Золотое сечение


Содержание

Золотое сечение (стр. 1 из 3)

Реферат выполнила ученица 8 класса МОУ гимназия №9 Вьюшина Вероника

1. Введение. Пропорция золотого сечения. Ф и φ.

«Геометрия обладает двумя великими сокровищами. Первое — это теорема Пифагора, второе — деления отрезка в крайнем и среднем отношении»

Правильные многоугольники привлекали внимание древнегреческих учёных ещё задолго да Архимеда. Пифагорейцы, выбравшие эмблемой своего союза пентаграмму — пятиконечную звезду, придавали очень большое значение задаче о делении окружности на равные части, то есть о построении правильного вписанного многоугольника. Альбрехт Дюрер (1471-1527гг), ставший олицетворением Возрождения в Германии приводит теоретически точный способ построения правильного пятиугольника, заимствованный из великого сочинения Птолемея «Альмагест».

Интерес Дюрера к построению правильных многоугольников отражает использование их в Средние века в арабских и готических орнаментах, а после изобретения огнестрельного оружия — в планировке крепостей.

Средневековые способы построения правильных многоугольников носили приближенный характер, но были (или не могли не быть) простыми: предпочтение отдавалось способам построения, не требующим даже изменять раствор циркуля. Леонардо да Винчи также много писал о многоугольниках, но именно Дюрер, а не Леонардо, передал средневековые способы построения потомкам. Дюрер, конечно, был знаком с » Началами» Евклида, но не привел в своем «Руководстве к измерению» (о построениях при помощи циркуля и линейки) предложенный Евклидом способ построения правильного пятиугольника, теоретически точный, как и все евклидовы построения. Евклид не пытается разделить заданную дугу окружности на три равные части, и Дюрер знал, хотя доказательство было найдено лишь в XIX веке, что эта задача неразрешима.

Предложенное Евклидом построение правильного пятиугольника включает в себя деление отрезка прямой в среднем и крайнем отношении, названное впоследствии золотым сечением и привлекавшим к себе внимание художников и архитекторов на протяжении нескольких столетий.

Точка В делит отрезок АВЕ в среднем и крайнем отношении или образует золотое сечение, если отношение большей части отрезка к меньшей равно отношению всего отрезка к большей части.

Записанное в виде равенства отношений золотое сечение имеет вид

Если положить АВ=а, а ВЕ=а/Ф так, чтобы золотое отношение было равно АВ/ВЕ=Ф, то получается соотношение

То есть Ф удовлетворяет уравнению

Это уравнение имеет один положительный корень

Заметим, что 1/Ф = (√5 -1 )/2, так как (√5-1)(√5+1) =5-1=4. За 1/Ф принято считать φ=0.618034….

Ф и φ — прописная и строчная формы греческой буквы «фи».

Такое обозначение принято в честь древнегреческого скульптора Фидия (V век до н. э.) Фидий руководил строительством храма Парфенон в Афинах. В пропорциях этого храма многократно присутствует число φ .

2.История золотого сечения

Принято считать, что понятие о золотом делении ввел в научный обиход Пифагор, древнегреческий философ и математик (VI в. до н.э.). Есть предположение, что Пифагор свое знание золотого деления позаимствовал у египтян и вавилонян. И действительно, пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого деления при их создании. Французский архитектор Ле Корбюзье нашел, что в рельефе из храма фараона Сети I в Абидосе и в рельефе, изображающем фараона Рамсеса, пропорции фигур соответствуют величинам золотого деления. Зодчий Хесира, изображенный на рельефе деревянной доски из гробницы его имени, держит в руках измерительные инструменты, в которых зафиксированы пропорции золотого деления.

Платон (427. 347 гг. до н.э.) также знал о золотом делении. Его диалог «Тимей» посвящен математическим и эстетическим воззрениям школы Пифагора и, в частности, вопросам золотого деления.

Парфенон имеет 8 колонн по коротким сторонам и 17 по длинным. Отношение высоты здания к его длине равно 0,618. Если произвести деление Парфенона по «золотому сечению», то получим те или иные выступы фасада. При его раскопках обнаружены циркули, которыми пользовались архитекторы и скульпторы античного мира. В Помпейском циркуле (музей в Неаполе) также заложены пропорции золотого деления.

В дошедшей до нас античной литературе золотое деление впервые упоминается в «Началах» Евклида. Во 2-й книге «Начал» дается геометрическое построение золотого деления. После Евклида исследованием золотого деления занимались Гипсикл (II в. до н.э.), Папп (III в. н.э.) и др.. В средневековой Европе с золотым делением познакомились по арабским переводам «Начал» Евклида. Переводчик Дж. Кампано из Наварры (III в.) сделал к переводу комментарии. Секреты золотого деления ревностно оберегались, хранились в строгой тайне. Они были известны только посвященным.

В эпоху Возрождения усиливается интерес к золотому делению среди ученых и художников в связи с его применением, как в геометрии, так и в искусстве, особенно в архитектуре. Леонардо да Винчи, художник и ученый, видел, что в итальянских художниках большой эмпирический опыт, но недостаток знаний. Он задумал и начал писать книгу по геометрии, но в это время появилась книга монаха Луки Пачоли, и Леонардо оставил свою затею. По мнению современников и историков науки, Лука Пачоли был настоящим светилом, величайшим математиком Италии в период между Фибоначчи и Галилеем.

Лука Пачоли прекрасно понимал значение науки для искусства. В 1496 г по приглашению герцога Моро он приезжает в Милан, где читает лекции по математике. В Милане при дворе Моро в то время работал и Леонардо да Винчи. В 1509 г. в Венеции была издана книга Луки Пачоли «Божественная пропорция» с блестяще выполненными иллюстрациями, ввиду чего полагают, что их сделал Леонардо да Винчи. Книга была восторженным гимном золотой пропорции. Среди многих достоинств золотой пропорции монах Лука Пачоли не преминул назвать и ее «божественную суть» как выражение божественного триединства: бог сын, бог отец и бог дух святой (подразумевалось, что малый отрезок есть олицетворение бога сына, больший отрезок — бога отца, а весь отрезок — бога духа святого).

Леонардо да Винчи также много внимания уделял изучению золотого деления. Он производил сечения стереометрического тела, образованного правильными пятиугольниками, и каждый раз получал прямоугольники с отношениями сторон в золотом делении. Поэтому он дал этому делению название золотое сечение. Так оно и держится до сих пор как самое популярное.

В то же время на севере Европы, в Германии, над теми же проблемами трудился Альбрехт Дюрер. Он делает наброски введения к первому варианту трактата о пропорциях. Дюрер пишет: «Необходимо, чтобы тот, кто что-либо умеет, обучил этому других, которые в этом нуждаются. Это я и вознамерился сделать».

Судя по одному из писем Дюрера, он встречался с Лукой Пачоли во время пребывания в Италии. Альбрехт Дюрер подробно разрабатывает теорию пропорций человеческого тела. Важное место в своей системе соотношений Дюрер отводил золотому сечению. Рост человека делится в золотых пропорциях линией пояса, а также линией, проведенной через кончики средних пальцев опущенных рук, нижняя часть лица — ртом и т.д. Известен пропорциональный циркуль Дюрера.

Построение ряда отрезков золотой пропорции можно производить как в сторону увеличения (возрастающий ряд), так и в сторону уменьшения (нисходящий ряд).

Если на прямой произвольной длины, отложить отрезок m(φ), рядом откладываем отрезок M. На основании этих двух отрезков выстраиваем шкалу отрезков золотой пропорции восходящего и нисходящего рядов

В последующие века правило золотой пропорции превратилось в академический канон и, когда со временем в искусстве началась борьба с академической рутиной, в пылу борьбы «вместе с водой выплеснули и ребенка». Вновь «открыто» золотое сечение было в середине XIX в. В 1855 г. немецкий исследователь золотого сечения профессор Цейзинг опубликовал свой труд «Эстетические исследования». С Цейзингом произошло именно то, что и должно было неминуемо произойти с исследователем, который рассматривает явление как таковое, без связи с другими явлениями. Он абсолютизировал пропорцию золотого сечения, объявив ее универсальной для всех явлений природы и искусства. У Цейзинга были многочисленные последователи, но были и противники, которые объявили его учение о пропорциях «математической эстетикой».

3. Построение пропорции.

Из точки В восстанавливается перпендикуляр, равный половине АВ. Полученная точка С соединяется линией с точкой А. На полученной линии откладывается отрезок ВС, заканчивающийся точкой D. Отрезок AD переносится на прямую АВ. Полученная при этом точка Е делит отрезок АВ в соотношении золотой пропорции.

Правило золотого сечения в архитектуре, строительстве и дизайне

Наблюдения за природой и попытки раскрыть тайны ее прекрасных созданий принесли немало открытый. Одно из них — золотое сечение. Это некоторая закономерность, которой подчиняется все, что мы называем красивым. Люди, животные, цветы, здания, галактики…

Что такое золотое сечение и как его понимать

Часто мы сталкиваемся с домами, предметами, строениями, растениями, которые нас чем-то завораживают. Люди издавна пытались понять, почему одно нам кажется красивым, другое нет, искали закономерности. И вроде нашли. Это некоторое соотношение частей, которое назвали золотым сечением.

О том, кто и когда придумал золотое сечение никто не знает точно. Кто-то приписывает открытие Пифагору, но первое упоминание нашли еще в «Началах» Евклида, а жил он в 3 веке до нашей эры. Так что находка явно давняя. Именно по этому принципу построены древнегреческие и римские храмы. Конечно, это могут быть совпадения, но очень уж странные и очень их много. Так что, скорее всего, они были в курсе идеальных пропорций.

Сохранившиеся постройки древности тоже подчинены правилу золотого сечения

Совершенно точно то, что Леонардо да Винчи искал подтверждение этому принципу в строении человеческого тела. И, что самое интересное, нашел. Те лица и тела, которые кажутся нам красивыми, имеют пропорции, которые как раз и подчиняются закону золотого сечения.

Формальное определение звучит и просто, и сложно. Его связывают с двумя разными по размеру отрезками. Звучит этот принцип примерно так: если отрезок разделить на две неравные части, то это деление будет пропорциональным, если большая часть отрезка относится к целому так же, как и меньшая часть к большему. Будет понятнее, если посмотреть на иллюстрацию и формулу.

Принцип и формула золотого сечения

На рисунке целый отрезок разделен так, что если а разделить на b, получим 1,1618, та же цифра получается, если целый отрезок разделить на большую часть — a. Это число и есть воплощением идеальной пропорции. Теперь, если посмотрите на картинку с Парфеноном, пропорции этого строения также подчиняются указанному соотношению.

Ту же закономерность можно представить в виде процентов. Может, кому-то так проще. Для того, чтобы деление целого было пропорциональным, части должны составлять 62% и 38%. Возможно, так будет проще запомнить.

Последовательность Фибоначчи — не только математическая формула

Эту закономерность развил дальше математик Фибоначчи. Он разработал числовую последовательность, элементы которой, начиная с девятого, подчиняются тому же закону. Графическое изображение этой последовательности — спираль. Если присмотреться, и в природе, и в архитектуре, и в человеческом теле пропорции красоты присутствуют.

Как построить прямоугольник с идеальными пропорциями

Чтобы применять на практике полученную информацию, надо каким-то образом научиться делить пространство или строить его согласно этому закону. Для начала давайте научимся строить прямоугольник с идеальными пропорциями. За основу берем квадрат.

Построение прямоугольника с золотым сечением

Квадрат делим пополам, в одном из полученных прямоугольников проводим линию, которая соединяет противоположные углы. Дальше берем циркуль, ставим иголку в центр нижней стороны квадрата, откладываем длину полученной диагонали и отмечаем ее на линии, которая будет продолжением нижней стороны квадрата. Полученный прямоугольник имеет соотношение сторон 1,62 (это как раз то соотношение, которое и дает 62% и 38%).

Это явно неспроста. Хотя далеко не все подчиняется этой закономерности

Что еще интересно, что если вы начнете делить прямоугольник с соотношением сторон 1,62 на квадрат и прямоугольник, вы получите снова прямоугольник с идеальными пропорциями, но меньшего размера. Если вы его снова разделите по тому же принципу, будет еще одна пара квадрат+прямоугольник со сторонами, соотношение которых будет соответствовать золотому сечению. И так до тех пор, пока вы сможете проводить деление. Но что еще интереснее, в это деление отлично вписывается ряд Фибоначчи, который имеет вид раскручивающейся спирали. Иллюстрация на рисунке выше.

Как разделить отрезок по правилу золотого сечения

Это умение пригодится, например, при создании проекта дома, планировки, при разработке дизайна квартиры, расстановке мебели и т.д. Точно также может понадобиться при планировке участка, клумб, высадке растений и т.д. В общем, применяться может практически везде.

Ничего особенного, но взгляд не оторвать. Знаете почему?

Итак, порядок деления отрезка по правилу золотого сечения:

  • Берем отрезок, делим его пополам.
  • Из одного из концов восстанавливаем перпендикуляр (прямая под углом 90°), который длиной равен половине отрезка. На рисунке это отрезок BC.
  • Полученную точку C соединяем прямой с другим концом отрезка (A).
  • На отрезке AC ставим точку D. Она находится на расстоянии, равном длине отрезка . Проще всего это сделать при помощи циркуля, но можно и линейкой.
  • Замеряем длину отрезка AD (снова циркулем, либо линейкой). Такую же длину откладываем на отрезке AB. Получаем точку E.
  • Теперь, если измерить длины отрезков AE и EB и разделить их, получим то самое заветное число — 1,62.

Деление отрезка на участки с идеальным соотношением

Пару раз повторив процедуру, вы научитесь делать все буквально за считанные минуты. Если же вам надо, например, определить высоту окна, его форму, также можно воспользоваться данными пропорциями. По тому же принципу можно определять местоположение всех архитектурных элементов, их размеры. При планировании уже имеющихся объектов, деление проще проводить при помощи процентного соотношения. Тут уже либо считаете в уме, либо используете калькулятор.

Идеальный треугольник и пентаграмма

Идеальным называют равнобедренный треугольник, основание которого относится к длине стороны как 1/3. То есть, снова-таки соблюдается золотое сечение. Начертить треугольник с идеальным соотношением сторон несложно. Удобнее циркулем, но можно обойтись и линейкой.

Золотой треугольник, правило его построения и применение в создании интерьера, например


Построение такое. На прямой от точки A трижды откладываем отрезок произвольной длины. Эту длину обозначим O. Получаем точку B. Через нее проводим прямую, перпендикулярную отрезку AB. На этой линии в обе стороны от точки B откладываем величину O. Получаем две точки d и d1. Соединяем их с точкой A. Вот и получили треугольник, стороны которого относятся как 1,62. Проверить это можно, если отложить при помощи циркуля длину основания на боковой стороне (точка C). Вторая проверка — противолежащий угол составляет 36°.

Построение пентаграммы несколько сложнее. Ее вписываем в круг, без циркуля не обойтись.

  • Центр окружности обозначаем O, через него проводим прямую до пересечения с окружностью. Одну из точек пересечения обозначаем A. Отрезок OA — диаметр окружности.
  • Находим середину отрезка OD, ставим точку E. Из центра окружности вверх до пересечения с окружностью восстанавливаем перпендикуляр. Это точка D.
  • Соединяем точки E и D. При помощи циркуля откладываем на радиусе точку C. Отрезок СD равен длине отрезка ED. Циркулем замеряем длину отрезка ED. Иглу ставим в точку E, ведем грифель до пересечения с радиусом. Вот и получили точку C.
  • Длинна отрезка DC — сторона пентаграммы. Замеряем ее, при помощи циркуля переносим на окружность. Для этого циркулем с отложенным расстоянием ставим еще четыре точки на окружности, поочередно соединив их, получаем пентаграмму.

Вот что интересно, если вершины полученной пентаграммы использовать для прорисовки звезды, она будет состоять из идеальных треугольников.

Применение в строительстве

Как уже говорили, неизвестно кто открыл золотое сечение, но все, что кажется нам красивым, имеет именно такое соотношение сторон. Примеров в природе очень много. Если рассматривать известные здания, то и там тоже есть та же закономерность.

Исаакиевский собор — можете посчитать ради интереса

Если вы хотите, чтобы ваш дом внутри и снаружи был привлекательным, запоминался и нравился, при создании или выборе проекта можно просчитать хотя бы основные пропорции. Внести корректировки в пропорции, возможно, не всегда легко, часто связано с дополнительными расходами. Но, если при создании проекта сразу держать в уме золотое сечение, вопросы сами по себе отпадают. На самом деле не так уж это сложно.

Например, вы хотите дом площадью около 100 квадратных метров. Длинную сторону можно принять за 12 метров. Тогда короткая находится как 62% от длинной и составит 7,44 метра. Можно сделать 7 метров или 7,5, можно увеличить до 8. Точное, до сантиметра соблюдение размеров совсем не обязательно. Важно соотношение. А «на глаз» даже в приближении смотрится гармонично. Площадь застройки в таком случае получается несколько меньше — 90-96 квадратов. Если вам надо больше — берите длинную сторону равной 13 метрам и снова считайте. Вроде как применять золотое сечение при создании плана дома понятно.

Если основные параметры строения имеют правильную пропорцию, в любом стиле здание смотрится интересно

Высота этажа в таком случае принимается как 32% от длинной части. Она составит 12*0,32 = 3,84 метра. В принципе, это соответствует нынешним представлениям о комфортных габаритах помещения, но при желании можно сделать высоту меньше. Примерно также рассчитываются, подбираются все остальные фрагменты дома.

Не стоит забывать, что дом должен вписываться также в ландшафт. Если есть какая-то доминанта — высокий холм, например, то просчитывать надо и соотношение с холмом, и с пропорциями участка. В общем, для создания гармоничной усадьбы очень многие факторы надо учитывать.

Не только прямые линии можно использовать. Правда с изогнутыми поверхностями работать сложнее, да и обходятся они дороже — нестандартное устройство всегда более затратное

По такому же принципу разрабатывают внутреннюю планировку, стараясь по возможности соблюдать требуемое соотношение. Но еще раз повторим: по возможности. Не зацикливайтесь на точном соответствии до сантиметра. Важна общая тенденция.

