Средняя сложность


Содержание

Понятие асимптотической сложности

Вступление

Наверное, каждый из нас на начальных этапах сталкивался с ситуацией вида “я решил эту задачу, но она не проходит по времени”. Это может озадачивать: вы написали то, что от вас требовалось по условию, проверили свой код, но решение почему-то не укладывается в ограничение по времени (о котором вы раньше даже не задумывались). Причина этого явления проста: вы перешли с уровня задач на “реализацию” на уровень задач на “идею”. Это значит, что просто написать то, что сказано в условии, теперь недостаточно. Вам нужно начать задумываться об эффективности вашего решения.

В чём же выражается эффективность? Чаще всего самый важный параметр — время работы программы. Стоит сразу заметить, что в большинстве случаев время работы оптимального и наивного решения отличается далеко не в 2 раза. Наивное решение для многих задач может работать минуты, часы, года, а часто и вовсе астрономические величины. Причины такого поведения мы рассмотрим ниже.

Другим важным параметром является количество использованной памяти, но оно редко становится ключевым для эффективности программы. Если ваше решение не укладывается в ограничение по памяти, оно скорее всего не уложится и в ограничение по времени.

Пример задачи

В качестве примера рассмотрим следующую задачу:

Дан массив из натуральных чисел (). Числа не превышают . Сколько пар равных чисел в нём содержится?

Казалось бы, что может быть проще? Недолго думая вы пишете код такого вида:

И получаете вердикт TL (Time Limit Exceeded). Давайте разберёмся, почему: посчитаем, сколько операций выполнит наш алгоритм в худшем случае (при ). Рассмотрим первую итерацию внешнего цикла (). Во внутреннем цикле переменная будет принимать по очереди все значения от до , то есть тело внутреннего цикла выполнится раз. На второй итерации внешнего цикла число итераций внутреннего будет равно . На третьей . И так далее, пока это число не достигнет нуля. Общее число итераций мы можем выразить следующей формулой:

Преобразуем её, используя формулу суммы арифметической прогрессии:

В худшем случае это будет равно

Или примерно пятьсот миллиардов. Много, не так ли? В 2020-м году обычный процессор может выполнять на одном ядре примерно операций в секунду. Стоит заметить, что не все операции равнозначны. С операций сложения любой процессор справится без проблем, а, например, взятия квадратного корня, уже не каждый. Принимая производительность процессора за операций/секунду, наша программа выполнится за каких-то секунд, примерно часа. Стоит ли говорить, что это неприемлемо?

Как же решать эту задачу? Нужно придумать алгоритм, который будет работать гораздо быстрее. В таких ситуациях всегда нужно внимательно проанализировать ограничения на входные данные. Кроме ограничения на размер массива, у нас также ограничены сами числа: они не превышают . Можно ли это как-либо использовать? Да.

Посчитаем вспомогательный массив , где — количество чисел в изначальном массиве. Если в массиве пять троек, то . Как в таком случае получить количество пар троек? Владея элементарной комбинаторикой, или черновиком с ручкой, можно заметить, что количество всех пар связано с количеством элементов формулой

Значит, мы можем найти количество пар троек:

Посчитаем этот параметр для всех чисел и сложим получившиеся результаты. Это и будет ответом на задачу.

Как видите, мы уложились в два цикла, в худшем случае каждый из них выполнит по миллиону итераций, и общее число операций будет порядка . Значит, на том же процессоре наша программа будет выполняться за мс, что уже гораздо лучше.

Асимптотическая сложность

На практике точно оценить время работы программы почти что невозможно. Даже если вы точно подсчитаете все элементарные операции (инструкции машинного кода) вашей программы, что уже неоправданно сложно, каждая инструкция выполняется процессором за разное количество тактов. Процессор часто выполняет несколько операций сложения за такт, а вот для операции деления требуется около десяти тактов. Время выполнения одного такта также может варьироваться (процессор не всегда работает на максимальной тактовой частоте). А если вспомнить про многопоточность и многоядерность, то перспективы окончательно омрачняются. Поэтому точным временем работы в информатике не оперируют.

Вместо этого используется зависимость времени работы от входных данных. Традиционно считается, что время работы прямо пропорционально количеству операций, так что эта зависимость отождествляется с зависимостью количества операций от входных данных.

В предыдущем разделе мы считали так называемое “примерное количество операций” наивного алгоритма. Посчитаем его ещё раз, в этот раз учитывая все операции, включая ввод-вывод и другие мелкие операции вне основных циклов, и выразим общее количество как функцию от размера массива :

Слагаемое учитывает цикл для ввода массива, а — некоторая константа, соответствующая количеству операций вне всех циклов. Преобразуем эту формулу в стандартный вид:

То есть, принимая, что время работы прямо пропорционально количеству операций, время работы наивного алгоритма равно:

Теперь необходимо ввести понятие “O большое”. “О большое” — математический способ приблизительной оценки функции. Запись выглядит следующим образом:

И формально означает следующее утверждение:

Существуют такие числа и , что выполняется утверждение: для всех .

Или, проще говоря, для достаточно больших , растёт медленнее .

Применив такую запись к нашему времени работы мы получим:

Мы откинули члены и , потому что при достаточно больших они бесконечно малы по сравнению с . Деление на откидывается, так как это, по сути, умножение на константу , а константа нас не интересует при оценке скорости роста.

Вообще, так как “О большое” ограничивает рост функции только сверху, с таким же успехом можно сказать, что , или . Но на практике ограничение стараются подобрать как можно точнее, так что записи выше в каком-то смысле можно назвать некорректными, так как очевидно, что существует более точное ограничение.

Строго говоря, у зависимости времени работы от входных данных есть собственное название. Этот параметр называется асимптотической сложностью, или просто сложностью. Можно сказать, что сложность рассматриваемого алгоритма , или что у алгоритма квадратичная сложность. На практике понятия “время работы”, “сложность” и “асимптотика” используются как взаимозаменяемые.

Используя новые термины, можно сказать, что у наивного решения этой задачи сложность , а у оптимального .

Часто сложность решения нельзя выразить через одну переменную, в таких случаях можно использовать функции от нескольких переменных: , , и так далее.


Для одной переменной чаще всего встречаются следующие значения сложности алгоритма:

Иногда нужно подчеркнуть, что несмотря на то, что два алгоритма имеют одинаковую сложность, один из них заметно эффективнее другого. В таких случаях говорят, что у такого алгоритма ниже константа.

Пессимистичная и средняя сложность

В нашем примере время работы наивного алгоритма не зависело от содержимого входного массива, а только от его размера. Для многих алгоритмов содержимое входных данных влияет на время работы, что не позволяет составить простую и точную функцию сложности.

В таких ситуациях чаще всего используются “не совсем точные” определения сложности, которые не учитывают конкретной структуры входных данных. Это либо пессимистичная сложность (англ. worst-case complexity), либо средняя сложность (англ. average complexity). В олимпиадных задачах важнее первое из них, и под словом “сложность” понимают имеют пессимистичную сложность.

Определение достаточно интуитивно — если пессимистичная сложность алгоритма , где — размер входного массива, это значит что существует хотя бы один такой массив, для которого алгоритм работает за . При этом не имеет значения, как быстро работает алгоритм в среднем случае, важен только худший.

Ограничение по времени и асимптотическая сложность

Сложность алгоритма — более фундаментальная и абстрактная величина, чем количество операций, и тем более чем абсолютное время работы. Тем не менее, при решении задач ограничение накладывается именно на абсолютное время: тестирующая система не может определять сложность вашего решения по его исходному коду и сравнивать её со сложностью авторского решения. В связи с этим возникает вопрос: как, оценив сложность решения, понять, помещается ли оно в ограничение по времени.

Перед тем, как ответить на этот вопрос, необходимо подчеркнуть, что метод, приведённый ниже, не имеет абсолютно никакого формального обоснования, и работает лишь в классических олимпиадных задачах. Никогда, ни в каких обстоятельствах нельзя применять его вне олимпиад.

Метод банально прост: пусть сложность нашего решения . Посчитаем максимальное значение для всех входных данных. Чаще всего оно будет равно значению функции для максимальных значений всех её параметров. Пусть ограничение по времени в задаче равно секунд. Рассмотрим значение :

  • Если , то решение почти наверняка уложится в ограничение по времени.
  • Если , то решение почти наверняка не уложится в ограничение по времени.
  • Если , то точно сказать невозможно: зависит от конкретного алгоритма (константы). Как границу между “скорее подходящими” и “скорее неподходящими” решениями можно принять .

Чем сложнее и нестандартнее задача, тем выше вероятность того, что метод может оказаться неточным или вовсе ошибочным. Особенно это касается решений задач, сложность которых сложно точно определить.

