строго включается в » и пишут .

Очевидно следующее утверждение: множества и равны тогда и только тогда, когда и .

На этом утверждении основан универсальный метод доказательства равенства двух множеств: чтобы доказать, что множества и равны, достаточно показать, что является подмножеством множества , а является подмножеством множества .

Это наиболее употребительный способ, хотя и не единственный. Позже, познакомившись с операциями над множествами и их свойствами, мы укажем другой способ доказательства равенства двух множеств – с помощью преобразований.

В заключение заметим, что часто в той или иной математической теории имеют дело с подмножествами одного и того же множества U, которое называют универсальным в этой теории. Например, в школьной алгебре и математическом анализе универсальным является множество Rдействительных чисел, в геометрии – множество точек пространства.

Операции над множествами и их свойства

Над множествами можно выполнять действия (операции), напоминающие сложение, умножение и вычитание.

Определение 1. Объединением множеств и называется множество, обозначаемое через , каждый элемент которого принадлежит хотя бы одному из множеств или .

Сама операция , в результате которой получается такое множество, называется объединением.

Краткая запись определения 1:

Определение 2. Пересечением множеств и называется множество, обозначаемое через , содержащее все те и только те элементы, каждый из которых принадлежит и , и .

Сама операция , в результате которой получается множество , называется пересечением.

Краткая запись определения 2:

Например, если , , то , .

Множества можно изображать в виде геометрических фигур, что позволяет наглядно иллюстрировать операции над множествами. Такой метод был предложен Леонардом Эйлером (1707–1783) для анализа логических рассуждений, широко применялся и получил дальнейшее развитие в трудах английского математика Джона Венна (1834–1923). Поэтому такие рисунки называют диаграммами Эйлера-Венна.

Операции объединения и пересечения множеств можно проиллюстрировать диаграммами Эйлера–Венна следующим образом:

– заштрихованная часть; – заштрихованная часть.

Можно определить объединение и пересечение любой совокупности множеств , где – некоторое множество индексов.

Определение . Объединением совокупности множеств называется множество , состоящее из всех тех и только тех элементов, каждый из которых принадлежит по крайней мере одному из множеств .

Определение . Пересечением совокупности множеств называется множество , состоящее из всех тех и только тех элементов, каждый из которых принадлежит любому из множеств .

В случае, когда множество индексов конечно, например, , то для обозначения объединения и пересечения совокупности множеств в этом случае обычно пользуются обозначениями:

Например, если , , , то , .

С понятиями объединения и пересечения множеств неоднократно встречаются в школьном курсе математики.

Пример 1.Множество М решений системы неравенств

является пересечением множеств решений каждого из неравенств этой системы: .

Пример 2.Множество М решений системы

является пересечением множеств решений каждого из неравенств этой системы. Множество решений первого уравнения – множество точек прямой , т.е. . Множество . Множество состоит из одного элемента – точки пересечения прямых.

Пример 3.Множество решений уравнения

где , является объединением множеств решений каждого из уравнений , , т.е.

Определение 3. Разностью множеств и называется множество, обозначаемое через , и состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат , но не принадлежат .

Определение 4. Если U – универсальное множество и U, то разность U называется дополнением множества М (до U) и обозначается через , , , или .

Краткие записи определений 3 и 4:

Операции разности и дополнения множеств можно проиллюстрировать диаграммами Эйлера-Венна:

Пример 4.Если , , то , .

Определение 5. Объединение множеств и называется симметрической разностью множеств , и обозначается через , т.е.

Следующий пример иллюстрирует симметрическую разность множеств и показывают, что операция разности множеств не обладает свойством коммутативности (переместительности), и демонстрируют некоторые возможные частные случаи для разности множеств A и B .

Пример 5.


– заштрихованная часть; ; – заштрихованная часть.

Обозначим через B(U) множество всех подмножеств универсального множества U с операциями объединения, пересечения и дополнения. Полученную математическую структуру называют алгеброй множествилиалгеброй Булямножеств(вчесть ирландского математика и логика Джорджа Буля (1816–1864)). Через будем обозначать множество всех подмножеств произвольного множества и называть его булеаном множества .

Перечисленные ниже равенства справедливы для любых подмножеств A, B, C универсального множества U.Поэтому их и называют законами алгебры множеств.

Множества в Python

Множеством в языке программирования Python называется неупорядоченная совокупность уникальных значений. В качестве элементов этого набора данных могут выступать любые неизменяемые объекты, такие как числа, символы, строки. В отличие от массивов и списков, порядок следования значений не учитывается при обработке его содержимого. Над одним, а также несколькими множествами можно выполнять ряд операций, благодаря функциям стандартной библиотеки языка программирования Python.