Золотое соотношение во внутреннем оформлении

Что еще дает золотое сечение кроме визуального наслаждения? Психологи говорят, что в интерьере, созданном по этому правилу человек чувствует себя более комфортно. Это, конечно, субъективно, но можно попробовать. Итак, вот как интерпретируют правило золотого сечения в дизайне интерьеров:

  • Если вы собираетесь разделить комнату на зоны, воспользуйтесь правилом. Это значит, что одна из частей должна быть около 62%, вторая — 38%.
  • Площадь, занятая предметами мебели, не должна быть больше чем 2/3.
  • При подборе мебели руководствуемся правилом: каждый средний предмет по габаритам относится к крупным так же, как маленький к средним.
  • При выборе цвета придерживайтесь примерно тех же правил:
    • Основной цвет составляет порядка 2/3, все дополнительные и акцентный — 1/3. Цвета выбирают сочетающиеся по определенным правилам.
    • Второй вариант: 60% — основной цвет, 30% дополнительные и 10% — это акцентные.

      Пример подбора цвета по правилам правильной пропорциональности

      Относительно мебели правило кажется непонятным, но это только на первый взгляд. Например, подбираем группу отдыха. Крупный предмет в этом случае — диван или софа. Средний — журнальный или кофейный столик, кресла. Мелкие — аксессуары. Так вот, размеры журнального столика не должны быть больше длинной стороны дивана, кресла — не больше его короткой стороны. Аксессуары по размерам не больше размеров столика или кресел. В идеале, они соотносятся с ними как 62% и 38%.

      Пропорциональность — важная вещь

      Почему не указывается точное соотношение? Потому что, во-первых, найти такие предметы нереально. Во-вторых, золотое сечение — это не только 62% и 38%. Это еще и последовательность Фибоначчи, следование которой также делает оформление гармоничным. Есть люди, у которых следование этой последовательности является «встроенной функцией». Им не надо считать, они выбирают основываясь на чутье и интуиции. Но если проанализировать их выбор, пропорции будут близки к идеальным. Вот так.

      Золотое сечение в ландшафтном дизайне

      При создании ландшафта на участке, принцип идеальных пропорций применяют, называя его правилом треугольника. В композиции должна быть одна доминанта, остальные ее составляющие лишь подчеркивают, оттеняют ее. Например, на участке есть большое дерево и вы хотите его обыграть. Оно и будет центром композиции — доминантой. Нанесите его на план, расчертите клумбу или рокарий, альпинарий — то, что хотите сделать.

      Правило треугольника в садовом дизайне

      От главенствующего растения или камня, под прямым углом проведите две линии. На этих линиях надо будет высадить более низкие растения. Причем второе по высоте не должно быть выше чем 2/3 от высоты основного объекта. Третий объект — не выше чем 1/3. Дополняют композицию еще более низкорослыми насаждениями. Это коротко о том, как применять золотое сечение в планировке посадок.

      Но это не все. Растения надо подбирать по цветам — сочетание зелени разных оттенков, вкрапления цветов и декоративно-лиственных растений — все подчиняется тому же закону. Доминирующий оттенок составляет порядка 60%, дополнительные цвета — 30%, акценты — 10 %. Это если говорить о правилах подбора в одной группе. Но также надо согласовывать и весь план целиком — по размерам, высоте, цветам.

      Золотое сечение

      Под «правилом золотого сечения» в архитектуре и искусстве обычно понимаются асимметричные композиции, не обязательно содержащие золотое сечение математически.

      Есть основание считать, что значимость золотого сечения в искусстве преувеличена и основывается на ошибочных расчётах. Некоторые из таких утверждений:

      • Пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона якобы свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого сечения при их создании.
      • Согласно Ле Корбюзье, в рельефе из храма фараона Сети I в Абидосе и в рельефе, изображающем фараона Рамзеса, пропорции фигур соответствуют золотому сечению. В фасаде древнегреческого храма Парфенона также присутствуют золотые пропорции. В циркуле из древнеримского города Помпеи (музей в Неаполе) также заложены пропорции золотого деления, и т. д. и т. п.

      При обсуждении оптимальных соотношений сторон прямоугольников (размеры листов бумаги A0 и кратные, размеры фотопластинок (6:9, 9:12) или кадров фотоплёнки (часто 2:3), размеры кино- и телевизионных экранов — например, 3:4 или 9:16) были испытаны самые разные варианты. Оказалось, что большинство людей не воспринимает золотое сечение как оптимальное и считает его пропорции «слишком вытянутыми» [источник не указан 1237 дней] .

      Примеры сознательного использования

      Начиная с Леонардо да Винчи, многие художники сознательно использовали пропорции «золотого сечения». Российский зодчий Жолтовский также использовал золотое сечение в своих проектах [4] .

      • Известно, что Сергей Эйзенштейн искусственно построил фильм «Броненосец Потёмкин» по правилам золотого сечения, разбив ленту на пять частей (в первых трёх действие развивается на корабле, в двух последних — в Одессе), где переход в город происходит точно в точке золотого сечения. [источник?]
      • Предполагается, что, возможно, при возведении Пирамиды Хеопса также использован принцип «золотого сечения».

      См. также

      Примечания

      1. Радзюкевич А. В. Красивая сказка о «золотом сечении»
      2. Mario Livio, The Golden Ratio: The Story of Phi, The World’s Most Astonishing Number
      3. Devlin’s Angle, The Myth That Will Not Go Away
      4. Золотой запас зодчества

      Литература


      • Бендукидзе А. Д.Золотое сечение «Квант» № 8, 1973.
      • Васютинский Н. А. Золотая пропорция. — М.: Молодая гвардия, 1990. — 238[2]c. — (Эврика).
      • Шмигевский Н. В. Формула совершенства // Страна знаний. — 2010. — № 4. — С.2-7.
      • Сабанеев Л. Л. Этюды Шопена в освещении закона золотого сечения. Опыт позитивного обоснования законов формы // Искусство. — 1925. — № 2. — С. 132—145; 1927. — № 2-3. — С. 32-56.

      Ссылки

      Golden ratio на Викискладе ?
      • В. С. Белянин, «Владел ли Платон кодом золотой пропорции? Анализ мифа»
      • В. Лаврус, Золотое сечение
      • Статья о золотом сечении в изобразительном искусстве, Золотое сечение в изобразительном искусстве
      Числа с собственными именами
      Вещественные Пи • Золотое сечение • Серебряное сечение • e (число Эйлера) • Постоянная Эйлера — Маскерони • Постоянные Фейгенбаума • Постоянная Гельфонда • Константа Бруна • Постоянная Каталана • Постоянная Апери
      Натуральные Чёртова дюжина • Число зверя • Число Рамануджана — Харди • Число Грэма • Число Скьюза • Число Мозера
      Степени десяти Мириада • Гугол • Асанкхейя • Гуголплекс
      Степени тысячи Тысяча • Миллион • Миллиард • Биллион • Триллион • Квадриллион • … • Центиллион
      Степени двенадцати Дюжина • Гросс • Масса

      Wikimedia Foundation . 2010 .

      Смотреть что такое «Золотое сечение» в других словарях:

      ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ — (золотая пропорция, деление в крайнем и среднем отношении, гармоническое деление), деление отрезка АС на две части таким образом, что большая его часть АВ относится к меньшей ВС так, как весь отрезок АС относится к АВ (то есть АВ : ВС = АС : АВ) … Научно-технический энциклопедический словарь

      ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ — (золотая пропорция, деление в крайнем и среднем отношении, гармоническое деление), деление отрезка AC на две части таким образом, что большая его часть AB относится к меньшей BC так, как весь отрезок AC относится к AB (то есть AB:BC=AC:AB).… … Современная энциклопедия

      ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ — (золотая пропорция деление в крайнем и среднем отношении, гармоническое деление), деление отрезка АС на две части таким образом, что большая его часть АВ относится к меньшей ВС так, как весь отрезок АС относится к АВ (т. е. АВ : ВС = АС : АВ).… … Большой Энциклопедический словарь

      Золотое сечение — (золотая пропорция), деление в крайнем и среднем отношении, гармоническое деление, деление отрезка АС на две части таким образом, что большая его часть АБ относится к меньшей ВС так, как весь отрезок АС относится к АБ (то есть… … Художественная энциклопедия

      Золотое сечение — (золотая пропорция, деление в крайнем и среднем отношении, гармоническое деление), деление отрезка AC на две части таким образом, что большая его часть AB относится к меньшей BC так, как весь отрезок AC относится к AB (то есть AB:BC=AC:AB).… … Иллюстрированный энциклопедический словарь

      золотое сечение — сущ., кол во синонимов: 3 • гармоническое деление (1) • пропорция (5) • число фидия … Словарь синонимов

      Золотое сечение — издревле используется при нахождении максимально уравновешенных пропорций между архитектурными частями зданий или частями архитектурных сооружений. Принцип Золотого сечения заключается в следующем: деление целого на две неравные части… … Словарь строителя

      ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ — см. Фехнер Г. Т. Большой психологический словарь. М.: Прайм ЕВРОЗНАК. Под ред. Б.Г. Мещерякова, акад. В.П. Зинченко. 2003 … Большая психологическая энциклопедия

      золотое сечение — — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом EN golden section … Справочник технического переводчика

      Золотое сечение — деление отрезка или площади на части в таком соотношении, при котором меньшая часть относится к большей, как большая ко всему отрезку (площади) в целом. Приблизительно может быть выражено дробью 21/34 (0,618) … Издательский словарь-справочник

      ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ — (золотая пропорция, деление в крайнем и среднем отношениях, гармоническое деление) деление отрезка на две части, при котором длина всего отрезка относится к большей части, как большая к меньшей. Уравнение «золотого сечения» … Большая политехническая энциклопедия

      ЧТО ТАКОЕ ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ

      ЧТО ТАКОЕ ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ

      Что такое Золотое Сечение? Что такое Золотая Пропорция? Это одно и то же, просто кто и как больше любит называть.

      Попробую в публицистической манере, просто, по-житейски ответить на вопросы, которые часто задают люди, в частности слушатели моих курсов.

      Для начала просто полезно знать, что в интернете, объективно, запросов на Золотое Сечение в десять раз больше чем на Золотую Пропорцию, но при этом есть специалисты, которые считают определение — Золотое Сечение — вообще ошибочным, искажающим суть данной пропорции и не имеющее права на жизнь.

      Что такое Золотое Сечение или Золотая Пропорция простыми словами? В примитиве, это отношение одной части, чего либо, к другой с коэффициентом 1,618 (это 61,8%), или 62% на 38%, грубо принято округлять 60% на 40% .

      Важно понимать, что в Золотой Пропорции «части» всегда три, третье – это целое (100%).

      Классическое определение Золой Пропорции: меньшее относится к большему так, как большее относится к целому, с коэффициентом 1,618.

      Что такое число ФИ? Это и есть этот самый коэффициент 1,618 между двумя частями. Он показывает, на сколько одна часть отличается от другой. Золотое Число — так часто называют этот коэффициент.

      Золотое Сечение – Пропорция Гармонии Природы. Золотое Сечение в Природе проявится во всём, если поискать. Даже можно сказать, если есть Золотая Пропорция с рядом проявлений своих свойств, то есть «жизнь», и есть Природная красота.

      Формула Золотого Сечения, Золотое Сечение в математике – это раскрытие в цифрах закономерностей проявлений отношения частей в Природе. Основные формулы проявлений Золотого Сечения есть даже в детских учебниках.

      Гуманитарных объяснений смысла Золотого Сечения, в глубоком смысле, значительно меньше и они часто овеяны вековыми тайнами, но это время осталось в прошлой эпохе, теперь выявлена простота на уровне букваря.

      Золотое Сечение Фибоначчи, Золотая пропорция Фибоначчи, или Ряд Фибоначчи . Это проявление шагов Золотой пропорции в целых числах , которая становится точной 62% на 38%, или 1,618 — только к десятому шагу . По шагу Фибоначчи изменяется вся Природа, растут веточки, листики, плодятся кролики, насекомые и т.д.

      Опять уточню, что детские учебники красочно показывают это.

      Главное надо знать, что начиная с 0 и 1, все дальнейшие цифры – это сумма двух последних … 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55…

      Поскольку в Природе всё начинается с двух единиц, то соответственно к любому числу из ряда надо прибавлять – 1, например, 21 – это не 21, а 21 +1 (коварное очко и не только очко, но и любое число из ряда). То есть, если нам надо 21 яблоко, то с точки зрения Природы, по ряду Фибоначчи, их надо взять 22 = 21 + 1. Всегда на одну единицу больше.

      Эта, на первый взгляд, странная тонкость, имеет принципиальное значение для поиска «постоянных» и «переменных» состояний . Например, какая зарплата нас удовлетворит, или сколько яблок надо купить, чтобы быть довольным. Купив «постоянное» количество (из ряда Фибоначчи) – будешь удовлетворён, даже если купил меньше планируемого.

      Золотое Сечение Леонардо да Винчи. Так часто люди отождествляют гения и пропорцию. Да, это справедливо, хотя, намного раньше, по ходу истории, разные цивилизации использовали Пропорцию Бога, это и шумеры, и египтяне…

      Мы привыкли, что Золотое Сечение в архитектуре, это удел специалистов, и то редких, или сумасшедших гениев. Это ошибка. Любому человеку, даже детям, надо знать элементарные проявления закона Золотого Сечения – базовые приёмы Природоподобных Технологий, как таблицу умножения.

      Это позволит в психологии понимать причино-следственность поступка в программном смысле, а также это позволит легко ориентироваться в городе на предмет зданий, несущих положительные состояния или за городом, на дачном участке на предмет получения удовлетворения от пребывания на природе и от ведения хозяйства. Золотое Сечение в Природе и Золотое Сечение в доме, станут одинаково положительно влиять на ощущения.

      Теперь пару слов о Золотом Сечении в искусстве . Хорошо когда произведение искусства завораживает. Завораживать может только «жизнь», проявленная в произведении, которая включается исключительно проявлениями Золотого Сечения, то есть Природоподобия.

      Есть интересный пример проявления Золотого Сечения в фотографии. Стоит взять по Природоподобию «правильные» размеры рамки, самой фотографии и изображения, то одна и та же фотография, которая только что была скучной, вдруг заживёт притягательной магией .

      В итоге, еще раз повторю, Золотая Пропорция – это выключатель или включатель всей полноты Природоподобия, Гармонии, Красоты, Жизни — с больших букв: равновесия, сил, здоровья, удовлетворения, доходности, счастья и любви. Собственно, это и есть маркер Любви. Причина этого в том, что правило Золотой Пропорции отражает мирозданческий принцип Триединства, но об этом я расскажу в другой статье.

      Руководство по эксплуатации: Золотое сечение

      Золотое сечение – это простой принцип, который поможет сделать дизайн приятным для визуального восприятия. В этой статье мы подробно расскажем как и зачем его использовать.

      Распространенная в природе математическая пропорция, называемая Золотое сечение, или Золотая середина, основана на Последовательности Фибоначчи (о которой вы, скорее всего, слышали в школе, или читали в книге Дэна Брауна «Код да Винчи»), и подразумевает под собой соотношение сторон 1:1,61.

      Такое соотношение сплошь и рядом встречается в нашей жизни (ракушки, ананасы, цветы и т.д.) и поэтому воспринимается человеком как нечто естественное, приятное взгляду.

      Считается, что Золотое сечение используется человечеством в искусстве и дизайне уже более 4 тысяч лет, а возможно даже больше, если верить ученым, которые утверждают, что древние Египтяне использовали этот принцип при строительстве пирамид.

      Как мы уже говорили, Золотое сечение можно видеть на протяжении всей истории искусства и архитектуры. Вот некоторые примеры, которые только подтверждают обоснованность использования этого принципа:

      В древнегреческой архитектуре Золотое сечение использовалось для вычисления идеальной пропорции между высотой и шириной здания, размеров портика, и даже расстояния между колоннами. В дальнейшем, этот принцип был унаследован архитектурой неоклассицизма.

      Искусство: Тайная вечеря

      Для художников композиция – основа основ. Леонардо да Винчи, как и многие другие художники, руководствовался принципом Золотого сечения: в Тайной Вечере, к примеру, фигуры учеников расположены в нижних двух третях (большее из двух частей Золотого сечения), а Иисус помещен строго по центру между двумя прямоугольниками.

      Веб-дизайн: редизайн Twitter в 2010

      Креативный директор Twitter Дуг Боуман (Doug Bowman) опубликовал скриншот в своем аккаунте Flickr, объясняя использование принципа Золотого сечения для редизайна 2010 года. «Все, кто интересуется #NewTwitter пропорциями – знайте, все сделано не просто так», сказал он.

      Иконка сервиса iCloud тоже совсем не случайный набросок. Как объяснил Такамаса Мацумото в своем блоге (оригинальная японская версия здесь) все построено на математике Золотого сечения, анатомию которого можно увидеть на рисунке справа.

      Как построить Золотое сечение?

      Построение происходит довольно просто, и начинается с основного квадрата:

      Нарисуйте квадрат. Это сформирует длину “короткой стороны” прямоугольника.

      Разделите квадрат пополам вертикальной линией так, чтобы получились два прямоугольника.

      В одном прямоугольнике нарисуйте линию, объединив противоположные углы.


      Разверните эту линию горизонтально так, как это показано на рисунке.

      Создайте еще один прямоугольник, используя горизонтальную линию, которую вы рисовали в предыдущих шагах как основу. Готово!

      Если чертить и вымерять не ваше любимое занятие, предоставьте всю «черную работу» инструментам, которые разработаны специально для этого. С помощью представленных ниже 4-х редакторов вы легко найдете Золотое сечение!

      Приложение GoldenRATIO помогает разрабатывать веб-сайты, интерфейсы и макеты в соответствии с Золотым Сечением. Оно доступно в Mac App Store за $ 2,99, и имеет встроенный калькулятор с визуальной обратной связью, и удобную функцию «Избранное», в которой хранятся настройки для повторяющихся задач. Совместимо с Adobe Photoshop.

      Этот калькулятор, который поможет вам создать идеальную типографику для сайта в соответствии с принципами Золотой пропорции. Просто введите размер шрифта, ширину содержимого в поле на сайте, и нажмите «Set my type»!