Оценка используемой памяти

Кроме времени работы, при решении задач также играет роль количество использованной памяти. Его тоже можно оценивать, используя асимптотические ограничения вида , однако на практике это используется гораздо реже.

Дело в том, что в отличие от времени работы, мы можем достаточно точно предсказать количество использованной памяти, глядя на исходный код решения. Для оценки используемой памяти чаще всего достаточно взглянуть на используемые контейнеры: массивы, вектора, std::set , std::map , и другие. Для каждого контейнера мы можем принять количество используемой им памяти равным , где — максимальное возможное количество элементов контейнера за весь алгоритм, — размер одного элемента контейнера (для int — 4 байта, double — 8 байт, и т.д.), а — некоторая константа, специфическая для контейнера. Для массивов и векторов можем принять равным нулю, а для более сложных структур — не более 32 байт.

Чаще всего при решении задач, требующих использования большого количества памяти, близкого к ограничению, подавляющую часть используемой памяти будут занимать именно многомерные массивы/вектора. Хорошим методом при оценке используемой памяти будет отнять около 50 МБ от ограничения, и посчитать, хватает ли оставшейся памяти для основных массивов. Например, при ограничении 256 МБ можно спокойно создавать массивы, в сумме занимающие не более 200 МБ памяти.

Разумеется, такой метод применим только тогда, когда зависимость используемой памяти от входных данных тривиальна, и все большие контейнеры глобальны или “почти глобальны” (создаются при любых входных данных). Для более сложных задач нужно сначала проанализировать, какие входные данные будут пессимистичными, то есть приведут к максимальному использованию памяти.

Сложность в среднем

Читайте также:

  1. IV. Теорема о среднем
  2. N. Вторая теорема о среднем. Формулы Бонне.
  3. Битовая сложность
  4. В связи с чрезмерным объемом и сложностью учебного материала, либо
  5. В силу того, что материальное положение молодоженов соответствует среднему уровню, товар должен соответствовать основным запросам потребителя.
  6. В этом проявляется специфическая особенность, сложность и проблематичность настоящего момента становления и развития социальной работы как самостоятельной научной дисциплины.
  7. Вид сверху на поверхность слоя нагреваемой снизу жидкости: возникшая конфигурация сложностью рисунка напоминает узор на ковре.
  8. Временная сложность T(N)
  9. Вычислительная сложность метода Холесского
  10. Выше мы рассматривали объекты, не вникая в их сложность. На самом деле различают несколько разновидностей объектов.
  11. Дифференциальные теоремы о среднем
  12. Затраты алгоритма для данного входа, алгебраическая сложность

Задачи

1.Для любого neZ выполнено n = I n 2 I + Г n 21, для любого aеЖ выполнено \a]=-[-a\.

2.Для любых k, n GN+, k > 1, выполнено Llogk n\ + 1 = [logk(n + 1)1.

Указание. Пусть mеN+ таково, что k m — 1 Цn m , тогда k m — 1 m . Прологарифмировать по основанию k обе системы неравенств.

3.Предположим, что в нашем распоряжении нет операции обмена
a b и мы заменяем ее тремя присваиваниями:

чему в этом случае равны сложности первого и второго варианта сор­тировки простыми вставками по суммарному числу сравнений и при­сваиваний?

4.Пусть полином f(n) = amn m + . + a1n + a имеет ненулевой
старший коэффициент am. Тогда

Подробнее об аддитивных цепочках см. в [19, разд. 4.6.3].

5.Пусть Р(п)—количество простых множителей целого числа п > 1 с учетом кратности. Имеет место точная оценка Р<п) = О (log п).

6.(Продолжение предыдущей задачи.) Пусть

7.Указать все вещественные значения 5, при которых справедлива
оценка

где TTD(n)—сложность алгоритма пробных делений (пример 1.2).

8.Железнодорожный сортировочный узел устроен так, как пока­
зано на рис. 6. На правой стороне собрано некоторое число вагонов


Рис. 6. Сортировочный узел.

двух типов (на рис. 6—черные и белые), по п штук каждого типа. Ту­пик может вместить все 2п вагонов. Требуется, пользуясь тремя сорти­ровочными операциями В, ИЗ, МИМО, собрать вагоны на левой сто­роне так, чтобы типы вагонов чередовались. Указать такой алгоритм решения этой задачи, сложность которого по числу сортировочных операций при рассмотрении п в качестве размера входа равнялась бы Зп-1.

9.Хорошо известно, что мультипликативная сложность метода Гаусса решения системы п линейных уравнений с п неизвестными допускает оценки

1) 0(п 3 ), 2)|п 3 +0(п 2 ), 3) в(п 3 ).

38Глава 1. Сложности алгоритмов как функции числовых аргументов

а) Из какой оценки (указать номер) следуют две остальные?

б) Можно ли из приведенных оценок выбрать такую, которая яв­
ляется следствием любой из остальных?

в) Является ли оценка П(п 3 ) следствием какой-либо из оценок 1,
2, 3?

10.Для сложности TqS (п) быстрой сортировки выполняется оценка
TQS(n) = в(п 2 ). (Обозначение QS происходит от английского названия
быстрой сортировки —quick sort.)

Указание. Оценка TQS(n) = fi(n 2 ) устанавливается предъявлением приме­ра. Неравенство TQS(n) 2 можно доказать индукцией по п, используя то, что при фиксированном neN + квадратичная функция (т— I) 2 + (п— т) 2 от т принимает на отрезке [1, п] свое максимальное значение в одном из концов этого отрезка.

11.Алгоритм, использующий только аддитивные операции и срав­
нения целых чисел для проверки того, является ли данное целое по­
ложительное пточным квадратом, может быть основан на вычисле­
нии последовательности значений 1,1 + 3,1 + 3 + 5, . до появления
в ней первого большего или равного пэлемента. Сложность по числу
аддитивных операций и операций сравнения этого алгоритма (назо­
вем его sqx) допускает оценку 6(л/п). Сохранится ли эта оценка, если
дополнительно использовать операцию нахождения целой части по­
ловины числа (считается, что затратность этой операции такая же,
как у аддитивных операций) для того, чтобы предварительно выяс­
нять, на какую максимальную степень двойки — четную или нечет­
ную—делится п (алгоритм sq2)?

12.(Продолжение предыдущей задачи.) Пусть Tsqi(n), Tsq2(n) —
сложности, соответственно, первого и второго вариантов рассмотрен­
ного алгоритма и

б) Имеются ли среди оценок 6(m), O(logm), в(2 т / 2 ), 0(2 т ) такие,
которые верны для Ts*2(m), и если да, то какие именно?

13.Изменим в алгоритме Грэхема (пример 3.1) этап удаления
вдавленных вершин: будем обходить — возможно, многократно —
против часовой стрелки вершины построенной несамопересекающей-
ся ломаной и удалять вдавленные вершины до тех пор, пока при
очередном обходе не окажется безуспешной попытка найти хотя бы

одну вдавленную вершину. Сложность этого варианта рассматривае­мого этапа алгоритма Грэхема есть Г2(п 2 ), где п— начальное число вершин ломаной (в то время как сложность этого этапа в алгоритме Грэхема есть 0(п)).

14.Рассмотрим в главных чертах алгоритм Шеймоса—Хоя 1 по­строения пересечения Р nQ двух выпуклых многоугольников Р и Q содержащих соответственно Zи т вершин. Считаем, что многоуголь­ники задаются массивами P1,P2. Pi и Qi,Q2, •••jQm координат сво­их последовательных вершин.

Илон Маск рекомендует:  Что такое код swf_startdoaction

Упорядочим множество всех абсцисс обоих многоугольников по возрастанию (для простоты считаем, что абсциссы попарно раз­личны, хотя это и несущественно), в результате получим абсциссы аг k , q > 1, есть величина порядка q k , т.е.sk = e(q k ).

18.Будем считать затратностью любого построения на плоскости
с помощью циркуля и линейки количество линий (окружностей или

прямых), проводимых в ходе построения. Рассмотрим задачу постро­ения отрезка, длина которого равна 1/п от длины исходного отрезка, считая п размером входа. Предложить для этой задачи такой алго­ритм решения, сложность которого допускает оценку O(logn). 1

19. При п = 15 возможно вычисление а п с меньшим числом умно­жений, чем требуется бинарному алгоритму возведения в степень.

20.Пусть двоичная запись числа neN есть ft. ft/Зо. Алгоритм

for i = k downto 0 do

if Pi = l then u:=u-afi od

вычисляет a n . Сравнить сложность этого алгоритма по числу умно­жений с аналогичной сложностью бинарного алгоритма возведе­ния в степень, рассмотренного в примере 4.2, при использовании п или соответственно т = А(п) в качестве размера входа. (Описанный в этой задаче алгоритм является еще одним вариантом бинарного алгоритма возведения в степень.)