Создание

Перед тем как начать работу с множеством, необходимо для начала его создать. Сделать это можно, просто присвоив переменной последовательность значений, выделив их фигурными скобками. Следующий пример показывает код, в котором создается множество целых чисел под названием a, после функция print выводит на экран его содержимое.

Как можно заметить, все элементы полученной последовательности являются уникальными, без повторений. Существует и другой способ создания множеств, который подразумевает использование метода set. Аргументом этой функции может быть набор неких данных или даже строка с текстом, как это показано в следующем примере.

В результате выполнения этого кода, программа заполняет новое множество уникальными символами из входной строки. Содержимое набора также выводится на экран.

Использование

Обычно используется для следующих операций:

  • Проверка, есть ли данное значение в множестве. Для этого используется in.
  • Наоборот, проверка отсутствия. Используется not in.
  • Перебор всех элементов.

Генератор

Для создания множества можно в Python воспользоваться генератором, позволяющих заполнять списки, а также другие наборы данных с учетом неких условий. Заполнение проводится аналогично генерации списков, рассмотренной в отдельной статье.

Следующий код демонстрирует генерацию множества a с циклом for для нескольких чисел.

Как и прежде, метод print показывает содержимое полученного набора значений, где нет повторений, поскольку одинаковые числа автоматически удаляются.

Изменение множеств

Для управления содержимым множеств в языке Python присутствуют специальные методы, дающие возможность добавлять и удалять отдельные элементы.

Получение размера

Узнать точное количество элементов, входящих в состав множества, поможет метод len, принимающий в качестве аргумента набор данных. Функция print выводит результат.

Добавление элемента

Чтобы внести новые значения, потребуется вызывать метод add. Аргументом в данном случае будет добавляемый элемент последовательности. В примере кода на Python добавим в множество элемент со значением 4.

Удаление элемента

Для удаления элементов из множества используются следующие функции в Python (кроме очистки, которая будет рассмотрена ниже):

  • remove — удаление элемента с генерацией исключения в случае, если такого элемента нет;
  • discard — удаление элемента без генерации исключения, если элемент отсутствует;
  • pop — удаление первого элемента, генерируется исключение при попытке удаления из пустого множества.

Избавиться от лишних значений в наборе данных с помощью remove. В качестве входного параметра здесь выступает элемент, который нужно удалить (в примере удалим число со значением 3).

По поводу функции pop хотелось бы отметить, что так как множества не упорядочены, то удалится случайный элемент, который будет находиться в памяти первым. Но если они в памяти хранятся в отсортированном виде, что не факт, то скорее всего будет удален элемент с наименьшим значением. Но на это не стоит рассчитывать.

Полная очистка

Иногда необходимо полностью убрать все элементы. Чтобы не удалять каждый элемент отдельно, используется метод clear, не принимающий аргументов. Если вывести содержимое после этой операции, на экране появится только его название.

В результате получили пустое множество.

Сортировка

Порядок следования элементов не учитывается. Поэтому нет смысла говорить о сортировке множеств в Python 3.

Но с другой стороны все дело обстоит не со всем так. Для быстрого поиска элемента, желательно их хранить в памяти в упорядоченном виде.

В начале рассмотрим, что будет с элементами разных типов данных в одном множестве. Такие элементы не должны сортироваться. Если мы будем выводить элементы с помощью команды print, то они выводятся примерно следующим образом:

Как видим, у нас вывелись не отсортированные значения, если повторить запуск, то порядок будет меняться. Но это только в том случае, если перемешаны элементы разного типа.

Посмотрим, что будет, если попытаемся вывести только числа:

Все элементы выведены упорядоченно. Теперь посмотрим что будет если преобразовать в список:

Аналогично, в список значения записались отсортированными по возрастанию.

Получается, что элементы хранятся в памяти в упорядоченном виде, если они одного типа. Но лучше не стоит на это расчитывать, алгоритмы Python могут поменяться.

Операции над множествами

Помимо различных манипуляций с элементами множеств, существуют еще и операции над ними, позволяющие одной строчкой кода выполнять сложные преобразования.

Рассмотрим операции с множествами доступные в Python 3.

Объединение

Чтобы объединить все элементы двух разных множеств, стоит воспользоваться методом union на одном из объектов. Следующий пример демонстрирует работу данной функции, где создается последовательность чисел под именем c.

Добавление

Чтобы добавить все элементы из одного множества к другому, необходимо вызывать метод update на первом объекте. Таким образом можно перенести уникальные данные из одного набора чисел в другой, как это показано в следующем примере.