      Это простое и бесплатное приложение для Mac и PC. Просто введите число, и он рассчитает для него пропорцию в соответствии с правилом Золотого сечения.

      Удобная программа, которая избавит вас от необходимости расчетов и рисования сеток. С ней найти идеальные пропорции проще простого! Работает со всеми графическими редакторами, в том числе и Photoshop. Несмотря на то, что инструмент платный – 49$, есть возможность протестировать пробную версию в течение 30 дней.

      15 примеров золотого сечения в архитектуре

      Примеры золотого сечения в архитектуре найти можно везде, когда умеешь его видеть. Выяснить это даже школьнику по силам. В 2013 году ученица 10 класса Сивакова Елена провела собственное исследование зданий 19-20 веков. Проследим, как она это сделала, и научимся видеть и определять его в архитектурных сооружениях за 5 минут. После прочтения статьи не останется вопросов о том, что это такое, и можно ли его необычные свойства использовать в своей жизни.

      7+ примеров золотого сечения в архитектуре России

      Санкт-Петербург

      Здания исторического центра Санкт-Петербурга построены в разных архитектурных стилях, таких как барокко, классицизм, ампир, эклектика, необарокко, неоготика. Подчиняются ли они золотому правилу?

      Исаакиевский собор

      Придворный архитектор Александра I Огюст Монферран строил этот собор с 1819 по 1858 гг. Стиль позднего классицизма, в котором уже проявлены черты неоренессанса и эклектики. Елена задалась вопросом: «В чём же причина гармонии довольно громоздкого здания?»

      Свой поиск она начала, как рекомендуется в методике профессора Московского архитектурного института Ю.Н.Герасимова, с фасада собора. На чертеже просматриваются три ряда Золотого сечения.

      Первый ряд определён шириной здания, которая принята за 400 ед. и представляет такие цифры 400, 247, 153, 94, 58…

      Если 400 разделим на число ≈1,618, то получим приблизительно 247; повторяем действие со следующим числом: 247: 1.618≈153.

      И так находим все числа. Теперь смотрим на рисунок. Основная часть с колоннами вписывается в прямоугольник со сторонами 400 и 247. Поскольку стороны находятся в соотношении Ф≈1.618, то они образуют Золотой прямоугольник.

      Следующий ряд представлен высотой здания: 370, 228, 140, 87, 53, 33, 20, 12. Эти размеры заложены в более мелкие детали. По вертикали Исаакиевский собор делится Золотым сечением у основания купола, что делает соотношение основной части и купола гармоничным.

      Третий ряд размеров начинается со 113, и являет ширину основания главного купола: 113, 69, 42, 26, 16. Числа этого ряда встречаются в размерах окон, в высотах колонн и других деталей собора.

      Золотые прямоугольный и равнобедренный треугольники имеют место в здании Исаакиевского собора, как видно из рисунка.

      Кунсткамера

      На Университетской набережной Васильевского острова стоит здание Кунсткамеры, заложенное в 1718 году под руководством немецкого архитектора Георга Маттарнови: Петровское барокко, два 3-этажных корпуса и сложная многоярусная купольная башня.

      Исследование начинается с главных величин: высоты и длины здания, от которых строится золотой ряд. Длина — 450 ед., далее 277, 170, 105, 65, 40, 24. Такие размеры можно видеть в высоте и широте разных уровней башни, длине корпусов. Сама башенная часть вписана в золотой равнобедренный треугольник от основания до вершины. Золотое сечение просматривается в большей степени именно в этом главном элементе, что правильно с точки зрения архитектуры. Вывод: основа Кунсткамеры подчиняется золотому правилу и сохраняет композиционную гармоничность.

      Новый золотой ряд начинает высота здания: 211, 130, 80, 49, 30. Глядя на размеры чертежа, становиться понятно, что выбор трёхэтажного вида корпусов обусловлен соразмерностью с башней.

      Торговый дом «Эсдерс и Схейфальс» на пересечении Мойки и Гороховой

      Построено в 1907 году по проекту Владимира Александровича Липского и Константина Николаевича де Рошефора (Рошфора). В 1905 г. бельгиец С. Эсдерс и нидерландец Н. Схейфальс подали прошение о разрешении построить пятиэтажное здание с куполом и шпилем на угловой башне для их торгового дома вместо старого.

      С длины здания в 671 ед. начинается ряд Золотого сечения, наблюдаемого в размерах: 671, 414, 256, 158, 98, 60, 37, 23. Обращаем внимание на основной элемент — шпиль. Убеждаемся, что композиционное решение завершено гармоничным сочетанием высотных величин.

      Дом Советов на Московской площади

      Построен в 1941г по проекту Ноя Абрамовича Троцкого. Здание советского периода рассматривают как творческую интерпретацию классики. Центральный портик с четырнадцатью колоннами завершает скульптурный ансамбль на тему строительства социализма и гербом Российской Советской Федеративной Социалистической Республики.

      По бокам симметрично расположены пятиэтажные корпуса. Длина Дома достигает 1472 ед., из которого методом деления на число Ф получается ряд размеров элементов здания: 1472, 909, 562, 34, 214, 132, 81, 50 (Приложение 21): высоты сооружения, высоты входа и др.

      Вершина Золотого равнобедренного треугольника совпадает с вершиной здания, а его стороны проходят через вехние точки главного входа. Прямоугольный золотой треугольник образован вершинами в верхушке здания и в конце внутренней части бокового крыла. Пропорциональность очевидна, хотя и не имеет большой композиционной значимости.

      Москва

      Московский Государственный Университет на Воробьёвых горах

      Над его проектом работал коллектив под управлением Б.М.Иофана, которого позже сместили с должности главного архитектора. Образец послевоенной советской архитектуры выстроен с 1949 по 1953 годы.

      Б.М.Иофан предложил композицию из пяти составляющих с центральной башней. В годы строительства это было самое высокое здание в Европе.

      Длина здания равна 1472 ед. и начинает ряд: 909, 562, 347, 214, 132, 81, 50. Золотому сечению подчиняются, в основном высотные размеры. Из ширины башни проистекает другой ряд: 538, 332, 205, 126, который видим в широтных размерах.

      Золотой прямоугольный треугольник гипотенузой проходит через угол здания и захватывает пристройки.

      Таким образом, во всех исследуемых зданиях ученица обнаружила Золотое сечение, сохраняющее гармонию.

      5 примеров дополнительно

      Чтобы упростить задачу поиска ЗС, можно брать рациональные дроби 3/2; 5/3; 8/5; 13/8; 21/13; 34/21; 55/34; 89/55; и так дальше. Закономерность ясна: 3+2 =5; 5+3=8; 8+5=13… Или ещё проще. Сделайте себе циркуль для определения пропорции по инструкции в видео. Времени уйдет минут 10. Как пользоваться этим циркулем для определения пропорциональности элементов тоже расскажут и покажут.

      Применяя этот способ, находим золотую пропорцию русского зодчего Матвея Казакова в кремлёвском здании сената, да и во всех остальных работах: Пречистенском дворце в Москве, Благородном собрании, Голицынской больнице (им. Пирогова)…

      Созданный другим великим архитектором Василием Ивановичем Баженовым дом Пашкова в Москве (Российская государственная библиотека) причисляют к образцам совершенных архитектурных памятников, в котором легко определить ЗС.

      Ужасный символ Парижа и золотое сечение

      Когда в Париже собирали металлическую Эйфелеву башню, многие французы возмущались. Критики писали о ней, как об «уродстве города», «сраме Парижа», «тощей пирамиде из металлических лестниц». В их числе были Эмиль Золя, Дюма-младший, Ги де Мопассан. Сейчас этот самый посещаемый памятник является гордостью парижан. Может быть виной тому «божественная» пропорция?

      Она же наблюдается и самом знаменитом французском соборе Нотр-Дам-Де-Пари.

      Вся правда о древних строителях

      Интуитивно или сознательно великие архитекторы строили здания с учётом этих пропорций? Античные математики знали о золотом сечении со времён Пифагора. Находятся всё новые подтверждения его применения в архитектурных пропорциях. Однако не найти ни одной древней записи с прямой рекомендацией использовать “божественную пропорцию”. Нет таковой и у Витрувия (I век до н. э.), написавшего «Десять книг об архитектуре», в которых он рассматривал пропорциональности в том числе. Странный факт, не правда ли?

      Может все выше приведённые исследования являются подгонкой под известный результат? Не так сложно выбрать из множества архитектурных элементов те, которые подтверждают гипотезу, т. к. абсолютной точности никто не требует. Логично задуматься над вопросом: «Что если греки НЕ применяли золотое сечение?»

      Собственно говоря, и для Луки Пачоли, написавшего в 1509 году труд «Божественная пропорция», не столь важно было его прикладное значение. Важно было обосновать её мистическую природу. А применять его осознанно стали только с момента издания книги.

      Тайна архитектуры Древней Греции

      Красивые и гармоничные объекты всегда отвечают правилу ЗС, а при анализе величин определяется эта пропорциональность. Искусствоведы внимательно изучили греческий Парфенон, возведённый в честь победы над персами — храм богини Афины. Отношение длины храма к ширине даёт золотое число с маленькой погрешностью. Если отнять от длины сооружения 14 см и прибавить к ширине, то получится полное совпадение с математической величиной. Фасад здания немного сужается кверху, отклоняется от прямоугольной формы. Учитывая визуальное восприятие, сделано это строителями сознательно. Поэтому считать его прямоугольником золотого сечения не совсем корректно. Но пропорции соблюдаются, так что логично предположить, что архитекторы Иктин и Калликрат умышленно заложили правило в проект?

      Мифы и диковинные факты о пирамиде

      Пирамида Хеопса также выстроена с учётом этого условия. Не вдаваясь в математическое доказательство наличия золотой формулы, скажем только, что в нём присутствуют прямоугольный золотой треугольник, сторонами которого являются высота и половина стороны основания строения. Ничего удивительного?

      Но тогда возникает вопрос об уровне древнеегипетской математики. Выходит, что теорема Пифагора была им известна за два тысячелетия до рождения самого учёного. Внимание привлекает факт, что наследники Хеопса строили свои пирамиды уже с другими пропорциями. Почему?

      Установлено, что сооружения пирамидальной формы с ЗС оказывают на находящихся в них феноменальное воздействие: растения лучше растут, металлы становятся прочнее, вода долго остаётся свежей. Учёные много лет работают с этими загадками, но тайна остаётся.

      Замечено, что пирамида приводит структуру пространства в слаженное состояние. Всё, что попадает в зону действия, тоже организуется подобным образом: психоэмоциональное состояние людей улучшается, вредные для человека излучения уменьшаются, исчезают геопатогенные зоны. Интернет утверждает, что если размер фигуры увеличивается в два раза, то влияние пирамиды усиливается в сто раз.

      Как же всё-таки построить «Золотой» дом для себя?

      Правильное распределение энергий внутри дома, гармоничные конструкции в сочетании с экологией и безопасностью строительных материалов побуждают современных архитекторов и дизайнеров использовать принципы и понятия Золотого сечения. Это увеличивает смету и создаёт впечатление глубокой проработки проекта. Стоимость возрастает на 60-80%.

      Для талантливых художников и архитекторов правило сохраняется интуитивно во время творческого процесса. Однако некоторые из них сознательно реализуют это положение.

      В природе подобная соразмерность встречается везде. Тот, кто чувствует гармонию пространства, создаст пропорциональное здание без специальных для этого усилий.


      Например, наши предки строили хоромы соразмерные человеку. Мерили высоту и длину в саженях, локтях, аршинах, пядях. Никто не возражает, что в человеческом теле соблюдена золотая пропорция? Длина руки от кончиков пальцев до подмышки относится к расстоянию от той же точки до локтя как эта величина к размеру ладони.

      Известный французский архитектор Ле Корбюзье для расчёта параметров будущего дома и интерьера использовал в качестве отправной единицы рост хозяина. Все его работы по-настоящему индивидуальны и гармоничны.

      5 способов соблюдать правило в интерьере

      1. В доме, построенном без учёта соотношения, можно сделать перепланировку комнат, чтобы пропорции соответствовали.
      2. Иногда достаточно переставить мебель или сделать дополнительную перегородку.
      3. Аналогичным образом меняется высота и длина окон и дверей.
      4. В цветовом оформлении получение упрощённого соотношения достигается за счёт 60% основного цвета, 30% — оттеняющего, и остальных 10% — усиливающих восприятие тонов.
      5. Высота и длина мебели должна соизмеряться высотой потолков и шириной простенков.

      Приложение этой нормы в интерьере, как архитектурно оформленном пространстве, объединяют с понятиями самоорганизации, рекурсии, асимметрии, красоты.

      О золотом сечении простыми словами

      Что же это такое? Отрезки золотой пропорции выражаются бесконечной иррациональной дробью, десятичное значение которой равно приближённо числу Ф≈1,618 или Ф≈1,62. Другими словами: если берём целое и делим его на две части так, что одна из них составляет 62%, а другая — 38%, получаем Золотую пропорцию.

      Золотой прямоугольник: когда длину большей стороны делим на длину меньшей и получаем число Ф. При делении меньшей на большую получается обратное значение φ ≈ 0,618.

      Золотой равнобедренный треугольник: если отношение размера одной боковой стороны и размера основания составляет золотое число Ф; угол между равными сторонами равен 36°.

      Золотой прямоугольный треугольник Кеплера объединяет в себе теорему Пифагора и ЗС: соотношение квадратов его сторон составляет 1,618.

      Оцените полезность статьи, поделитесь с друзьями и добавьте в закладки, чтобы было легко найти.

      ВВЕДЕНИЕ

      Людей с давних времён волновал вопрос, подчиняются ли такие неуловимые вещи как красота и гармония каким-либо математическим расчётам. Конечно, все законы красоты невозможно вместить в несколько формул, но, изучая математику, мы можем открыть некоторые слагаемые прекрасного — золотое сечение. Наша задача — узнать что же такое золотое сечение и установить — где человечество нашло применение золотого сечения.

      Вы, наверное, обращали внимание, что мы неодинаково относимся к предметам и явлениям окружающей действительности. Безпорядочность, безформенность, несоразмерность воспринимаются нами как безобразное и производят отталкивающее впечатление. А предметы и явления, которым свойственна мера, целесообразность и гармония, воспринимаются как красивое и вызывают у нас чувство восхищения, радости, поднимают настроение.

      Человек в своей деятельности постоянно сталкивается с предметами, имеющими в своей основе золотое сечение. Есть вещи, которые нельзя объяснить. Вот вы подходите к пустой скамейке и садитесь на нее. Где вы сядете? Посередине? Или, может быть, с самого края? Нет, скорее всего, не то и не другое. Вы сядете так, что отношение одной части скамейки к другой относительно вашего тела будет равно примерно 1,62. Простая вещь, абсолютно инстинктивная. Садясь на скамейку, вы воспроизвели «золотое сечение».

      О золотом сечении знали еще в древнем Египте и Вавилоне, в Индии и Китае. Великий Пифагор создал тайную школу, где изучалась мистическая суть «золотого сечения». Евклид применил его, создавая свою геометрию, а Фидий — свои бессмертные скульптуры. Платон рассказывал, что Вселенная устроена согласно «золотому сечению». Аристотель нашел соответствие «золотого сечения» этическому закону. Высшую гармонию «золотого сечения» будут проповедовать Леонардо да Винчи и Микеланджело, ведь красота и «золотое сечение» — это одно и то же. А христианские мистики будут рисовать на стенах своих монастырей пентаграммы «золотого сечения», спасаясь от Дьявола. При этом учёные — от Пачоли до Эйнштейна — будут искать, но так и не найдут его точного значения. Безконечный ряд после запятой — 1,6180339887. Странная, загадочная, необъяснимая вещь — эта божественная пропорция мистическим образом сопутствует всему живому. Неживая природа не знает, что такое «золотое сечение». Но вы непременно увидите эту пропорцию и в изгибах морских раковин, и в форме цветов, и в облике жуков, и в красивом человеческом теле. Всё живое и всё красивое — всё подчиняется божественному закону, имя которому — «золотое сечение». Так что же такое «золотое сечение»? Что это за идеальное, божественное сочетание? Может быть это закон красоты? Или всё-таки он — мистическая тайна? Научный феномен или этический принцип? Ответ неизвестен до сих пор. Точнее — нет, известен. «Золотое сечение» — это и то, и другое, и третье. Только не по отдельности, а одновременно. И в этом его подлинная загадка, его великая тайна.

      Наверное, трудно найти надёжную меру для объективной оценки самой красоты, и одной логикой тут не обойдешься. Однако здесь поможет опыт тех, для кого поиск красоты был самим смыслом жизни, кто сделал это своей профессией. Это, прежде всего, люди искусства, как мы их называем: художники, архитекторы, скульпторы, музыканты, писатели. Но это и люди точных наук, прежде всего, — математики.

      Доверяя глазу больше, чем другим органам чувств, Человек в первую очередь учился различать окружающие его предметы по форме. Интерес к форме какого-либо предмета может быть продиктован жизненной необходимостью, а может быть вызван красотой формы. Форма, в основе построения которой лежит сочетание симметрии и золотого сечения, способствует наилучшему зрительному восприятию и появлению ощущения красоты и гармонии. Целое всегда состоит из частей, части разной величины находятся в определённом отношении друг к другу и к целому. Принцип золотого сечения — высшее проявление структурного и функционального совершенства целого и его частей в искусстве, науке, технике и природе.

      ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ — ГАРМОНИЧЕСКАЯ ПРОПОРЦИЯ

      В математике пропорцией называют равенство двух отношений:

      Отрезок прямой АВ можно разделить на две части следующими способами:

      • на две равные части — АВ:АС=АВ:ВС;
      • на две неравные части в любом отношении (такие части пропорции не образуют);
      • таким образом, когда АВ:АС=АС:ВС.

      Последнее и есть золотое деление (сечение).

      Золотое сечение — это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей, другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему

      Геометрическое изображение золотой пропорции

      Практическое знакомство с золотым сечением начинают с деления отрезка прямой в золотой пропорции с помощью циркуля и линейки.

      Деление отрезка прямой по золотому сечению. BC=1/2AB; CD=BC

      Из точки В восставляется перпендикуляр, равный половине АВ. Полученная точка С соединяется линией с точкой А. На полученной линии откладывается отрезок ВС, заканчивающийся точкой D. Отрезок AD переносится на прямую АВ. Полученная при этом точка Е делит отрезок АВ в соотношении золотой пропорции.