21.Для функции Z(n), определенной в конце § 4, выполнено 1<аЪ) s= sSZ(a)+Z(b)-l для всехa,beN+.

22.(Продолжение предыдущей задачи.) Можно ли утверждать, что Z(ab) = Z(a)+Z(b)-l для всехa,beN+?

1 Разбор задач на построение с точки зрения их сложности содержится, например, в [11, §15].

Глава 2

| следующая лекция ==>
Длина числа как возможный размер входа | Понятие сложности в среднем

Дата добавления: 2014-01-11 ; Просмотров: 467 ; Нарушение авторских прав? ;

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

Верхние и средние оценки сложности алгоритмов

Многие задачи характеризуются большим количеством исходных данных. Вводя интегральный параметр V объема (сложности) данных, неявно предположено, что все множество комбинаций значений исходных данных может быть разбито на классы. В один класс попадают комбинации с одним и тем же значением V. Для любой комбинации из заданного класса алгоритм будет иметь одинаковую сложность (исполнитель выполнит одно и то же количество операций). Иначе говоря, функция c = сложность_(X) может быть разложена в композицию функций V= r(Х) и c = Т(V), где r — преобразование значений x1, x2, x3, . xn в значение V (8, стр. 117-119).

Но нет никаких причин надеяться, что это будет выполняться для любых алгоритмов, учитывая наше желание представлять функции формулами с использованием общеизвестных элементарных функций (или, как говорят, в аналитическом виде). Выход состоит в следующем. Множество D комбинаций исходных данных все-таки разбивается «каким-либо разумным образом» на классы, и каждому классу приписывается некоторое значение переменной V. Например, если мы хотим оценить сложность алгоритма анализа арифметических выражений, то в один класс можно поместить все выражения, состоящие из одинакового числа символов (строки одинаковой длины) и переменную V сделать равной длине строки. Это разумное предположение, так как с увеличением длины сложность должна увеличиваться: припишем к выражению длины n строку +1 — получится выражение длины n+2, требующее для анализа больше операций, чем предыдущее. Но строгого (линейного) порядка нет. Среди выражений длины n может найтись более сложное (в смысле анализа), чем некоторое выражение длины n+2, не говоря уже о том, что среди выражений равной длины будут выражения разной сложности.


Затем для каждого класса (с данным значением V) оценивается количество необходимых операций в худшем случае, т.е. для набора исходных данных, требующих максимального количества операций обработки (сложность для худшего случая — верхняя оценка), и в лучшем случае — для набора, требующего минимального количества операций. Таким образом, получаются верхняя и нижняя оценки сложности алгоритма (рисунок 1).

Рис.1. Зависимость сложности алгоритма от сложности данных

Разница между Tmax(V) и Tmin(V) может быть значительной. Но для многих алгоритмов отмечается ситуация «редкости крайних значений»: только на относительно небольшом количестве сочетаний исходных данных реализуются близкие к верхним или нижним оценкам значения сложности. Поэтому интересно бывает отыскать некоторое «усредненное» по всем данным число операций (средняя оценка). Для этого привлекаются комбинаторные методы или методы теории вероятностей. Полученное значение и считается значением Т(V) средней оценки.

Системы реального времени, работающие в очень критических условиях, требуют, чтобы неравенство Т(X)

Значение средней сложности при использовании обозначения Big-O

При ответе на этот вопрос начались дебаты в комментариях о сложности QuickSort. Что я помню из своего университетского времени, так это то, что QuickSort O(n^2) в худшем случае O(n log(n)) в среднем случае и O(n log(n)) (но с более жесткими границами) в лучшем случае.

Мне нужно правильное математическое объяснение значения average complexity , чтобы ясно объяснить, что это такое, тому, кто верит в большое -O запись может использоваться только в худшем случае.

Что я помню, чтобы определить среднюю сложность, вы должны учитывать сложность алгоритма для всех возможных входов, подсчитать, сколько вырожденных и нормальных случаев. Если число вырождающихся случаев, деленное на n, стремится к 0, когда n становится большим, то можно говорить о средней сложности всей функции для нормальных случаев.

Правильно ли это определение или определение средней сложности отличается? И если это правильно, может кто-то заявить это более строго, чем я?

Как оценить сложность алгоритма?

Всем привет!
Решал задачу с https://www.hackerrank.com/challenges/climbing-the.
Вкратце: есть турнирная таблица (scores), где у игроков с одинаковыми очками одинаковое место в таблице и список очков у игрока(alice) после каждой игры. На выходе надо вернуть метро в турнирной таблице после каждой игры.
Сразу очевидным решением показалось

Но такой алгоритм оказался не оптимальным, так как некоторые тесты падали по таймауту. Сложность я оценил как O(len(scores) * len(alice))

Верным оказалось такое решение:

Как в таком случае посчитать сложность алгоритма ? scores и alice — списки разной длины scores > alice.

Также хотелось бы узнать ваше мнение по такому вопросу: такой навык, как нахождение оптимального алгоритма можно натренировать постоянным решением подобных задач ? Дело в том, что встретив такую задачу в реальной жизни, я бы никогда не подумал написать что-то кроме решения 1, и на данный момент, мне кажется, что решение большого количества таких задач это не изменило бы.

Оценка сложности алгоритмов

Интеллектуальные системы.

Машина Тьюринга

Машина Поста

Оценка сложности алгоритмов

Существует несколько способов измерения сложности алгоритма. Программисты обычно сосредотачивают внимание на скорости алгоритма, но не менее важны и другие показатели – требования к объёму памяти, свободному месте на диске. Использование быстрого алгоритма не приведёт к ожидаемым результатам, если для его работы понадобится больше памяти, чем есть у компьютера.

Многие алгоритмы предлагают выбор между объёмом памяти и скоростью. Задачу можно решить быстро, использую большой объём памяти, или медленнее, занимая меньший объём.
Типичным примером в данном случае служит алгоритм поиска кратчайшего пути. Представив кару города в виде сети, можно написать алгоритм для определения кратчайшего расстояния между двумя любыми точками этой сети. Чтобы не вычислять эти расстояния всякий раз, когда они нам нужны, мы можем вывести кратчайшие расстояния между всеми точками и сохранить результаты в таблице. Когда нам понадобится узнать кратчайшее расстояние между двумя заданными точками, мы можем просто взять готовое расстояние из таблицы.
Результат будет получен мгновенно, но это потребует огромного объёма памяти. Карта большого города может содержать десятки тысяч точек. Тогда, описанная выше таблица, должна содержать более 10 млрд. ячеек. Т.е. для того, чтобы повысить быстродействие алгоритма, необходимо использовать дополнительные 10 Гб памяти.
Из этой зависимости проистекает идея объёмно-временной сложности. При таком подходе алгоритм оценивается, как с точки зрении скорости выполнения, так и с точки зрения потреблённой памяти.
Мы будем уделять основное внимание временной сложности, но, тем не менее, обязательно будем оговаривать и объём потребляемой памяти.

При сравнении различных алгоритмов важно знать, как их сложность зависит от объёма входных данных. Допустим, при сортировке одним методом обработка тысячи чисел занимает 1 с., а обработка миллиона чисел – 10 с., при использовании другого алгоритма может потребоваться 2 с. и 5 с. соответственно. В таких условиях нельзя однозначно сказать, какой алгоритм лучше.
В общем случае сложность алгоритма можно оценить по порядку величины. Алгоритм имеет сложность O(f(n)), если при увеличении размерности входных данных N, время выполнения алгоритма возрастает с той же скоростью, что и функция f(N). Рассмотрим код, который для матрицы A[NxN] находит максимальный элемент в каждой строке.
for i:=1 to N do
begin
max:=A[i,1];
for j:=1 to N do
begin
if A[i,j]>max then
max:=A[i,j]
end;
writeln(max);
end;
В этом алгоритме переменная i меняется от 1 до N. При каждом изменении i, переменная j тоже меняется от 1 до N. Во время каждой из N итераций внешнего цикла, внутренний цикл тоже выполняется N раз. Общее количество итераций внутреннего цикла равно N*N. Это определяет сложность алгоритма O(N^2).
Оценивая порядок сложности алгоритма, необходимо использовать только ту часть, которая возрастает быстрее всего. Предположим, что рабочий цикл описывается выражением N^3+N. В таком случае его сложность будет равна O(N^3). Рассмотрение быстро растущей части функции позволяет оценить поведение алгоритма при увеличении N. Например, при N=100, то разница между N^3+N=1000100 и N=1000000 равна всего лишь 100, что составляет 0,01%.
При вычислении O можно не учитывать постоянные множители в выражениях. Алгоритм с рабочим шагом 3N^3 рассматривается, как O(N^3). Это делает зависимость отношения O(N) от изменения размера задачи более очевидной.