Пересечение

Чтобы найти общие элементы для двух разных множеств, следует применить функцию intersection, принимающую в качестве аргумента один из наборов данных. Код, приведенный ниже, создает новую последовательность чисел из пересечения двух множеств в Python 3.

Разность

Чтобы вычислить разность для двух разных множеств, необходимо воспользоваться методом difference. Функция позволяет найти элементы, уникальные для второго набора данных, которых в нем нет. Следующий код демонстрирует эту операцию.

Отношения между множествами

Для определения подмножеств и надмножеств существуют специальные функции, возвращающие True или False в зависимости от результата выполнения.

Определение подмножества

Чтобы выяснить, является ли множество a подмножествомb, стоит попробовать вывести на экран результат выполнения метода issubset, как в следующем примере. Так как не все элементы набора чисел a присутствуют в b, функция вернет False.

Определение надмножества

Чтобы узнать, является ли множество a надмножеством b, необходимо вызвать метод issuperset и вывести результат его работы на экран. Поскольку все элементы набора чисел b присутствуют в a, функция возвращает True.

Тип frozenset

Множество, содержимое которого не поддается изменению имеет тип frozenset. Значения из этого набора нельзя удалить, как и добавить новые. В следующем примере демонстрируется создание при помощи стандартной функции.

Поскольку содержимое frozenset должно всегда оставаться статичным, перечень функций, с которыми такое множество может взаимодействовать, имеет ограничения.

Преобразование множеств

Иногда возникает необходимость представления уже готовой последовательности значений в качестве совсем другого типа данных. Возможности языка позволяют конвертировать любое множество в строку, словарь или список при помощи стандартных функций.

Строка

Для преобразования множества в строку используется конкатенация текстовых значений, которую обеспечивает функция join. В этом случае ее аргументом является набор данных в виде нескольких строк. Запятая в кавычках выступает в качестве символа, разделяющего значения. Метод type возвращает тип данных объекта в конце приведенного кода.

Словарь

Чтобы получить из множества словарь, следует передать функции dict набор из нескольких пар значений, в каждом из которых будет находиться ключ. Метод print демонстрирует на экране содержимое полученного объекта, а type отображает его тип.

Следует отметить, что каждый элемент для такого преобразования – кортеж состоящий из двух значений:

  1. ключ будущего словаря;
  2. значение, соответствующее ключу.

Список

По аналогии с предыдущими преобразованиями можно получить список неких объектов. На этот раз используется метод list, получающий в качестве аргумента множество a. На выходе функции print отображаются уникальные значения для изначального набора чисел.

Резюме

Следующая таблица отображает краткую сводку по всем пройденным функциям, включая их названия и назначение.

Название
Назначение
len Получение размера
add Добавление элемента
remove Удаление элемента
clear Очистка
union Объединение
update Добавление всех элементов одного множества в другое
intersection Нахождение множества, элементы которого находятся на пересечении двух множеств
difference Нахождение множества, элементы которого входят в первое, но не входят во второе множество
issubset Проверка, является ли множество подмножеством
issuperset Проверка, является ли множество надмножеством

Заключение

Таким образом, были рассмотрены базовые возможности множеств стандартной библиотеки языка программирования Python. Использование этой совокупности уникальных значений, позволяет не только манипулировать различными видами данных, производя объединение, пересечение и вычитание определенных элементов. Благодаря стандартным функциям по работе с множествами, программист получает возможность конвертировать их в другие типы данных, обладающие упорядоченностью, такие как строка, список и словарь.

Множества в Python

Множества в Python – это структура данных, которые содержат неупорядоченные элементы. Элементы также не является индексированным. Как и список, множество позволяет внесение и удаление элементов. Однако, есть ряд особенных характеристик, которые определяют и отделяют множество от других структур данных:

  • Множество не содержит дубликаты элементов;
  • Элементы множества являются неизменными (их нельзя менять), однако само по себе множество является изменяемым, и его можно менять;
  • Так как элементы не индексируются, множества не поддерживают никаких операций среза и индексирования.

В этой статье мы обсудим различные операции, которые можно применять на множествах в Python.

Содержание:

Создание множеств

Существует два пути, следуя которым, мы можем создавать множества в Python.

Мы можем создать множество путем передачи всех элементов множества внутри фигурных скобок <> и разделить элементы при помощи запятых (,) . Множество может содержать любое количество элементов и элементы могут быть разных типов, к примеру, целые числа, строки, кортежи, и т. д. Однако, множество не поддерживает изменяемые элементы, такие как списки, словари, и так далее.