      Отрезки золотой пропорции выражаются безконечной дробью AE=0,618. если АВ принять за единицу, ВЕ=0,382. Для практических целей часто используют приближенные значения 0,62 и 0,38. Если отрезок АВ принять за 100 частей, то большая часть отрезка равна 62, а меньшая 38 частям.

      Свойства золотого сечения описываются уравнением:

      Решение этого уравнения:

      Свойства золотого сечения создали вокруг этого числа романтический ореол таинственности и чуть ли не мистического поколения. К примеру, в правильной пятиконечной звезде, каждый сегмент делится пересекающим его сегментом в пропорции золотого сечения (т.е. отношение синего отрезка к зелёному, красного к синему, зелёного к фиолетовому, равны 1.618).

      ВТОРОЕ ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ

      Болгарский журнал «Отечество» опубликовал статью Цветана Цекова-Карандаша «О втором золотом сечении», которое вытекает из основного сечения и даёт другое отношение 44: 56.

      Такая пропорция обнаружена в архитектуре.

      Построение второго золотого сечения

      Деление осуществляется следующим образом. Отрезок АВ делится в пропорции золотого сечения. Из точки С восставляется перпендикуляр СD. Радиусом АВ находится точка D, которая соединяется линией с точкой А. Прямой угол АСD делится пополам. Из точки С проводится линия до пересечения с линией AD. Точка Е делит отрезок AD в отношении 56:44.

      Деление прямоугольника линией второго золотого сечения

      На рисунке показано положение линии второго золотого сечения. Она находится посередине между линией золотого сечения и средней линией прямоугольника.

      ЗОЛОТОЙ ТРЕУГОЛЬНИК (пентаграмма)

      Для нахождения отрезков золотой пропорции восходящего и нисходящего рядов можно пользоваться пентаграммой.

      Построение правильного пятиугольника и пентаграммы

      Для построения пентаграммы необходимо построить правильный пятиугольник. Способ его построения разработал немецкий живописец и график Альбрехт Дюрер. Пусть O — центр окружности, A — точка на окружности и Е — середина отрезка ОА. Перпендикуляр к радиусу ОА, восставленный в точке О, пересекается с окружностью в точке D. Пользуясь циркулем, отложим на диаметре отрезок CE=ED. Длина стороны вписанного в окружность правильного пятиугольника равна DC. Откладываем на окружности отрезки DC и получим пять точек для начертания правильного пятиугольника. Соединяем углы пятиугольника через один диагоналями и получаем пентаграмму. Все диагонали пятиугольника делят друг друга на отрезки, связанные между собой золотой пропорцией.

      Каждый конец пятиугольной звезды представляет собой золотой треугольник. Его стороны образуют угол 36 0 при вершине, а основание, отложенное на боковую сторону, делит её в пропорции золотого сечения.

      Проводим прямую АВ. От точки А откладываем на ней три раза отрезок О произвольной величины, через полученную точку Р проводим перпендикуляр к линии АВ, на перпендикуляре вправо и влево от точки Р откладываем отрезки О. Полученные точки d и d1 соединяем прямыми с точкой А. Отрезок dd1 откладываем на линию Ad1, получая точку С. Она разделила линию Ad1 в пропорции золотого сечения. Линиями Ad1 и dd1 пользуются для построения «золотого» прямоугольника.

      Построение золотого треугольника

      ИСТОРИЯ ЗОЛОТОГО СЕЧЕНИЯ

      Принято считать, что понятие о золотом делении ввёл в научный обиход Пифагор, древнегреческий философ и математик. Есть предположение, что Пифагор своё знание золотого деления позаимствовал у египтян и вавилонян.

      И действительно, пропорции пирамиды Хеопса, храмов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого деления при их создании. Французский архитектор Ле Корбюзье нашёл, что в рельефе из храма фараона Сети I в Абидосе и в рельефе, изображающем фараона Рамзеса, пропорции фигур соответствуют величинам золотого деления. Зодчий Хесира, изображённый на рельефе деревянной доски из гробницы его имени, держит в руках измерительные инструменты, в которых зафиксированы пропорции золотого деления.

      Греки были искусными геометрами. Даже арифметике обучали своих детей при помощи геометрических фигур. Квадрат Пифагора и диагональ этого квадрата были основанием для построения динамических прямоугольников.

      Динамические прямоугольники

      Платон также знал о золотом делении. Пифагореец Тимей в одноимённом диалоге Платона говорит: «Невозможно, чтобы две вещи совершенным образом соединились без третьей, так как между ними должна появиться вещь, которая скрепляла бы их. Это наилучшим образом может выполнить пропорция, ибо если три числа обладают тем свойством, что среднее так относится к меньшему, как большее к среднему, и, наоборот, меньшее так относится к среднему, как среднее к большему, то последнее и первое будет средним, а среднее — первым и последним. Таким образом, всё необходимое будет тем же самым, а так как оно будет тем же самым, то оно составит целое». Земной мир Платон строит, используя треугольники двух сортов: равнобедренные и неравнобедренные. Прекраснейшим прямоугольным треугольником он считает такой, в котором гипотенуза вдвое больше меньшего из катетов (такой прямоугольник является половиной равностороннего, основной фигуры вавилонян, в нём выступает отношение 1:3 1/2 , отличающееся от золотого сечения примерно на 1/25, и называемое Тимердингом «соперником золотого сечения»). С помощью треугольников Платон строит четыре правильных многогранника, ассоциируя их с четырьмя земными элементами (землей, водой, воздухом и огнем). И лишь последний из пяти существующих правильных многогранников — додекаэдр, всеми двенадцатью гранями которого служат правильные пятиугольники, претендует на символическое изображение небесного мира.

      ИКОСАЭДР И ДОДЕКАЭДР

      Честь открытия додекаэдра (или, как полагалось, самой Вселенной, этой квинтэссенции четырёх стихий, символизируемых, соответственно, тетраэдром, октаэдром, икосаэдром и кубом) принадлежит Гиппасу, впоследствии погибшему при кораблекрушении. В этой фигуре действительно запечатлено множество отношений золотого сечения, поэтому последнему отводилась главная роль в небесном мире, на чём впоследствии и настаивал брат минорит Лука Пачоли.


      В фасаде древнегреческого храма Парфенона присутствуют золотые пропорции. При его раскопках обнаружены циркули, которыми пользовались архитекторы и скульпторы античного мира. В Помпейском циркуле (музей в Неаполе) также заложены пропорции золотого деления.

      Античный циркуль золотого сечения

      В дошедшей до нас античной литературе золотое деление впервые упоминается в «Началах» Евклида. Во 2-й книге «Начал» даётся геометрическое построение золотого деления. После Евклида исследованием золотого деления занимались Гипсикл (II в. до н.э.), Папп (III в. н.э.) и др. В средневековой Европе с золотым делением познакомились по арабским переводам «Начал» Евклида. Переводчик Дж. Кампано из Наварры (III в.) сделал к переводу комментарии. Секреты золотого деления ревностно оберегались, хранились в строгой тайне. Они были известны только посвящённым.

      В средние века пентаграмма подверглась демонизации (как, впрочем, и многое, что почиталось божественным в античном язычестве) и нашла приют в оккультных науках. Однако Возрождение вновь выносит на свет и пентаграмму, и золотое сечение. Так, широкое хождение в тот период утверждения гуманизма обрела схема, описывающая строение человеческого тела.

      К такой картинке, по сути, воспроизводящей пентаграмму, неоднократно прибегал и Леонардо да Винчи. Её интерпретация: тело человека обладает божественным совершенством, ибо заложенные в нём пропорции такие же, как в главной небесной фигуре. Леонардо да Винчи, художник и ученый, видел, что у итальянских художников эмпирический опыт большой, а знаний мало. Он задумал и начал писать книгу по геометрии, но в это время появилась книга монаха Луки Пачоли, и Леонардо оставил свою затею. По мнению современников и историков науки, Лука Пачоли был настоящим светилом, величайшим математиком Италии в период между Фибоначчи и Галилеем. Лука Пачоли был учеником художника Пьеро делла Франчески, написавшего две книги, одна из которых называлась «О перспективе в живописи». Его считают творцом начертательной геометрии.

      Лука Пачоли прекрасно понимал значение науки для искусства.

      В 1496 г. по приглашению герцога Моро он приезжает в Милан, где читает лекции по математике. В Милане при дворе Моро в то время работал и Леонардо да Винчи. В 1509 г. в Венеции была издана книга Луки Пачоли «О божественной пропорции» (De divina proportione, 1497, изд. в Венеции в 1509 г.) с блестяще выполненными иллюстрациями, ввиду чего полагают, что их сделал Леонардо да Винчи. Книга была восторженным гимном золотой пропорции. Такая пропорция лишь одна, а единственность — высочайшее свойство Бога. В ней воплощено святое триединство. Эта пропорция не может быть выражена доступным числом, остаётся скрытой и тайной и самими математиками называется иррациональной (так и Бог не может быть ни определен, ни разъяснён словами). Бог никогда не изменяется и представляет всё во всем и всё в каждой своей части, так и золотое сечение для всякой непрерывной и определённой величины (независимо от того, большая она или малая) одно и то же, не может быть ни изменено, ни по-иному воспринято рассудком. Бог вызвал к бытию небесную добродетель, иначе называемую пятой субстанцией, с её помощью и четыре других простых тела (четыре стихии — землю, воду, воздух, огонь), а на их основе вызвал к бытию всякую другую вещь в природе; так и наша священная пропорция, согласно Платону в «Тимее», даёт формальное бытие самому небу, ибо ему приписывается вид тела, называемого додекаэдром, который невозможно построить без золотого сечения. Таковы аргументы Пачоли.

      Леонардо да Винчи также много внимания уделял изучению золотого деления. Он производил сечения стереометрического тела, образованного правильными пятиугольниками, и каждый раз получал прямоугольники с отношениями сторон в золотом делении. Поэтому он дал этому делению название золотого сечения. Так оно и держится до сих пор как самое популярное.

      В то же время на севере Европы, в Германии, над теми же проблемами трудился Альбрехт Дюрер. Он делает наброски введения к первому варианту трактата о пропорциях. Дюрер пишет: «Необходимо, чтобы тот, кто что-либо умеет, обучил этому других, которые в этом нуждаются. Это я и вознамерился сделать».

      Судя по одному из писем Дюрера, он встречался с Лукой Пачоли во время пребывания в Италии. Альбрехт Дюрер подробно разрабатывает теорию пропорций человеческого тела. Важное место в своей системе соотношений Дюрер отводил золотому сечению. Рост человека делится в золотых пропорциях линией пояса, а также линией, проведённой через кончики средних пальцев опущенных рук, нижняя часть лица — ртом и т.д. Известен пропорциональный циркуль Дюрера.

      Великий астроном XVI в. Иоган Кеплер назвал золотое сечение одним из сокровищ геометрии. Он первый обращает внимание на значение золотой пропорции для ботаники (рост растений и их строение).

      Кеплер называл золотую пропорцию продолжающей саму себя «Устроена она так, — писал он, — что два младших члена этой нескончаемой пропорции в сумме дают третий член, а любые два последних члена, если их сложить, дают следующий член, причем та же пропорция сохраняется до бесконечности».

      Построение ряда отрезков золотой пропорции можно производить как в сторону увеличения (возрастающий ряд), так и в сторону уменьшения (нисходящий ряд).

      Если на прямой произвольной длины, отложить отрезок m, рядом откладываем отрезок M. На основании этих двух отрезков выстраиваем шкалу отрезков золотой пропорции восходящего и нисходящего рядов.

      Построение шкалы отрезков золотой пропорции

      В последующие века правило золотой пропорции превратилось в академический канон и, когда со временем в искусстве началась борьба с академической рутиной, в пылу борьбы «вместе с водой выплеснули и ребёнка». Вновь «открыто» золотое сечение было в середине XIX в.

      В 1855 г. немецкий исследователь золотого сечения профессор Цейзинг опубликовал свой труд «Эстетические исследования». С Цейзингом произошло именно то, что и должно было неминуемо произойти с исследователем, который рассматривает явление как таковое, без связи с другими явлениями. Он абсолютизировал пропорцию золотого сечения, объявив её универсальной для всех явлений природы и искусства. У Цейзинга были многочисленные последователи, но были и противники, которые объявили его учение о пропорциях «математической эстетикой».

      Цейзинг проделал колоссальную работу. Он измерил около двух тысяч человеческих тел и пришел к выводу, что золотое сечение выражает средний статистический закон. Деление тела точкой пупа — важнейший показатель золотого сечения. Пропорции мужского тела колеблются в пределах среднего отношения 13:8=1,625 и несколько ближе подходят к золотому сечению, чем пропорции женского тела, в отношении которого среднее значение пропорции выражается в соотношении 8:5=1,6. У новорожденного пропорция составляет отношение 1:1, к 13 годам она равна 1,6, а к 21 году равняется мужской. Пропорции золотого сечения проявляются и в отношении других частей тела — длина плеча, предплечья и кисти, кисти и пальцев и т.д.

      Справедливость своей теории Цейзинг проверял на греческих статуях. Наиболее подробно он разработал пропорции Аполлона Бельведерского. Подверглись исследованию греческие вазы, архитектурные сооружения различных эпох, растения, животные, птичьи яйца, музыкальные тона, стихотворные размеры. Цейзинг дал определение золотому сечению, показал, как оно выражается в отрезках прямой и в цифрах. Когда цифры, выражающие длины отрезков, были получены, Цейзинг увидел, что они составляют ряд Фибоначчи, который можно продолжать до бесконечности в одну и в другую сторону. Следующая его книга имела название «Золотое деление как основной морфологический закон в природе и искусстве». В 1876 г. в России была издана небольшая книжка, почти брошюра, с изложением этого труда Цейзинга. Автор укрылся под инициалами Ю.Ф.В. В этом издании не упомянуто ни одно произведение живописи.

      В конце XIX — начале XX вв. появилось немало чисто формалистических теории о применении золотого сечения в произведениях искусства и архитектуры. С развитием дизайна и технической эстетики действие закона золотого сечения распространилось на конструирование машин, мебели и т.д.

      ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ И СИММЕТРИЯ

      Золотое сечение нельзя рассматривать само по себе, отдельно, без связи с симметрией. Великий русский кристаллограф Г.В. Вульф (1863-1925) считал золотое сечение одним из проявлений симметрии.

      Золотое деление не есть проявление асимметрии, чего-то противоположного симметрии. Согласно современным представлениям золотое деление — это асимметричная симметрия. В науку о симметрии вошли такие понятия, как статическая и динамическая симметрия. Статическая симметрия характеризует покой, равновесие, а динамическая — движение, рост. Так, в природе статическая симметрия представлена строением кристаллов, а в искусстве характеризует покой, равновесие и неподвижность. Динамическая симметрия выражает активность, характеризует движение, развитие, ритм, она — свидетельство жизни. Статической симметрии свойственны равные отрезки, равные величины. Динамической симметрии свойственно увеличение отрезков или их уменьшение, и оно выражается в величинах золотого сечения возрастающего или убывающего ряда.

      РЯД ФИБОНАЧЧИ

      С историей золотого сечения косвенным образом связано имя итальянского математика монаха Леонардо из Пизы, более известного под именем Фибоначчи. Он много путешествовал по Востоку, познакомил Европу с арабскими цифрами. В 1202 г. вышел в свет его математический труд «Книга об абаке» (счётной доске), в котором были собраны все известные на то время задачи.

      Ряд чисел 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 и т.д. известен как ряд Фибоначчи. Особенность последовательности чисел состоит в том, что каждый её член, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих 2+3=5; 3+5=8; 5+8=13, 8+13=21; 13+21=34 и т.д., а отношение смежных чисел ряда приближается к отношению золотого деления. Так, 21:34=0,617, а 34:55=0,618. Это отношение обозначается символом Ф. Только это отношение — 0,618:0,382 — даёт непрерывное деление отрезка прямой в золотой пропорции, увеличение его или уменьшение до бесконечности, когда меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему.

      Как показано на нижнем рисунке, длина каждого сустава пальца соотносится с длиной следующего сустава по пропорции Ф. Такое же соотношение проявляется во всех пальцах рук и ног. Эта связь как-то необычна, потому что один палец длиннее другого без всякой видимой закономерности, но это всё не случайно, как не случайно всё в теле человека. Расстояния на пальцах, отмеченные от А до В до С до D до Е, все соотносятся друг с другом по пропорции Ф, равно как и фаланги пальцев от F до G до H.

      Взгляните на этот скелет лягушки и посмотрите, как каждая косточка соответствует модели пропорции Ф точно так, как и в теле человека .

      ОБОБЩЁННОЕ ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ

      Учёные продолжали активно развивать теорию чисел Фибоначчи и золотого сечения. Ю. Матиясевич с использованием чисел Фибоначчи решает 10-ю проблему Гильберта. Возникают методы решения ряда кибернетических задач (теории поиска, игр, программирования) с использованием чисел Фибоначчи и золотого сечения. В США создаётся даже Математическая Фибоначчи-ассоциация, которая с 1963 года выпускает специальный журнал.

      Одним из достижений в этой области является открытие обобщенных чисел Фибоначчи и обобщенных золотых сечений.

      Ряд Фибоначчи (1, 1, 2, 3, 5, 8) и, открытый им же «двоичный» ряд гирь 1, 2, 4, 8, на первый взгляд совершенно разные. Но алгоритмы их построения весьма похожи друг на друга: в первом случае каждое число есть сумма предыдущего числа с самим собой 2=1+1; 4=2+2. во втором — это сумма двух предыдущих чисел 2=1+1, 3=2+1, 5=3+2. Нельзя ли отыскать общую математическую формулу, из которой получаются и «двоичный» ряд, и ряд Фибоначчи? А может быть эта формула даст нам новые числовые множества, обладающие какими-то новыми уникальными свойствами?

      Действительно, зададимся числовым параметром S, который может принимать любые значения: 0, 1, 2, 3, 4, 5. Рассмотрим числовой ряд, S+1, первых членов которого — единицы, а каждый из последующих равен сумме двух членов предыдущего и отстоящего от предыдущего на S шагов. Если n-й член этого ряда мы обозначим через ?S(n), то получим общую формулу ?S(n)=?S(n-1)+?S(n-S-1).