Наиболее сложными частями программы обычно является выполнение циклов и вызов процедур. В предыдущем примере весь алгоритм выполнен с помощью двух циклов.
Если одна процедура вызывает другую, то необходимо более тщательно оценить сложность последней. Если в ней выполняется определённое число инструкций (например, вывод на печать), то на оценку сложности это практически не влияет. Если же в вызываемой процедуре выполняется O(N) шагов, то функция может значительно усложнить алгоритм. Если же процедура вызывается внутри цикла, то влияние может быть намного больше.
В качестве примера рассмотрим две процедуры: Slow со сложностью O(N^3) и Fast со сложностью O(N^2).
procedure Slow;
var
i,j,k: integer;
begin
for i:=1 to N do
for j:=1 to N do
for k:=1 to N do
<какое-то действие>
end;
procedure Fast;
var
i,j: integer;
begin
for i:=1 to N do
for j:=1 to N do
Slow;
end;
procedure Both;
begin
Fast;
end;
Если во внутренних циклах процедуры Fast происходит вызов процедуры Slow, то сложности процедур перемножаются. В данном случае сложность алгоритма составляет O(N^2 )*O(N^3 )=O(N^5).
Если же основная программа вызывает процедуры по очереди, то их сложности складываются: O(N^2 )+O(N^3 )=O(N^3). Следующий фрагмент имеет именно такую сложность:
procedure Slow;
var
i,j,k: integer;
begin
for i:=1 to N do
for j:=1 to N do
for k:=1 to N do
<какое-то действие>
end;
procedure Fast;
var
i,j: integer;
begin
for i:=1 to N do
for j:=1 to N do
<какое-то действие>
end;
procedure Both;
begin
Fast;
Slow;
end;

Сложность рекурсивных алгоритмов

Напомним, что рекурсивными процедурами называются процедуры, которые вызывают сами себя. Их сложность определить довольно тяжело. Сложность этих алгоритмов зависит не только от сложности внутренних циклов, но и от количества итераций рекурсии. Рекурсивная процедура может выглядеть достаточно простой, но она может серьёзно усложнить программу, многократно вызывая себя.
Рассмотрим рекурсивную реализацию вычисления факториала:
function Factorial(n: Word): integer;
begin
if n > 1 then
Factorial:=n*Factorial(n-1)
else
Factorial:=1;
end;
Эта процедура выполняется N раз, таким образом, вычислительная сложность этого алгоритма равна O(N).

Рекурсивный алгоритм, который вызывает себя несколько раз, называется многократной рекурсией. Такие процедуры гораздо сложнее анализировать, кроме того, они могут сделать алгоритм гораздо сложнее.
Рассмотрим такую процедуру:
procedure DoubleRecursive(N: integer);
begin
if N>0 then
begin
DoubleRecursive(N-1);
DoubleRecursive(N-1);
end;
end;
Поскольку процедура вызывается дважды, можно было бы предположить, что её рабочий цикл будет равен O(2N)=O(N). Но на самом деле ситуация гораздо сложнее. Если внимательно исследовать этот алгоритм, то станет очевидно, что его сложность равна O(2^(N+1)-1)=O(2^N). Всегда надо помнить, что анализ сложности рекурсивных алгоритмов весьма нетривиальная задача.

Объёмная сложность рекурсивных алгоритмов

Для всех рекурсивных алгоритмов очень важно понятие объёмной сложности. При каждом вызове процедура запрашивает небольшой объём памяти, но этот объём может значительно увеличиваться в процессе рекурсивных вызовов. По этой причине всегда необходимо проводить хотя бы поверхностный анализ объёмной сложности рекурсивных процедур.

Средний и наихудший случай

Оценка сложности алгоритма до порядка является верхней границей сложности алгоритмов. Если программа имеет большой порядок сложности, это вовсе не означает, что алгоритм будет выполняться действительно долго. На некоторых наборах данных выполнение алгоритма занимает намного меньше времени, чем можно предположить на основе их сложности. Например, рассмотрим код, который ищет заданный элемент в векторе A.
function Locate(data: integer): integer;
var
i: integer;
fl: boolean;
begin
fl:=false; i:=1;
while (not fl) and (i 1
8. C^N, C>1
9. N!
Если мы хотим оценить сложность алгоритма, уравнение сложности которого содержит несколько этих функций, то уравнение можно сократить до функции, расположенной ниже в таблице. Например, O(log(N)+N!)=O(N!).
Если алгоритм вызывается редко и для небольших объёмов данных, то приемлемой можно считать сложность O(N^2), если же алгоритм работает в реальном времени, то не всегда достаточно производительности O(N).
Обычно алгоритмы со сложностью N*log(N) работают с хорошей скоростью. Алгоритмы со сложностью N^C можно использовать только при небольших значениях C. Вычислительная сложность алгоритмов, порядок которых определяется функциями C^N и N! очень велика, поэтому такие алгоритмы могут использоваться только для обработки небольшого объёма данных.
В заключение приведём таблицу, которая показывает, как долго компьютер, осуществляющий миллион операций в секунду, будет выполнять некоторые медленные алгоритмы.

В теории алгоритмов NP-полная задача — это такая задача из класса NP, к которой можно свести любую другую задачу из класса NP. Таким образом, NP-полные задачи образуют в некотором смысле подмножество «самых сложных» задач в классе NP; и если для какой-то из них будет найден «быстрый» алгоритм решения, то и любая другая задача из класса NP может быть решена так же «быстро».

Задача коммивояжёра (коммивояжёр — бродячий торговец) является одной из самых известных задач комбинаторной оптимизации. Задача заключается в отыскании самого выгодного маршрута, проходящего через указанные города хотя бы по одному разу с последующим возвратом в исходный город. В условиях задачи указываются критерий выгодности маршрута (кратчайший, самый дешёвый, совокупный критерий и т. п.) и соответствующие матрицы расстояний, стоимости и т. п. Как правило, указывается, что маршрут должен проходить через каждый город только один раз — в таком случае выбор осуществляется среди гамильтоновых циклов.

Существует несколько частных случаев общей постановки задачи, в частности геометрическая задача коммивояжёра (также называемая планарной или евклидовой, когда матрица расстояний отражает расстояния между точками на плоскости), треугольная задача коммивояжёра (когда на матрице стоимостей выполняется неравенство треугольника), симметричная и асимметричная задачи коммивояжёра. Также существует обобщение задачи, так называемая обобщённая задача коммивояжёра.


Общая постановка задачи, впрочем как и большинство её частных случаев, относится к классу NP-сложных задач.

О большое: что это такое, почему это важно, и почему это не важно.

Очень интересная статья Shen Huang о нотации О большое: Big O notation: why it matters, and why it doesn’t
В статье присутствует математические формулы, формальные определения, математические доказательства и т.п. При переводе возможно были допущены не точности в этих понятиях. Но тем не менее статья очень интересна для получения базовых знаний, о том что такое нотации Большое О, зачем оно нужно и какие бывают варианты нотаций.

Вы действительно понимаете что такое О большое (Big O)? Если это так, то эта статья поможет вам освежить ваши знания перед собеседованием. Если нет, эта статья расскажет вам о том что это такое и зачем нужно об этом знать.

Нотация О большое является одним из самых фундаментальных инструментов анализа сложности алгоритма. Эта статья написана с предположением, что вы уже являетесь программистом и за вашими плечами большое количество написанного кода. Кроме того, для лучшего понимания материала потребуется знания основ математики средней школы. И так если вы готовы, давайте начнем!

Picture of a Mandelbrot set, which relates to Complex Numbers and Recursions, Pixabay

Содержание

  1. Что такое нотация О большое и почему это важно
  2. Формальное определение обозначения О большое
  3. О большое (Big O), О малое (Little O), Омега (Omega) и Тета (Theta)
  4. Сравнение сложности между всеми нотациями
  5. Время и пространство сложности
  6. Лучшая, Средняя, Худшая, Ожидаемая Сложность
  7. Почему О большое может быть не важна
  8. Заключение…

1. Что такое нотация О большое и почему оно важно

«Нотация О большое – это математическая нотация, которая описывает ограничивающее поведение функции, когда аргумент стремится к определенному значению или бесконечности. Он является членом семейства нотаций, изобретенных Полом Бахманом, Эдмундом Ландау и другими, которые в совокупности называются нотациями Бахмана-Ландау или асимптотическими нотациями ».

Проще говоря, нотация О большое описывает сложность вашего кода с использованием алгебраических терминов.

Илон Маск рекомендует:  VPS VDS хостинг администрировать самому или платить Что лучше

Чтобы понять, что такое О большое, мы можем взглянуть на типичный пример O (n²), который обычно произносится как «Большой O в квадрате». Буква «n» здесь представляет размер входных данных, а функция «g (n) = n²» внутри «O ()» дает нам представление о том, насколько сложен алгоритм по отношению к количеству входных данных.