Рассмотрим пример создания множества в Python:

Работа с множествами. Операции над множествами

Ознакомление с диаграммами Эйлера-Венна, которые используют для наглядного представления множеств — любых символьных массивов, набранных вручную через интерфейс с использованием мыши и клавиатуры. Рассмотрение и анализ интерфейса разработанной программы.

Рубрика Программирование, компьютеры и кибернетика
Вид контрольная работа
Язык русский
Дата добавления 18.08.2020
Размер файла 207,9 K

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ, МОЛОДЕЖИ И СПОРТА УКРАИНЫ

НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ «Харьковский политехнический институт»

Кафедра «Системного анализа и управления»

Дисциплина: «Объектно-ориентированное программирование»

Тема: «Работа с множествами. Операции над множествами»

ст.в. каф. САиУ Кожин Ю.М.

студент группы ИФ-50б Гапанюк В.Д.

Содержание


Введение

1. Теоретическая часть

1.1 Способы задания множества

1.2 Включение и равенство множеств

1.3 Диаграммы Эйлера-Венна

1.4 Операции над множествами

1.4.1 Объединение множеств

1.4.2 Пересечение множеств

1.4.3 Разность множеств

1.4.4 Дополнение множества

2. Постановка задачи на программирование

2.1 Описание разработанного объекта

2.2 Интерфейс программы

Заключение

Список использованной литературы

Приложение

Введение

Понятие множества принадлежит к числу основных, неопределяемых понятий математики. Оно не сводится к другим, более простым понятиям. Поэтому его нельзя определить, а можно лишь пояснить, указывая синонимы слова «множество» и приводя примеры множеств: множество — набор, совокупность, собрание каких-либо объектов (элементов), обладающих общим для всех их характеристическим свойством.

1) множество студентов в данной аудитории;

2) множество людей, живущих на нашей планете в данный момент времени;

3) множество точек данной геометрической фигуры;

4) множество чётных чисел;

5) множество корней уравнения х 2 -5х+6=0;

6) множество действительных корней уравнения х 2 +9=0;

Основоположник теории множеств немецкий математик Георг Кантор (1845-1918) писал: «Множество есть многое, мыслимое нами как единое». И хотя это высказывание учёного не является в полном смысле логическим определением понятия множества, но оно верно поясняет, что когда говорят о множестве, то имеют в виду некоторое собрание объектов, причём само это собрание рассматривается как единое целое, как один (новый) объект.

Объекты, составляющие данное множество, называют его элементами.

Множество обычно обозначают большими латинскими буквами, а элементы множества ? малыми латинскими буквам. Если элемент, а принадлежит множеству А, то пишут: а А, а если а не принадлежит А, то пишут: а А.

Например, пусть N-множество натуральных чисел. Тогда 5N , но N, N. Если А — множество корней уравнения х 2 -5х+6=0, то 3 А, а 4А.

В математике часто исследуются так называемые числовые множества, т.е. множества, элементами которых являются числа. Для самых основных числовых множеств утвердились следующие обозначения:

N- множество всех натуральных чисел;

Z- множество всех целых чисел;

Q- множество всех рациональных чисел;

R- множество всех действительных чисел.

Приняты также обозначения Z + , Q + , R + соответственно для множеств всех неотрицательных целых, рациональных и действительных чисел, и Z Ї , Q Ї , R Ї -для множеств всех отрицательных целых, рациональных и действительных чисел.

1. Теоретическая часть

Множество А считается заданным, если относительно любого объекта а можно установить, принадлежит этот объект множеству А или не принадлежит; другими словами, если можно определить, является ли а элементом множества А или не является. Существуют два основных способа задания множества:

1) перечисление элементов множества;

2) указание характеристического свойства элементов множества, т.е. такого свойства, которым обладают все элементы данного множества и только они.

Первым способом особенно часто задаются конечные множества. Например, множество студентов учебной группы задаётся их списком. Множество, состоящее из элементов a, b, c, … ,d ,обозначают с помощью фигурных скобок: А= . Множество корней уравнения х 2 -5х+6=0 состоит из двух чисел 2 и 3: А=<2; 3>. Множество В целых решений неравенства -2 2 -5х+6=0>. Решив уравнение х 2 -5х+6=0, мы можем записать множество А первым способом: А=<2; 3>.

Другой пример: Х=<х | -1 ? х

© 2000 — 2020, ООО «Олбест» Все права защищены

Pascal-Паскаль

Программирование. Множества Pascal-Паскаль

  • Скачено бесплатно: 6862
  • Куплено: 414
  • Pascal-Паскаль->Программирование. Множества Pascal-Паскаль

Программирование. Множества Pascal-Паскаль

Множества Pascal-Паскаль

Еще одним фундаментальным классом данных являются данные, структурированные в виде множеств.