      Очевидно, что при S=0 из этой формулы мы получим «двоичный» ряд, при S=1 — ряд Фибоначчи, при S=2, 3, 4. новые ряды чисел, которые получили название S-чисел Фибоначчи.

      В общем виде золотая S-пропорция есть положительный корень уравнения золотого S-сечения x S+1 -x S -1=0.

      Нетрудно показать, что при S=0 получается деление отрезка пополам, а при S=1 — знакомое классическое золотое сечение.

      Отношения соседних S-чисел Фибоначчи с абсолютной математической точностью совпадают в пределе с золотыми S-пропорциями! Математики в таких случаях говорят, что золотые S-сечения являются числовыми инвариантами S-чисел Фибоначчи.

      Факты, подтверждающие существование золотых S-сечений в природе, приводит белорусский ученый Э.М. Сороко в книге «Структурная гармония систем» (Минск, «Наука и техника», 1984). Оказывается, например, что хорошо изученные двойные сплавы обладают особыми, ярко выраженными функциональными свойствами (устойчивы в термическом отношении, тверды, износостойки, устойчивы к окислению и т.п.) только в том случае, если удельные веса исходных компонентов связаны друг с другом одной из золотых S-пропорций. Это позволило автору выдвинуть гипотезу о том, что золотые S-сечения есть числовые инварианты самоорганизующихся систем. Будучи подтверждённой, экспериментально, эта гипотеза может иметь фундаментальное значение для развития синергетики — новой области науки, изучающей процессы в самоорганизующихся системах.

      С помощью кодов золотой S-пропорции можно выразить любое действительное число в виде суммы степеней золотых S-пропорций с целыми коэффициентами.

      Принципиальное отличие такого способа кодирования чисел заключается в том, что основания новых кодов, представляющие собой золотые S-пропорции, при S>0 оказываются иррациональными числами. Таким образом, новые системы счисления с иррациональными основаниями как бы ставят «с головы на ноги» исторически сложившуюся иерархию отношений между числами рациональными и иррациональными. Дело в том, что сначала были «открыты» числа натуральные; затем их отношения — числа рациональные. И лишь позже, после открытия пифагорейцами несоизмеримых отрезков, на свет появились иррациональные числа. Скажем, в десятичной, пятеричной, двоичной и других классических позиционных системах счисления в качестве своеобразной первоосновы были выбраны натуральные числа: 10, 5, 2, из которых уже по определённым правилам конструировались все другие натуральные, а также рациональные и иррациональные числа.

      Своего рода альтернативой существующим способам счисления выступает новая, иррациональная, система, в качестве первоосновы начала счисления которой выбрано иррациональное число (являющееся, напомним, корнем уравнения золотого сечения); через него уже выражаются другие действительные числа.

      В такой системе счисления любое натуральное число всегда представимо в виде конечной — а не бесконечной, как думали ранее! — суммы степеней любой из золотых S-пропорций. Это одна из причин, почему «иррациональная» арифметика, обладая удивительной математической простотой и изяществом, как бы вобрала в себя лучшие качества классической двоичной и «Фибоначчиевой» арифметик.

      ПРИНЦИПЫ ФОРМООБРАЗОВАНИЯ В ПРИРОДЕ

      Всё, что приобретало какую-то форму, образовывалось, росло, стремилось занять место в пространстве и сохранить себя. Это стремление находит осуществление в основном в двух вариантах: рост вверх или расстилание по поверхности земли и закручивание по спирали.

      Раковина закручена по спирали. Если её развернуть, то получается длина, немного уступающая длине змеи. Небольшая десятисантиметровая раковина имеет спираль длиной 35 см. Спирали очень распространены в природе. Представление о золотом сечении будет неполным, если не сказать о спирали.

      Форма спирально завитой раковины привлекла внимание Архимеда. Он изучал её и вывел уравнение спирали. Спираль, вычерченная по этому уравнению, называется его именем. Увеличение её шага всегда равномерно. В настоящее время спираль Архимеда широко применяется в технике.

      Еще Гёте подчеркивал тенденцию природы к спиральности. Винтообразное и спиралевидное расположение листьев на ветках деревьев подметили давно.

      Спираль увидели в расположении семян подсолнечника, в шишках сосны, ананасах, кактусах и т.д. Совместная работа ботаников и математиков пролила свет на эти удивительные явления природы. Выяснилось, что в расположении листьев на ветке (филотаксис), семян подсолнечника, шишек сосны проявляет себя ряд Фибоначчи, а стало быть, проявляет себя закон золотого сечения. Паук плетёт паутину спиралеобразно. Спиралью закручивается ураган. Испуганное стадо северных оленей разбегается по спирали. Молекула ДНК закручена двойной спиралью. Гёте называл спираль «кривой жизни».

      Ряд Мандельброта

      Золотая спираль тесно связана с циклами. Современная наука о хаосе изучает простые циклические операции с обратной связью и порождённые ими фрактальные формы, неизвестные ранее. Рисунок показывает известный ряд Мандельброта — страницу из словаря безконечности индивидуальных паттернов, называемых юлианскими рядами. Некоторые учёные связывают ряд Мандельброта с генетическим кодом клеточных ядер. Последовательное увеличение сечений раскрывает изумительные по своей художественной сложности фракталы. И тут тоже присутствуют логарифмические спирали! Это тем более важно, что и ряд Мандельброта, и юлианские ряды не являются изобретением человеческого разума. Они возникают из области первообразов Платона. Как сказал врач Р. Пенроуз, «они подобны горе Эверест»

      Среди придорожных трав растёт ничем не примечательное растение — цикорий. Приглядимся к нему внимательно. От основного стебля образовался отросток. Тут же расположился первый листок.

      Отросток делает сильный выброс в пространство, останавливается, выпускает листок, но уже короче первого, снова делает выброс в пространство, но уже меньшей силы, выпускает листок ещё меньшего размера и снова выброс.

      Если первый выброс принять за 100 единиц, то второй равен 62 единицам, третий — 38, четвертый — 24 и т.д. Длина лепестков тоже подчинена золотой пропорции. В росте, завоевании пространства растение сохраняло определённые пропорции. Импульсы его роста постепенно уменьшались в пропорции золотого сечения.

      Цикорий

      У многих бабочек соотношение размеров грудной и брюшной частей тела отвечает золотой пропорции. Сложив крылья, ночная бабочка образует правильный равносторонний треугольник. Но стоит развести крылья, и вы увидите тот же принцип членения тела на 2, 3, 5, 8. Стрекоза также создана по законам золотой пропорции: отношение длин хвоста и корпуса равно отношению общей длины к длине хвоста.

      В ящерице с первого взгляда улавливаются приятные для нашего глаза пропорции — длина её хвоста так относится к длине остального тела, как 62 к 38.

      Ящерица живородящая

      И в растительном, и в животном мире настойчиво пробивается формообразующая тенденция природы — симметрия относительно направления роста и движения. Здесь золотое сечение проявляется в пропорциях частей перпендикулярно к направлению роста.

      Природа осуществила деление на симметричные части и золотые пропорции. В частях проявляется повторение строения целого.

      Большой интерес представляет исследование форм птичьих яиц. Их всевозможные формы колеблются между двумя крайними типами: один из них может быть вписан в прямоугольник золотого сечения, другой в прямоугольник с модулем 1,272 (корень золотой пропорции)


      Такие формы птичьих яиц не являются случайными, поскольку в настоящее время установлено, что форме яиц, описываемых отношением золотого сечения, отвечают более высокие прочностные характеристики оболочки яйца.

      Бивни слонов и вымерших мамонтов, когти львов, и клювы попугаев являют собой логарифмические формы и напоминают форму оси, склонной обратиться в спираль.

      В живой природе широко распространены формы, основанные на «пентагональной» симметрии (морские звезды, морские ежи, цветы).

      Золотое сечение присутствует в строении всех кристаллов, но большинство кристаллов микроскопически малы, так что мы не можем разглядеть их невооруженным глазом. Однако снежинки, также представляющие собой водные кристаллы, вполне доступны нашему взору. Все изысканной красоты фигуры, которые образуют снежинки, все оси, окружности и геометрические фигуры в снежинках также всегда, без исключений, построены по совершенной чёткой формуле золотого сечения.

      В микромире трёхмерные логарифмические формы, построенные по золотым пропорциям, распространены повсеместно. К примеру, многие вирусы имеют трёхмерную геометрическую форму икосаэдра. Пожалуй, самый известный из таких вирусов — вирус Адено. Белковая оболочка вируса Адено формируется из 252 единиц белковых клеток, расположенных в определенной последовательности. В каждом углу икосаэдра расположены по 12 единиц белковых клеток в форме пятиугольной призмы, и из этих углов простираются шипообразные структуры.

      Вирус Адено

      Впервые золотое сечение в строении вирусов обнаружили в 1950-хх гг. ученые из Лондонского Биркбекского Колледжа А. Клуг и Д. Каспар. Первым логарифмическую форму явил в себе вирус Polyo. Форма этого вируса оказалась аналогичной с формой вируса Rhino.

      Возникает вопрос: каким образом вирусы образуют столь сложные трёхмерные формы, устройство которых содержит в себе золотое сечение, которые даже нашим человеческим умом сконструировать довольно сложно? Первооткрыватель этих форм вирусов, вирусолог А. Кл ю г даёт такой комментарий: «Доктор Каспар и я показали, что для сферической оболочки вируса самой оптимальной формой является симметрия типа формы икосаэдра. Такой порядок сводит к минимуму число связующих элементов. Большая часть геодезических полусферических кубов Букминстера Фуллера построены по аналогичному геометрическому принципу. Монтаж таких кубов требует чрезвычайно точной и подробной схемы-разъяснения, тогда как бессознательные вирусы сами сооружают себе столь сложную оболочку из эластичных, гибких белковых клеточных единиц».

      Комментарий Клюга ещё раз напоминает о предельно очевидной истине: в строении даже микроскопического организма, который учёные классифицируют как «самую примитивную форму жизни», в данном случае в вирусе, присутствует чёткий замысел и осуществлён разумный проект. Этот проект несопоставим по своему совершенству и точности исполнения с самыми передовыми архитектурными проектами, созданными людьми. К примеру, проектами, созданными гениальным архитектором Букминстером Фуллером.

      Трёхмерные модели додекаэдра и икосаэдра присутствуют также и в строении скелетов одноклеточных морских микроорганизмов радиолярий (лучевиков), скелет которых создан из кремнезёма.

      Радиолярии формируют своё тело весьма изысканной, необычной красоты. Форма их составляет правильный додекаэдр, причём из каждого его угла прорастает псевдоудлиннение-конечность и иные необычные формы-наросты.

      Великий Гёте, поэт, естествоиспытатель и художник (он рисовал и писал акварелью), мечтал о создании единого учения о форме, образовании и преобразовании органических тел. Это он ввёл в научный обиход термин морфология.

      Пьер Кюри в начале нашего столетия сформулировал ряд глубоких идей симметрии. Он утверждал, что нельзя рассматривать симметрию какого-либо тела, не учитывая симметрию окружающей среды.

      Закономерности «золотой» симметрии проявляются в энергетических переходах элементарных частиц, в строении некоторых химических соединений, в планетарных и космических системах, в генных структурах живых организмов. Эти закономерности, как указано выше, есть в строении отдельных органов человека и тела в целом, а также проявляются в биоритмах и функционировании головного мозга и зрительного восприятия.

      ТЕЛО ЧЕЛОВЕКА И ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ

      Все кости человека выдержаны в пропорции золотого сечения. Пропорции различных частей нашего тела составляют число, очень близкое к золотому сечению. Если эти пропорции совпадают с формулой золотого сечения, то внешность или тело человека считается идеально сложенными.

      Золотые пропорции в частях тела человека

      Если принять центром человеческого тела точку пупа, а расстояние между ступнёй человека и точкой пупа за единицу измерения, то рост человека эквивалентен числу 1.618.

      • расстояние от уровня плеча до макушки головы и размера головы равно 1:1.618;
      • расстояние от точки пупа до макушки головы и от уровня плеча до макушки головы равно 1:1.618;
      • расстояние точки пупа до коленей и от коленей до ступней равно 1:1.618;
      • расстояние от кончика подбородка до кончика верхней губы и от кончика верхней губы до ноздрей равно 1:1.618;
      • собственно точное наличие золотой пропорции в лице человека и есть идеал красоты для человеческого взора;
      • расстояние от кончика подбородка до верхней линии бровей и от верхней линии бровей до макушки равно 1:1.618;
      • расстояние от кончика подбородка до верхней линии бровей и от верхней линии бровей до макушки равно 1:1.618;
      • высота лица/ширина лица;
      • центральная точка соединения губ до основания носа/длина носа;
      • высота лица/расстояние от кончика подбородка до центральной точки соединения губ;
      • ширина рта/ширина носа;
      • ширина носа/расстояние между ноздрями;
      • расстояние между зрачками/расстояние между бровями.

      Достаточно лишь приблизить сейчас вашу ладонь к себе и внимательно посмотреть на указательный палец, и вы сразу же найдёте в нём формулу золотого сечения.

      Каждый палец нашей руки состоит из трёх фаланг. Сумма длинн двух первых фаланг пальца в соотношении со всей длиной пальца и даёт число золотого сечения (за исключением большого пальца).

      Кроме того, соотношение между средним пальцем и мизинцем также равно числу золотого сечения.

      У человека 2 руки, пальцы на каждой руке состоят из 3 фаланг (за исключением большого пальца). На каждой руке имеется по 5 пальцев, то есть всего 10, но за исключением двух двухфаланговых больших пальцев только 8 пальцев создано по принципу золотого сечения. Тогда как все эти цифры 2, 3, 5 и 8 — есть числа последовательности Фибоначчи.

      Также следует отметить тот факт, что у большинства людей расстояние между концами расставленных рук равно росту.

      Истины золотого сечения внутри нас и в нашем пространстве. Особенность бронхов, составляющих лёгкие человека, заключена в их асимметричности. Бронхи состоят из двух основных дыхательных путей, один из которых (левый) длиннее, а другой (правый) короче. Было установлено, что эта асимметричность продолжается и в ответвлениях бронхов, во всех более мелких дыхательных путях. Причем соотношение длины коротких и длинных бронхов также составляет золотое сечение и равно 1:1,618.

      Во внутреннем ухе человека имеется орган Cochlea («Улитка»), который исполняет функцию передачи звуковой вибрации. Эта костевидная структура наполнена жидкостью и также сотворена в форме улитки, содержащую в себе стабильную логарифмическую форму спирали =73 0 43′.

      Давление крови изменяется в процессе работы сердца. Наибольшей величины оно достигает в левом желудочке сердца в момент его сжатия (систолы). В артериях во время систолы желудочков сердца кровяное давление достигает максимальной величины, равной 115-125 мм ртутного столбца у молодого, здорового человека. В момент расслабления сердечной мышцы (диастола) давление уменьшается до 70-80 мм рт.ст. Отношение максимального (систолического) к минимальному (диастолическому) давлению равно в среднем 1,6, то есть близко к золотой пропорции.

      Если взять за единицу среднее давление крови в аорте, то систолическое давление крови в аорте составляет 0,382, а диастолическое 0,618, то есть их отношение соответствует золотой пропорции. Это означает, что работа сердца в отношении временных циклов и изменения давления крови оптимизированы по одному и тому же принципу закону золотой пропорции.

      Молекула ДНК состоит из двух вертикально переплетённых между собой спиралей. Длина каждой из этих спиралей составляет 34 ангстрема, ширина 21 ангстрема. (1 ангстрем — одна стомиллионная доля сантиметра).

      Строение участка спирали молекулы ДНК

      Так вот 21 и 34 — это цифры, следующие друг за другом в последовательности чисел Фибоначчи, то есть соотношение длины, и ширины логарифмической спирали молекулы ДНК несет в себе формулу золотого сечения 1:1,618.

      ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ В СКУЛЬПТУРЕ

      Скульптурные сооружения, памятники воздвигаются, чтобы увековечить знаменательные события, сохранить в памяти потомков имена прославленных людей, их подвиги и деяния. Известно, что еще в древности основу скульптуры составляла теория пропорций. Отношения частей человеческого тела связывались с формулой золотого сечения. Пропорции «золотого сечения» создают впечатление гармонии, красоты, поэтому скульпторы использовали их в своих произведениях. Скульпторы утверждают, что талия делит совершенное человеческое тело в отношении «золотого сечения». Так, например, знаменитая статуя Аполлона Бельведерского состоит из частей, делящихся по золотым отношениям. Великий древнегреческий скульптор Фидий часто использовал «золотое сечение» в своих произведениях. Самыми знаменитыми из них были статуя Зевса Олимпийского (которая считалась одним из чудес света) и Афины Парфенон.

      Известна золотая пропорция статуи Аполлона Бельведерского: рост изображенного человека делится пупочной линией в золотом сечении.

      ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ В АРХИТЕКТУРЕ

      В книгах о «золотом сечении» можно найти замечание о том, что в архитектуре, как и в живописи, всё зависит от положения наблюдателя, и если некоторые пропорции в здании с одной стороны кажутся образующими «золотое сечение», то с других точек зрения они будут выглядеть иначе. «Золотое сечение» даёт наиболее спокойное соотношение размеров тех или иных длин.

      Одним из красивейших произведений древнегреческой архитектуры является Парфенон (V в. до н. э.).

      На рисунках виден целый ряд закономерностей, связанных с золотым сечением. Пропорции здания можно выразить через различные степени числа Ф=0,618.

      Парфенон имеет 8 колонн по коротким сторонам и 17 по длинным. Выступы сделаны целиком из квадратов пентилейского мрамора. Благородство материала, из которого построен храм, позволило ограничить применение обычной в греческой архитектуре раскраски, она только подчеркивает детали и образует цветной фон (синий и красный) для скульптуры. Отношение высоты здания к его длине равно 0,618. Если произвести деление Парфенона по «золотому сечению», то получим те или иные выступы фасада.

      На плане пола Парфенона также можно заметить «золотые прямоугольники».

      Золотое соотношение мы можем увидеть и в здании собора Парижской Богоматери (Нотр-дам де Пари), и в пирамиде Хеопса.