Типичным алгоритмом со сложностью O(n²) будет алгоритм сортировки выбором. Сортировка выбором – это алгоритм сортировки, который выполняет итерацию по списку, чтобы гарантировать, что каждый элемент с индексом i является i-м наименьшим/наибольшим элементом списка. Наглядный пример.

Алгоритм может быть описан следующим кодом. Чтобы убедиться, что i-й элемент является i-м наименьшим элементом в списке, этот алгоритм сначала просматривает список с помощью цикла for. Затем для каждого элемента он использует другой цикл for, чтобы найти наименьший элемент в оставшейся части списка.

В этом сценарии мы рассматриваем переменную List как входные данные, поэтому размер ввода n – это количество элементов внутри List. Предположим, что оператор if, а присвоение значения, ограниченное оператором if, занимает постоянное время. Затем мы можем найти О большое для функции SelectionSort, проанализировав, сколько раз выполняются операторы.

Сначала внутренний цикл for выполняет операторы внутри n раз. А затем, после увеличения i, внутренний цикл for выполняется n-1 раз … пока он не будет запущен еще один раз, тогда оба цикла for достигнут своих условий завершения.

Selection Sort Loops Illustrated

На самом деле это в конечном итоге дает нам геометрическую сумму, и благодаря математики средней школе мы обнаружим, что внутренний цикл будет повторяться 1 + 2… + n раз, что равно n(n-1)/2 раза. Если мы умножим это, мы получим n²/2-n/2.

Когда мы вычисляем О большое, мы заботимся только о доминирующих операторах, и не заботимся о коэффициентах. Таким образом, мы выбираем как О большое. Мы записываем его как O(n²), а произносим как «О большое в квадрате».

Теперь вам может быть интересно, что это за «доминирующие операторы»? И почему нас не волнуют коэффициенты? Не волнуйтесь, мы рассмотрим эти вопросы по очереди далее.

2. Формальное определение нотации О большое

Когда-то давно жил один индийский король, который захотел наградить мудреца. Мудрец попросил в качестве награды только пшеницы, которая бы заполнила все шахматную доску.

Но с определенным условием: в первой клетке должно быть 1 зернышко пшеницы, затем 2 зернышка на второй клетке, затем 4 на следующей … и так далее на каждой клетке шахматной доске должно быть вдвое больше количество зерен, чем на предыдущей. Наивный король согласился без колебаний, думая, что это слишком простое условие…

Wheat and Chess Board, Image from Wikipedia

Так сколько зерна пшеницы должен царь мудрецу? Мы знаем, что шахматная доска имеет 8 квадратов на 8 квадратов, что в сумме составляет 64 фишки, поэтому в итоговой фишке должно быть 2⁶⁴ зерна пшеницы. Если вы проведете самостоятельный расчет, вы получите 1,8446744 * 10¹⁹, то есть около 18, за которыми следуют 18 нулей. Предполагая, что каждое зерно пшеницы весит 0,01 грамма, это дает нам 184 467 440 737 тонн пшеницы. А 184 миллиарда тонн – это много, не правда ли?


Числа могут расти довольно быстро, не так ли? Та же логика относится и к компьютерным алгоритмам. Если требуемые усилия для выполнения задачи растут экспоненциально по отношению к размеру входных данных, алгоритм может в конечном итоге стать чрезвычайно затратным.

Если вы продолжите удвоение 2⁶⁴, то результат будет быстро потерян за пределами значащих цифр. Вот почему, когда мы смотрим на темпы роста, мы заботимся только о доминирующих операторах. И поскольку мы хотим проанализировать рост по отношению к размеру ввода, коэффициенты, которые только умножают число, и не растут с размером ввода, не содержат никакой полезной информации.

Ниже приведено формальное определение Большого O:

CSE 373 Slides from University of Washington

Формальное определение полезно, когда вам нужно выполнить математическое доказательство. Например, сложность для сортировки выбором может быть определена функцией f (n) = n²/2-n/2, как мы обсуждали в предыдущем разделе.

Если мы допустим, чтобы наша функция g(n) была n², мы можем найти константу c = 1 и N₀ = 0, при условии, N > N₀, где N² всегда будет больше, чем N²/2-N/2. Мы можем легко доказать это, вычитая N²/2 из обеих функций, тогда мы можем видеть, что N²/2 > -N/2 будет истинно, когда N>0. Поэтому мы можем прийти к выводу, что f(n) = O (n²), в другом порядке выбора это «О большое квадрат».

Вы могли заметить небольшую хитрость. То есть, если вы заставите g(n) расти быстрее, чем что-либо другое, O(g(n)) всегда будет достаточно большим. Например, для любой полиномиальной функции вы всегда будете правы, говоря, что оно являются O(2ⁿ), потому что 2ⁿ в конечном итоге будет всегда больше любого полинома.

С математической точки зрения вы будете правы, но обычно, когда мы говорим о Большом O, нам нужно знать жесткую границу (tight bound) функции. Вы узнаете об этом больше, в следующем раздел.

Но прежде чем мы пойдем дальше, давайте проверим ваше понимание следующим вопросом. Ответ будет приведен в следующем разделе.

Вопрос: Допустим изображение представлено двумерным массивом пикселей. Вы используете вложенный цикл for для итерации по каждому пикселю (то есть у вас есть цикл for, проходящий по всем столбцам, и другой цикл внутри, чтобы пройти по всем строкам). Какая в этом случае будет сложность алгоритма?

3. О большое, O малое, Омега и Тета

Ниже приведены формальные математические определения этих нотаций:

О большое: «f(n) есть O(g (n))» тогда и только тогда, когда некоторые константы c и N₀, f(N) ≤ cg(N) для всех N> N₀

Малое O: «f(n) есть o (g(n))», если f(n) есть O(g(n)) и f(n) не есть Θ(g(n))

Омега: «f(n) есть Ω(g(n))» тогда и только тогда, когда некоторые константы c и N₀, f(N) ≥ cg(N) для всех N> N₀

Тета: «f (n) есть Θ(g (n))» тогда и только тогда, когда f(n) есть O(g(n)), а f(n) есть Ω(g(n))

  • О большое (O()) описывает верхнюю границу сложности.
  • Малое O (o()) описывает верхнюю границу, исключая точную оценку.
  • Омега (Ω ()) описывает нижнюю границу сложности.
  • Тета (Θ ()) описывает точную оценку сложности.

Relationships between Big O, Little O, Omega & Theta Illustrated

Например, функция g(n) = n² + 3n – это O(n³), o(n⁴), Θ(n²) и Ω (n). Но вы все равно были бы правы, если бы сказали, что это Ω(n²) или O(n²).

Вообще, когда мы говорим о Большом O, мы на самом деле имеем в виду Тета (Θ Theta). Бессмысленно, когда вы определяете верхнюю границу, намного превышающую объем анализа. Это было бы похоже на решение неравенств путем помещения на большую сторону, что почти всегда формально сделает вас правым.

Но как определить, какие функции сложнее других?

4. Сравнение сложности между типичными нотациями Больших O

Когда мы пытаемся выяснить О большое для конкретной функции g(n), мы заботимся только о доминирующем операторе (dominant term) функции. Доминирующий оператор – это такой оператор, который растет быстрее всего.

Например, n² растет быстрее, чем n, поэтому, если у нас есть что-то вроде g(n) = n² + 5n + 6, то О большое будет (n²). Если вы когда нибудь проводили некоторые исчисления, это очень похоже на сокращение пределов для дробных многочленов, когда вам важен только доминирующий оператор для числителей и знаменателей в конце.

Another way to look at Big O, Image from Stack Overflow

Но какая функция растет быстрее, чем другие? На самом деле существует довольно много правил.

Complexity Growth Illustration from Big O Cheatsheet

1. O(1) имеет наименьшую сложность

Часто называемый «постоянный по времени», если вы можете создать алгоритм для решения проблемы с O(1), то это будет лучший выбор алгоритма. В некоторых сценариях сложность может выходить за пределы O(1), тогда мы можем проанализировать их, найдя ее аналог O(1/g(n)). Например, O(1/n) является более сложным, чем O(1/n²).

2. O (log(n)) является более сложным, чем O(1), но менее сложным, чем полиномы

Поскольку сложность часто связана с алгоритмами «разделяй и властвуй», O (log(n)) – это, как правило, хорошая сложность, которую можно достичь для алгоритмов сортировки. O (log(n)) является менее сложным, чем O (√n), потому что функцию квадратного корня можно считать полиномом, где показатель степени равен 0,5.

3. Сложность многочленов увеличивается с ростом степени

Например, O (n⁵) является более сложным, чем O (n⁴).