О перечисляемых типах

Мы уже рассматривали три скалярных типа, которые, в принципе, являются перечисляемыми типами, – это boolean, char и integer. В самом деле, ведь каждый из этих типов можно задать следующим образом:

(Представление #xxx означает, что должен быть взят символ, чей код в таблице ASCII равен xxx).

Это базовые типы, которые не требуется задавать каждый раз, уже определены в системе именно таким образом. Кроме них имеется еще несколько интервальных типов, с некоторыми из которых мы знакомы:

Переменные, имеющие эти типы, могут принимать значения, лежащие в границах соответствующих интервалов.

Для работы с перечисляемыми типами существуют следующие функции, которые хранятся в библиотеке системных функций, и программист имеет к ним доступ:

Пользователь имеет возможность описать собственный перечисляемый тип данных. В общем виде это описание выглядит так:

В скобках перечисляются все возможные значения, которые может принимать переменная данного типа. Следует запомнить, что названия значений нельзя давать по-русски(это важно!).

Например, мы можем описать тип данных color и перечислить семь основных цветов:

При этом значения получают номера в порядке их перечисления, начиная с 0. Поэтому для данного типа справедливыми будут отношения элементов:

Для того чтобы придать переменной множественного типа значение, используют конструктор множества – перечисление элементов множества через запятую в квадратных скобках. Например,

Конструктор множества может содержать диапазон значений базового типа. Тогда во множества включаются все элементы диапазона. Например,

Обе формы конструирования множеств могут сочетаться. Например,

Конструктор вида [] обозначает пустые множества.

В программе можно использовать множественны тип как константы, в этом случае их определяют следующим способом:

Можно множественный тип определить как типизированную константу:

При описании множественного тип как констант допускается использование знака “+” (слияние множеств). Например,

Операции над множественными типами Паскаля

С множественными типами Паскаля можно выполнять действия объединения, исключения и пересечения.

Объединение множественных типов содержит элементы, которые принадлежат хотя бы одному множеству, при этом каждый элемент входит в объединение только один раз. Операция объединения множеств обозначается знаком ‘+’.

Пример множественных типов Паскаля

Возможно объединять множественные типы и отдельные элементы. Например,

Исключение определяется как разность множественных типов, в котором из уменьшаемого исключаются элементы, входящие в вычитаемое. Если в вычитаемом есть элементы, отсутствующие в уменьшаемом, то они никак не влияют на результат. Операция исключения обозначается знаком ‘-‘.

Пример исключения множественных типов Паскаля

Пресечение множественных типов– множества, содержащие элементы, одновременно входящие в оба множества. Операция пересечения множеств обозначается знаком ‘*’.

Пример пересечения множественных типов

Операции отношения множественных типов Паскаля

Наряду с рассмотренными выше операциями, над значениями множественного типа определены и некоторые операции отношения. Операндами операций над множественными значениями в общем случае являются множественные выражения. Среди операций отношения над значениями множественного типа особое место занимает специальная операция проверки вхождения элемента во множества, обозначаемая служебным словом in. В отличие от остальных операций отношения, в которых значения обоих операндов относятся к одному и тому же множественному типу значений, в операции in первый операнд должен принадлежать базовому типу, а второй – множественному типу значений, построенному на основе этого базового типа. Результатом операции отношения, как обычно, является логическое значение (true или false).

Операция сравнения на равенство множественных типов Паскаля. Множества считаются равными (эквивалентными), если все элементы одного множества присутствуют в другом и наоборот. Для операции сравнения на равенство или неравенство используются символы ‘=’ и ‘<>‘.

Тогда операция A=D имеет значение true, а операция A<>D имеет значение false.

Проверка включения. Одно множество считается включенным в другое (одно множество является подмножеством другого), если все его элементы содержатся во втором множестве. Обратное утверждение может быть и несправедливым. Операции проверки включения обозначаются ‘ =’.

Множество

Определение множества

Математическим анализом называется раздел математики, занимающийся исследованием функций на основе идеи бесконечно малой функции.

Основными понятиями математического анализа являются величина, множество, функция, бесконечно малая функция, предел, производная, интеграл.

Величиной называется все что может быть измерено и выражено числом.

Множеством называется совокупность некоторых элементов, объединенных каким-либо общим признаком. Элементами множества могут быть числа, фигуры, предметы, понятия и т.п.

Множества обозначаются прописными буквами, а элементы множество строчными буквами. Элементы множеств заключаются в фигурные скобки.