      Не только египетские пиpамиды постpоены в соответствии с совеpшенными пpопоpциями золотого сечения; то же самое явление обнаpужено и у мексиканских пиpамид.

      Долгое время считали, что зодчие Древней Руси строили всё «на глазок», без особых математических расчетов. Однако новейшие исследования показали, что русские архитекторы хорошо знали математические пропорции, о чём свидетельствует анализ геометрии древних храмов.

      Известный русский архитектор М. Казаков в своем творчестве широко использовал «золотое сечение». Его талант был многогранным, но в большей степени он раскрылся в многочисленных осуществлённых проектах жилых домов и усадеб. Например, «золотое сечение» можно обнаружить в архитектуре здания сената в Кремле. По проекту М. Казакова в Москве была построена Голицынская больница, которая в настоящее время называется Первой клинической больницей имени Н.И. Пирогова.

      Петровский дворец в Москве. Построен по проекту М.Ф. Казакова

      Еще один архитектурный шедевр Москвы — дом Пашкова — является одним из наиболее совершенных произведений архитектуры В. Баженова.

      Дом Пашкова

      Прекрасное творение В. Баженова прочно вошло в ансамбль центра современной Москвы, обогатило его. Наружный вид дома сохранился почти без изменений до наших дней, несмотря на то, что он сильно обгорел в 1812 г. При восстановлении здание приобрело более массивные формы. Не сохранилась и внутренняя планировка здания, о которой дают представления только чертёж нижнего этажа.

      Многие высказывания зодчего заслуживают внимания и в наши дни. О своём любимом искусстве В. Баженов говорил: «Архитектура главнейшие имеет три предмета: красоту, спокойность и прочность здания. К достижению сего служит руководством знание пропорции, перспектива, механика или вообще физика, а всем им общим вождём является рассудок».

      ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ В МУЗЫКЕ

      Любое музыкальное произведение имеет временное протяжение и делится некоторыми «эстетическими вехами» на отдельные части, которые обращают на себя внимание и облегчают восприятие в целом. Этими вехами могут быть динамические и интонационные кульминационные пункты музыкального произведения. Отдельные временные интервалы музыкального произведения, соединяемые «кульминационным событием», как правило, находятся в соотношении Золотого сечения.

      Ещё в 1925 году искусствовед Л.Л. Сабанеев, проанализировав 1770 музыкальных произведений 42 авторов, показал, что подавляющее большинство выдающихся сочинений можно легко разделить на части или по теме, или по интонационному строю, или по ладовому строю, которые находятся между собой в отношении золотого сечения. Причём, чем талантливее композитор, тем в большем количестве его произведений найдено золотых сечений. По мнению Сабанеева, золотое сечение приводит к впечатлению особой стройности музыкального сочинения. Этот результат Сабанеев проверил на всех 27 этюдах Шопена. Он обнаружил в них 178 золотых сечений. При этом оказалось, что не только большие части этюдов делятся по длительности в отношении золотого сечения, но и части этюдов внутри зачастую делятся в таком же отношении.

      Композитор и ученый М.А. Марутаев подсчитал количество тактов в знаменитой сонате «Аппассионата» и нашёл ряд интересных числовых соотношений. В частности, в разработке — центральной структурной единице сонаты, где интенсивно развиваются темы и сменяют друг друга тональности, — два основных раздела. В первом — 43,25 такта, во втором — 26,75. Отношение 43,25:26,75=0,618:0,382=1,618 даёт золотое сечение.

      Наибольшее количество произведений, в которых имеется Золотое сечение, у Аренского (95%), Бетховена (97%), Гайдна (97%), Моцарта (91%), Шопена (92%), Шуберта (91%).

      Если музыка — гармоническое упорядочение звуков, то поэзия — гармоническое упорядочение речи. Чёткий ритм, закономерное чередование ударных и безударных слогов, упорядоченная размерность стихотворений, их эмоциональная насыщенность делают поэзию родной сестрой музыкальных произведений. Золотое сечение в поэзии в первую очередь проявляется как наличие определённого момента стихотворения (кульминации, смыслового перелома, главной мысли произведения) в строке, приходящейся на точку деления общего числа строк стихотворения в золотой пропорции. Так, если стихотворение содержит 100 строк, то первая точка Золотого сечения приходится на 62-ю строку (62%), вторая — на 38-ю (38%) и т.д. Произведения Александра Сергеевича Пушкина, и в том числе «Евгений Онегин», — тончайшее соответствие золотой пропорции! Произведения Шота Руставели и М.Ю. Лермонтова также построены по принципу Золотого сечения.

      Страдивари писал, что с помощью золотого сечения он определял места для f-образных вырезов на корпусах своих знаменитых скрипок.

      ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ В ПОЭЗИИ

      Исследования поэтических произведений с этих позиций только начинаются. И начинать нужно с поэзии А.С. Пушкина. Ведь его произведения — образец наиболее выдающихся творений русской культуры, образец высочайшего уровня гармонии. С поэзии А.С. Пушкина мы и начнем поиски золотой пропорции — мерила гармонии и красоты.

      Многое в структуре поэтических произведений роднит этот вид искусства с музыкой. Чёткий ритм, закономерное чередование ударных и безударных слогов, упорядоченная размерность стихотворений, их эмоциональная насыщенность делают поэзию родной сестрой музыкальных произведений. Каждый стих обладает своей музыкальной формой, своей ритмикой и мелодией. Можно ожидать, что в строении стихотворений проявятся некоторые черты музыкальных произведений, закономерности музыкальной гармонии, а следовательно, и золотая пропорция.

      Начнём с величины стихотворения, то есть количества строк в нём. Казалось бы, этот параметр стихотворения может изменяться произвольно. Однако оказалось, что это не так. Например, проведенный Н. Васютинским анализ стихотворений А.С. Пушкина показал, что размеры стихов распределены весьма неравномерно; оказалось, что Пушкин явно предпочитает размеры в 5, 8, 13, 21 и 34 строк (числа Фибоначчи).


      Многими исследователями было замечено, что стихотворения подобны музыкальным произведениям; в них также существуют кульминационные пункты, которые делят стихотворение в пропорции золотого сечения. Рассмотрим, например, стихотворение А.С. Пушкина «Сапожник»:

      Картину раз высматривал сапожник

      И в обуви ошибку указал;

      Взяв тотчас кисть, исправился художник,

      Вот, подбочась, сапожник продолжал:

      «Мне кажется, лицо немного криво.

      А эта грудь, не слишком ли нага?

      Тут Апеллес прервал нетерпеливо:

      «Суди, дружок, не выше сапога!»

      Есть у меня приятель на примете:

      Не ведаю, в каком бы он предмете

      Был знатоком, хоть строг он на словах,

      Но черт его несет судить о свете:

      Попробуй он судить о сапогах!

      Проведём анализ этой притчи. Стихотворение состоит из 13 строк. В нём выделяется две смысловые части: первая в 8 строк и вторая (мораль притчи) в 5 строк (13, 8, 5 — числа Фибоначчи).

      Одно из последних стихотворений Пушкина «Не дорого ценю я громкие права. » состоит из 21 строки и в нём выделяется две смысловые части: в 13 и 8 строк:

      Не дорого ценю я громкие права,

      От коих не одна кружится голова.

      Я не ропщу о том, что отказали боги

      Мне в сладкой участи оспаривать налоги

      Или мешать царям друг с другом воевать;

      И мало горя мне, свободно ли печать

      Морочит олухов, иль чуткая цензура

      В журнальных замыслах стесняет балагура.

      Все это, видите ль, слова, слова, слова.

      Иные, лучшие, мне дороги права:

      Иная, лучшая, потребна мне свобода:

      Зависеть от царя, зависеть от народа –

      Не все ли нам равно? Бог с ними.

      Отчета не давать, себе лишь самому

      Служить и угождать; для власти, для ливреи

      Не гнуть ни совести, ни помыслов, ни шеи;

      По прихоти своей скитаться здесь и там,

      Дивясь божественным природы красотам,

      И пред созданьями искусств и вдохновенья

      Трепеща радостно в восторгах умиленья,

      Вот счастье! Вот права.

      Характерно, что и первая часть этого стиха (13 строк) по смысловому содержанию делится на 8 и 5 строк, то есть всё стихотворение построено по законам золотой пропорции.

      Представляет несомненный интерес анализ романа «Евгений Онегин», сделанный Н. Васютинским. Этот роман состоит из 8 глав, в каждой из них в среднем около 50 стихов. Наиболее совершенной, наиболее отточенной и эмоционально насыщенной является восьмая глава. В ней 51 стих. Вместе с письмом Евгения к Татьяне (60 строк) это точно соответствует числу Фибоначчи 55!

      Н. Васютинский констатирует: «Кульминацией главы является объяснение Евгения в любви к Татьяне — строка «Бледнеть и гаснуть . вот блаженство!» Эта строка делит всю восьмую главу на две части: в первой 477 строк, а во второй — 295 строк. Их отношение равно 1,617! Тончайшее соответствие величине золотой пропорции! Это великое чудо гармонии, совершённое гением Пушкина!».

      Э . Розенов провел анализ многих поэтических произведений М.Ю. Лермонтова, Шиллера, А.К. Толстого и также обнаружил в них «золотое сечение».

      Знаменитое стихотворение Лермонтова «Бородино» делится на две части: вступление, обращенное к рассказчику, занимающее лишь одну строфу («Скажите, дядя, ведь недаром . »), и главную часть, представляющее самостоятельное целое, которое распадается на две равносильные части. В первой из них описывается, с нарастающим напряжением, ожидание боя, во второй — сам бой с постепенным снижением напряжения к концу стихотворения. Граница между этими частями является кульминационной точкой произведения и приходится как раз на точку деления его золотым сечением.

      Главная часть стихотворения состоит из 13 семистиший, то есть из 91 строки. Разделив её золотым сечением (91:1,618=56,238), убеждаемся, что точка деления находится в начале 57-го стиха, где стоит короткая фраза: «Ну, ж был денек!» Именно эта фраза представляет собой «кульминационный пункт возбужденного ожидания», завершающей первую часть стихотворения (ожидание боя) и открывающий вторую его часть (описание боя).

      Таким образом, золотое сечение играет в поэзии весьма осмысленную роль, выделяя кульминационный пункт стихотворения.

      Многие исследователи поэмы Шота Руставели «Витязь в тигровой шкуре» отмечают исключительную гармоничность и мелодичность его стиха. Эти свойства поэмы грузинский учёный, академик Г.В. Церетели относит за счёт сознательного использования поэтом золотого сечения как в формировании формы поэмы, так и в построении ее стихов.

      Поэма Руставели состоит из 1587 строф, каждая их которых состоит из четырех строк. Каждая строка состоит из 16 слогов и делится на две равные части по 8 слогов в каждом полустишии. Все полустишия делятся на два сегмента двух видов: А — полустишие с равными сегментами и чётным количеством слогов (4+4); В — полустишие с несимметричным делением на две неравные части (5+3 или 3+5). Таким образом, в полустишии В получаются соотношения 3:5:8, что является приближением к золотой пропорции.

      Установлено, что в поэме Руставели из 1587 строф больше половины (863) построены по принципу золотого сечения.

      В наше время родился новый вид искусства — кино, вобравший в себя драматургию действия, живопись, музыку. В выдающихся произведениях киноискусства правомерно искать проявления золотого сечения. Первым это сделал создатель шедевра мирового кино «Броненосец Потёмкин» кинорежиссер Сергей Эйзенштейн. В построении этой картины он сумел воплотить основной принцип гармонии — золотое сечение. Как отмечает сам Эйзенштейн, красный флаг на мачте восставшего броненосца (точка апогея фильма) взвивается в точке золотой пропорции, отсчитываемой от конца фильма.

      ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ В ШРИФТАХ И БЫТОВЫХ ПРЕДМЕТАХ

      Особый вид изобразительного искусства Древней Греции следует выделить изготовление и роспись всевозможных сосудов. В изящной форме легко угадываются пропорции золотого сечения.

      В живописи и скульптуре храмов, на предметах домашнего обихода древние египтяне чаще всего изображали богов и фараонов. Были установлены каноны изображения стоящего человека, идущего, сидящего и т.д. Художники обязаны были заучивать отдельные формы и схемы изображения по таблицам и образцам. Художники Древней Греции совершали специальные путешествия в Египет, чтобы поучиться умению пользоваться каноном.

      ОПТИМАЛЬНЫЕ ФИЗИЧЕСКИЕ ПАРАМЕТРЫ ВНЕШНЕЙ СРЕДЫ

      Известно, что максимальная громкость звука, которая вызывает болевые ощущения, равна 130 децибеллам. Если разделить этот интервал золотой пропорцией 1,618, то получим 80 децибелл, которые характерны для громкости человеческого крика. Если теперь 80 децибелл разделить золотой пропорцией, то получим 50 децибелл, что соответствует громкости человеческой речи. Наконец, если разделить 50 децибелл квадратом золотой пропорции 2,618, то получим 20 децибелл, что соответствует шёпоту человека. Таким образом, все характерные параметры громкости звука взаимосвязаны через золотую пропорцию.

      При температуре 18-20 0 C интервал влажности 40-60% считается оптимальным. Границы оптимального диапазона влажности могут быть получены, если абсолютную влажность 100% дважды разделить золотым сечением:100/2,618 = 38,2% (нижняя граница); 100/1,618=61,8% (верхняя граница).

      При давлении воздуха 0,5 МПа у человека возникают неприятные ощущения, ухудшается его физическая и психологическая деятельность. При давлении 0,3-0,35 МПа разрешается только кратковременная работа, а при давлении 0,2 МПа разрешается работать не более 8 мин. Все эти характерные параметры связаны между собой золотой пропорцией:0,5/1,618=0,31 МПа; 0,5/2,618=0,19 МПа.

      Граничными параметрами температуры наружного воздуха, в пределах которых возможно нормальное существование (а, главное, стало возможным происхождение) человека является диапазон температур от 0 до +(57-58) 0 С. Очевидно, по первой границе пояснений можно не приводить.

      Разделим указанный диапазон положительных температур золотым сечением. При этом получим две границы ( о бе границы являются характерными для организма человека температурами): первая соответствует температу ре, вторая граница соответствует максимально возможной температуре наружного воздуха для организма человека.

      ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ В ЖИВОПИСИ

      Ещё в эпоху Возрождения художники открыли, что любая картина имеет определённые точки, невольно приковывающие наше внимание, так называемые зрительные центры. При этом абсолютно неважно, какой формат имеет картина горизонтальный или вертикальный. Таких точек всего четыре, и расположены они на расстоянии 3/8 и 5/8 от соответствующих краев плоскости.

      Данное открытие у художников того времени получило название «золотое сечение» картины.

      Переходя к примерам «золотого сечения» в живописи, нельзя не остановить своего внимания на творчестве Леонардо да Винчи. Его личность одна из загадок истории. Сам Леонардо да Винчи говорил: «Пусть никто, не будучи математиком, не дерзнёт читать мои труды».


      Он снискал славу непревзойденного художника, великого учёного, гения, предвосхитившего многие изобретения, которые не были осуществлены вплоть до XX в.

      Нет сомнений, что Леонардо да Винчи был великим художником, это признавали уже его современники, но его личность и деятельность останутся покрытыми тайной, так как он оставил потомкам не связное изложение своих идей, а лишь многочисленные рукописные наброски, заметки, в которых говорится «обо всём на свете».

      Он писал справа налево неразборчивым почерком и левой рукой. Это самый известный, из существующих, образец зеркального письма.

      Портрет Монны Лизы (Джоконды) долгие годы привлекает внимание исследователей, которые обнаружили, что композиция рисунка основана на золотых треугольниках, являющихся частями правильного звездчатого пятиугольника. Существует очень много версий об истории этого портрета. Вот одна из них.

      Однажды Леонардо да Винчи получил заказ от банкира Франческо деле Джокондо написать портрет молодой женщины, жены банкира, Монны Лизы. Женщина не была красива, но в ней привлекала простота и естественность облика. Леонардо согласился писать портрет. Его модель была печальной и грустной, но Леонардо рассказал ей сказку, услышав которую, она стала живой и интересной.

      СКАЗКА. Жил-был один бедный человек, было у него четыре сына: три умных, а один из них и так, и сяк. И вот пришла за отцом смерть. Перед тем, как расстаться с жизнью, он позвал к себе детей и сказал: «Сыны мои, скоро я умру. Как только вы схороните меня, заприте хижину и идите на край света добывать себе счастья. Пусть каждый из вас чему-нибудь научится, чтобы мог кормить сам себя». Отец умер, а сыновья разошлись по свету, договорившись спустя три года вернуться на поляну родной рощи. Пришёл первый брат, который научился плотничать, срубил дерево и обтесал его, сделал из него женщину, отошел немного и ждет. Вернулся второй брат, увидел деревянную женщину и, так как он был портной, в одну минуту одел её: как искусный мастер он сшил для неё красивую шёлковую одежду. Третий сын украсил женщину золотом и драгоценными камнями — ведь он был ювелир. Наконец, пришел четвертый брат. Он не умел плотничать и шить, он умел только слушать, что говорит земля, деревья, травы, звери и птицы, знал ход небесных тел и ещё умел петь чудесные песни. Он запел песню, от которой заплакали притаившиеся за кустами братья. Песней этой он оживил женщину, она улыбнулась и вздохнула. Братья бросились к ней и каждый кричал одно и то же: «Ты должна быть моей женой». Но женщина ответила: «Ты меня создал — будь мне отцом. Ты меня одел, а ты украсил — будьте мне братьями. А ты, что вдохнул в меня душу и научил радоваться жизни, ты один мне нужен на всю жизнь».

      Кончив сказку, Леонардо взглянул на Монну Лизу, её лицо озарилось светом, глаза сияли. Потом, точно пробудившись от сна, она вздохнула, провела по лицу рукой и без слов пошла на свое место, сложила руки и приняла обычную позу. Но дело было сделано — художник пробудил равнодушную статую; улыбка блаженства, медленно исчезая с её лица, осталась в уголках рта и трепетала, придавая лицу изумительное, загадочное и чуть лукавое выражение, как у человека, который узнал тайну и, бережно её храня, не может сдержать торжество. Леонардо молча работал, боясь упустить этот момент, этот луч солнца, осветивший его скучную модель.