4. Экспоненты имеют большую сложность, чем полиномы, если коэффициенты положительные кратные n

O (2ⁿ) является более сложным, чем O (n⁹⁹), но O (2ⁿ) на самом деле является менее сложным, чем O(1). Обычно мы берем 2 в качестве основы для степеней и логарифмов, потому что в компьютерных науках все имеет тенденцию быть двоичным, но степень можно изменить, изменив коэффициенты. Если не указано иное, основание для логарифмов принимается равным 2.

5. Факториалы имеют большую сложность, чем степень

Если вам интересны доказательства, посмотрите Гамма-функцию (Gamma function), это аналитическое продолжение факториала. Краткое доказательство состоит в том, что и факториалы, и степень имеют одинаковое количество умножений, но числа, которые умножаются, растут для факториалов, оставаясь неизменными для степени.

6. Умножение

При умножении сложность будет больше, чем оригинал, но не больше, чем эквивалентность умножения чего-то более сложного. Например, O (n*log (n)) является более сложным, чем O (n), но менее сложным, чем O (n²), потому что O (n²) = O (n * n), а n более сложный, чем log (n). ).

Если хотите можете проверить свое понимание. Попробуйте ранжировать следующие функции от самых сложных до менее. Решения с подробными объяснениями можно будет найти в следующем разделе. Некоторые из них достаточно сложные и могут потребовать более глубокого понимания математики. Когда вы доберетесь до решения, вы узнаете об этом больше.

Вопрос: Расставьте следующие функции от самых сложных до менее.

Решение для вопроса из Раздела 2:

На самом деле это был вопрос с подвохом, чтобы проверить ваше понимание. Возможно вы бы предположили что ответ равен O (n²), потому что есть вложенный цикл for. Но нужно понять, что входными данными является массив изображений, и каждый пиксель в алгоритме проходится только один раз, то ответ на самом деле будет O (n). В следующем разделе будут рассмотрены другие примеры, подобные этому.

5. Время и пространство сложности

До сих пор мы обсуждали только временную сложность алгоритмов. То есть мы заботимся только о том, сколько времени потребуется программе для выполнения задачи. Что также важно, так это место, занимаемое программой в памяти для выполнения задачи. Сложность пространства связана с тем, сколько памяти будет использовать программа, и, следовательно, также является важным фактором для анализа.

Пространственная сложность работает аналогично временной сложности. Например, сортировка выбором имеет пространственную сложность O(1), потому что она хранит только одно минимальное значение и свой индекс для сравнения, максимальное используемое пространство не увеличивается с размером ввода.

Некоторые алгоритмы, такие как блочная сортировка, имеют пространственную сложность O (n), но при этом в ней можно уменьшить временную сложность до O (1). Блочная сортировка это такая сортировка в котором сортируемые элементы распределяются между конечным числом отдельных блоков (карманов, корзин) так, чтобы все элементы в каждом следующем по порядку блоке были всегда больше (или меньше), чем в предыдущем. Каждый блок затем сортируется отдельно, либо рекурсивно тем же методом, либо другим. Затем элементы помещаются обратно в массив.

Bucket Sort Visualization

6. Лучшая, Средняя, Худшая, Ожидаемая Сложность

Сложность также может быть проанализирована как лучший случай, наихудший случай, средний случай и ожидаемый случай.

Для примера давайте рассмотрим сортировку вставками (insertion sort). Сортировка вставками выполняет итерацию по всем элементам в списке. Если элемент больше, чем его предыдущий элемент, он вставляет элемент назад, пока он не станет больше, чем предыдущий элемент.

Insertion Sort Illustrated, Image from Wikipedia

Если массив изначально отсортирован, обмен вообще не будет произведен. Алгоритм будет просто пройдет итерацию по массиву один раз, что приведет к временной сложности O (n). Следовательно, мы бы сказали, что наилучшая временная сложность сортировки вставками – O (n). Сложность O (n) также часто называют линейной сложностью.

Иногда алгоритму может просто не повезти. Например, быстрая сортировка будет должна пройти через список за O (n), если элементы отсортированы в обратном порядке, но в среднем этот алгорит сортирует массив за O (n * log(n)). Как правило, когда мы оцениваем временную сложность алгоритма, мы смотрим на ее худшую производительность. Подробнее об этом и быстрой сортировке мы поговорим в следующем разделе.

Средняя сложность описывает ожидаемую производительность алгоритма. Иногда включает в себя расчет вероятности каждого сценария. Ниже приведена шпаргалка по временной и пространственной сложности типичных алгоритмов.

Big O Cheatsheet for Common Algorithms

Решение для вопроса из Раздела 4:

Осматривая функции, мы можем начать с ранжирования следующих полиномов от наиболее сложного до менее по правилу 3. Где корень квадратный из n равен просто n в степени 0,5.

Тогда, применяя правила 2 и 6, мы получим следующее. Логарифм с основанием 3 может быть преобразован в с основанием 2 (log base conversions). Логарифм с основанием 3 по-прежнему растет немного медленнее, чем с основанием 2, и поэтому в рейтинге получает место после него.

Остальные могут показаться немного сложными, но давайте попробуем быть немного повнимательнее и посмотреть, как же все такие их можно расположить.

Прежде всего, 2 в степени 2 в степени n больше 2 в степени n, а +1 еще больше его увеличивает.

Чтобы степень log (n) с основанием 2 была равна n, мы можем преобразовать следующее. Логарифм от 0,001 растет немного больше, чем просто константы, но меньше, чем почти все остальное.

Выражение, у которого n в степени log (log (n)), на самом деле является вариацией квазиполинома (quasi-polynomial), который больше полинома, но меньше экспоненты. Поскольку log (n) растет медленнее, чем n, его сложность немного меньше. Выражение с обратным логарифмом сходится к константе, поскольку 1 / log (n) расходится к бесконечности.

Факториалы могут быть представлены умножением и, следовательно, могут быть преобразованы в сложения вне логарифмической функции. «N select 2» может быть преобразовано в полином с кубическим членом, являющимся наибольшим.

И, наконец, мы можем ранжировать функции от самых сложных до наименее сложных.

Почему О большое может не имеет значения

Идея, обсуждаемая далее, обычно не принимается большинством программистов в мире. Озвучивайте ее при собеседованиях на свой страх и риск. Бывали случаи когда, люди провалили собеседование в Google, потому что они подвергли сомнению необходимости нотаций.


. — WARNING — .

Поскольку ранее мы узнали, что сложность по времени в наихудшем случае для быстрой сортировки будет O (n²), а для сортировки слиянием (merge sort) будет O (n * log (n)), то сортировка слиянием должна быть быстрее, верно? Ну, вы, наверное, догадались, что ответ неверен. Чтобы это продемонстрировать, я выложил этот пример сюда trinket.io. Он сравнивает время для быстрой сортировки (quick sort) и сортировки слиянием (merge sort). Мне удалось протестировать его только на массивах длиной до 10000 значений, но, как вы можете видеть, время сортировки слиянием растет быстрее, чем быстрой сортировки. Несмотря на быструю сортировку, имеющую худшую сложность O (n²), вероятность этого действительно низка. Когда дело доходит до увеличения скорости, быстрая сортировка имеет более высокую скорость чем сортировка слиянием, ограниченная сложностью O (n * log (n)), быстрая сортировка заканчивается в среднем с лучшей производительностью.

Я также сделал график, чтобы сравнить соотношение между временем, которое они занимают, так как это время трудно увидеть при более низких значениях. И, как вы можете видеть, процент времени, требуемый для быстрой сортировки, очень быстро уменьшается.

Мораль этой истории в том, что нотация О большое – это всего лишь математический анализ, который дает представление о ресурсах, потребляемых алгоритмом. Практически результаты могут быть разными. Но, как правило, это хорошая практика – пытаться снизить сложность наших алгоритмов.

Заключение…

Мне нравится кодить, изучать новые вещи и делиться ими с сообществом. Если есть что-то, что вас особенно интересует, пожалуйста, дайте мне знать. Я обычно пишу о веб-дизайне, архитектуре программного обеспечения, математике и науке о данных. Вы можете найти несколько замечательных статей, которые я написал ранее, если вас интересует какая-либо из вышеперечисленных тем.

Уровни сложности шитья изделий

По просьбам читателей моих книг и посетителей «Кутюрье» каждой модели присвоен уровень сложности.

Всего пять уровней сложности пошива:

Начальный.
Простой.
Средний (средняя сложность).
Высокий (высокая сложность).
Профи (для профессионалов).

Подробнее о каждом.

Начальный уровень сложности

Предполагает отсутствие любых навыков кроя и шитья.

Это уровень начинающих, которые не сшили ни одного изделия.

Илон Маск рекомендует:  CelsiusToFahrenheit - Функция Delphi

Примером изделия такого уровня можно считать прямую юбку или блузу на основе кимоно.