Если элемент x принадлежит множеству X, то записывают xХ ( — принадлежит).
Если множество А является частью множества В, то записывают А ⊂ В ( — содержится).

Множество может быть задано одним из двух способов: перечислением и с помощью определяющего свойства.

Например, перечислением заданы следующие множества:

  • А= <1,2,3,5,7>— множество чисел
  • Х=1,x2. xn> — множество некоторых элементов x1,x2. xn
  • N= <1,2. n>— множество натуральных чисел
  • Z= <0,±1,±2. ±n>— множество целых чисел

Множество (-∞;+∞) называется числовой прямой, а любое число — точкой этой прямой. Пусть a — произвольная точка числовой прямой иδ — положительное число. Интервал (a-δ; a+δ) называется δ-окрестностью точки а.

Множество Х ограничено сверху (снизу), если существует такое число c, что для любого x ∈ X выполняется неравенство x≤с (x≥c). Число с в этом случае называется верхней(нижней) гранью множества Х. Множество, ограниченное и сверху и снизу, называется ограниченным. Наименьшая (наибольшая) из верхних (нижних) граней множества называется точной верхней (нижней) гранью этого множества.

Основные числовые множества

Множество рациональных чисел.

Кроме целых чисел имеются ещё и дроби. Дробь — это выражение вида , где p — целое число, q — натуральное. Десятичные дроби также можно записать в виде . Например: 0,25 = 25/100 = 1/4. Целые числа также можно записать в виде . Например, в виде дроби со знаменателем «один»: 2 = 2/1.


Таким образом любое рациональное число можно записать десятичной дробью — конечно или бесконечной периодической.

Множество всех вещественных чисел.

Иррациональные числа — это бесконечные непериодические дроби. К ним относятся:

  • число — отношение длины окружности к её диаметру;
  • число — названное в честь Эйлера и др.;

Вместе два множества (рациональных и иррациональных чисел) — образуют множество действительных (или вещественных) чисел.

Если множество не содержит ни одного элемента, то оно называется пустым множеством и записывается Ø.

Элементы логической символики

N <1,2,3. n>Множество всех натуральных чисел
Z <0, ±1, ±2, ±3. >Множество целых чисел. Множество целых чисел включает в себя множество натуральных.
Q
«следует», «выполняется»
равносильность утверждения
: «такой, что»

Запись ∀x: |x| 2 2 Квантор

При записи математических выражений часто используются кванторы.

Квантором называется логический символ, который характеризует следующие за ним элементы в количественном отношении.

  • ∀- квантор общности, используется вместо слов «для всех», «для любого».
  • ∃- квантор существования, используется вместо слов «существует», «имеется». Используется также сочетание символов ∃!, которое читается как существует единственный.

Операции над множествами

Два множества А и В равны (А=В), если они состоят из одних и тех же элементов.
Например, если А=<1,2,3,4>, B= <3,1,4,2>то А=В.

Объединением (суммой) множеств А и В называется множество А ∪ В, элементы которого принадлежат хотя бы одному из этих множеств.
Например, если А=<1,2,4>, B=<3,4,5,6>, то А ∪ B =

Пересечением (произведением) множеств А и В называется множество А ∩ В, элементы которого принадлежат как множеству А, так и множеству В.
Например, если А=<1,2,4>, B=<3,4,5,2>, то А ∩ В =

Разностью множеств А и В называется множество АВ, элементы которого принадлежат множесву А, но не принадлежат множеству В.
Например, если А=<1,2,3,4>, B=<3,4,5>, то АВ =

Симметричной разностью множеств А и В называется множество А Δ В, являющееся объединением разностей множеств АВ и ВА, то есть А Δ В = (АВ) ∪ (ВА).
Например, если А=<1,2,3,4>, B=<3,4,5,6>, то А Δ В = <1,2>∪ <5,6>=

Свойства операций над множествами

A ∪ B = B ∪ A
A ∩ B = B ∩ A

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

Счетные и несчетные множества

Для того, чтобы сравнить два каких-либо множества А и В, между их элементами устанавливают соответствие.

Если это соответствие взаимооднозначное, то множества называются эквивалентными или равномощными, А В или В А.

Множество точек катета ВС и гипотенузы АС треугольника АВС являются равномощными.

п.1. Множества. Операции над множествами.

Лекция 1.

1.1. Множество. Способы задания множеств.

Множество это любая совокупность объектов, которые называются элементами множества.