      Трудно отметить, что замечали в этом шедевре искусства, но все говорили о том глубоком знании Леонардо строения человеческого тела, благодаря которому ему удалось уловить эту, как бы загадочную, улыбку. Говорили о выразительности отдельных частей картины и о пейзаже, небывалом спутнике портрета. Толковали о естественности выражения, о простоте позы, о красоте рук. Художник сделал ещё небывалое: на картине изображен воздух, он окутывает фигуру прозрачной дымкой. Несмотря на успех, Леонардо был мрачен, положение во Флоренции показалось художнику тягостным, он собрался в дорогу. Не помогли ему напоминания о нахлынувших заказах.

      Золотое сечение в картине И.И. Шишкина «Сосновая роща». На этой знаменитой картине И.И. Шишкина с очевидностью просматриваются мотивы золотого сечения. Ярко освещенная солнцем сосна (стоящая на первом плане) делит длину картины по золотому сечению. Справа от сосны — освещённый солнцем пригорок. Он делит по золотому сечению правую часть картины по горизонтали. Слева от главной сосны находится множество сосен — при желании можно с успехом продолжить деление картины по золотому сечению и дальше.

      Сосновая роща

      Наличие в картине ярких вертикалей и горизонталей, делящих её в отношении золотого сечения, придает ей характер уравновешенности и спокойствия в соответствии с замыслом художника. Когда же замысел художника иной, если, скажем, он создает картину с бурно развивающимся действием, подобная геометрическая схема композиции (с преобладанием вертикалей и горизонталей) становится неприемлемой.

      В.И. Суриков. «Боярыня Морозова»

      Роли её отведена средняя часть картины. Она окована точкой высшего взлёта и точкой низшего спадания сюжета картины: взлёт руки Морозовой с двуперстным крестным знамением, как высшая точка; беспомощно протянутая к той же боярыне рука, но на этот раз рука старухи — нищей странницы, рука, из-под которой вместе с последней надеждой на спасение выскальзывает конец розвальней.

      А как обстоит дело с «высшей точкой»? На первый взгляд имеем кажущееся противоречие: ведь сечение А1В1, отстоящее на 0,618. от правого края картины, проходит не через руку, не даже через голову или глаз боярыни, а оказывается где-то перед ртом боярыни.

      Золотое сечение режет здесь действительно по самому главному. В нём, и именно в нём — величайшая сила Морозовой.

      Нет живописи более поэтичной, чем живопись Боттичелли Сандро, и нет у великого Сандро картины более знаменитой, чем его «Венера». Для Боттичелли его Венера — воплощение идеи универсальной гармонии «золотого сечения», господствующего в природе. Пропорциональный анализ Венеры убеждает нас в этом.

      Венера

      Рафаэль «Афинская школа». Рафаэль не был учёным-математиком, но, подобно многим художникам той эпохи, обладал немалыми познаниями в геометрии. В знаменитой фреске «Афинская школа», где в храме науки предстоит общество великих философов древности, наше внимание привлекает группа Эвклида — крупнейшего древнегреческого математика, разбирающего сложный чертеж.

      Хитроумная комбинация двух треугольников также построена в соответствии с пропорцией золотого сечения: она может быть вписана в прямоугольник с соотношением сторон 5/8. Этот чертеж удивительно легко вставляется в верхний участок архитектуры. Верхний угол треугольника упирается в замковый камень арки на ближнем к зрителю участке, нижний — в точку схода перспектив, а боковой участок обозначает пропорции пространственного разрыва между двумя частями арок.

      Золотая спираль в картине Рафаэля «Избиение младенцев». В отличие от золотого сечения, ощущение динамики, волнения проявляется, пожалуй, сильней всего в другой простой геометрической фигуре — спирали. Многофигурная композиция, выполненная в 1509 — 1510 годах Рафаэлем, когда прославленный живописец создавал свои фрески в Ватикане, как раз отличается динамизмом и драматизмом сюжета. Рафаэль так и не довёл свой замысел до завершения, однако его эскиз был гравирован неизвестным итальянским графиком Маркантинио Раймонди, который на основе этого эскиза и создал гравюру «Избиение младенцев».

      Избиение младенцев

      Если на подготовительном эскизе Рафаэля мысленно провести линии, идущие от смыслового центра композиции — точки, где пальцы воина сомкнулись вокруг лодыжки ребенка, вдоль фигур ребенка, женщины, прижимающей его к себе, воина с занесённым мечом и затем вдоль фигур такой же группы в правой части эскиза (на рисунке эти линии проведены красным цветом), а после этого соединить эти куски кривой пунктиром, то с очень большой точностью получается золотая спираль. Это можно проверить, измеряя отношение длин отрезков, высекаемых спиралью на прямых, проходящих через начало кривой.

      ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ И ВОСПРИЯТИЕ ИЗОБРАЖЕНИЯ

      О способности зрительного анализатора человека выделять объекты, построенные по алгоритму золотого сечения, как красивые, привлекательные и гармоничные, известно давно. Золотое сечение даёт ощущение наиболее совершенного единого целого. Формат многих книг соответствует золотому сечению. Оно выбирается для окон, живописных полотен и конвертов, марок, визиток. Человек может ничего не знать о числе Ф, но в строении предметов, а также в последовательности событий он подсознательно находит элементы золотой пропорции.

      Проводились исследования, в которых испытуемым предлагалось выбирать и копировать прямоугольники различных пропорций. На выбор предлагалось три прямоугольника: квадрат (40:40 мм), прямоугольник «золотого сечения» с отношением сторон 1:1,62 (31:50 мм) и прямоугольник с удлиненными пропорциями 1:2,31 (26:60 мм).

      При выборе прямоугольников в обычном состоянии в 1/2 случаев предпочтение отдается квадрату. Правое полушарие предпочитает золотое сечение и отвергает вытянутый прямоугольник. Наоборот, левое полушарие тяготеет к удлиненным пропорциям и отвергает золотое сечение.

      При копировании этих прямоугольников наблюдалось следующее: когда активно правое полушарие — пропорции в копиях выдерживались наиболее точно; при активности левого полушария — пропорции всех прямоугольников искажались, прямоугольники вытягивались (квадрат срисовывался как прямоугольник с отношением сторон 1:1,2; пропорции вытянутого прямоугольника резко увеличивались и достигали 1:2,8). Наиболее сильно искажались пропорции «золотого» прямоугольника; его пропорции в копиях становились пропорциями прямоугольника 1:2,08.

      При рисовании собственных рисунков преобладают пропорции, близкие к золотому сечению, и вытянутые. В среднем пропорции составляют 1:2, при этом правое полушарие отдает предпочтение пропорциям золотого сечения, левое полушарие отходит от пропорций золотого сечения и вытягивает рисунок.

      А теперь нарисуйте несколько прямоугольников, измерьте их стороны и найдите соотношение сторон. Какое полушарие у Вас преобладает?

      ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ В ФОТОГРАФИИ

      Примером использования золотого сечения в фотографии является расположение ключевых компонентов кадра в точках, которые расположены в 3/8 и 5/8 от краёв кадра. Можно это проиллюстрировать следующим примером: фотография кота, который расположен в произвольном месте кадра.

      Теперь условно поделим кадр на отрезки, в пропорции по 1.62 общей длины от каждой стороны кадра. В местах пересечения отрезков и будут основные «зрительные центры», в которых стоит разместить необходимые ключевые элементы изображения. Перенесём нашего кота в точки «зрительных центров».

      ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ И КОСМОС

      Из истории астрономии известно, что И. Тициус, немецкий астроном XVIII в., с помощью этого ряда нашел закономерность и порядок в расстояниях между планетами солнечной системы.

      Однако один случай, который, казалось бы, противоречил закону: между Марсом и Юпитером не было планеты. Cосредоточенное наблюдение за этим участком неба привело к открытию пояса астероидов. Произошло это после смерти Тициуса в начале XIX в. Pяд Фибоначчи используют широко: с его помощью представляют архитектонику и живых существ, и рукотворных сооружений, и строение Галактик. Эти факты — свидетельства независимости числового ряда от условий его проявления, что является одним из признаков его универсальности.

      Две Золотых Спирали галактики совместимы со Звездой Давида.

      Обратите внимание на звёзды, выходящие из галактики по белой спирали. Точно на 180 0 от одной из спиралей выходит другая развёртывающаяся спираль. Долгое время астрономы просто считали, что всё, что там есть — это то, что мы видим; если что-то видимо, то оно существует. Они либо совершенно не замечали невидимой части Реальности, либо они не считали её важной. Но невидимая сторона нашей Реальности в действительности значительно больше видимой стороны и, вероятно, важнее. Иными словами, видимая часть Реальности значительно меньше, нежели один процент от целого — почти ничто. На самом деле, наш настоящий дом — невидимая вселенная.

      Во Вселенной все известные человечеству галактики и все тела в них существуют в форме спирали, соответствующей формуле золотого сечения. В спирали нашей галактики лежит коэффициент золотого сечения

      ЗАКЛЮЧЕНИЕ

      Природа, понимаемая как весь мир в многообразии его форм, состоит, как бы, из двух частей: живой и неживой природы. Для творений неживой природы характерна высокая устойчивость, слабая изменчивость, если судить в масштабах человеческой жизни. Человек рождается, живёт, стареет, умирает, а гранитные горы остаются такими же и планеты вращаются вокруг Солнца также, как и во времена Пифагора.

      Мир живой природы предстает перед нами совсем иным — подвижным, изменчивым и удивительно разнообразным. Жизнь демонстрирует нам фантастический карнавал разнообразия и неповторимости творческих комбинаций! Мир неживой природы — это прежде всего мир симметрии, придающий его творениям устойчивость и красоту. Мир природы — это прежде всего мир гармонии, в которой действует «закон золотого сечения».

      В современном мире наука приобретает особое значение, в связи с усилением воздействия человека на природу. Важными задачами на современном этапе являются поиск новых путей сосуществования человека и природы, изучение философских, социальных, экономических, образовательных и других проблем, стоящих перед обществом.

      В данной работе было рассмотрено влияние свойств «золотого сечения» на живую и не живую природу, на исторический ход развития истории человечества и планеты в целом. Анализируя всё вышеизложенное можно ещё раз подивиться грандиозности процесса познания мира, открытием всё новых его закономерностей и сделать вывод: принцип золотого сечения — высшее проявление структурного и функционального совершенства целого и его частей в искусстве, науке, технике и природе. Можно ожидать, что законы развития различных систем природы, законы роста не очень разнообразны и прослеживаются в самых различных образованьях. В этом и проявляется единство природы. Идея такого единства, основанная на проявлении одних и тех же закономерностей в разнородных явлениях природы, сохранила свою актуальность от Пифагора до наших дней.

      Золотое сечение

      Золотое сечение (лат. Sectio aurea) – это термин, введенный в обиход немецким математиком Мартином Омом в 1835 году.

      Однако задолго до того, как термин «Золотое сечение» стал известен, его принципы использовались Пифагором, Евклидом, Аристотелем, Леонардо да Винчи, Микеланджело и другими.

      Первое научное обоснование Золотого сечения было дано монахом Лукой Пачоли в 1509 году в книге «Божественная пропорция», иллюстрации к которой предположительно были созданы Леонардо да Винчи.

      Золотое сечение — это идеальное соотношение величин, где:

      Приблизительное процентное соотношение частей Золотого сечения составляет 62% и 38%.

      Лука Пачоли усматривал в Золотом сечении Божественное триединство: малый отрезок олицетворял Сына, большой – Отца, а целое – Святой Дух.

      Число Фи

      В основе Золотого сечения лечит Число Фи.
      Точное значение Числа Фи (1000 знаков после запятой):

      1,6180339887 4989484820 4586834365 6381177203 0917980576 2862135448 6227052604 6281890244 9707207204 1893911374 8475408807 5386891752 1266338622 2353693179 3180060766 7263544333 8908659593 9582905638 3226613199 2829026788 0675208766 8925017116 9620703222 1043216269 5486262963 1361443814 9758701220 3408058879 5445474924 6185695364 8644492410 4432077134 4947049565 8467885098 7433944221 2544877066 4780915884 6074998871 2400765217 0575179788 3416625624 9407589069 7040002812 1042762177 1117778053 1531714101 1704666599 1466979873 1761356006 7087480710 1317952368 9427521948 4353056783 0022878569 9782977834 7845878228 9110976250 0302696156 1700250464 3382437764 8610283831 2683303724 2926752631 1653392473 1671112115 8818638513 3162038400 5222165791 2866752946 5490681131 7159934323 5973494985 0904094762 1322298101 7261070596 1164562990 9816290555 2085247903 5240602020 2799747175 3427775927 7862561943 2082750513 1218156285 5122248093 9471234145 1702237358 0577278616 0086883829 5230459264 7878017889 9219902707 7690389532 1968198615 1437803149 9741106926 0886742962 2675756052 3172777520 3536139362

      Однако для удобства Число Фи округляют до 3-х знаков после запятой — 1, 618

      Число Фи имеет интересные математические свойства:
      1) Каждое третье число Фибоначчи четно;
      2) Каждое четвертое кратно 3;
      3) Каждое пятнадцатое оканчивается нулем

      Если разделить единицу на Число Фи, то получится число 0,618… — те же самые десятичные знаки после запятой, что и у числа Фи.

      Используя Число Фи можно составить 3 идеальные фигуры.

      1 – идеальная звезда, в которой отрезки HF и FC, а так же другие стороны треугольников и соответствующие стороны внутреннего пятиугольника относятся как 1/1.618.

      2 – идеальная спираль, которая образована ¼ окружностей вписанных в квадраты, стороны которых являются последовательностью числового ряда Фибоначчи и относятся как 1/1.618.

      3 – идеальный прямоугольник, который состоит из квадрата и прямоугольника и меньшая сторона малого прямоугольника (B) относится к стороне квадрата (A) как 1/1.618, а так же сторона квадрата (A) относится к большей стороне большого прямоугольника (A+B) как 1/1.618.

      Все растения, животные, люди наделены физическими пропорциями, приблизительно равными корню от соотношения Числа Фи к 1.


      Так, например, если измерить расстояние от плеча до кончиков пальцев, затем разделите его на расстояние от локтя до тех же кончиков пальцев. Получите число 1.618

      Расстояние от верхней части бедра до пола, поделенное на расстояние от колена до пола — это снова Число Фи.

      Сумма двух первых фаланг пальца в соотношении со всей длиной пальца = Числу Фи.

      Последовательность Фибоначчи

      Правило Золотого сечения также связывают с именем первого крупного математика средневековой Европы — Леонардо Пизанским, более известным, как Фибоначчи.

      В своем труде «Liber Abaci», датируемым 1202 годом, описывая решение одной из задач, ученый вывел числовой ряд, известный сейчас как «Последовательность Фибоначчи».

      Особенностью числового ряда Фибоначчи является то, что первые два числа в нем равны либо 1 и 1, либо 0 и 1, а каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел.

      На отношение этой последовательности к Золотой пропорции обратил внимание немецкий математик, астроном и первооткрыватель законов движения планет Солнечной системы Иоганн Кеплер, писавшей о Золотой пропорции так:

      В настоящее время Последовательность Фибоначчи является арифметической основой для расчетов пропорций Золотого сечения во всех его проявлениях.

      Принципы Золотого сечения используются абсолютно во всех сферах жизни. Не являются исключением и боевые искусства. Так, например, теоретическая основа базовых принципов Системы Кадочникова построена на принципах Золотого сечения.

      Принципы Золотого сечения составляют основу практически всех стилей восточных единоборств, а также современных школ боевых искусств.

      Траектории движений Айкидо, захваты Циньна, базовые движения Славяно-горицкой борьбы, техники Звериных стилей Ушу и многое другое – это наглядная демонстрация принципов Золотого сечения в боевых искусствах.

      Умение видеть пропорции Золотого сечения при основании техники боевых искусств, позволяет существенно упростить освоение приемов и позволяет с легкостью применять их на практике.

      Золотое сечение

      Число есть мысль Бога.

      Когда рыцари-тамплиеры в 1128 году вернулись во Францию из первого похода в Иерусалим, они, по легенде, привезли с собой тайное знание о Божественных мерах и весах. Как утверждают, в числе привезенного было знание о пропорции золотого сечения. Знание это не было новым для Европы, поскольку его применяли при постройке храмов еще в Древней Греции (Парфенон), но к 12-му веку знание было утеряно или забыто, поэтому пришлось его реимпортировать с Востока.

      О пропорции золотого сечения сейчас не пишет разве что ленивый. Это иррациональное число 1.618. которое обозначают буквой ф (в честь Фидия, построившего Парфенон), похоже, поистине универсально и неотделимо от жизни во всех проявлениях. Аналогичным образом, другое таинственное иррациональное число — е неразрывно связано с фунциями роста, а третье – π – с волновыми процессами и «квадратурой круга». Двум другим числам уделяется далеко не так много внимания в литературе о сакральной геометрии, как золотому числу, хотя они тоже важны. Но о них как-нибудь в другой раз.

      Цивилизация допескового Египта, создавшая великие пирамиды, обладала знаниями о важности священных констант и почитала их в образе Нетеров – божественных сил, действующих в материи. Нетеры – не боги, но орудия Верховного Существа — одухотворенные математические константы. Так сказать, блюстители «кода матрицы».

      Золотая пропорция встречается в соотношении частей тела живых организмов, орбит и размеров небесных тел, элементарных частиц и прочая, и прочая. проще говоря, во всем, что движется и эманирует волны.

      Примеров очень много, и они замечательно иллюстрированы и объяснены, поэтому я не буду на них останавливаться — просто по ходу рассказа приведу ссылки на некоторые ресурсы. Собеседникам, впервые сталкивающимся с темой золотого сечения, предлагаю вначале прочитать базовые сведения.

      Если вам прямо сейчас захочется увидеть пример пропорции золотого сечения, можете загнуть пальцы на руке по очереди, начиная с мизинца. Паттерн, который получается при таком движении, является золотосеченной спиралью. Соотношение длин фаланг ваших пальцев, длины пальцев к кисти, а всего предплечья к плечу тоже будет близко к золотому сечению. Золотая пропорция сейчас используется в дизайне множества предметов – длина и ширина вашей кредитной карты, например, имеет это соотношение. Я нашла пропорцию золотого сечения в размерах холодильника, стеклянной бутылки из-под кока-колы, авторучек, велосипедов и многих, многих других вещей.