Выкройки юбок и брюк, шортов

В каждой своей выкройке я указываю уровень сложности шитья конкретного изделия. Детские выкройки и много выкроек одежды для шитья начинающими опубликовано в разделе с бесплатными выкройками — их можно скачать бесплатно и без регистрации на сайте.

Основными ошибками начального уровня являются: отсутствие точности в снятии мерок, построении чертежа и нежелание пользоваться утюгом.

Простой уровень

Это уже для тех, кто сшил пару изделий и остался доволен своей работой.

Ошибки остаются те же.

На этом уровне уже можно учиться шить простые блузы без усложняющих элементов.

Выкройки блуз

Средний уровень сложности

Предполагает наличие некоторых швейных навыков.

Например, отработанного умения вметать рукав, обработать супатную застёжку, карман «отрезной бочек».

Или обработать верхний срез юбки обтачкой.

Изделия содержат простые усложняющие элементы.

Высокая сложность

Название говорит само за себя.

Изделия высокого уровня сложности под силу сшить только людям со сформированными навыками и знанием технологических приёмов шитья.

Пример такой сложности – корсет.

Профи: жакеты, пальто, а также изделия из кожи, вечерние платья и т. д.

Выкройки пальто, курток и шуб женских


Изделия этого уровня сложности предполагают профессиональную подготовку портного.

Любители, пытающиеся сшить изделия для профи, рискуют испортить ткань.

Дополнительно к теме уровни сложности шитья изделий рекомендуем посмотреть:

Ещё статьи в этой теме:

Подписывайтесь на наш канал в Яндекс Дзен и будьте всегда в курсе новых выкроек, уроков и статей на нашем сайте:

Средняя сложность алгоритма

Мой учитель дал мне приведенный ниже код, чтобы узнать его среднюю сложность:

Размножая циклы, я обнаружил, что код выполняет n*(n+1)/2 раза, и я заключаю, что наихудший случай — O(n^2) потому что существует n*(n+1)/2 для n>n0 Я знаю, что определение средней сложности довольно схож, но мне было довольно сложно вычислить его. Я хочу знать, в чем сложность в этом случае, и если существуют стандартизованные методы вычисления этих типов проблемы

(например: вложенные циклы с зависимостями между итераторами).

При анализе среднего случая мы берем все возможные входы и вычисляем время вычислений для всех входов. Суммируйте все рассчитанные значения и разделите сумму на общее количество входов.

В вашем алгоритме есть только одна возможность. Для всех входов ваш алгоритм работает в O (n * (n + 1)/2) времени.

Средняя временная сложность — O (n * (n + 1)/2) = O (n ^ 2).

В теории сложности вычислений усложнение алгоритма в среднем случае представляет собой количество некоторого вычислительного ресурса (обычно времени), используемого алгоритмом, усредненного по всем возможным входам, см. Здесь для определения.

В вашем случае вы уже выяснили, что ваша программа будет выполняться для n * (n + 1)/2 (для данного n) раз. Тогда вы можете подумать: что, если n = 1, 2, 3. Вам нужно всего лишь добавить все эти значения, используя формулу, и принять среднее значение. Легко получить решение O (n ^ 2).

Теория сложности вычислений

Материал из MachineLearning.

Данная статья является непроверенным учебным заданием. Студент: Участник:DmitryKonstantinov Преподаватель: Участник:Константин Воронцов Срок: 8 января 2010

До указанного срока статья не должна редактироваться другими участниками проекта MachineLearning.ru. По его окончании любой участник вправе исправить данную статью по своему усмотрению и удалить данное предупреждение, выводимое с помощью шаблона <<Задание>>.

См. также методические указания по использованию Ресурса MachineLearning.ru в учебном процессе.

Теория сложности вычислений — раздел теории вычислений, изучающий объем работы, требуемой для решения вычислительной проблемы.

Задача рассматривается как сложная, если решение проблемы требует большого количества ресурсов, независимо от алгоритма, используемого для ее решения. Теория формализует это интуитивное понятие, вводя математические модели вычислений для изучения этих проблем и количественной оценки объема ресурсов, необходимых для их решения, такие как время и используемая память. Возможны и другие меры сложности, такие как: количество сообщений (коммуникационная сложность), число элементов в схеме из функциональных элементов (схемная сложность) и количество процессоров. В частности, теории сложности вычислений определяет практические ограничения на то, что компьютеры могут и что не могут делать.

Тесно связаны с теорий сложности вычислений анализ алгоритмов и теория вычислимости. Основное различие между теорией сложности вычислений и анализом алгоритмов является то, что последняя посвящена анализу объема ресурсов, необходимых определенному алгоритму, чтобы решить проблему, в то время как первая задает вопрос более общего характера о всех возможных алгоритмах, которые могут быть использованы чтобы решить ту же проблему. Более точно, теория сложности вычислений пытается классифицировать проблемы, которые могут или не могут быть решены надлежащим количеством ограниченных ресурсов. В свою очередь, введение ограничений на имеющиеся ресурсы — это то, что отличает теорию сложности вычислений от теории вычислимости: последняя спрашивает какие проблемы могут быть решены в принципе алгоритмически, не ограничивая вычислительные ресурсы.

Содержание

Вычислительные проблемы

Экземпляры задач

Вычислительные проблемы(задачи) можно рассматривать как бесконечный набор пар: (экземпляр задачи, решение для данного экземпляра). Входной строкой для вычислительной проблемы является строка, описывающая экземпляр задачи. Выходная строка для вычислительной проблемы — описание решения для экземпляра задачи, описанного входной строкой. Например, проблема распознавания простоты числа: экземпляр задачи — число, для которого следует определить простое оно или нет, решение — строка «да», если это число простое и «нет» в противном случае. Теория сложности вычислений рассматривает только массовые задачи, т.е. требование о бесконечности набора экземпляров задач обязательно.

Представление задачи

При рассмотрении вычислительных задач описанием экземпляра задачи является строка над алфавитом. Как правило, алфавит берется бинарным(т. е. множество <0,1>). Различные математические объекты должны быть соответствующим образом закодированы. Так, например, целые числа могут быть представлены в двоичной системе счисления, и графы могут быть закодированы непосредственно через их матрицы смежности или через их кодирование списков смежности в двоичной системе.

Задачи распознавания

Задачи распознавания является одним из центральных объектов исследования в теории сложности вычислений. Задача распознавания является особым типом вычислительных проблемы, ответом на которую является либо «да» или «нет»(1 или 0). Задачу распознавания можно сформулировать в виде задачи принадлежности входной строки к некоторому подмножеству (языку) множества всех входных строк. Входная строка проблемы принадлежит соответствующему языку тогда и только тогда, когда ответом на эту строку является «да». Таким образом задача распознавания — это задача распознавания принадлежности входной строку к некоторому языку.

Пример задачи распознавания. Входная строка: описание произвольного графа. Проблема состоит в решении вопроса связен ли данный граф или нет. Язык связных графов — это множество описаний всех связных графов. Для получения точного определения этого языка, нужно решить, как графы кодируются как бинарных строки.

Задачи поиска

Задачей поиска является вычислительная задача, где выходное значение является более сложным, чем в задаче распознавания (то есть, это не просто «да» или «нет»).

Примером задачи поиска является задача коммивояжера. Задача коммивояжёра (коммивояжёр — бродячий торговец) является одной из самых известных задач комбинаторной оптимизации. Задача заключается в отыскании самого выгодного маршрута, проходящего через указанные города хотя бы по одному разу с последующим возвратом в исходный город. В условиях задачи указываются критерий выгодности маршрута (кратчайший, самый дешёвый, совокупный критерий и т. п.) и соответствующие матрицы расстояний, стоимости и т. п. Как правило, указывается, что маршрут должен проходить через каждый город только один раз — в таком случае выбор осуществляется среди гамильтоновых циклов. Входная строка: описание взвешенного (т.е. с числовыми пометками на ребрах) графа. Выходная строка — описание оптимального маршрута коммивояжёра.


Существует парная зависимость между задачами распознавания и задачами поиска. Задачу поиска можно сформулировать в качестве задачи распознавания. Например, для задачи поиска «умножение двух чисел», соответствующая парная задача распознавания может быть представлена как множество троек (A, B, C) таких, что отношения A × B = C выполнено.

Измерение сложности

Теория сложности вычислений возникла из потребности сравнивать быстродействие алгоритмов, чётко описывать их поведение (время исполнения, объём необходимой памяти и т.д.) в зависимости от размера входа и выхода.

Количество элементарных операций, затраченных алгоритмом для решения конкретного экземпляра задачи, зависит не только от размера входных данных, но и от самих данных. Например, количество операций алгоритма сортировки вставками значительно меньше в случае, если входные данные уже отсортированы. Чтобы избежать подобных трудностей, рассматривают понятие временной сложности алгоритма в худшем случае.