В этом интуитивном определении, принадлежащим немецкому математику Георгу Кантору, существенным является то обстоятельство, что собрание предметов само рассматривается как один предмет, мыслится как единое целое. Расплывчатость, недостаточность этого определения стала понятней, когда в 1879 году итальянский логик Бурали-Форти, а немного позже выдающийся философ и логик Бертран Рассел открыли парадоксы, указывающие на внутреннюю противоречивость канторовой теории множеств. Чтобы устранить такие противоречия и парадоксы, для теории множеств были предложены аксиоматические системы. Наиболее известны системы Цермело-Френкеля фон Неймана (ZF), Гильберта-Бернайса-Геделя и Рассела-Уайтхеда. По сути, мы оставим понятие множества неопределенным, и будем считать множество заданным, если его элементы однозначно определены и это не приводит к каким-либо противоречиям.

Символ Î обозначает принадлежность. Запись означает, что элемент x принадлежит множеству A. Если элемент x не принадлежит множеству A, то пишут .

Множества бывают: 1) конечные; частный случай – единичное (одноэлементное);

Пустым множеством называют множество, не содержащее ни одного элемента.

Способы задания (описания) множеств:

1) Множество A определяется непосредственным перечислением всех своихэлементов a1, a2, …, an, т.е. записывается в виде: A=<a1, a2, …, an>. При задании множества перечислением обозначения элементов обычно заключают в фигурных скобках и разделяют запятыми. Перечислением можно задавать только конечные множества.

2) Множество A определяется как совокупность тех и только тех элементов из некоторого основного множества T, которые обладают общим свойством P(x). В этом случае используется обозначение , т.е. задается характеристи-ческим предикатом. Характеристическим предикатом можно задать как конечные, так и бесконечные множества.

3) Множество A можно задать порождающей процедурой (рекурсивное задание, задание алгоритмом). Используется обозначение .Порождающая процедура – это процедура, которая в процессе работы порождает некоторые объекты, являющиеся элементами определенного множества.

Пример 1.1. — множество натуральных чисел от 1 до 4. Множество задано перечислением всех своих элементов. Причем, элемент 3ÎA, а 5ÏA.

Пример 1.3. Множество A из примера 1.1. можно задать характеристическим предикатом .

Пример 1.4. Зададим рекурсивно множество X алгоритмом:

2) если xÎX, то элемент и (1-x) принадлежат X;

3) других элементов в X нет.

Заметим, что это множество – конечное, и его можно было задать выписыванием его элементов

Частным случаем рекурсивного задания множества является способ задания, основанный на процедуре, называемой математической индукцией. Рассмотрим его на примере задания множества натуральных чисел.

Пример 1.5. Множество N задается следующими правилами:

1) задается базис индукции (исходный элемент):

2) указывается индуктивный переход:

3) устанавливается правило замыкания:

других элементов, кроме построенных правилами 1 и 2, в N нет.

1.2. Подмножество. Равенство множеств.

Универсум. Булеан.

Определение 1.1.Множество A называется подмножеством множества B (обозначается AÍB), если каждый элемент A есть элемент B, т.е. если xÎA, то xÎB.

Символ Í обозначает отношение включение между множествами.

Пример 1.6. Пусть и . Тогда BÍA. Но .

В частности, каждое множество есть подмножество самого себя, т.е. AÍA.

Определение 1.2.Пусть A и B – некоторые множества. Говорят, что A равно B, и пишут A=B, если для любого x имеем: xÎA тогда и только тогда, когда xÎB.

Иначе говоря, A=B тогда и только тогда, когда AÍB и BÍA.

Если AÍB и A¹B, то это записывается AÌB, и говорят, что A есть собственное подмножество B. Пустое множество есть подмножество любого данного множества A, т.е. ÆÌA.

Таким образом, доказательство равенства двух множеств A и B состоит из двух этапов:

1) Доказать, что A есть подмножество B.

2) Доказать, что B есть подмножество A.

Определение 1.3. Универсальное множество U (или универсум) есть множество, обладающее таким свойством, что все рассматриваемые множества являются его подмножествами.

В теории чисел универсальное множество обычно совпадает с множеством всех целых или натуральных чисел. В математическом анализе универсальное множество может быть множество всех действительных чисел или множество всех точек n-мерного пространства. Следует отметить, что универсальное множество U, хотя, и названо универсальным, однозначно не определено, если точно не указана область рассмотрения (предметная область). Конечно, любое множество, содержащее U, может быть использовано как универсальное множество.

По определению, каждое множество есть подмножество универсального множества.

Пример 1.7. Так для множества за универсум можно взять множество натуральных чисел, т.е. U=N.

Определение 1.4. Булеаном множества A (обозначается P(A)) называетсямножество, состоящее из всех подмножеств множества A.

Пример 1.8. Пусть . Следовательно, булеан множества A есть множество P(A)= .