      Среди великих произведений архитектуры пропорция золотого сечения была, например, использована в Великой Пирамиде в Гизе (у нас в школах ее называли пирамидой Хеопса, хотя построил ее далеко не Хеопс), в Запретном Городе в Пекине, в византийской Софии Константинопольской, в индийском мавзолее Тадж-Махал, в Нотр-Дам де Пари, в мозаиках исламских мечетей, в Соборе Василия Блаженного в Москве. Если кто-то заинтересуется, много хороших примеров вот на этом сайте

      Я, конечно, не смогу перечислить их все. А в своем сообщении просто попытаюсь сделать чуть-чуть более понятным то, почему золотое сечение было выбрано Великим Геометром в качестве одного из важных компонентов «космического ГОСТа».

      Золотое сечение в пропорциях Храма Василия Блаженного

      «В НАЧАЛЕ БЫЛ ЛОГОС. »

      Так начинается Евангелие от Иоанна: «В начале было Слово, и Слово было у Бога, и Слово было Бог» (Ин, 1:1). В греческом оригинале это звучало так: «В начале был Логос, и Логос был с Богом, и Логос был Бог». Греческое слово «логос», помимо прочих, имеет также значение «пропорция». Единственная пропорция во Вселенной, которая позволяет чему-то быть Одним и одновременно вместе с Одним — это пропорция золотого сечения!

      Сейчас мы это попробуем увидеть.

      Представьте, что вас назначили творцом-демиургом одной отдельно взятой маленькой вселенной. Она существует только на листе бумаги и имеет всего одно измерение, потому что ее форма – отрезок.

      Это весь ваш универсум, от альфы до омеги. Он представляет из себя Единство, Целое, поэтому мы обозначим его единицей. Все, что вы сотворите как демиург, должно помещаться в этом отрезке. Поэтому вы пойдете единственным возможным путем — делением отрезка на все меньшие и меньшие части. Теоретически, деление может продолжаться бесконечно, поэтому ваша вселенная может быть весьма густо населена.

      Согласно Первому Правилу начинающих демиургов, «Omnia in omnibus» — «Все во всем», а также Второму Правилу начинающих демиургов, «Как вверху, так и внизу», условием вашего творения должно быть подобие частей целому. Как бы вы не делили отрезок 1, соотношение между целым и частью должно оставаться точно таким же, как и у последующих частей между собой.

      Такое подобие в науке называют фрактальностью – когда каждая часть является уменьшенной копией целого. (Представьте для наглядности русскую матрешку – все меньшие матрешки как две капли воды похожи как на «маму», так и друг на друга, только размер разный).

      Поскольку ваше творение может идти только путем деления отрезка на меньшие части, вы должны найти «золотую середину» деления. Как ее найти? Сразу приходит в голову просто поделить отрезок на две равные части.

      1

      Но что при этом получится? Соотношение между частями будет равно 1:1, а между Целым и меньшей частью –1:½ . Принцип подобия не соблюдается. придется продолжать поиски «золотой середины». Если вы продвинутый демиург, владеющий алгеброй, то будете искать ваше неизвестное число, решая уравнение 1/х = х/(1-х). Ну, а если алгебры вы не знаете, то придется просто сказать: «По щучьему велению, по моему хотению. » И вот что получится:

      Малая часть Большая часть

      Соотношение между Целым и Большой частью равно 1/0.618 = 1.618.

      Соотношение между Большой и Малой частями также составляет 0.618/(1 – 0.618) = 1.618.

      Принцип подобия удовлетворен, и вы тоже. Таким образом, «золотой серединой» оказалось совсем не деление пополам, а деление по золотому сечению!

      Можно продолжить творение, деля отрезок на все меньшие и меньшие части, сохраняя найденное соотношение:

      0.618 1

      0.618 1

      0 .618 1

      ц е л о е

      Все части новой вселенной будут идеально соответствовать друг к другу. Вы можете вкладывать их друг в друга, как матрешки, и они отлично сгармонизируются. Представьте, что получилось бы, если хотя бы одна из матрешек не подходила под стандарт? Сбился бы весь ряд.

      Дальше вы выходите на крыльцо и говорите: «Мамки-няньки Нетеры, вот вам Число демиурга — собирайтесь-снаряжайтесь и к завтрему устройте всю мою вселенную по этому Числу». Вы можете, если захотите, даже назвать отрезок «Лучом Творения», Большую Часть – Миром Галактик, Малую часть – Миром Солнц, Еще Меньшую Часть – Миром Планет, и так далее, вплоть до микрокосмов.

      Вы спросите, какое отношение эта игровая ситуация имеет к нашей реальности? Ну, некоторые современные физики, например, рассматривают Вселенную как ряд фрактальных золотосеченных тороидов-бубликов, «вложенных» друг в друга, как матрешки. Одна из множества существующих теорий, конечно, потому что на самом деле никто не знает, как устроена Вселенная, но. что-то в этой теории есть.

      Теперь усложним задачу и предположим, что творцом-демиургом вас назначили не в одномерной вселенной отрезка, а в более сложном варианте трехмерной вселенной (похожей на нашу). Она состоит из волн. Волны встречаются и взаимодействуют друг с другом (это называется интерференция). Если волны находятся в правильном отношении друг к другу, то взаимодействие будет полезным для каждой из них, а результатом – волна с большей амплитудой. Такая интерференция называется конструктивной. В противном случае волны взаимно погашают друг друга, вплоть до нуля. Такая интерференция называется деструктивной.

      Иллюстрация конструктивной и деструктивной интерференции – красная волна + синяя волна = зеленая волна. В первом случае порождается волна с бОльшей амплитудой, во втором — волны взаимно уничтожаются:

      При взаимодействии волны могут не только складываться, но и умножаться. В этом случае амплитуда на выходе будет в разы больше, чем при сложении!

      Поскольку вы – демиург, и хотите, чтобы все, что вы создаете, получало режим максимального благоприятствования, плодилось и размножалось, при этом никому не мешая, вам нужно найти оптимальное соотношение, которое позволяло бы всем волнам взаимодействовать как можно более конструктивно – т.е. усиливать друг друга, вместо того, чтобы погашать.

      Вы составляете программу, которая отыскала бы такое соотношение. И что вам в ответ выдает программа? Оптимальным соотношением, которое усиливает взаимодействие максимального количества волн во вселенной, является пропорция золотого сечения!

      Причина этого – еще одно уникальное свойство ф, которым больше не обладает ни одно число: оно создает один и тот же ряд при сложении или возведении в степень. Смотрите:

      Сложение ф Умнож ение ф

      1.618 x 1.618 = 2.618

      2.618 + 1.618 = 4.24 2.6 18 x 1.618 = 4.24

      4.24 + 2.618 = 6.85 4.24 x 1.618 = 6.85

      6.85 + 4.24 = 11.09 6.85 x 1.618 = 11.09

      Это означает, что когда две волны взаимодействуют в пропорции золотого сечения, их результат не только складывается, но и автоматически является умноженным! При этом новые результирующие волны также будут взаимодействовать друг с другом конструктивно, поскольку будут иметь пропорции, соответствующие различным степеням ф.

      (Здесь задействован механизм так называемого гетеродинирования волн – явление, хорошо известное тем, кто разбирается в радиотехнике. Технические подробности, если кто-то хочет разобраться, можно посмотреть здесь).

      Реальная, непридуманная Вселенная, в которой мы находимся, представляет из себя волны: звуковые, электромагнитные, гравитационные и, возможно, еще какие-то, пока нам не известные.

      Волнами являются элементарные частицы, из которых построена материя. Волнами в конечном итоге является камни, из которых составлен Храм. Волновой функцией является работа нашего мозга и сердца. Взаимодействием любых волн, какую бы форму они не принимали, правит Число – то самое, которое, по выражению Святого Августина, есть мысль Бога. Это Число универсально и его свойства имеют множество граней. Здесь мы только слегка затронули некоторые из них. Изучение остальных — за будущими исследователями!

      Золотое сечение в дизайне

      Говорят, что “божественная пропорция” заложена в природе, и во многих вещах вокруг нас. Вы можете найти ее в цветах, ульях, морских раковинах, и даже нашем теле.

      Эта божественная пропорция, также известная как золотое сечение, божественное сечение, или золотая пропорция может быть применена к различным видам искусства и обучения. Ученые утверждают, что чем ближе объект к золотому сечению, тем лучше человеческий мозг воспринимает его.

      С тех пор как это соотношение было открыто, многие художники и архитекторы применяли его в своих работах. Вы можете найти золотое сечение в нескольких шедеврах эпохи Возрождения, архитектуре, живописи, и многом другом. В результате – красивый и эстетически приятный шедевр.

      Немногие знают, в чем заключается тайна золотого сечения, что так радует наши глаза. Многие полагают, что то, что она появляется везде и является “универсальной” пропорцией, заставляет нас принять ее как что-то логическое, гармоничное и органичное. Другими словами, оно просто “чувствует” то, что нам нужно.

      Итак, что такое золотое сечение?

      Золотое сечение, также известное как “фи” по-гречески, это математическая константа. Оно может быть выражено уравнением a/b=a+b/a=1,618033987, где a больше, чем b. Это также можно объяснить последовательностью Фибоначчи, другой божественной пропорцией. Последовательность Фибоначчи начинается с 1 (некоторые говорят с 0) и добавляет к нему предыдущее число, чтобы получить последующее (т.е. 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 …)

      Если вы попытаетесь найти частное от деления двух последующих чисел Фибоначчи (т.е. 8/5 или 5/3), результат очень близок к золотому сечению 1,6 или φ (фи).

      Золотая спираль создается с помощью золотого прямоугольника. Если у вас есть прямоугольник из квадратов 1, 1, 2, 3, 5 и 8 соответственно, как показано на рисунке выше, вы можете приступить к строительству золотого прямоугольника. Используя сторону квадрата, как радиус, вы создаете дугу, которая касается точек квадрата по диагонали. Повторите эту процедуру с каждым квадратом в золотом треугольнике, и в конечном итоге вы получите золотую спираль.

      Где мы можем увидеть его в природе

      Золотое сечение и последовательность Фибоначчи можно найти в лепестках цветов. У большинства цветков количество лепестков сводится к двум, трем, пяти или больше, что походит на золотое сечение. Например, у лилий 3 лепестка, у лютиков 5, у цветков цикория 21, а у ромашек 34. Вероятно, семена цветков также следуют золотому сечению. Например, семена подсолнечника прорастают из центра и растут к внешней стороне, заполняя головку семени. Обычно они спиралевидные и имеют сходство с золотой спиралью. Более того, количество семян, как правило, сводится к числам Фибоначчи.

      Руки и пальцы также являются примером золотого сечения. Посмотрите ближе! Основание ладони и кончик пальца разделен частями (костьми). Соотношение одной части в сравнении к другой всегда 1,618! Даже предплечья с руками находятся в таком же соотношении. И пальцы, и лицо, и можно продолжать список…

      Применение в искусстве и архитектуре

      Парфенон в Греции, как утверждается, был построен с использованием золотых пропорций. Считается, что размерные соотношения высоты, ширины, колонн, расстояния между столбами, и даже размер портика близки к золотому сечению. Это возможно потому, что здание выглядит пропорционально идеально, и оно было таким с древних времен.

      Леонардо Да Винчи был также поклонником золотого сечения (и многих других любопытных предметов, собственно говоря!). Дивная красота Мона Лизы может быть связана с тем, что ее лицо и тело представляют собой золотое сечение, как и реальные человеческие лица в жизни. Кроме того, цифры в картине “Тайная вечеря” Леонардо Да Винчи расположены в порядке, который используется в золотом сечении. Если начертить золотые прямоугольники на холсте, Иисус окажется как раз в центральной доле.

      Применение в дизайне логотипов

      Неудивительно, что вы также можете найти использование золотого сечения во многих современных проектах, в частности, дизайне. Сейчас давайте сосредоточимся на том, как это может быть использовано в дизайне логотипа. Во-первых, рассмотрим некоторые из самых известных в мире брендов, которые использовали золотое сечение для совершенствования своих логотипов.

      Видимо, Apple использовал круги из чисел Фибоначчи, соединив и обрезав формы для получения логотипа Apple. Неизвестно, было ли это сделано намеренно или нет. Тем не менее, в результате получился идеальный и визуально эстетичный дизайн логотипа.

      Логотип Toyota использует соотношение a и b, формируя сетку, в которой образуются три кольца. Обратите внимание, как этот логотип использует прямоугольники вместо кругов для создания золотого сечения.

      Логотип Pepsi создан двумя пересекающимися кругами, один больше другого. Как показано на рисунке выше, больший круг пропорционален в соотношении к меньшему – вы уже догадались! Их последний нерельефный логотип – простой, эффектный и красивый!

      Кроме Toyota и Apple, логотипы некоторых других компаний, таких как, BP, iCloud, Twitter, и Grupo Boticario, как полагают, также использовали золотое сечение. И мы все знаем, насколько известны эти логотипы – все потому, что изображение сразу всплывает в памяти!

      Вот как вы можете применить его в своих проектах

      Создайте эскиз золотого прямоугольника, как показано выше желтым цветом. Этого можно достичь путем построения квадратов с высотой и шириной из чисел, принадлежащих золотому сечению. Начните с одного блока и поместите другой рядом с ним. А другой квадрат, чья площадь равна тем двум, поместите над ними. Вы автоматически получите сторону из 3 блоков. После построения этой конструкции из трех блоков, в конечном итоге у вас будет сторона из 5 четырехугольников, из которой можно сделать другую (площадью в 5 блоков) коробку. Это может продолжаться сколько угодно, пока вы не найдете тот размер, который вам нужен!

      Прямоугольник может перемещаться в любом направлении. Выделите мелкие прямоугольники и используйте каждый из них, чтобы собрать макет, который будет служить в качестве сетки дизайна логотипа.

      Если логотип более округлый, то вам потребуется круговая версия золотого прямоугольника. Вы можете добиться этого начертанием кругов, пропорциональных числам Фибоначчи. Создайте золотой прямоугольник, используя только круги (это означает, что самый большой круг будет иметь диаметр 8, а у круга поменьше будет диаметр 5, и так далее). Теперь разделите эти круги и разместите их так, чтобы вы могли сформировать основную схему для вашего логотипа. Вот пример логотипа Twitter:

      Примечание: Вам не обязательно чертить все круги или прямоугольники золотого сечения. Вы также можете использовать один размер неоднократно.

      Как применять его в дизайне текста

      Это проще, чем проектирование логотипа. Простое правило для применения золотого сечения в тексте заключается в том, что последующий больший или меньший текст должен соответствовать Фи. Давайте разберем этот пример:

      Если размер моего шрифта – 11, то подзаголовок должен быть написан в более крупном шрифте. Умножаю шрифт текста на число золотого сечения, чтобы получить большее число (11*1,6=17). Значит подзаголовок должен быть написан в 17 размере шрифта. А теперь заголовок или название. Умножу подзаголовок на пропорцию и получу 27 (1*1,6=27). Вот так! Ваш текст теперь пропорционален золотому сечению.

      Как применить его в веб-дизайне

      А здесь немного сложнее. Вы можете оставаться верными золотому сечению даже в веб-дизайне. Если вы опытный веб-дизайнер, вы уже догадались, где и как ее можно применить. Да, мы можем эффективно использовать золотое сечение и применить его к сеткам наших веб-страниц и макетам пользовательского интерфейса.

      Возьмите общее число сетки пикселей за ширину или высоту и используйте его для построения золотого прямоугольника. Разделите наибольшую ширину или длину для получения меньших чисел. Это может быть шириной или высотой вашего основного контента. То, что осталось, может быть боковой панелью (или нижней панелью, если вы применили его к высоте). Теперь продолжайте использовать золотой прямоугольник для дальнейшего применения его к окнам, кнопкам, панелям, изображениям и тексту. Вы также можете построить полную сетку, основанную на маленьких версиях золотого прямоугольника расположенных как горизонтально, так и вертикально для создания более маленьких объектов интерфейса, которые пропорциональны золотому прямоугольнику. Для получения пропорций вы можете использовать этот калькулятор.

      Спираль

      Вы также можете использовать золотую спираль, чтобы определить, где разместить контент на вашем сайте. Если ваша домашняя страница загружается с графическим контентом, как, например, на веб-сайте онлайн магазина или блога фотографий, вы можете воспользоваться золотым методом спирали, который используют многие художники в своих работах. Задумка в том, чтобы поместить наиболее ценный контент в центре спирали.

      Контент со сгруппированным материалом тоже может быть размещен при помощи золотого прямоугольника. Это означает, что чем ближе спираль движется к центральным квадратам (к одному квадратному блоку), тем “плотнее” там содержимое.

      Вы можете использовать эту технику, чтобы обозначить расположение вашего заголовка, изображений, меню, панели инструментов, окна поиска и других элементов. Twitter славится не только использованием золотого прямоугольника в дизайн логотипа, но и задействовал его в веб-дизайне. Как? Благодаря использованию золотого прямоугольника, или, другими словами концепцией золотой спирали, в странице профиля пользователей.

      Но нелегко будет проделать такое на платформах CMS, где автор материала определяет расположение вместо веб-дизайнера. Золотое сечение подходит WordPress и другим дизайнам блога. Это, вероятно, потому, что боковая панель почти всегда присутствует в дизайне блога, который хорошо вписывается в золотой прямоугольник.

      Более простой способ

      Очень часто дизайнеры опускают сложную математику и применяют так называемое “правило третей”. Его можно достичь путем деления площади на три равные части по горизонтали и вертикали. В результате – девять равных частей. Линия пересечения может быть использована в качестве фокусного центра формы и дизайна. Вы можете поместить ключевую тему или основные элементы на один или все фокусные центры. Фотографы также используют эту концепцию для плакатов.

      Чем ближе прямоугольники к соотношению 1:1,6, тем приятнее воспринимается картина человеческим мозгом (так как это ближе к золотому сечению).

      Илон Маск рекомендует:  Администрирование получаем время с удалённого nt сервера
      Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
      Кодинг, CSS и SQL