Временная сложность алгоритма (в худшем случае) — это функция размера входных и выходных данных, равная максимальному количеству элементарных операций, проделываемых алгоритмом для решения экземпляра задачи указанного размера. В задачах, где размер выхода не превосходит или пропорционален размеру входа, можно рассматривать временную сложность как функцию размера только входных данных.

Аналогично понятию временной сложности в худшем случае определяется понятие временная сложность алгоритма в наилучшем случае. Также рассматривают понятие среднее время работы алгоритма, то есть математическое ожидание времени работы алгоритма. Иногда говорят просто: «Временная сложность алгоритма» или «Время работы алгоритма», имея в виду временную сложность алгоритма в худшем, наилучшем или среднем случае (в зависимости от контекста).

По аналогии с временной сложностью, определяют пространственную сложность алгоритма, только здесь говорят не о количестве элементарных операций, а об объёме используемой памяти.

Несмотря на то, что функция временной сложности алгоритма в некоторых случаях может быть определена точно, в большинстве случаев искать точное её значение бессмысленно. Дело в том, что во-первых, точное значение временной сложности зависит от определения элементарных операций (например, сложность можно измерять в количестве арифметических операций или операций на машине Тьюринга), а во-вторых, при увеличении размера входных данных вклад постоянных множителей и слагаемых низших порядков, фигурирующих в выражении для точного времени работы, становится крайне незначительным.

Рассмотрение входных данных большого размера и оценка порядка роста времени работы алгоритма приводят к понятию асимптотической сложности алгоритма. При этом алгоритм с меньшей асимптотической сложностью является более эффективным для всех входных данных, за исключением лишь, возможно, данных малого размера.

Сложность определяется исходя из вычислительной модели, в которой проводят вычисления.

Вычислительные модели

Существует множество различных моделей вычислений: машина Поста, машина Минского, лямбда-исчисление, частично рекурсивные функции, нормальные алгоритмы Маркова, машины с произольным доступом к памяти (RAM машины) и др. Упомянем лишь наиболее популярную вычислительную модель — машину Тьюринга.

Машина Тьюринга

Маши́на Тью́ринга (МТ) — абстрактный исполнитель (абстрактная вычислительная машина). Была предложена Аланом Тьюрингом в 1936 году для формализации понятия алгоритма.

Машина Тьюринга является расширением конечного автомата и, согласно тезису Чёрча — Тьюринга, способна имитировать все другие исполнители (с помощью задания правил перехода), каким-либо образом реализующие процесс пошагового вычисления, в котором каждый шаг вычисления достаточно элементарен.

В состав машины Тьюринга входит бесконечная в обе стороны лента (возможны машины Тьюринга, которые имеют несколько бесконечных лент), разделённая на ячейки, и управляющее устройство, способное находиться в одном из множества состояний. Число возможных состояний управляющего устройства конечно и точно задано.

Управляющее устройство может перемещаться влево и вправо по ленте, читать и записывать в ячейки ленты символы некоторого конечного алфавита. Выделяется особый пустой символ, заполняющий все клетки ленты, кроме тех из них (конечного числа), на которых записаны входные данные.

Управляющее устройство работает согласно правилам перехода, которые представляют алгоритм, реализуемый данной машиной Тьюринга. Каждое правило перехода предписывает машине, в зависимости от текущего состояния и наблюдаемого в текущей клетке символа, записать в эту клетку новый символ, перейти в новое состояние и переместиться на одну клетку влево или вправо. Некоторые состояния машины Тьюринга могут быть помечены как терминальные, и переход в любое из них означает конец работы, остановку алгоритма.

Машина Тьюринга называется детерминированной, если каждой комбинации состояния и ленточного символа в таблице соответствует не более одного правила. Если существует пара (ленточный символ — состояние), для которой существует 2 и более команд, такая машина Тьюринга называется недетерминированной.

Модель машины Тьюринга допускает различные расширения. Можно рассматривать машины Тьюринга с произвольным числом лент и многомерными лентами с различными ограничениями; машины, использующие источник случайности.

Машина Тьюринга является одной из основных моделей вычисления в теории сложности.

Классы сложности

Классами сложности называются множества вычислительных задач, примерно одинаковых по сложности вычисления. Существуют классы сложности языков и функциональные классы сложности. Класс сложности языков — это множество предикатов (функций, получающих на вход слово и возвращающих ответ 0 или 1), использующих для вычисления примерно одинаковые количества ресурсов. Понятие функционального класса сложности аналогично, за исключением того, что это не множество предикатов, а множество функций. В теории сложности, по умолчанию, класс сложности — это класс сложности языков. Типичное определение класса сложности выглядит так:

В качестве ресурсов обычно берутся время вычисления (количество рабочих тактов машины Тьюринга) или рабочая зона (количество использованных ячеек на ленте во время работы). Языки, распознаваемые предикатами из некоторого класса (то есть множества слов, на которых предикат возвращает 1), также называются принадлежащими тому же классу.

Кроме того, многие классы могут также быть описаны в терминах математической логики или теории игр.

Классы принято обозначать прописными буквами. Дополнение к классу C (то есть класс языков, дополнения которых принадлежат C) обозначается co-C.

Для каждого класса существует категория задач, которые являются «самыми сложными». Это означает, что любая задача из класса сводится к такой задаче, и притом сама задача лежит в классе. Такие задачи называют полными задачами для данного класса.

Класс P

Класс P (от англ. polynomial) — множество задач распознавания, которые могут быть решены на детерминированной машине Тьюринга за полиномиальное от длины входа время. Аналогично, для задач поиска определяется класс FP (от англ. functional polynomial).

Более формально, рассмотрим детерминированные машины Тьюринга, которые вычисляют ответ по данному на входную ленту слову из входного алфавита . Временем работы машины Тьюринга при фиксированном входном слове x называется количество рабочих тактов машины Тьюринга от начала до остановки машины. Сложностью функции , вычисляемой некоторой машиной Тьюринга, называется функция , зависящая от длины входного слова и равная максимуму времени работы машины по всем входным словам фиксированной длины:

Если для функции f существует машина Тьюринга M такая, что для некоторого числа c и достаточно больших n, то говорят, что она принадлежит классу FP, или полиномиальна по времени.

Класс P является одним из фундаментальных в теории сложности вычислений.

Класс NP

Классом NP (от англ. non-deterministic polynomial) называют множество задач распознавания, время решения которых существенно зависит от размера входных данных; в то же время, существует алгоритм, который, получив наряду с описанием входных значений, некоторые дополнительные сведения (свидетеля решения), может достаточно быстро (за время, не превосходящее полинома от размера данных) решить задачу.

Более формально, язык L называется принадлежащим классу NP, если существуют двуместный предикат R(x, y) из класса P (т.е. вычислимый за полиномиальное время) и многочлен p такие, что для всякого слова x длины n условие «x принадлежит L» равносильно условию «найдётся y длины меньше p(n) такой, что верно R(x, y)». Слово y называется свидетелем принадлежности x языку L. Таким образом, если у нас есть слово, принадлежащее языку, и ещё одно слово-свидетель ограниченной длины (которое бывает трудно найти), то мы быстро сможем удостовериться в том, что x действительно принадлежит L. Всякую задачу, принадлежащую NP, можно решить за экспоненциальное время перебором всех возможных свидетелей длины меньше p(n).

Пример задачи из NP: задача распознавания «Существование целочисленного решения системы линейных неравенств». Свидетель — решение системы неравенств. За полиномиальное время легко проверить, что решение-свидетель подходит.

Класс NP включает в себя класс P.

Открытые проблемы

В теории сложности вычислений существует множество нерешенных проблем, в основном они касаются вопросов разделения или вложенности тех или иных классов сложности. Одним из таких вопросов является проблема равенства классов P и NP.

Проблема равенства классов P и NP

В конечном счете проблема равенства классов P и NP состоит в следующем: если положительный ответ на какой-то вопрос можно быстро проверить (за полиномиальное время), то правда ли, что ответ на этот вопрос можно быстро найти (за полиномиальное время)?

Из определения классов P и NP сразу вытекает следствие: . Однако до сих пор ничего не известно о строгости этого включения, т.е. существует ли алгоритм, лежащий в NP, но не лежащий в P. Если такого алгоритма не существует, то все задачи, принадлежащие классу NP, можно будет решать за полиномиальное время, что сулит огромную выгоду с вычислительной точки зрения. Сейчас самые сложные NP-задачи (так называемые NP-полные задачи) можно решить за экспоненциальное время, что почти всегда неприемлемо.

Вопрос о равенстве этих двух классов считается одной из самых сложных открытых проблем в области теоретической информатики. В настоящее время большинство математиков считают, что эти классы не равны. Математический институт Клэя включил эту проблему в список проблем тысячелетия, предложив награду размером в один миллион долларов США за её решение.

Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Кодинг, CSS и SQL