Множество A из примера 1.8. содержит три элемента, а булеан P(A) состоит из 2 3 =8 элементов. В общем случае, если множество A содержит n элементов, множество P(A) включает 2 n элементов, т.к. A имеет 2 n подмножеств. По этой причине P(A) часто обозначают через 2 A .

1.3. Операции над множествами.

Множество часто задают графически с помощью диаграмм Эйлера [Л. Эйлер (1707-1783) – швейцарский математик, механик и физик].

Изображение множеств с помощью фигур на плоскости восходит к XIII в. Известный создатель первого «философского компьютера» Р. Луллий (ок. 1235 – ок. 1315) «вычислял» с помощью сочетания кругов на плоскости, цвета, букв и цифр такую «величину», как «судьба человека».

В дальнейшем графическое изображение множеств было плодотворно исследовано Дж. Венном (1834-1923), создавшим диаграммную теорию изучения множеств различной природы.

Диаграммы, задающие множества, будем называть диаграммы Эйлера-Венна.

Если имеются некоторые множества, то из них можно получать новые с помощью определенных операций. Для наглядного изображения операций над множествами воспользуемся диаграммами Эйлера-Венна.

Определение 1.5. Объединением множеств A и B называется множество, (которое обозначается AÈВ) состоящее из всех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А или В.

Определение 1.6. Пересечением множеств А и В называется множество, (которое обозначается АÇВ) которое состоит из общих элементов этих множеств.

Определение 1.7. Разностью множеств А и В называется множество, (которое обозначается А\В) всех тех и только тех элементов множества А, которые не принадлежат В.

Определение 1.8. Симметрическая разность множеств А и В (обозначается А∆В) есть множество (А\В)È(В\А).

Определение 1.9. Дополнением множества А (обозначается ) – это множество элементов универсума, которые не принадлежат А, т.е. \А.

Пример 1.9. Пусть и . Тогда:

Пример 1.10. Так с помощью данных диаграмм можно интерпретировать виды связей и технологический процесс металлообработки.

— множество, характеризующее размерные связи и содержащее погрешности обработки ;

— множество, характеризующее временные связи и содержащее параметры — соответственно время наладки инструмента, пуска технологической системы, загрузки заготовки, холостых ходов, рабочих ходов, разгрузки детали, автоматического цикла, штучное;

— множество, характеризующее элементы и виды управляющей информации, где УП – управляющая программа, L – траектория режущего инструмента, G – подготовительные команды, М – вспомогательные команды, Э – команды электроавтоматики;

— множество, характеризующее свойства материалов, используемых в процессе обработки: — свойства материала заготовки, режущего инструмента и др.;

— множество, характеризующее экономические связи; — себестоимость операции, — себестоимость штучная, Q – производительность.

Обобщенное множество . Параметры множеств широко используются в математических моделях при решении и формализации задач технологии, теории производительности, надежности, оценки эффективности. Погрешности обработки (множество ) формируются в течение всего периода . Однако непосредственно на детали действие погрешностей проявляется реально (физически) только в период ( точнее — время формообразования). Поэтому в период есть пересечение множеств и , причем .

Операции пересечения и объединения допускают следующее обобщение. Пусть задано семейство множеств , где . Тогда

Операции над множествами обладают рядом важных свойств.

Теорема 1.1. Пусть задан универсум U. Тогда » A, B, C Ì U выполняются следующие свойства:

4. Свойства тождества: АÈÆ=А АÇÆ=Æ

5. Законы идемпотентности: АÈA=A

7. Двойное дополнение:

8. Свойства дополнения: АÈ =U

9. Законы де Моргана:

Доказательство. Докажем свойство дистрибутивности È относительно Ç:

1) Докажем, что MÍK. 2) Докажем, что KÍM.

Пусть элемент xÎM, тогда Пусть элемент xÎK, тогда

Остальные тождества доказываются аналогично. ■

Определение 1.10. Покрытием множества A называется набор подмножеств , где I – некоторое множество индексов, если каждый элемент A принадлежит хотя бы одному из Ai.

Пример 1.11. Пусть A=. Тогда <, , > является покрытием множества A.

Определение 1.11. Разбиением множества A называется набор его попарно непересекающихся подмножеств , где I – некоторое множество индексов.

— разбиение множества A, если выполняются два условия:

2) , т.е. aÎA тогда и только тогда, когда aÎAi для некоторого iÎI.

Пример 1.12. Пусть A=. Тогда множество =<, > является разбиением множества A.

Илон Маск рекомендует:  Вопросы по курсу Защита информации в компьютерных системах
Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Кодинг, CSS и SQL